Dokumen tersebut membahas tentang membuat model matematika dari masalah yang terkait dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, meliputi langkah-langkahnya dan contoh soalnya. Langkah-langkah membuat model matematika meliputi memilih variabel, menyusun bentuk aljabar, menyatakan relasi, dan menyelesaikan model matematikanya. Contoh soalnya meliputi masalah bilangan, umur, kecepatan mobil, dan l

1. Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan
1
BAB V
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
LINEAR SATU VARIABEL
Kompetensi Dasar
3.1 Membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan linear satu variabel
3.2 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan linear satu variabel
Tujuan Pembelajaran
A. LANGKAH-LANGKAH MEMBUAT MODEL MATEMATIKA
Untuk menyelesaikan masalah sehari-hari maka masalah itu perlu diubah dahulu ke suatu model
matematika. Kemudian model itu diselesaikan sesuai dengan masalahnya masing-masing.
Secara umum langkah-langkah membuat model matematika adalah sebagai berikut.
1) Pilihlah (sebuah atau jika perlu lebih) variabel. Variabel ini biasanya menunjuk pada sesuatu
yang ditanyakan. Dapat juga bukan yang langsung ditanyakan, tetapi ada kaitan dengan
yang yang ditanyakan. Misalnya yang ditanyakan tentang waktu tempuh perjalanan, tetapi
variabelnya terkait dengan kecepatan.
Jika perlu, buatlah sebuah diagram yang menggambarkan situasinya.
Siswa dapat:
1. membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan
linear satu variabel,
2. menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
persamaan linear satu variabel,
3. membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
pertidaksamaan linear satu variabel,
4. menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
pertidaksamaan linear satu variabel..

2. Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan
2
2) Susunlah bentuk aljabar dengan memperhatikan semua bilangannya. Hubungkan dengan
variabel terpilih; atau jika tidak ada kaitan, tuliskan bilangan itu sebagai konstanta.
3) Nyatakan relasi antara bentuk aljabar yang sudah tersusun sehingga terbentuk kalimat
terbuka. Relasinya mungkin membentuk persamaan (menggunakan lambang relasi “=” dan
mungkin juga membentuk pertidaksamaan (menggunakan lambang relasi “<”, “>”, “ ”,
atau “ ”) sehingga model matematika dapat disusun.
Contoh 1
Buatlah model matematika dari yang berikut ini:
1. Jumlah tiga bilangan asli berurutan adalah 126.
2. Empat tahun lagi umur seorang bapak 45 tahun, yaitu 3 kali umur anaknya.
3. Ada sebuah perusahaan menengah. Dari sejumlah barang yang diproduksi, harga satuannya
adalah Rp50.000,00 per unit (sebuah). Pengeluaran per tahunnya tidak kurang dari
Rp250.000.000,00, termasuk sewa tempat usaha sebesar Rp5.000.000,00 pertahun. Yang
belum dikethui berapa banyak produksinya per tahun..
Jawab:
1. (1) Memilih variabel: Misalkan bilangan pertama b
Karena bilangan asli berurutan itu bilangan berikutnya adalah 1 lebih dari sebelumnya,
maka gambaran situasinya:
(2) Menyusun bentuk aljabar:
Jumlah tiga bilangan asli berurutan b + (b + 1) + (b + 2).
(3) Menyusun kalimat terbuka: ”adalah 126”; ”adalah” menunjuk adanya persamaan.
Jadi model matematikanya: b + (b + 1) + (b + 2) = 126
3b + 3 = 126 (inilah model matematikanya).
2. (1) Memilih variabel: Misalkan umur anaknya sekarang a.
Gambaran situasi tentang umur anak dan ayahnya:
umur sekarang 4 tahun mendatang
anak a a + 4
bapak 3(a + 4)
b b + 1 b + 2

3. Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan
3
(2) Menyusun bentuk aljabar:
Jadi bentuk aljabar dari umur bapaknya adalah 3(a + 4).
Umur bapak 4 trahun mendatang adalah 45 tahun.
(3) Menyusun kalimat terbuka
Dari hubungan di atas dapat dinyatakan model matematikanya berupa persamaan:
3(a + 4) = 45
3. (1) Memilih variabel: Misalkan per tahun berproduksi x unit.
(2) Menyusun bentuk aljabar:
Ada pengeluaran yang tergantung banyak produksi, yaitu x unit dengan pengeluaran
Rp50.000,00/unit. Jadi pengeluaran untuk produksinya 50.000 x rupiah.
Ada pengeluaran tetap, tidak tergantung banyak unt produksi, yaitu Rp5.000.000,00 per
tahun.
Bentuk aljabar biaya pengeluaran adalah 50000x + 5000000 (rupiah)
(3) Menyusun kalimat terbuka: Biaya seluruhnya ”tidak kurang dari” Rp250.000.000,00
”tidak kurang dari” bersesuaian dengan ” ”.
Jadi model matematikanya: 50000x + 5000000 250000000.
Latihan 2
Susunlah model matematika dari setiap keadaan atau masalah di bawah ini.
1. Jumlah lima bilangan asli berurutan adalah 255. ((i) Dengan memisalkan bilangan pertama a
dan (ii) jika dengan memisalkan bilangan ketiganya b.
2. Umur seorang bapak saat ini 4 kali umur anaknya. Enam tahun yang lalu umurnya 10 kali umur
anaknya. (Misalkan umur anaknya 6 tahun yang lalu adalah a)
3. Suatu bilangan jika dikurangi 30 hasilnya adalah 67.
4. Jika umur pak Alka dikalikan dua sudah lebih dari 90 tahun.
5. Dengan bunga 1% pada bulan ini, uang tabungan Krisna tidak kurang dari Rp 2.000.000,00.
6. Kelereng Aqsa jika dibagikan kepada beberapa orang temannya, setiap orang mendapatkan 10
buah, ia masih mempunyai lebih dari 15 kelereng
7. Selisih suatu bilangan dengan 18 lebih dari 44.
8. Selisih kuadrat suatu bilangan dan 5 lebih dari 11.

4. Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan
4
B. MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH TERKAIT PERSAMAAN
DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL DAN MENYELESAIKAN
MASALAHNYA
Untuk menyelesaikan masalah sehari-hari, perlu disusun model matematikanya, kemudian
menyelesaikan model tersebut. Berawal dari yang telah dikemukakan di atas, maka langkah
sampai penyelesaiannnya adalah sebagai beikut.
1) Pilihlah (sebuah atau jika perlu lebih) variabel. Jika perlu, buatlah sebuah diagram yang
menggambarkan situasinya.
2) Susunlah bentuk aljabarnya.
3) Nyatakan relasi antara bentuk aljabar yang sudah tersusun sehingga terbentuk kalimat
terbuka, persamaan atau pertidaksamaan.
4) Selesaikan kalimat terbukanya.
5) Periksa kembali jawabnya ke masalahnya.
6) Nyatakan jawabnya sesuai yang ditanyakan pada masalah itu dalam bentuk kata-kata sehari-
hari.
Kadang-kadang langkah 5) dan 6) dapat dipertukarkan.
Contoh 1
Sembilan lebih dari 2 kali sebuah bilangan besarnya adalah 43. Berapakah bilangan itu?
Jawab:
Langkah 1: Memilih variabel
Misalkan bilangan itu b.
Langkah 2: Menyusun bentuk aljabar
Sembilan lebih dari 2 kali sebuah bilangan besarnya adalah 43
2
bilangansebuah
2
kali2idarlebih
9
Sembilan
  
  
b
b
9 + 2b

43
43adalahbesarnya 43

5. Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan
5
Langkah 3: Menyatakan relasi.
Kata “adalah” bersesuaian dengan ”=”, sehingga:

43
43adalahbesarnya
2
bilangansebuah
2
kali2idarlebih
9
Sembilan 
  
  
b
b
Persamaan: 9 + 2b = 43
Sampai di sini model Matematika dari masalahnya telah tersusun.
Masalah yang berhubungan dengan persamaan itu diselesaikan sebagai berikut.
Langkah 4: Menyatakan kalimat terbuka dari model matematikanya
Persamaan: 9 + 2b = 43
2b = 34 (kedua ruas ditambah dengan lawan 9 = dikurangi 9)
b = 17 (kedua ruas dikalikan kebalikan 2 = dibagi 2)
Langkah 5: Memeriksa hasilnya
pemeriksaan: 9 + 2 17 = 9 + 34 = 43, benar
Langkah 6: Menyatakan jawabnya sesuai dengan pertanyan yang ada pada masalahnya.
Jadi bilangan itu dalah 17.
Pada contoh berikut hanya disajikan jawabannya. Nama urutan langkah tidak dituliskan.
Contoh 2
Empat tahun yang lalu umur seorang bapak 5 kali umur anak pertamanya. Tiga tahun
mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama tersebut. Berapa tahun lagi umur bapak
tersebut setengah abad?
Jawab
1. Memilih/menentukan variabel
Misalkan umur anak 4 tahun yang lalu a tahun.
2. Menyusun bentuk aljabar
Membuat diagram/sketsa situasi berdasar umur 4 tahun yang lalu
4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang
anak a
bapak

6. Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan
6
Karena umur si Bapak 4 tahun yang lalu 5 kali umur anaknya, maka:
4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang
anak a
bapak 5a
Hasil pengisian tabel umur sekarang dan dan 3 tahun yang akan datang kaitannya
dengan 4 tahun yang lalu adalah sebagai berikut:
4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang
anak a a + 4 a + 7
bapak 5a 5a + 4 5a + 7
3. Mencari hubungan antara bentuk aljabar sesuai informasi yang belum digunakan (Menyusun
model matematikanya)
Tiga tahun mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama, sehingga didapat:
5a + 7 = 3(a + 7)
Terbentuk model matematikanya, yaitu sebuah persamaan linear:
5a + 7 = 3a + 21
4. Menyelesaikan kalimat terbuka (model matematika)-nya.
5a + 7 = 3a + 21 2a = 14 a = 7
Situasi sebenarnya adalah:
4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang
anak a = 7 a + 4 = 7 + 4 = 11 a + 7 = 7 + 7 = 14
bapak 5a = 5 7 = 35 5a + 4 5a + 7 = 35 + 7 = 42
5. Nyatakan jawabnya sesuai yang ditanyakan pada masalah itu.
Umur bapak itu sekarang 39 tahun. Jadi umur bapak itu setengah abad adalah 11 tahun
mendatang.

7. Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan
7
6. Pemeriksaan:
4 tahun yang lalu umur ayah 35 tahun dan anaknya 7 tahun.
Umur ayah 5 kali umur anak. (benar)
3 tahun lagi umur ayah 42 tahun, anaknya 14 tahun.
Umur ayah 3 kali umur anaknya. (benar)
Jika Anda telah terbiasa memecahkan masalah terkait persamaan seperti contoh-contoh di atas,
maka Anda tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan masalah yang terkait dengan
pertidaksamaan. Langkah dasar keduanya pada umumnya sama. Perbedaannya adalah pada
relasinya yang menggunakan lambang ”<”, ”>”, ” ” atau ” ”. Hal itu ditunjukkan dengan
beberapa kata ”kunci”, antara lain: kurang dari, lebih dari, tidak lebih dari atau paling banyak
(” ”), tidak kurang dari atau paling sedikit (” ”).
Contoh 3
Di suatu jalan bebas hambatan, kecepatan mobil harus tidak kurang dari 60 km/jam dan tidak
boleh lebih dari 100 km/jam. Berapa interval jarak yang ditempuh sebuah mobil selama 2 jam?
Jawab:
Misalkan jarak yang ditempuh adalah d km dan kecepatan dinyatak dengan v km/jam.
1) kecepatan mobil harus tidak kurang dari 60 km/jam.
Tidak kurang artinya sama atau boleh lebih.
Lambangnya ” ”. Jadi v 60
Perjalanan selama 2 jam. Jadi jarak yang ditempuh adalah d 2 60 d 120
2) kecepatan mobil harus tidak lebih dari 100 km/jam.
Lambangnya ” ”. Jadi v 60
Perjalanan selama 2 jam. Jadi jarak yang ditempuh adalah d 2 100 d 200
Kedua syarat harus dipenuhi:
Jika jarak dinyatakan dengan d km, maka 120 d 200.
Jadi yang ditempuh paling sedikit 120 km dan paling banyak 120 km.
120
200
120 200
Gambar 5.1

8. Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan
8
Latihan 2
1. Jumlah tiga bilangan asli berurutan adalah 102. Tentukanlah bilangan-bilangan itu.
2. Penyebut sebuah pecahan 3 lebih dari pembilangnya. Jika pembilang dan penyebut masing-
masing ditambah 1, nilainya menjadi
5
4
. Pecahan manakah itu?
3. Umur seorang bapak saat ini 4 kali umur anaknya. Enam tahun yang lalu umurnya 10 kali umur
anaknya. Berapakah umur anak itu sekarang?
4. Seutas tali sepanjang 33 meter dipotong menjadi 3 potong. Potongan terpanjang adalah dua kali
potongan terpanjang kedua dan tiga kali potongan terpendek. Berapa panjang potongan
terpanjangnya?
5. Panjang sebuah sisi segitiga 2 cm lebih dari yang kedua dan dua kali panjang sisi ketiganya.
Jika keliling segitiga itu 43 cm, tentukan panjang setiap sisi segitiga itu.
6. Jumlah besar sudut-sudut segitiga adalah 180 . Jika sudut terbesarnya adalah 20 lebih dari
yang terbesar kedua dan 25 lebih dari sudut yang terkecil, tentukan masing-masing besar sudut
segitiga itu.
7. Lima tahun yang lalu umur seorang bapak 6 kali umur anak pertamanya. Tiga belas tahun
mendatang umur dua kali umur bapak itu sama dengan lima kali umur anak pertama tersebut.
Kapan umur bapak tersebut 50 tahun?
8. Si kembar Bagas dan Bagus berangkat bersama-sama dengan bersepeda dari rumahnya ke
rumah kakeknya melewati jalan yang sama. Kecepatan Bagas bersepeda 12 km/jam sedangkan
Bagus 10 km/jam. Mereka tiba di rumah kakeknya dengan selisih waktu 15 menit. Berapa lama
Bagas bersepeda dari rumahnya ke rumah kakeknya?
9. Seekor katak yang terkejut karena ada seekor ular di dekatnya, tiba-tiba meloncat.
Loncatan pertama sejauh 30 cm. Pada loncatan kedua sampai ketujuh dengan
loncatan yang sama jauh ia telah berada lebih dari 1,7 m dari tempatnya semula. Nyatakan
peristiwa ini secara simbolik (model matematikanya).
10. Dua ekor anjing terpisah sejauh 6 m, berada di dua arah
berlawanan dari sepotong tulang. Sekali loncat, anjing pertama
meloncat 60 cm. Dengan 4 kali meloncat anjing pertama sampai ke
tulang itu. Berapa panjang loncatan anjing kedua jika untuk sampai ke tulang itu ia melakukan
tidak lebih dari 8 kali loncatan?

9. Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan
9
C. RANGKUMAN
Secara umum langkah-langkah membuat model matematika adalah sebagai berikut:
1) Pilihlah (sebuah atau jika perlu lebih) variabel. Variabel ini biasanya menunjuk pada sesuatu
yang ditanyakan. Dapat juga bukan yang langsung ditanyakan, tetapi ada kaitan dengan
yang yang ditanyakan. Misalnya yang ditanyakan tentang waktu tempuh perjalanan, tetapi
variabelnya terkait dengan kecepatan.
Jika perlu, buatlah sebuah diagram yang menggambarkan situasinya.
2) Susunlah bentuk aljabar dengan memperhatikan semua bilangannya. Hubungkan dengan
variabel terpilih; atau jika tidak ada kaitan, tuliskan bilangan itu sebagai konstanta.
3) Nyatakan relasi antara bentuk aljabar yang sudah tersusun sehingga terbentuk kalimat
terbuka. Relasinya mungkin membentuk persamaan (menggunakan lambang relasi“=”,
mungkin pertidaksamaan (menggunakan lambang relasi “<”, “>”, “ ”, atau “ ”)
4) Selesaikan kalimat terbukanya.
5) Periksa kembali jawabnya ke masalahnya
6) Nyatakan jawabnya sesuai yang ditanyakan pada masalah itu dalam bentuk kata-kata sehari-
hari.
Kadang-kadang langkah 5) dan 6) dapat dipertukarkan.