SlideShare a Scribd company logo
1 of 30
Download to read offline
Еще больше презентаций наЕще больше презентаций на
http://lusana.ru/http://lusana.ru/
Основы теории
вероятности
Основные понятия и
определения
В современном мире автоматизации производства
теория вероятности(Т.В) необходима специалистам
для решения задач, связанных с выявлением
возможного хода процессов, на которые влияют
случайные факторы(например, ОТК: сколько
бракованных изделий будет изготовлено). Возникла
Т.В. в 17 веке в переписке Б. Паскаля и П.Ферма, где
они производили анализ азартных игр. Советские и
русские ученые также принимали участие в развитии
этого раздела математики: П.Л. Чебышев, А.А. Марков,
А.М. Ляпунов, А.Н. Колмогоров.
Определение1: Под случайным событием
понимается всякое явление, о
котором имеет смысл говорить, что
оно происходит или не происходит.
Событиями являются результаты различных опытов, измерений, наблюдений.
Примеры:
1)Из ящика с разноцветными шарами наугад вынимают
черный шар.
2)При бросании игральной кости выпала цифра 7.
3)При телефонном вызове абонент оказался занят.
4)Вы вытащили черный шар.
Определение2: Достоверным назовем событие
которое обязательно произойдет при
выполнении определенного
количества условий(4 пример).
Определение3: Невозможным назовем событие
которое не происходит при
выполнении определенного
количества условий(2 пример).
Случайные события обозначаются большими латинскими буквами A, B, C,…
Определение4: Два события называются
несовместными, если появление
одного из них исключает появление
другого. В противном случае
события называются −
совместными.
Примеры:
1) При подбрасывании монеты появление цифры
исключает одновременное появление герба:
2) Есть билет лотереи «Русское лото»:
.
,
,
событияыенесовместн
решкиРпоявлениеВ
гербаГпоявлениеА




−
−
.
,
,
событияыенесовместн
ыйневыигрышнбилетВ
выиграшныйбилетА




−
−
Оказывается, что при многократном повторении опыта
частота события принимает значения, близкие к некоторому
постоянному числу. Например, при многократном бросании
игральной кости частота выпадения каждого из чисел очков
от 1 до 6 колеблется около числа
Многократно проводились опыты бросания однородной
монеты, в которых подсчитывали число появления «герба», и
каждый раз, когда число опытов достаточно велико, частота
события «выпадения герба» незначительно отличалась от
для наглядности рассмотрим таблицу результатов,
полученных в 18 веке французским естествоиспытателем
Жоржем Луи Леклерк Бюффоном(1707 – 1788) и в начале 20
века – английским статистиком Карлом Пирсоном(1857 –
1936).
6
1
2
1
Экспериментатор
Число
бросаний
Число
выпадений
герба
Частота
Ж. Бюффон 4040 2048 0,5080
К. Пирсон
12000 6014 0,5016
К. Пирсон
24000 12012 0,5006
Если возможные исходы (результаты) опыта являются событиями
несовместными, достоверными, то каждый из результатов испытания назовем
элементарным исходом. Те элементарные исходы, при которых
интересующее нас событие наступает назовем благоприятствующими этому
событию исходами.
Определение5 : (классическое определение вероятности)
Вероятностью события А называется
отношение числа m элементарных
исходов, благоприятствующих этому
событию, к общему числу элементарных
исходов испытания n.
Обозначение:
n
m
aPp == )(
Свойства
10
.
20
. Для достоверного события m=n и P(a)=1.
30
. Для невозможного события m=0 и P(a)=0.
.1)(0 ≤≤ aP
Задачи по теме:
«Вероятность. Понятие события и
вероятности события»
1. В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад
вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый
шар окажется черным?
Решение:
Количество всех возможных результатов n=3+9=12.
Опытов, в результате которых может быть вынут
черный шар m=3.
.1
4
1
12
3
)( <===
n
m
АP
Ответ: 0, 25
2. Брошена игральная кость. Какова вероятность событий:
А- выпало 1 очко; В- выпало 2 очка?
Решение:
Количество всех возможных результатов n=6 (все грани).
а) Количество граней, на которых всего 1 очко m=1:
,1
6
1
)( <=AP
б) количество граней, на которых всего 2 очка m=1:
.1
6
1
)( <=ВP
Ответ: и
6
1
6
1
3. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность событий: А-
выпадения в сумме не менее 9 очков; В- выпадения 1 очка по
крайней мере на одной кости?
Решение:
I II 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
Получили, что возможно n=36 результатов испытаний
Для события А получаем:
I II 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
m=10: ,1
18
5
36
10
)( <==AP
Для события В получаем:
I II 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
m=11: .1
36
11
)( <=ВP
Ответ: .
36
11
;
18
5
4. Монета брошена 2 раза. Какова вероятность события:
А- выпадет одновременно два герба?
Решение:
Сколько всего возможно результатов опыта?
Таким образом, всего возможно результатов n=4, нас
интересующий результат возможен только один раз m=1,
поэтому
.
4
1
)( ==
n
m
AP
ГГ, ГР, РГ, РР
Ответ: 0,25
5. Набирая номер телефона вы забыли последнюю цифру и
набрали её наугад. Какова вероятность того, что набрана
нужная вам цифра?
Решение:
n=10Сколько всего цифр?
Вы забыли только последнюю цифру, значит m=?
Тогда, .11,0
10
1
)( <===
n
m
АP
Ответ: 0,1
6. Из слова «математика» выбирается наугад одна буква.
Какова вероятность того, что это будет буква «м»?
Решение:
n – количество букв в слове, а m - количество нужной нам
буквы «м».
.12,0
10
2
)( <===
n
m
АP
Ответ: 0,2
7. В коробке имеется 3 кубика: чёрный, красный и белый.
Вытаскивая кубики наугад, мы ставим их последовательно
друг за другом. Какова вероятность того, что в результате
получится последовательность: красный, чёрный, белый?
Сколько всего возможно результатов опыта?
Пусть Ч – черный кубик, К – красный кубик, Б – белый
кубик, тогда
ЧКБ, ЧБК, БЧК, БКЧ, КЧБ, КБЧ.
Решение:
n=6
.1
6
1
)( <==
n
m
АP
Ответ:
6
1
Well be go lusana the best
8. В мешке 50 деталей, из них 5 окрашено. Наугад вынимают одну деталь.
Найти вероятность того, что данная деталь окрашена.
Решение:
Сколько всего возможно результатов опыта? Сколько можно вынуть
деталей и окрашенных, и неокрашенных?
n=50
Из них можно вынуть только 5 окрашенных деталей, поэтому
m=5
Таким образом, получаем:
.1
10
1
50
5
)( <===
n
m
AP
Ответ: 0,1
9. Из урны, в которой находится 4 белых, 9 чёрных и 7 красных шаров,
наугад вынимают один шар. Какова вероятность событий: А- появление
белого шара; В- появление чёрного шара; С- появление красного шара; D-
появление зелёного шара?
Решение:
Количество всех возможных результатов n=4+9+7=20.
Опытов, в результате которых может быть вынут белый шар m=4.
.1
5
1
20
4
)( <===
n
m
АP
Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=9.
.1
20
9
)( <==
n
m
ВP
Опытов, в результате которых может быть вынут красный шар m=7.
.1
20
7
)( <==
n
m
СP
Опытов, в результате которых может быть вынут зеленый шар m=0 и P(D)=0.
Ответ: .0,
20
7
,
20
9
,
5
1
10. Две грани симметричного кубика окрашены в синий
цвет, три – в зелёный, и одна – в красный. Кубик
подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что
верхняя грань кубика окажется зелёной?
Решение:
Сколько всего возможно результатов опыта?
У кубика всего 6 граней, поэтому возможно 6 результатов опыта:
n=6
Как найти m? Для этого нужно посчитать грани кубика,
интересующего нас цвета, т.е. m=3
Тогда вероятность того, что верхняя грань кубика окажется
зеленой будет равна:
.1
2
1
6
3
)( <===
n
m
АP
Ответ: 0,5
11. Цифры 1,2,3,…, 9, выписанные на отдельные карточки,
складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад
вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что
число, написанное на этой карточке: а) чётное; б) нечётное;
в) однозначное; г) двухзначное.
Решение:
Общее количество опытов – это количество карточек,
которые будут сделаны по условию задачи:n=9
а) Чётные числа от 1 до 9 – 2, 4, 6, 8 ⇒ m=4
Тогда, .1
9
4
)( <==
n
m
АP
б) Нечётные числа − 1, 3, 5, 7, 9,⇒ m=5 Тогда, .1
9
5
)( <==
n
m
ВP
в) Все числа от1 до 9 однозначные, т.к. состоят из одного знака⇒
m=9, тогда, .1
9
9
)( ===
n
m
СP
г) Соответственно, двухзначных чисел среди них нет и m=0
и
.10
9
0
)( <===
n
m
DP
Ответ: .0,1,
9
5
,
9
4
Дома:
1.Монета бросается 3 раза подряд. Найти вероятность
событий: А- число выпадений герба больше числа
выпадений решки; В- выпадает два герба; С- результаты
всех бросаний одинаковы.
2.Из урны, в которой находится 3 белых, 4 чёрных и 5
красных шаров, наудачу вынимается один шар. Какова
вероятность событий: А- появление белого шара; В –
появление чёрного шара; С- появление жёлтого шара; D-
появление красного шара.
Well be go lusana the best

More Related Content

What's hot

вентцель е. с., задачи и упражнения по теории вероятностей
 вентцель е. с., задачи и упражнения по теории вероятностей вентцель е. с., задачи и упражнения по теории вероятностей
вентцель е. с., задачи и упражнения по теории вероятностейГанна Дацко
 
Недорубова Т.И. - 9 класс. Теория вероятности
Недорубова Т.И. - 9 класс. Теория вероятностиНедорубова Т.И. - 9 класс. Теория вероятности
Недорубова Т.И. - 9 класс. Теория вероятностиАлексей Арешев
 
Теория вероятностей - Урок 2
Теория вероятностей - Урок 2Теория вероятностей - Урок 2
Теория вероятностей - Урок 2Алексей Арешев
 
Системы счисления
Системы счисленияСистемы счисления
Системы счисленияОтшельник
 
Prikladnye zadachi na_jekstremumy
Prikladnye zadachi na_jekstremumyPrikladnye zadachi na_jekstremumy
Prikladnye zadachi na_jekstremumyDimon4
 
задание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvetзадание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvetLeva Sever
 

What's hot (9)

CMF Exams
CMF ExamsCMF Exams
CMF Exams
 
вентцель е. с., задачи и упражнения по теории вероятностей
 вентцель е. с., задачи и упражнения по теории вероятностей вентцель е. с., задачи и упражнения по теории вероятностей
вентцель е. с., задачи и упражнения по теории вероятностей
 
Недорубова Т.И. - 9 класс. Теория вероятности
Недорубова Т.И. - 9 класс. Теория вероятностиНедорубова Т.И. - 9 класс. Теория вероятности
Недорубова Т.И. - 9 класс. Теория вероятности
 
Теория вероятностей - Урок 2
Теория вероятностей - Урок 2Теория вероятностей - Урок 2
Теория вероятностей - Урок 2
 
Решение теория вероятности
Решение теория вероятностиРешение теория вероятности
Решение теория вероятности
 
Системы счисления
Системы счисленияСистемы счисления
Системы счисления
 
Prikladnye zadachi na_jekstremumy
Prikladnye zadachi na_jekstremumyPrikladnye zadachi na_jekstremumy
Prikladnye zadachi na_jekstremumy
 
задание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvetзадание 8 (b9) vopvet
задание 8 (b9) vopvet
 
Problems2011
Problems2011Problems2011
Problems2011
 

Viewers also liked

south asian mobile conference 2011 -dumi
south asian mobile conference 2011 -dumisouth asian mobile conference 2011 -dumi
south asian mobile conference 2011 -dumidaniduy
 
Paid Search & Social Advertising with Travis Wright & QuanticMind
Paid Search & Social Advertising with Travis Wright & QuanticMindPaid Search & Social Advertising with Travis Wright & QuanticMind
Paid Search & Social Advertising with Travis Wright & QuanticMindQuanticMind
 
Clinical Trials & Big Data-Final
Clinical Trials & Big Data-FinalClinical Trials & Big Data-Final
Clinical Trials & Big Data-FinalManoj Vig
 
Как запустить свой интернет-бизнес: пошаговое руководство
Как запустить свой интернет-бизнес: пошаговое руководствоКак запустить свой интернет-бизнес: пошаговое руководство
Как запустить свой интернет-бизнес: пошаговое руководствоKirill Gurbanov
 
Enterprise Scale Topological Data Analysis Using Spark
Enterprise Scale Topological Data Analysis Using SparkEnterprise Scale Topological Data Analysis Using Spark
Enterprise Scale Topological Data Analysis Using SparkAlpine Data
 
MBLT16: Andrey Maslak, Aviasales
MBLT16: Andrey Maslak, AviasalesMBLT16: Andrey Maslak, Aviasales
MBLT16: Andrey Maslak, Aviasalese-Legion
 
MBLT16: Elena Rydkina, Pure
MBLT16: Elena Rydkina, PureMBLT16: Elena Rydkina, Pure
MBLT16: Elena Rydkina, Puree-Legion
 
Advanced Laboratory Analytics — A Disruptive Solution for Health Systems
Advanced Laboratory Analytics — A Disruptive Solution for Health SystemsAdvanced Laboratory Analytics — A Disruptive Solution for Health Systems
Advanced Laboratory Analytics — A Disruptive Solution for Health SystemsViewics
 

Viewers also liked (13)

опыты саженева
опыты саженеваопыты саженева
опыты саженева
 
Article 10 Ways Kill Manager
Article 10 Ways Kill ManagerArticle 10 Ways Kill Manager
Article 10 Ways Kill Manager
 
south asian mobile conference 2011 -dumi
south asian mobile conference 2011 -dumisouth asian mobile conference 2011 -dumi
south asian mobile conference 2011 -dumi
 
Internet
InternetInternet
Internet
 
Paid Search & Social Advertising with Travis Wright & QuanticMind
Paid Search & Social Advertising with Travis Wright & QuanticMindPaid Search & Social Advertising with Travis Wright & QuanticMind
Paid Search & Social Advertising with Travis Wright & QuanticMind
 
Clinical Trials & Big Data-Final
Clinical Trials & Big Data-FinalClinical Trials & Big Data-Final
Clinical Trials & Big Data-Final
 
Как запустить свой интернет-бизнес: пошаговое руководство
Как запустить свой интернет-бизнес: пошаговое руководствоКак запустить свой интернет-бизнес: пошаговое руководство
Как запустить свой интернет-бизнес: пошаговое руководство
 
Enterprise Scale Topological Data Analysis Using Spark
Enterprise Scale Topological Data Analysis Using SparkEnterprise Scale Topological Data Analysis Using Spark
Enterprise Scale Topological Data Analysis Using Spark
 
MBLT16: Andrey Maslak, Aviasales
MBLT16: Andrey Maslak, AviasalesMBLT16: Andrey Maslak, Aviasales
MBLT16: Andrey Maslak, Aviasales
 
Portable keyboards
Portable keyboardsPortable keyboards
Portable keyboards
 
Metodo eppo
Metodo eppoMetodo eppo
Metodo eppo
 
MBLT16: Elena Rydkina, Pure
MBLT16: Elena Rydkina, PureMBLT16: Elena Rydkina, Pure
MBLT16: Elena Rydkina, Pure
 
Advanced Laboratory Analytics — A Disruptive Solution for Health Systems
Advanced Laboratory Analytics — A Disruptive Solution for Health SystemsAdvanced Laboratory Analytics — A Disruptive Solution for Health Systems
Advanced Laboratory Analytics — A Disruptive Solution for Health Systems
 

Similar to Well be go lusana the best

случайные, достоверные, невозможные события
случайные, достоверные, невозможные событияслучайные, достоверные, невозможные события
случайные, достоверные, невозможные событияtankakop
 
UNN - Mr. Fedosin
UNN - Mr. FedosinUNN - Mr. Fedosin
UNN - Mr. Fedosinmetamath
 
теория вероятностей в егэ 2.
теория вероятностей в егэ  2.теория вероятностей в егэ  2.
теория вероятностей в егэ 2.Tatyana Karapalkina
 
Prostejshie veroyatnostnye zadachi
Prostejshie veroyatnostnye zadachiProstejshie veroyatnostnye zadachi
Prostejshie veroyatnostnye zadachidimonz9
 
Lecture 5 discrete_distribution
Lecture 5 discrete_distributionLecture 5 discrete_distribution
Lecture 5 discrete_distributionKurbatskiy Alexey
 
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_b10
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_b10Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_b10
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_b10Dimon4
 
Лекция 4. Комбинаторика
Лекция 4. КомбинаторикаЛекция 4. Комбинаторика
Лекция 4. КомбинаторикаVladimir Tcherniak
 
Теория вероятностей
Теория вероятностейТеория вероятностей
Теория вероятностейgalina5614
 
Теория вероятностей
Теория вероятностейТеория вероятностей
Теория вероятностейgalina5614
 
теория вероятностей
теория вероятностейтеория вероятностей
теория вероятностейtkachenko_anna
 
моделирование Гуманитарных процессов. Лекция 1
моделирование Гуманитарных процессов. Лекция 1моделирование Гуманитарных процессов. Лекция 1
моделирование Гуманитарных процессов. Лекция 1Andrei V, Zhuravlev
 
33512 konspekt-uroka-po-podgotovke-k-ege-zadachi-po-teorii-veroyatnosti
33512 konspekt-uroka-po-podgotovke-k-ege-zadachi-po-teorii-veroyatnosti33512 konspekt-uroka-po-podgotovke-k-ege-zadachi-po-teorii-veroyatnosti
33512 konspekt-uroka-po-podgotovke-k-ege-zadachi-po-teorii-veroyatnostissusera868ff
 
теория вероятностей в егэ и гиа.
теория вероятностей в егэ и гиа.теория вероятностей в егэ и гиа.
теория вероятностей в егэ и гиа.Tatyana Karapalkina
 
Проверка гипотез
Проверка гипотезПроверка гипотез
Проверка гипотезKurbatskiy Alexey
 
Algoritm resheniya zadach_na_proporcii
Algoritm resheniya zadach_na_proporciiAlgoritm resheniya zadach_na_proporcii
Algoritm resheniya zadach_na_proporciiИван Иванов
 
комбинаторика
комбинаторикакомбинаторика
комбинаторикаolyalyalya
 

Similar to Well be go lusana the best (20)

случайные, достоверные, невозможные события
случайные, достоверные, невозможные событияслучайные, достоверные, невозможные события
случайные, достоверные, невозможные события
 
UNN - Mr. Fedosin
UNN - Mr. FedosinUNN - Mr. Fedosin
UNN - Mr. Fedosin
 
теория вероятностей в егэ 2.
теория вероятностей в егэ  2.теория вероятностей в егэ  2.
теория вероятностей в егэ 2.
 
Prostejshie veroyatnostnye zadachi
Prostejshie veroyatnostnye zadachiProstejshie veroyatnostnye zadachi
Prostejshie veroyatnostnye zadachi
 
Lecture 5 discrete_distribution
Lecture 5 discrete_distributionLecture 5 discrete_distribution
Lecture 5 discrete_distribution
 
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_b10
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_b10Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_b10
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_b10
 
Лекция 4. Комбинаторика
Лекция 4. КомбинаторикаЛекция 4. Комбинаторика
Лекция 4. Комбинаторика
 
Теория вероятностей
Теория вероятностейТеория вероятностей
Теория вероятностей
 
Теория вероятностей
Теория вероятностейТеория вероятностей
Теория вероятностей
 
теория вероятностей
теория вероятностейтеория вероятностей
теория вероятностей
 
Book.30 desigualdades
Book.30 desigualdadesBook.30 desigualdades
Book.30 desigualdades
 
моделирование Гуманитарных процессов. Лекция 1
моделирование Гуманитарных процессов. Лекция 1моделирование Гуманитарных процессов. Лекция 1
моделирование Гуманитарных процессов. Лекция 1
 
11
1111
11
 
33512 konspekt-uroka-po-podgotovke-k-ege-zadachi-po-teorii-veroyatnosti
33512 konspekt-uroka-po-podgotovke-k-ege-zadachi-po-teorii-veroyatnosti33512 konspekt-uroka-po-podgotovke-k-ege-zadachi-po-teorii-veroyatnosti
33512 konspekt-uroka-po-podgotovke-k-ege-zadachi-po-teorii-veroyatnosti
 
теория вероятностей в егэ и гиа.
теория вероятностей в егэ и гиа.теория вероятностей в егэ и гиа.
теория вероятностей в егэ и гиа.
 
Проверка гипотез
Проверка гипотезПроверка гипотез
Проверка гипотез
 
Algoritm resheniya zadach_na_proporcii
Algoritm resheniya zadach_na_proporciiAlgoritm resheniya zadach_na_proporcii
Algoritm resheniya zadach_na_proporcii
 
комбинаторика
комбинаторикакомбинаторика
комбинаторика
 
Lecture 4 bernoulli_poisson
Lecture 4 bernoulli_poissonLecture 4 bernoulli_poisson
Lecture 4 bernoulli_poisson
 
Lecture 8 clt
Lecture 8 cltLecture 8 clt
Lecture 8 clt
 

Well be go lusana the best

  • 1. Еще больше презентаций наЕще больше презентаций на http://lusana.ru/http://lusana.ru/
  • 3. В современном мире автоматизации производства теория вероятности(Т.В) необходима специалистам для решения задач, связанных с выявлением возможного хода процессов, на которые влияют случайные факторы(например, ОТК: сколько бракованных изделий будет изготовлено). Возникла Т.В. в 17 веке в переписке Б. Паскаля и П.Ферма, где они производили анализ азартных игр. Советские и русские ученые также принимали участие в развитии этого раздела математики: П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, А.Н. Колмогоров.
  • 4. Определение1: Под случайным событием понимается всякое явление, о котором имеет смысл говорить, что оно происходит или не происходит. Событиями являются результаты различных опытов, измерений, наблюдений.
  • 5. Примеры: 1)Из ящика с разноцветными шарами наугад вынимают черный шар. 2)При бросании игральной кости выпала цифра 7. 3)При телефонном вызове абонент оказался занят. 4)Вы вытащили черный шар.
  • 6. Определение2: Достоверным назовем событие которое обязательно произойдет при выполнении определенного количества условий(4 пример). Определение3: Невозможным назовем событие которое не происходит при выполнении определенного количества условий(2 пример). Случайные события обозначаются большими латинскими буквами A, B, C,…
  • 7. Определение4: Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются − совместными.
  • 8. Примеры: 1) При подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба: 2) Есть билет лотереи «Русское лото»: . , , событияыенесовместн решкиРпоявлениеВ гербаГпоявлениеА     − − . , , событияыенесовместн ыйневыигрышнбилетВ выиграшныйбилетА     − −
  • 9. Оказывается, что при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Например, при многократном бросании игральной кости частота выпадения каждого из чисел очков от 1 до 6 колеблется около числа Многократно проводились опыты бросания однородной монеты, в которых подсчитывали число появления «герба», и каждый раз, когда число опытов достаточно велико, частота события «выпадения герба» незначительно отличалась от для наглядности рассмотрим таблицу результатов, полученных в 18 веке французским естествоиспытателем Жоржем Луи Леклерк Бюффоном(1707 – 1788) и в начале 20 века – английским статистиком Карлом Пирсоном(1857 – 1936). 6 1 2 1
  • 11. Если возможные исходы (результаты) опыта являются событиями несовместными, достоверными, то каждый из результатов испытания назовем элементарным исходом. Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие наступает назовем благоприятствующими этому событию исходами. Определение5 : (классическое определение вероятности) Вероятностью события А называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n. Обозначение: n m aPp == )(
  • 12. Свойства 10 . 20 . Для достоверного события m=n и P(a)=1. 30 . Для невозможного события m=0 и P(a)=0. .1)(0 ≤≤ aP
  • 13. Задачи по теме: «Вероятность. Понятие события и вероятности события»
  • 14. 1. В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным? Решение: Количество всех возможных результатов n=3+9=12. Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=3. .1 4 1 12 3 )( <=== n m АP Ответ: 0, 25
  • 15. 2. Брошена игральная кость. Какова вероятность событий: А- выпало 1 очко; В- выпало 2 очка? Решение: Количество всех возможных результатов n=6 (все грани). а) Количество граней, на которых всего 1 очко m=1: ,1 6 1 )( <=AP б) количество граней, на которых всего 2 очка m=1: .1 6 1 )( <=ВP Ответ: и 6 1 6 1
  • 16. 3. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность событий: А- выпадения в сумме не менее 9 очков; В- выпадения 1 очка по крайней мере на одной кости? Решение: I II 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Получили, что возможно n=36 результатов испытаний
  • 17. Для события А получаем: I II 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 m=10: ,1 18 5 36 10 )( <==AP
  • 18. Для события В получаем: I II 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 m=11: .1 36 11 )( <=ВP Ответ: . 36 11 ; 18 5
  • 19. 4. Монета брошена 2 раза. Какова вероятность события: А- выпадет одновременно два герба? Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? Таким образом, всего возможно результатов n=4, нас интересующий результат возможен только один раз m=1, поэтому . 4 1 )( == n m AP ГГ, ГР, РГ, РР Ответ: 0,25
  • 20. 5. Набирая номер телефона вы забыли последнюю цифру и набрали её наугад. Какова вероятность того, что набрана нужная вам цифра? Решение: n=10Сколько всего цифр? Вы забыли только последнюю цифру, значит m=? Тогда, .11,0 10 1 )( <=== n m АP Ответ: 0,1
  • 21. 6. Из слова «математика» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква «м»? Решение: n – количество букв в слове, а m - количество нужной нам буквы «м». .12,0 10 2 )( <=== n m АP Ответ: 0,2
  • 22. 7. В коробке имеется 3 кубика: чёрный, красный и белый. Вытаскивая кубики наугад, мы ставим их последовательно друг за другом. Какова вероятность того, что в результате получится последовательность: красный, чёрный, белый? Сколько всего возможно результатов опыта? Пусть Ч – черный кубик, К – красный кубик, Б – белый кубик, тогда ЧКБ, ЧБК, БЧК, БКЧ, КЧБ, КБЧ. Решение: n=6 .1 6 1 )( <== n m АP Ответ: 6 1
  • 24. 8. В мешке 50 деталей, из них 5 окрашено. Наугад вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что данная деталь окрашена. Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? Сколько можно вынуть деталей и окрашенных, и неокрашенных? n=50 Из них можно вынуть только 5 окрашенных деталей, поэтому m=5 Таким образом, получаем: .1 10 1 50 5 )( <=== n m AP Ответ: 0,1
  • 25. 9. Из урны, в которой находится 4 белых, 9 чёрных и 7 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность событий: А- появление белого шара; В- появление чёрного шара; С- появление красного шара; D- появление зелёного шара? Решение: Количество всех возможных результатов n=4+9+7=20. Опытов, в результате которых может быть вынут белый шар m=4. .1 5 1 20 4 )( <=== n m АP Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=9. .1 20 9 )( <== n m ВP Опытов, в результате которых может быть вынут красный шар m=7. .1 20 7 )( <== n m СP Опытов, в результате которых может быть вынут зеленый шар m=0 и P(D)=0. Ответ: .0, 20 7 , 20 9 , 5 1
  • 26. 10. Две грани симметричного кубика окрашены в синий цвет, три – в зелёный, и одна – в красный. Кубик подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что верхняя грань кубика окажется зелёной? Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? У кубика всего 6 граней, поэтому возможно 6 результатов опыта: n=6 Как найти m? Для этого нужно посчитать грани кубика, интересующего нас цвета, т.е. m=3 Тогда вероятность того, что верхняя грань кубика окажется зеленой будет равна: .1 2 1 6 3 )( <=== n m АP Ответ: 0,5
  • 27. 11. Цифры 1,2,3,…, 9, выписанные на отдельные карточки, складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) чётное; б) нечётное; в) однозначное; г) двухзначное.
  • 28. Решение: Общее количество опытов – это количество карточек, которые будут сделаны по условию задачи:n=9 а) Чётные числа от 1 до 9 – 2, 4, 6, 8 ⇒ m=4 Тогда, .1 9 4 )( <== n m АP б) Нечётные числа − 1, 3, 5, 7, 9,⇒ m=5 Тогда, .1 9 5 )( <== n m ВP в) Все числа от1 до 9 однозначные, т.к. состоят из одного знака⇒ m=9, тогда, .1 9 9 )( === n m СP г) Соответственно, двухзначных чисел среди них нет и m=0 и .10 9 0 )( <=== n m DP Ответ: .0,1, 9 5 , 9 4
  • 29. Дома: 1.Монета бросается 3 раза подряд. Найти вероятность событий: А- число выпадений герба больше числа выпадений решки; В- выпадает два герба; С- результаты всех бросаний одинаковы. 2.Из урны, в которой находится 3 белых, 4 чёрных и 5 красных шаров, наудачу вынимается один шар. Какова вероятность событий: А- появление белого шара; В – появление чёрного шара; С- появление жёлтого шара; D- появление красного шара.