2. 3. การขจัดของการเคลือนที่
่ คือความยาวเส้นตรงที่เชื่อมระหร่างจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของการ
เคลือนที่ ประกอบด้วยการขจัดแนวราบและแนวดิ่ง
่
จากรูป การขจัดจาก A ไป C = SAC
โดย การขจัดแนวราบ SX = SAC และการขจัดเป็นศูนย์
การขจัดจาก A ไป D = SAD
โดย การขจัดแนวราบ SX = x
การขจัดแนวดิ่ง SY = H
2
การขจัดลัพธ์ SAD = S2 + S Y = X 2 + H 2
X
ตัวอย่างการเคลือนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้งโดยมีความเร่งในแนวต่างๆ
่
รูป 14.2 โค้งพาราโบลาแบบต่างๆ
รูป (ก) และ (ข)วัตถุเคลือนที่ภายใต้แรงดึงดูดของโลก
่
รูป (ค) และ (ง) ประจุไฟฟ้าเคลื่อนที่ภายใต้สนามไฟฟ้า
1.2 เงื่อนไขการเคลื่อนที่แบบวิธีโค้ง การเคลือนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้งประกอบด้วยการเคลื่อนที่
่ 2
แนวพร้อมกัน คือแนวราบ แนวดิ่ง ซึงแต่ละแนวมีเงื่อนไขการเคลื่อนที่ดังนี้
่
1.2.1 การเคลือนที่ของวัตถุในแนวราบ ในขณะที่วัตถุอยู่ในอากาศจะมีเฉพาะแรงดึงดูดของโลก
่
(mg) ในแนวดิ่งเท่านั้นที่กระทำาต่อวัตถุ ดังนั้นแรงในแนวราบที่กระทำากับวัตถุจึงมีค่าเป็น
ศูนย์ ( ∑ FX = 0 )
3. จากรูปที่ 14.3 ขว้างวัตถุอันหนึ่งด้วยความเร็วต้น u ทำามุม กับแนวระดับทำาให้วัตถุ
เคลือนที่แบบวิธีโค้ง
่
พิจารณาแรงกระทำาในแนวราบ ∑ Fx = max
จากรูป แรงในแนวราบ ∑ FX = 0
∴ แทนค่าจะได้ 0 = maX , aX = 0
แสดงว่าการเคลื่อนที่ของแบบสวิธีโค้งวัตถุเคลือนทีด้วยอัตราเร็วในแนวราบคงที่ดดังนั้นสมการการเคลื่อนที่
่ ่
ในแนวราบคือ
SX = UXt
โดย SX = การขจัดแนวราบ UX = ความเร็วแนวราบ = ucos θ
t = เวลาของกางรเคลื่อนที่
1.2.2 การเคลือนที่ของวัตถุในแนวดิ่ง
่ จากรูปที่14.3 จะเห็นว่าณะที่วัตถุอยู่ในอากาศจะมี
เฉพะาแรง mg ในแนวดิ่งเท่านั้นที่กระทำาต่อวัตถุดังนั้นจะได้ ∑ FY = mg
พิจารณาแรงในแนวดิ่ง จาก ∑ FY = maY
จากรูป แรงในแนวดิ่ง ∑ FY = mg
∴ แทนค่า mg = maY จะได้ aY = g
แสดงว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้งวัตถุเคลื่อนที่ในดิ่งด้วยความเร่งเท่ากับ g จึงเป็นการ
เคลือนของวัตถุแบบของวัตถุภายใต้แรงดึงดูดของโลก ดังนั้นสมการการเคลือนที่ในแนวดิ่งคือ
่ ่
1. V = u + gt 3.
V 2
+ 2gh
1
2. h = ut + 2
gt2 4.
u+v
H = ( 2
) t
ข้อควรจำา ในการคำานวณการเคลื่อนที่แบบวิธีโค้ง เราจำาเป็นต้องทราบรายละเอียดต่อไปนี้
1. วัตถุเคลื่อนจาดระดับความสูงเดียวกันโดยมีความเร็วต้น ในแนวดิ่งเท่ากันจะ
ตกถึงพื้นดินในเวลาเท่ากัน ดังรูป
4. รูป 14.4 (a) ปล่อยวัตถุตกลงมา
รูป 14.4 (b) กลิ้งวัตถุตกจากที่สูงด้วยความเร็วต้นแนบราบ u1 ตกถึงพื้นห่าง X1
รูป 14.4 (c) กลิงวัตถุตกจากที่สูงด้วยความเร็วต้นแนวราบ
้ u2 ตกถึงพื้นห่าง X2
เนื่องจากการเคลื่อนในแนวดิ่งของวัตถุทั่งสามรูปมีข้อมูลในแนวดิ่งเท่ากันคือ u = 0 , g =g,
1 2
h = h ดังนั้นเมื่อแทนค่าในสมการ h = ut + 2
gt จะคำานวณหาค่า t ได้เท่า
กัน จึงสรุปได้ว่าเวลาที่วัตถุใช้ในการเคลือนทีทั้งสามรูปเท่ากัน
่ ่
2. ณ ระดับเดียวกันอัตราเร็วขาขึ้นเท่ากับอัตราเร็วขาลง และเวลาขาขึ้นเท่ากับเวลาขาลง
รูปที่ 14.5 (a) ปาวัตถุจากพื้นดิน รูปที่ 14.5 (b) ปาวัตถุจาก
หน้าผา
จากรูป 14.5 (a) 14.5 (b) จะได้ uA = Vb ทำามุม
และ
กับแนวระดับเท่ากันเวลาที่เคลือนที่จาก
่ A C เท่ากับเวลาที่เคลื่อนที่จาก C
→ → B
3. ความสัมพันธ์ของการเคลือนที่แนวราบและแนวดิ่งมีเวลา
่ t เป็นตัวรวมเพราะการ
ขจัดแนวราบและแนวดิ่งเกิดขึ้นพร้อมกัน
1.3 การคำานวณการเคลือนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้ง
่ เพื่อความสะดวกและรวดเร็วในการคำานวนเราสามรถจัด
ขั้นตอนการคำานวนเป็นขั้นตอนต่างๆ ได้ดังนี้
1.
ให้สังเกตรูปการเคลือนที่ของวัตถุพร้อมทั้งกำาหนดจุดเริ่มต้น และจุดสุดท้ายของการ
่
เคลือนทีตามข้อมูลที่โจทย์ต้องการ
่ ่
2. ทีจุดเริ่มต้นแยกความเร็วเป็น
่ 2 แนวคือ
5. แนวราบ uX = ucos θ และแนวดิ่ง uY
= usin θ
3. ให้ตรวจสอบการคำานวณจากสมการแนวราบ และแนวดิ่งถ้าแนวดิ่งใหนมีข้อมูล
ครบให้คำานวณจากแนวนั้น
4. ถ้าทั้งแนวราบและแนวดิ่งมีข้อมูลไม่ครบให้สร้างสมการการเคลือนทีทั้ง
่ ่ 2 แนว
โดยมีเวลา (t) เป็นตัวร่วมแล้วแก้สมการหาค่าที่ต้องการ
5. ความเร็วขณะใดๆ ของการเคลื่อนที่จะต้องประกอบด้วยความเร็วแนวราบและดิ่งเสมอซึ่งมีขนาด
ดังนี้
ขนาด V = v2 + v2
x y
vy
ทิศทาง tan θ = vx
ข้อสังเกต ในการเลือกจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของการเคลือนที่ให้พยายามเลือกจุดคู่ททราบการขจัดทั้งแนวรายบ
่ ี่
และแนวดิ่งหรือจุดคู่ที่มความสัมพันธ์ของการกระจัด หรือจุดคู่ที่ทราบข้อความมากที่สุดออกมาพิจารณา
ี
ตัวอย่างแสดงขั้นตอนการคำานวณวิธีโค้ง
1. จากรูปจงหา ก . เวลาจาก A ไป B ข . ระยะ A ไป B แนวราบ
วิธีทำา พิจารณาการเคลื่อนที่
A→B แนวดิ่ง
จากรูป u=8 , g
= -10 , h = 0 , t = ?
จาก h = ut
1
+2 gt2 จะได้
0 =
1
8t - 2
× 10t2
8t
8
= 5t2 , = 5
= 1.6 S
ตอบ
พิจารณาการ
เคลือนที่
่ A→B แนวราบ
จาก SX =
uX t จะได้
X = 6×
1.6 = 9.6 ตอบ
2. จากรูปจงหา ก . เวลาจาก A ไป B .
ข ระยะจาก A ไป B แนวราบ
6. วิธีทำา พิจารณาการเคลื่อนที่ A→B แนวดิ่ง
จากรูป u = 6 , g = -10 , h = 1.75 , t = ?
1
จาก h = ut + 2
gt2 จะได้
1
1.75 = 6t + 2
(-10) t2
1.75 = 6t – 5t2
5t2 – 6t + 1.75 = 0
4 คูณตลอด
; 20t – 24 t+ 7
2
= 0
(10t –7) (2t – 1 ) = 0
t = 0.5 , 0.7 S
เวลา t = 0.5 s เป็นเวลาขาขึ้น จาก A ไป C
เวลา t = 0.7 s เป็นเวลาขาลง จาก A ไป B
จากรูป ต้องการหาเวลาขาลง จะได้ 0.7 นาที ตอบ
พิจารณาการเคลื่อนที่ A ไป B แนวราบ
จาก SX = uXt จะได้ X 8 × 0.7 = 5.6 เมตร ตอบ
3. จากรูป จงหา ก . เวลาจาก A ไป B ข. ระยะจาก A ไป B แนวราบ
วิธีทำา คิดการ
เคลือนที่
่ A→B แนวดิ่ง
จากรูป
u = 8 , g = -10 , h = -4 , t = ?
จาก h
1 2
= ut + 2
gt จะได้
7. 1
-4 = 8t - 2
× 10t2
1
5t2-8t - 2 × 10t2 = 0
(5t +2) (t – 2) = 0
t = 2 , -0.4 s
∴ เวลาจาก A ไป B นาน 2 นาที
ตอบ
คิดการเคลื่อนที่ A ไป B แนวราบ จาก SX = uXt
แทนค่า X = 6 × 2
= 12 เมตร ตอบ
4. จากรูป ยิงกระสุนปืนด้วยความเร็ว 100 m/s ทำามุม 370 ห่างจากกำาแพงตึก 80 เมตร
จงหาความสูงที่กระสุนกระทบตึก
วิธีทำา คิดการเคลื่อนที่ A ไป B แนวราบ
จาก SX = uXt จะได้ 80 = 80t
t = 1
คิดการเคลื่อนที่ A ไป B แนวดิ่ง
จากโจทย์ u = 60 , g = -10 , t = 1 , h = ?
1
จาก h = ut + 2
gt2 จะได้
1
h = 60 t - 2
× 10t2
แทนค่า h = 60 × 1 – 5 × 1
8. = 55 เมตร ตอบ
5. จากรูปเครืองบินบินที่ระดับความสูง
่ 1000 เมตร
ด้วย
อัตราเร็ว 50 เมตร / วินาที ได้ปลดลูกระเบิดลงมาจงหา
1. ระเบิดตกถึงพื้นใช้เวลานานเท่าใด
2. ระเบิดตกถึงพื้นห่างจากจุดเริ่มปลดระเบิดเป็น
ระยะแนวราบเท่าใด
3. ระเบิดตกถึงพื้นด้วยความเร็วเท่าใด
วิธีทำา ก . คิดการเคลือนที่
่ A→B แนวดิ่ง
จากรูป u = 0 , g =10 , h = 1000 , t = ?
1 2 1
จาก h = ut + 2
gt จะได้ 1000 = 0 + 2
× 10t2
t = 200 , t = 10 2 = 14.
14 s ตอบ
.
ข คิดการเคลือนที่
่ A→B แนวราบ
จาก SX = uXt จะได้ X = 50 × 14.14 =707
เมตร ตอบ
.
ค หาความเร็วที่จุด B ความเร็วแนวราบ VX = 50 m/s
หาความเร็วแนวดิ่งจาก V2
Y
2
= uY + 2gh จะได้
V2Y = 0 +2 × 10 ×
1000 = 2000
จากรูป Vb = vx + v y
2 2
=
502 + 20000 = 22500
= 150 m/s ตอบ
1.4 การหาระยะทางแนวราบที่ไกลทีสุดของการเคลื่อนที่วิธีโค้ง
่
กำาหนดให้ ปาวัตถุด้วยความเร็วต้น u จากพื้นดิน ทำามุม กับแนวระดับวัตถุตกถึงพื้นห่างจากจุดเริ่มต้น
เท่ากับ X ต้องการหามุม ที่ทำาให้ได้ระยะ X มากที่สุด
วิธีทำา คำานวณหาค่า X ตามขั้นตอนที่กล่าวไว้ในหัวข้อที่ 1.3
9. 1. สเกตรูปการเคลื่อนทีพร้อมทั้งกำาหนดจุดต้นและจุดท้ายคือ
่ A และ B
2. ทีจุด
่ A แยกความเร็ว 2 แนวคือ แนวราบ uX = ucos θ ,
แนวดิ่ง
uY = usin θ
3. เนื่องจากแนวราบไม่รู้เวลาจึงหา X ไม่ได้ ดังนั้นจึงพิจารณาการเคลื่อนที่แนวดิ่ง
พิจารณาการเคลื่อนที่ A→B แนวดิ่ง
จาก โจทย์ UY = usin θ , g = -g , h = 0 ,
t = ?
1 2 1
จาก h = ut + 2
gt จะได้ 0 = (usin θ ) t - 2
gt2
t =
2u sin θ
g -------- 1
พิจารณาการเคลื่อนที่ A→B แนวราบ
2u sin θ
จาก SX = UXt จะได้ X = (ucos θ ) ( g )
u 2 sin 2θ
X = g
------- 2
จากสมการ 2 X จะมีค่ามากทีสุดเมื่อ
่ sin2 θ มีค่ามากที่สุด = 1
sin2 θ = 1 = sin 900
2θ = 900 ; θ =
900
2
= 450
แสดงว่าการขว้างวัตถุให้ตกในระยะแนวราบไกลที่สด มุมของความเร็วต้นจะต้องเท่ากับ
ุ 450
สรุป การเคลือนที่ของวัตถุแบบวิธีโค้งจะได้ การขจัดแนวราบ ณ ระดับเดียวกัน
่
u 2 sin 2θ
X = g
ดังรูป
10. u 2 sin 2θ
จากรูป X = g
u = ความเร็วต้น g = ความเร่งของโลก = มุมทีความเร็วต้นทำากับแนวระดับ
่
เงื่อนไขการเคลือนที่ของวัตถุด้วยความเร็วต้นทำามุม
่ 45 0 กับแนวระดับ
แยกการพิจารณาเป็น 2 แบบ
1. ถ้าต้องการขว้างวัตถุให้ตกในระยะแนวราบไกลที่สด แสดงว่าความเร็วต้นของการขว้างจะต้องทำา
ุ
มุม 45 0
กับแนวราบ ดังรูป 14.6 (a)
2. ถ้าต้องการขว้างวัตถุให้วัตถุถึงที่หมาย โดยใช้ความเร็วต้นน้อยที่สดแสดงว่าความเร็วต้นจะต้องทำามุม
ุ
45 0
กับแนวระดับ ดังรูป 14.6 (b)
รูปที่ 14.6 (a)
รูปที่ 14.6 (b)
ระยะตกไกลสุดเมือ
่ u ทำามุม = 450 ระยะตกถึงที่หมายโดย u น้อย
ที่สดเมื่อ
ุ = 45 0
จากรูป 14.6 (a) Xmax เมือ u
่ ทำามุม 45
0
กับแนวระดับ
จากรูป 14.6 (b) u2 〉 u1 〉 u
ถ้า + β = 900 จะได้การขจัดแนวราบมีค่าเท่ากัน ดังรูป
ขว้างวัตถุด้วยความเร็วต้น u ทำามุม และ กับแนวระดับ โดยมุมทั้งสองรวมกันเท่ากับ 900
วัตถุไปถึงพื้นระดับห่างจากจุดเริ่มต้นเท่ากับ X
11. รูปที่ 14.7 การขจัดแนวราบเท่ากันเมื่อ + β = 900
u 2 sin 2θ
พิสูจน์ จากการขจัดแนวราบ X = g
u 2 sin 2θ
ถ้า = θ จะได้ X1 = g
------- 1
u 2 sin 2β
ถ้า = β จะได้ X2 = g
------ 2
แต่ + β = 900 ∴ β = 900 -
θ
u 2 sin 2〈90 0 − θ〉
แทนค่าใน 2 X2 = g
, X2 =
u 2 sin 〈180 0 − 2θ〉
g
u 2 sin 2θ
X2 = g
------- 3
จะได้ 1 = 3 นั้นคือการขจัดแนวราบ X1 = X2
แสดงว่าถ้า + β = 90 0
แล้วจะได้การขจัดแนวราบเท่า
กัน
ตัวอย่างที่ 1. ปืนกระบอกหนึ่งสามารถยิงกระสุนได้ไกลที่สด
ุ 250 เมตร จงหาว่าถ้าต้องการยิงทำามุม
37 0
จะยิงให้กระสุนไปได้ไกลกี่เมตร
u 2 sin 2θ
วิธีทำา จาก X g
จากโจทย์ XmaX = 250 m , θ = 450 , g
= 10 , u = ?
u 2 sin 〈 2 × 45 0 〉
แทนค่า 250 = 10
u2 = 2500 ; u = 50
m/s
ถ้า u = 50, θ = 370 , X = ?
12. 50 2 sin 〈 2 × 37 0 〉
แทนค่า ; X = 10
2500
X = 10
(2sin370
cos370)
3 4
X = 250 × 2 × 5 × 5
240 m
∴ ถ้ายิงกระสุนทำามุม 370 จะตกไกล = 240 เมตร ตอบ
ตัวอย่างที่ 2. ลูกบอลหนึ่งถูกตีด้วยความเร็วต้น 30 /
เมตร วินาที จงคำานวณหาว่าลูกบอลนี้จะตกไกลสุดเป็น
ระยะทางเท่าไร และคำานวณหาทิศทาง 2 ทิศทางที่ทำาให้ลูกบอลนี้สามารถตกไปได้ไกล 6 เมตร
u sin 2θ
2
วิธีทำา จาก ถ้า u = 30 m/s , θ = 450 , g = 10 ,
g
XmaX = ?
30 2 sin 〈 2 × 450 〉
แทนค่า ; XmaX = 10
900 × 1
XmaX = 10
=
90 m
∴ =
ลูกบอลตกใกล้สด
ุ 90 เมตร ตอบ
ถ้า X = 6m , u = 30 , g = 10 θ = ?
30 2 sin 2θ
แทนค่า ; 6 = 10
60 1
sin2θ = 900
= 15
2θ = 3.820 , 176.180
θ = 1.910 , 88.090
ตอบ
15. การหาระยะไกลสุดบนพื้นเอียงของการเคลือนที่แบบวิธีโค้ง
่
กำาหนดให้ วัตถุเคลือนที่บนพื้น เอียงซึ่งทำามุม
่ กับแนวระดับ ด้วยความเร็วต้น u และทำามุม α กับแนว
ระดับวัตถุตกถึงพื้นเอียงที่จดห่างจากจุดเริ่มต้น
ุ R จงหามุม α ที่ทำาให้วัตถุบนพื้นเอียงไกลที่สด
ุ
วิธีทำา คำานวณตามขั้นตอนในหัวข้อ 1.3
1. จากข้อมูลที่กำาหนดให้ การทำาสเกตรูปพร้อมทั้งกำาหนดจุดเริ่มต้นและจุดสุดคือ A และ
B
13. 2. ทีจุดเริ่มต้นแยกความเร็วเป็น 2 แนวคือ แนวราบ uX = ucos α และแนว
่
ดิ่ง uY = usin α
3. เนื่องจากแนวราบและแนวดิ่งมีข้อมูลไม่ครบจึงสร้างสมการการเคลื่อนที่ 2 แนวโดยมี t
เป็นตัวร่วม
A→B ราบ จาก SX = uXt จะได้ Rcosθ = 〈u cosα 〉 t
t =
R cos θ
u cos α
------ 1
A→B ดิ่ง จากรูป u = usin α , g = -g , h = Rsin θ , t =
R cos θ
u cos α
1 2 R cos θ 1 R cos θ 2
จาก h = ut + 2
gt จะได้ Rsinθ = 〈 u sin α〉〈
u cos α
〉 − g〈
2 u cos α
〉
sin α cos θ 1 R cos 2 θ
R หารตลอด จะได้ sin θ = cos α
− g 2
2 u cos 2 α
gR cos 2 θ sin α cosθ
2u 2 cos 2 α
= cosα
− sin θ
gR cos 2 θ sin α cos θ − cos α sin θ
2u 2 cos 2 α
= cos α
gR cos 2 θ sin 〈α − θ〉
2u 2 cos 2 α
= cos α
R =
2u cos α sin 〈α − θ〉
2
g cos 2 θ
------- 2
2u 2
จากสมการ 2 g cos 2 θ
มีค่าคงที่
ดังนั้น R จะมีค่ามากทีสุดคือ
่ cos α sin 〈α − θ 〉 มากที่สดด้วย
ุ
การหาค่ามากที่สดของ
ุ cos α sin 〈α − θ 〉
cos α sin 〈α − θ 〉 =
1
[ sin 〈α + α − θ〉 − sin 〈α − α + θ〉 ]
2
15. u 2 sin 〈 2 × 45 0 〉
แทนค่า 1000 = 10
10000 = u2 , u = 100
m/s
ถ้าขว้างวัตถุจากเชิงพื้นเอียง
เนื่องจาก
วัตถุไกลสุดบนพื้นเอียง
θ
∴ α = 450 +
2
30
α = 450 + = 600
2
แสดงว่า
ความเร็วต้นทำามุม 60 0
กับแนว
ระดับ
พิจารณาการเคลื่อนที่ A→B
A→B ราบ จาก SX = uX . t
3 3R
แทนค่า ⋅ R = 50t จะได้ t =
2 100
------ 1
R 3R
A→B ดิง
่ u = 50 3 , g = -10 , h = 2
, t =
100
1 R 3R 1 3R 2
จาก h = ut + 2
gt แทนค่า = 〈50 3 〉〈 〉 − 10〈 〉
2 100 2 100
R 3R 3R 2
2
=
2
− 5〈
10000
〉 ; -R =
− 3R 2
2000
R 2000
= = 666.67 m
2 3
∴ ระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง = 666.67 เมตร ตอบ
ถ้าวัตถุเคลื่อนที่จากพื้นเอียง
เนื่องจากวัตถุตก
ไกลสุด
θ
∴ α = 450 −
2
30
α = 450 − = 300
2
16. พิจารณา
การเคลื่อนที่ A→B
A →B
ราบ จาก SX = uXt
แทนค่า
3
R = 50 3.t
2
จะได้
R
t = 100
------- 1
R R
A→B ดิง
่ u = 50 , g = -10 , h = - 2 , t = 100
1 2 R R 1 R 2
จาก h = ut + 2
gt แทนค่า - 2
= 50〈 〉 − × 10〈
100 2 100
〉
R R R2
- 2 = 2 − 5〈10000 〉
− R2
- R = 2000
; R =
2000 m
∴ ระยะตกไกลสุดบนพื้นเอียง = 2000 m ตอบ
1.6 การเคลือนที่ของวัสตถุที่กำาหนดความสัมพันธ์การขจัดแนวราบและแนวดิ่งมาให้
่
เนื่องจากการเคลื่อนที่ของวัตถุในลักษณะนี้โจทย์กำานดความสัมพันธ์ของการขจัดแนวราบและแนวดิ่งมาให้สมการแนวราบ
และแนวดิ่งจึงมีตัวร่วมเพิ่มขึ้นจากเดิมอีก 1 ตัวคือ การขจัดและเวลา ดังนั้นการคำานวณในแนวดิ่งจึงใช้สมการ
่ h
u+v
= 2
t ค่าความเร็งของวัตถุจะไม่เกี่ยวข้องกับการคำานวณ
ตัวอย่างที่ 4 จงคำานวณหามุมในการยิ่งวัตถุใดๆ เพือให้ระยะที่ขึ้นไปได้สูงสุดเท่ากับระยะที่วัตถุตกในแนวราบ
่
วิธีทำา เขียนรูปแสดงการเคลื่อนที่
∴การเคลือนที่จาก A→B
่ และจาก A→C เราไม่รู้
การขจัดเพียง 1 ตัวเหมือนกันคือ X แต่การเคลื่อนที่
จาก A→C เรารู้ความสัมพันธ์ระหว่างการขจัดแนว
ราบและแนวดิ่ง จึงเลือกการเคลือนทีจาก
่ ่ A→C
มาพิจารณา
พิจารณาการ
เคลือนทีจาก
่ ่ A→C
17. A→C ราบ
จาก SX = UXt
แทนค่า
X
= u cos θ〉 t
2
x
t = 2u cosθ
------ 1
x
A→C ดิ่ง u = usinθ , V = 0 , h = X , t = 2u cos θ
u+v u sin θ + 0 x
จาก h = 2
⋅t จะได้ x = 2
〈
2u cos θ
〉
sin θ
1 = 4 cosθ
, 4 =
tan θ
θ = tan-1 4 = 760
ตอบ
1.7 การยิงกระสุนปืนให้ถูกเป้าหมาย ในการยิงกระสุนปืนให้ถูกเป้าหมายนั้นจะต้องทำาการเล็งวัตถุให้สูงกว่าตำาแหน่ง
เป้าหมายเป็นระยะเท่ากับระยะทีกระสุนในแนวดิ่งภายใต้แรงดึงดูดของโลก ในระยะเวลาเท่ากับเวลาที่กระสุนเคลื่อนทีจาก
่ ่
จุดเริ่มต้นจนถึงเป้าหมาย ดังรูป
จากรูป
ปาวัตถุทจุด
ี่ A ด้วยความเร็วต้น u
ต้องการ
ให้วัตถุถูกเป้าหมายที่จุด C ต้องทำาการ
เล็ง
เหนือเป้าหมาย C เป็นระยะ BC
หาระยะ
BC ถ้าวัตถุเคลือนทีจาก
่ ่ A ไป C
นาน t
s หาระยะ BC
ได้ดังนี้
1
จาก S = ut + gt 2
2
แทน
1
ค่า BC = 0 + gt 2
2
1 2
∴ S = 2
gt
18. S = ระยะความสูงเหนือเป้าหมาย t = เวลาที่วัตถุเคลือนที่
่
ตัวอย่างที่ 5 ชายคนหนึ่งต้องการยิงปืนให้ตรงเป้าที่จุด Y เข้าต้องเล็งปากกระบอกปืนไปยังจุด
X ซึ่งอยู่เหนือจุด Y เท่าใด กระสุนจึงจะกระทบเป้าหลังจากเคลือนที่ในอากาศ
่
นาน 1 วินาที
วิธีทำา สเกตรูปการเคลือนที่ของกระสุนดังรูปขวามือ
่
1 2
หาระยะ XY จากสมการ S = 2
gt
1
จากโจทย์ g = 10 , t = 1 จะได้ S = 2
× 10 × 12
S = 5
m
∴ ระยะ xy = 5 เมตร ตอบ
1.8 ตัวอย่างการเคลือนที่แบบวิธีโค้งของวัตถุ
่ 1 ก้อน การคำานวณให้ทำาตามขั้นตอนในหัวข้อ 1.3 ดัง
ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 6 ขว้างวัตถุขึ้นจากพื้นดินทำามุม 530 กับแนวระดับ วัตถุนั้นวิ่งไปชนผนังตึกตรงจุดสูงจากพื้นดิน
15 ม . ผนังตึกอยู่ห่างจากจุดขว้างเป็นระยะทางในแนวราบ 30 .
ม จงหา
. ก ความเร็วต้นของการขว้าง
ข. ขณะชนผนังตึกวัตถุวิ่งไปด้วยความเร็วเท่าใด
วิธีทำา สเกตรูปการเคลื่อนที่
19. พิจารณาการเคลื่อนที่จาก A→B
A→B ราบ จาก SX =
uX .t
∴ 30 = 〈u cos 530 〉
t
30 =
3
〈u × 〉
5
t
50
t = u
------- 1
4u
A→B ดิ่ง u = usin530 5
, g = -10 , h = 15
50
, t = u
1 2 4u 50 1 50 2
จาก h = ut + 2
gt จะได้ 15 = 〈 〉〈 〉 − × 10〈 〉
5 u 2 u
50 2
15 = 40 – 5 〈
u
〉
50 50 2
-25 = -5 〈 u 〉 ; 5 〈 〉
2
u
∴ ความเร็วต้นของวัตถุ = 10 5 = 10 × 2.236 = 22.36 m/s ตอบ
ความเร็วที่ชนผนังจะต้องประกอบด้วยความเร็วแนวราบและแนวดิ่ง
3
uX = ucos530 = 10 5×
5
=6 5 m/s
4
หา VY จาก V = u + gt จะได้ u = usin530 = 10 5×
5
= 8
5
g = -10 , t =
50 50
= = 5
u 10 5
แทนค่าจะได้ V = 8 5 − 10 5 = −2 5 เป็นลบแสดงว่าชนผนังขาลง
∴ V = =
2 2
ความเร็วขณะชน vX + vy 〈6 5 ) 2 + 〈 2 5 ) 2
= 180 + 20 = 200 = 14.14 m/s
∴ วัตถุชนผนังตึกด้วยความเร็ว = 14.14 m/s ในทิศลง ตอบ
20. ตัวอย่างที่7 ขว้างลูกบอลลูกหนึ่งไปแนวระดับจากจุด A ซึ่งสูงจากจุด B บนพื้นผิวเกลี้ยง 1 เมตรลูกบอล
ไปตกยังจุด C ซึ่งอยู่ห่างจาก B 0.6 เมตร แล้วสะท้อนจาก C ไปตกยังจุด D ซึ่งอยู่ห่างจากจุด C
0.9 เมตร ดังรูป
1. จงหาความเร็วต้นของลูกบอลที่ขว้าง
2. จงหาว่าเมื่อสะท้อนครั้งแรกลูกบอลจะขึ้นไปสูงสุดเท่าใด
วิธีทำา พิจารณาการเคลื่อนที่
จาก A→C
A →C
ดิ่ง u = 0 , g = 10 , h = 1 , t = ?
จาก h
1 2
= ut + 2
gt
จะได้ 1
1
= 0+ 2 × 10 t2
t2 =
1 1
5
จะได้ t = 5
A →C
ราบ จาก SX = uXt
แทนค่า
1
0.6 = u× 5
u=
0.6 5 = 1.3 m/s
∴
ความเร็วต้นของลูกบอล = 1.3 m/s ตอบ
หาระยะทีลูกบอลกระดอนขึ้นสูงสุด
่
เนื่องจากลูกบอลกระทบพื้นเกลี้ยง ดังนั้นจึงไม่มีแรงในแนวราบความเร็วแนวราบคงที่เนื่องจาดจุด C เรา
ทราบเฉพาะความเร็วแนวราบเท่านั้น ความเร็วแนวดิ่งไม่ทราบ แต่ที่ E เราทราบความเร็วทั้ง 2
แนวคือแนวราบและแนวดิ่ง ดังนั้นจึงเลือกการเคลือนที่จาก
่ E→D มาพิจารณา
E→D ราบ จาก SX = uXt แทนค่า 0.45 = 1.3 t
T
0.45
= 1.3
= 0.346 s
E→D ดิง
่ u = 0 , g = 10 , t = 0.346 , h = ?
1 2 1
จาก h = ut + 2
gt แทนค่า h = 0+ 2
× 10〈0.346〉 2