4. 定義與單位 (II)
• 下表列舉 SI 制配合實際應用,常用的 10 次方及其簡寫符
號。
量級 字首 符號
109 十億 (Giga) G
106 百萬 (Mega) M
103 仟 (Kilo) k
10–3 毫 (Milli) m
10–6 微 (Micro) µ
10–9 奈 (Nano) n
10–12 微微 (Pico) p
Department of Electronic Engineering, NTUT4/26
5. 電荷與電流 (I)
• 電流為單位時間 (sec) 內,通過某一截面積的電荷量(C)
即 ,其單位為安培 (A)。
• 由上可得在時間 t0 和 t1 之間,進入某一元件的全部電荷為
dq
i
dt
=
( ) ( )
1
0
1 0
t
T
t
q q t q t idt= − = ∫
元件的電流流向
A B
i 注意:所考慮的電路元件都是電中性
的,即沒有正或負電荷能在元件內累
積,亦即有一正 (負) 電荷流進,要有
一正 (負) 電荷流出。
Department of Electronic Engineering, NTUT5/26
6. 範例 (I)
• 例1: 進入元件的全部電荷是 q = 5t2 – 8t mC,試求 t = 0 s
和 t = 2 s 時之電流 i 值。
• 例2: 進入一端點電流 i = 20t – 5 mA,試求 t = 1 s 和 t = 4 s
之間,進入端點的全部電荷。
Department of Electronic Engineering, NTUT6/26
7. 電壓、能量和功率 (I)
• 電壓為移動1單位(1庫侖)電荷,從元件之一端點移至另一
端點所作的功,其單位為伏特(Voltage,簡寫V)。
• 若在某元件上移動1單位電荷須作功1焦耳,代表此元件上
有1 V之電壓,即1 V = 1 J/C。電壓又稱電位差或電壓降。
• 為瞭解能量是電路供給元件或由元件供給電路,必須知道
元件上電壓的極性和流過元件的電流方向;若正電流進入
電壓正端點,那外力必須去推動電流,即供給或釋放能量
給元件,因而元件吸收能量;若正電流從正端點流出 (進
入負端點),則元件釋放能量給外接電路。
電壓極性表示法
A B
v+ -
Department of Electronic Engineering, NTUT7/26
8. 電壓、能量和功率 (II)
• 考慮釋放能量到電路元件的速率時,若元件上電壓是v,
一很小電荷∆q從正端點流過元件移向負端點,則元件吸收
能量為∆w,即
• 若流過元件所需時間是∆t,則功的變化率或能量w的變化
率(或消耗率)為
• 能量變化率即為功率p的定義,所以
w v q∆ = ⋅ ∆
0 0
lim lim
t t
w q
v
t t∆ → ∆ →
∆ ∆
=
∆ ∆
dw dq
v v i
dt dt
= = ⋅
dw
p v i
dt
= = ⋅ vi 單位為 (J/C), (C/S)或(J/S),
一般定義 1 J/S為1瓦特 (Watt,
簡寫W)。
Department of Electronic Engineering, NTUT8/26
9. 電壓、能量和功率 (III)
• 右圖的元件所吸收的功率為 p = vi,
• 欲計算在時間 t0 和 t1 之間,釋放到元件的能量,可積分
• 假設時間開始於t = – ∞,且元件的能量為零,即
• 若在上式中t0 = – ∞,則從時間開始到 t1 釋放的能量為
有電壓 v 、電流 i 之元件
A B
v+ -
i
dw
p v i
dt
= = ⋅ ( ) ( ) ( )
1
0
1 0
t
t
w t w t v i dt− = ⋅∫
( ) 0w −∞ =
( ) ( )
t
w t v i dt
−∞
= ⋅∫ ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1
0
1
t t t
t
w t v i dt v i dt v i dt
−∞ −∞
= ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
1
0
1 0
t
t
w t w t v i dt= + ⋅∫
由於電流為流入電壓之正極性,故
元件吸收 vi 之功率,若是電流方向
相反或是電壓極性相反,則元件為
對外釋放 vi 功率。
Department of Electronic Engineering, NTUT9/26
10. 範例 (I)
• 例3: 電路如下圖所示,進入元件 A 端點的電流 i = 4 A,
求 (a)元件吸收功率 (b)在時間 t = 0 s 和 t = 4 s 間釋
放到元件的能量。
V6
+
−
A
B
(a) 吸收功率 p = vi (正電流進入正端點 ),
(b) t = 0 ~ 4 s期間釋放到元件上的能量
故吸收功率
Department of Electronic Engineering, NTUT10/26
11. 範例 (II)
• 例4: 一個兩端點元件吸收能量如下圖,若電壓 v(t) = cos100πt
(V),求t = 1 ms 和t = 4 ms 進入正端點的電流。
At t = 1 ms:
13
10
0 2 8
w (mJ)
t (ms)
At t = 4 ms:
Department of Electronic Engineering, NTUT11/26
21. 被動元件 (I)
• 一個元件其消耗或儲存的能量若是符合下面定義,則稱其
為被動元件,否則為主動元件。
• 電阻器:其消耗的能量為
故電阻器為被動元件。
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
t t
w t p t dt p t dt p t dt
−∞ −∞
= = +∫ ∫ ∫ ( )0
0
t
p t dt= + ∫
( ) ( ) ( ) ( )0 0
0
t t
w t p t dt i t v t dt= = ≥∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )2
2
0 0 0 0
0 0
t t t t t v t
w t p t dt p t dt v t i t dt i t Rdt dt
R−∞
= = + = = ⋅ = ≥∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Department of Electronic Engineering, NTUT21/26
22. 被動元件(II)
• 電容器:其儲存的能量為
故電容器為被動元件。
• 電感器:其儲存的能量為
故電感器亦為被動元件。
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2
00 0
1
2
t t t t
C
dv t
w t v t i t dt v t C dt C v t dv t Cv t
dt−∞
= = = =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1
0 0
2 2
Cw t C v t v Cv t = − = ≥
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2
00 0
1
2
t t t t
L
di t
w t v t i t dt i t L dt L i t di t Li t
dt−∞
= = = =
∫ ∫ ∫
( ) ( )21
0
2
Lw t Li t= ≥
Department of Electronic Engineering, NTUT22/26
23. 歐姆定律 (Ohm’s Law)
• 若一個電壓 v(t) 加在一個電阻器 R 兩端,並有電流 i(t) 流
過R,若電壓之極性與電流之方向如下圖所示,
則 ,此即歐姆定律,由此式亦可得
或
+ −
v t( )
i t( ) R
( ) ( )v t i t R= ⋅
( )
( )v t
i t
R
=
( )
( )
v t
R
i t
=
Department of Electronic Engineering, NTUT23/26
24. 克希荷夫電流定律 (KCL)
• 進入任何節點的電流代數和為零。其數學通式為
其中in是進入節點的第n項電流,N是進入節點的電流數目。
• 離開任何節點的電流代數和為零。其數學通式為
其中in是進入節點的第 n項電流,N是進入節點的電流數目。
• 進入任何節點的電流和
= 離開這結點的電流和。
• 進入或離開任何封閉曲面
(超節點)的電流代數和為零:
1
0
N
n
n
i
=
=∑
1
0
N
n
n
i
=
=∑
1 2 3 4 0i i i i+ + + =
i2
a
b
c
d
i1
i4
i6
i5
i8
i7
i3
Department of Electronic Engineering, NTUT24/26
25. 克希荷夫電壓定律 (KVL)
• 克希荷夫電壓定律(KVL):環繞任何環路的電壓代數和 = 零
• 環繞任何環路上電壓升之和 = 電壓降之和。
1. a → b 路徑中,首先遇到 + 號,故 v1 取正號。(此路徑為電壓降)
2. a → c 路徑中,首先遇到 + 號,故 v2 取正號。(此路徑為電壓降)
3. c → d 路徑中,首先遇到 + 號,故 v3 取正號。(此路徑為電壓降)
4. d → c 路徑中,首先遇到 - 號,故 v4 取負號。(此路徑為電壓升)
因此依 KVL 可得 v1+ v2 + v3 - v4 = 0
v4 為電壓升(自電源之負端至正端為電壓升)
v3 為電壓降(自元件之正端至負端為電壓降)
v2 為電壓降(自電源之正端至負端為電壓降)
v1 為電壓降(自元件之正端至負端為電壓降)
因此依 KVL 可得 v4 = v1+ v2 + v3
+
−
+ −
+−
+
−
v1
a b
d c
v2
v3
v4
Department of Electronic Engineering, NTUT25/26