Desarrollo del Pensamiento Tomo III Parte 1

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
NIVELACIÓN GENERAL
Desarrollo del Pensamiento
T o m o 3
Parte 1: Solución de Problemas
Parte 2: Creatividad
Alfredo Sánchez Amestoy, Ph.D
• GOBIERNO NACIONAL DE
LA REPÚBLICA DEL ECUADOR SINIINH
Sistema Nacional de
Nivelación y Admisión

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
NIVELACIÓN GENERAL
Desarrollo del Pensamiento
Tomo 3
Parte 1: Solución de Problemas
Parte 2: Creatividad
Alfredo Sánchez Amestoy, Ph.D.
•
GOBIERNO NACIONAL DE
LA REPÚBLICA DEL ECUADOR
senescyt S N N H

C O N T E N I D O S TOMO III
CONTENIDO 3
PÁGINA INICIAL PARTE 1 5
INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSO 6
I INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 8
Justificación y Objetivos de la Unidad 8
1 Características de un problema 9
2 Procedimiento para la solución de un problema 17
II PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE 25
3 Problemas de relaciones de parte-todo y familiares 26
4 Problemas sobre relaciones de orden 36
III PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLE 46
5 Problemas de tablas numéricas 47
6 Problemas de tablas lógicas 57
7 Problemas de tablas conceptuales o semánticas 68
IV PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS 79
Justificación de la Unidad 79
Objetivos de la Unidad 80
8 Problemas de simulación concreta y abstracta 81
9 Problemas con diagramas de flujo y de intercambio 87
10 Problemas dinámicos. Estrategia medios-fines 96
V SOLUCIONES POR BÚSQUEDA EXHAUSTIVA 106
11 Problemas de tanteo sistemático por acotación del error 107
12 Problemas de construcción sistemática de soluciones 113
13 Problemas de búsqueda exhaustiva. Ejercicios de consolidación 124
PÁGINA INICIAL PARTE 2 137
INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSO 138
I PRINCIPIOS DE LA CREATIVIDAD 140
Justificación 140
3

1 introducción a la creatividad 142
2 Estrategias para estimular la creatividad 149
II PENSAMIENTO DIVERGENTE Y CREATIVIDAD 160
Justificación 160
3 Procesos de expansión que estimulan la creatividad 162
4 Procesos de contracción que estimulan la creatividad 175
III EXTENSIÓN DEL CAMPO 187
Justificación 187
5 La extensión de la lógica para estimular la creatividad 189
6 Las transformaciones para estimular la creatividad 198
IV ACTIVACIÓN DE PROCESOS CREATIVOS 203
Justificación 203
7 Ideas activadoras del pensamiento 205
8 Ideas intermedias: trampolín 209
9 Asociación de ideas: palabras activadoras y cadenas de palabras 213
10 Cuestionamiento: análisis de errores y opciones para corregirlos 219
11 Cuestionamiento: reto de ideas y conceptos 223
V DESARROLLO DE LA INVENTIVA 227
Justificación 227
12 Introducción a la inventiva: Análisis de inventos 229
13 Introducción a la inventiva: Evaluación de inventos 241
14 Cómo mejorar inventos concretos 248
15 Invento de un objeto concreto 254
16 Mejora e invención de constructos abstractos 256
BIBLIOGRAFÍA 265
4

D E S A R R O L L O D E L P E N S A M I E N T O
T O M O I I I P A R T E 1
S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S
A l f r e d o S á n c h e z A m e s t o y , P h . D .
Profesor Titular
Universidad Simón Bolívar
Director del Centro para Desarrollo e
Investigación del Pensamiento
Caracas, Venezuela
Dirección electrónica:
alfredosancheza@hotmail.com
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TOMO III, PARTE 1
Solución de Problemas
© Queda prohibida la reproducción total o parcial de
esta obra por cualquier medio.
5

I N F O R M A C I Ó N G E N E R A L A C E R C A DEL C U R S O
ORGANIZACIÓN DE LAS LECCIONES
El curso comprende trece lecciones agrupadas en cinco unidades sobre la temática de la
solución de problemas:
• La primera unidad es una introducción a la solución de problemas.
• Las cuatro unidades siguientes están dedicadas a estrategias específicas para la
solución de problemas basadas en aplicación de un procedimiento general para
la solución de cualquier problema.
Las unidades están divididas en lecciones. Cada lección consta de:
Introducción - ¿Qué conocemos acerca del tema?
- ¿Qué vamos a aprender?
Cuerpo - Construyamos el conocimiento
- Organizamos el conocimiento proceso o concepto
- Le damos sentido al conocimiento
- Aplicamos el conocimiento
-Extendemos, transferimos y generalizamos el conocimiento, y
reflexionamos sobre su aprendizaje y aplicación
Cierre - Concientizamos: Reflexionamos sobre lo aprendido, su utilidad
y los valores y actitudes asociados al aprendizaje y a la vida
ENFOQUE Y ESTRATEGIA
¿Cuál es el enfoque?
El enfoque obedece a nuestro lema: aprender haciendo y construyendo; aprender a aprender,
con una visión sistémica, humana e integral de la persona, el aprendizaje y la vida.
La base operativa de esta concepción del aprendizaje se sustenta en la metodología de
procesos, el desarrollo de las habilidades de pensamiento, la transferencia de procesos al
aprendizaje, el constructivismo y el aprendizaje significativo.
¿Cuál es la estrategia?
En cuanto 'a logros: monitorear el aprendizaje y estimular el desarrollo autónomo, para la
conceptualización, el logro de imágenes mentales claras y diferenciadas; alcanzar el hábito de
aplicar y extender cada proceso; es decir, se trabaja para alcanzar las competencias necesarias
para utilizar los procesos espontáneamente, con acierto y efectividad.
El aprendizaje se logrará:
• Mediante la mediación y el monitoreo del docente para lograr el desarrollo
progresivo de la autonomía del alumno para aprender continuamente hasta
lograr su independencia intelectual para pensar, optimizar, crear y actuar.
• Mediante la aplicación de los avances de la ciencia cognitiva, el constructivismo,
el enfoque sistemático, la mejora continua, el aprendizaje significativo y el
desarrollo integral y humano.
6

• A través de la estimulación adecuada, el aprendizaje gradual, y la verificación y
retroalimentación permanentes.
ACTITUDES Y VALORES REQUERIDOS PARA APRENDER Y APRENDER A APRENDER
• Reconocer las fortalezas y debilidades que se tienen y aprovecharlas para
generar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y compartir con otros.
• Aceptar sugerencias y orientaciones de docentes y compañeros con interés y
humildad.
• Actuar como gestores críticos y responsables del aprendizaje y del crecimiento
personal.
• Valorar el interés de docentes, familiares y amigos, en beneficio del crecimiento
personal y social.
• Mostrar disposición para reflexionar sobre los logros alcanzados y los beneficios
de aprender y aprender a aprender.
OBJETIVOS GENERALES
A través del Desarrollo del Pensamiento el estudiante logrará las competencias requeridas para
aprender y aprender a aprender, y para actuar como pensador analítico, crítico, constructivo y
abierto al cambio, capaz de monitorear tu propio desarrollo y de entender y mejorar el entorno
personal, familiar, social y ecológico que le rodea. En tal sentido se precisa:
1) Desarrollar los conocimientos, las habilidades, las actitudes y los valores
asociados a los estilos de pensamiento convergente y divergente y al
razonamiento lógico, critico y creativo, requeridos para desempeñarte con éxito y
satisfacción en tus ámbitos de competencia académica, familiar, social y
ambiental.
2) Despertar en los docentes y estudiantes el interés y la disposición para
monitorear el crecimiento propio y de otros, con una perspectiva sistémica,
futurista, integral, dinámica, crítica, constructiva, humana y perfectible.
3) Valorar el papel que juega el pensamiento como herramienta indispensable para
facilitar el desarrollo intelectual, social, moral y ético de las personas y para
proyectar su ámbito de influencia hacia sí mismo, la sociedad y el medio.
ESTÁNDARES DE DESEMPEÑO DE LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Se utilizará una escala de 5 niveles para verificar el avance de los estudiantes en el desarrollo
de las competencias del curso, la cual se describe a continuación:
Nivel Desempeño
1. Tiene noción del concepto, procedimiento o actitud que va a desarrollar.
2. Realiza o demuestra el desempeño esperado con la mediación del docente.
3. Realiza o demuestra el desempeño esperado por su propia iniciativa.
4. Realiza o demuestra el desempeño esperado por su cuenta y es capaz de corregir
tus propios errores.
5. Realiza todo lo anterior y además es capaz de guiar a otros, de tomar una decisión
para introducir modificaciones en su trabajo y de crear nuevos escenarios o
productos. Reconoce el valor y la utilidad de sus aprendizajes.
7

J U S T I F I C A C I Ó N
A través de investigaciones se ha podido comprobar que es poca la información que tienen los
alumnos acerca de lo que es un problema y de las estrategias más efectivas para resolverlos.
Por tal razón dedicaremos esta primera unidad a identificar en base a sus características los
enunciados que corresponden a un problema. Este proceso contribuye a lograr una clara
imagen o representación mental del problema, básica para alcanzar la solución del problema
luego de aplicar un procedimiento o estrategia.
La representación mental del enunciado se consolida mediante la descripción de ciertos
elementos del problema tales como estados, operaciones, restricciones, preguntas, etcétera.
Con la información obtenida generalmente se formulan relaciones y se aplican estrategias de
representación (como diagramas, tablas, gráficas, etc.) que facilitan la comprensión de los
procesos involucrados en la solución del problema, los estados intermedios que conducen al
estado final y las operaciones requeridas para alcanzar cada estado y lograr la solución
buscada.
En la etapa de representación generalmente se visualizan y establecen nexos relevantes entre
los datos del problema y los conocimientos de la materia requeridos para llegar a la solución
deseada. A través de este análisis es posible identificar las fórmulas, las relaciones y las
estrategias requeridas para lograr las respuestas pedidas.
Con frecuencia la solución de problemas ha estado rodeada de mitos y creencias que
obstaculizan el aprendizaje; se atribuyen a los problemas dificultades no justificadas que más
bien surgen de la falta de información acerca de lo que es un problema y de la variedad de
estrategias que pueden utilizarse para resolverlos. Casi siempre esto es el resultado del
desconocimiento que tienen los alumnos acerca de la naturaleza de los problemas y de la
utilidad del uso de estrategias y la poca ejercitación deliberada dirigida a reconocer los tipos de
problemas y a desarrollar las habilidades requeridas para aplicar las estrategias apropiadas. De
aquí la importancia de este curso sobre solución de problemas.
OBJETIVOS
En esta unidad se presenta una definición de problema, se identifican los tipos de datos
presentes en^el enunciado de un problema y se introduce el concepto de estrategia en solución
de problemas.
A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:
1. Analizar el enunciado de un problema e identificar sus características esenciales y los
datos que se dan.
2. Elaborar estrategias para lograr la representación mental del problema y llegar a la
solución que se pide.
3. Aplicar las estrategias previamente diseñadas y verificar la consistencia de los
resultados obtenidos.
8

LECCIÓN 1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS
Con frecuencia escuchamos enunciados como los que siguen:
1. ¡Qué calamidad!, Jaimito aplazó la asignatura.
2. No sé cuánto dinero necesito para hacer la compra en el mercado del norte.
3. Un auto se desplaza a 50 Km por hora. ¿Cuánto demorará dicho auto en llegar a Telurio
que se encuentra a 75 Km de distancia si no tiene ningún tropiezo?
¿En qué se asemejan los tres enunciados?
¿Estás de acuerdo en que los tres enunciados comunican un hecho?
El primer enunciado, que Jaimito aplazó la asignatura.
El segundo enunciado, que la persona que lo dice no sabe cuánto dinero necesita.
Y el tercer enunciado que el auto se desplaza a 50 Km/h.
Ahora, ¿Qué diferencias observas en la estructura de los tres enunciados?
Probablemente te referirás a que el tercero contiene una pregunta mientras que los dos
primeros son afirmaciones directas. Ahora, ¿Qué diferencias observas respecto al
planteamiento del enunciado?
El primer enunciado es un hecho que es irreversible o final.
El segundo enunciado es también un hecho, sin embargo, podemos darnos cuenta que antes
de ir al mercado la persona deberá averiguar de una u otra manera la cantidad de dinero que
debe llevar, de lo contrario perderá su tiempo.
El tercer enunciado es directo en cuanto a que nos pide determinar el tiempo que tardará el
automóvil en llegar a Telurio.
Los enunciados segundo y tercero son diferentes respecto al primero en cuanto ellos nos
plantean una interrogante.
Los enunciados segundo y tercero dan o aportan información. El segundo enunciado establece
que va a ir de compras y que se dirigirá al mercado del norte, mientras que el tercer enunciado
establece que el auto viaja a 50 Km/h y que Telurio queda a 75 Km de distancia.
Los enunciados segundo y tercero los llamamos problemas. En base a sus características
¿Cómo definirías lo que es un problema?
9

En base a las características debes haber planteado una definición similar a la que sigue:
Definición de problema
Un problema es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta
que debe ser respondida
Veamos algunos ejemplos adicionales. Consideremos los enunciados que siguen y responde
las preguntas.
"¿Cuál es el porcentaje de ganancia de una persona que invierte 5.000 Um (unidades
monetarias) en mercancías y recauda 6.900 Um al venderla, sabiendo que sus gastos de
venta y publicidad son de 800 Um?"
¿Qué información aporta?
¿Qué interrogante plantea?
¿A qué conclusión podemos llegar respecto a si es o no un problema?
"La paz es una condición de vida que contribuye a mejorar las relaciones interpersonales."
"Las grandes ciudades son urbes superpobladas con gran diversidad de actividades
comerciales y productivas, generalmente con grandes problemas de contaminación.
¿Cuáles son las principales causas de la contaminación ambiental de las grandes
ciudades?"
^ " ' M , " l t " " " 1 1 • ••••• • » ! — - I — • . I . H . . I H — •
Práctica 1: ¿Cuáles de los siguientes planteamientos son problemas y cuáles no? Justifica
tu respuesta; para ello completa la tabla que sigue al listado de planteamientos.
10

1. María no tomó en cuenta los aspectos requeridos para comprar ese traje.
2. ¿Cuáles son las variables que deberían tomarse en cuenta para evitar que una persona
contraiga amibiasis?
3. Debemos conocer las causas que provocan la indisciplina de los estudiantes de la
escuela de la comunidad.
4. La disciplina es producto del ambiente y se favorece mediante la adopción de normas que
todos estén dispuestos a aceptar y respetar.
5. ¿Qué debemos hacer para evitar que Marlene cometa el mismo error en el futuro?
6. ¿Cuáles suponen que son las causas que originaron la conducta irregular de Maritza?
Planteamiento
¿Es un problema?
JustificaciónPlanteamiento
Si No
Justificación
1
2
3
4
5
6
p i l l W M B W n r t W W W l I F l W M M M M I HUI • • • • I 1 M W 1 1 III W I I M M I I I I I I I I M MI • I l - I IB III
Práctica 2: Plantea tres enunciados que sean problemas y tres que no sean problemas.
- muí mu
Enunciados que son problemas:
1.
3.
Enunciados que no son problemas:
1.
2.
3.
11

Consideremos ahora los dos problemas que siguen:
1. ¿Cuántos diccionarios marca "YOSE" de 40 Um (unidades monetarias) vendió María
durante el día si recaudó 800 Um por este concepto?
2. ¿Qué debemos hacer para estimular la participación de la comunidad en la solución de
sus necesidades?
¿Qué semejanza encuentras en estos dos problemas?
¿Qué diferencias presentan ambas situaciones?
¿Puedes resolver el primer problema? ¿Cuántos diccionarios vendió?
¿Qué ocurre con el segundo problema?
¿A qué tipos de necesidades se refiere el problema? ¿Son las mismas necesidades para todas
las comunidades?
Para un mismo tipo de necesidad, ¿Todas las comunidades deben resolverlo de la misma
manera? ¿Será que la solución depende de los recursos con que cuenta la comunidad?
¿Qué concluyes de la comparación de los dos problemas respecto a la posibilidad de poderlos
resolver directamente?
De esta conclusión se desprende que hay dos clases de problemas respecto al criterio de la
posibilidad de solución inmediata.
Clasificación de los problemas en función de la información que suministran
Problemas
/

Estructurados El enunciado contiene la información necesaria y
suficiente para resolver el problema.
No estructurados
El enunciado no contiene toda la información
necesaria, y se requiere que la persona busque y
agregue la información faltante.
En el caso de los problemas estructurados generalmente existe una solución única al problema
con base a la información suministrada.
En el caso de los problemas no estructurados la búsqueda de la información está sujeta a la
motivación e interés de la persona que resuelve el problema, por tal razón es posible obtener
soluciones que pueden ser muy diferentes entre sí, incluso aun habiendo recolectado la misma
información porque se pueden combinar los recursos de maneras diferentes.
12

Práctica 3: Plantea dos problemas estructurados y dos problemas no estructurados.
Enunciados de problemas estructurados:
1.
2.
Enunciados de problemas no estructurados:
1.
2
i
Volvamos al último ejemplo de los dos problemas. Ambos enunciados aportan información. En
el caso del primer enunciado tenemos la siguiente información:
Costo del diccionario "YOSE" 40 Um
Nombre de la vendedora María
Recaudación total por concepto de la
venta del diccionario "YOSE"
800 Um
Lo que se evidencia de esta tabla es que la información que aporta un enunciado de un
problema viene expresada en términos de una característica la cual está asociada a su
respectiva variable. La columna de la izquierda es la variable y la de la derecha es la
característica.
En el caso del segundo enunciado, que como vimos es un problema no estructurado, la
información se debe buscar o recolectar porque no viene completa en el problema. Sin
embargo, podemos identificar variables. No tenemos características.
Tipos de necesidad de una comunidad
Tipos de participación de la comunidad
Tipos de soluciones
Cuando tratemos de resolver este problema debemos recabar la información faltante. La
variable "tipos de necesidades de una comunidad" pueden tener muchos valores posibles, por
ejemplo, seguridad, vialidad, salud, educación de adultos, educación de jóvenes, etc. De la
misma manera podríamos descomponer las otras variables de este problema no estructurado.
Si hablamos del peso del cuerpo, nos referimos a una variable. Si decimos que la variable peso
puede tomar los valores desde tres hasta cien kilogramos, estamos hablando del rango de
posibles valores de la variable peso.
Si decimos que María pesa 60 Kg, nos referimos a la característica de María con la variable
peso del cuerpo. Tenemos pues una variable, una característica y la persona María. Está es
como la etiqueta que define a que objeto, hecho o situación donde se aplica la variable.
13

Las variables y la información de un problema
Los datos de un problema, cualquiera que éste sea, se expresan en términos de variables,
de los valores de éstas o de características de los objetos o situaciones involucradas en el
enunciado. Podemos afirmar que los datos siempre provienen de variables. Vale recordar
que una variable es una magnitud que puede tomar valores cualitativos o cuantitativos.
Recordemos que las variables cuantitativas son las que tiene valores numéricos, por ejemplo,
edad, estatura, temperatura, etc.; mientras que las variables cualitativas son las que tiene
valores semánticos o conceptuales, por ejemplo, color, género, estado de ánimo.
Práctica 4: Completa la siguiente tabla en la cual se pide que des algunos valores posibles
de la variable a la izquierda y que identifiques el tipo de variable.
i i • • i •• •• • •
Variable
Ejemplos de posibles valores de
las variables
Tipo de variable
Variable
Ejemplos de posibles valores de
las variables Cualitativa Cuantitativa
Tipo de contaminante
Volumen
Humedad
Peso
Temperatura
Superficie
Color de la piel
Color del cabello
Estado de ánimo
Expresión facial
Actitud hacia el estudio
Clima
Peligrosidad
Población
Edad
Estatura
En este momento también podemos recordar otra característica de las variables que es su
aplicación en el proceso de ordenamiento.
Las variables cuantitativas permiten establecer las relaciones llamadas de "orden". Con ellas se
construye el ordenamiento natural. Para verificar la posibilidad del ordenamiento tenemos la
prueba de "mayor que" o "menor que". Utilizando las relaciones de orden podemos construir
secuencias progresivas crecientes o decrecientes. Sí tenemos una secuencia progresiva
creciente, si la característica A respecto a una variable cuantitativa es mayor que la de B,
14

entonces colocamos primero B y luego A; y si la secuencia es decreciente, entonces colocamos
primero A y luego B. Todas las variables cuantitativas son ordenables.
Las variables cualitativas llevan a la formación de clases cada vez que podemos asociar
elementos que tengan la misma característica cualitativa o semántica. Sin embargo, podemos
establecer convenciones que nos permiten organizar elementos por ordenamiento; este es el
caso del orden alfabético, donde se ha acordado un orden o secuencia determinada para las
letras del alfabeto, y podemos ordenar palabras de acuerdo a esa convención. Esto determina
su designación como ordenamiento convencional.
(Práctica 5: En cada una de las siguientes situaciones identifica las variables e indica los
valores que puede asumir.
a. Un jardinero trabaja solamente los días hábiles de la semana y cobra 250Um por cada día.
¿Cuántos días debe de trabajar la persona para ganar 1.000 Um a la semana?
Variable Valores
Variable Valores
b. Un terreno mide 6.000 m2 y se desea dividir en 2 parcelas, cuyas dimensiones sean
proporcionales a la relación 3:5.
Variable Valores
Variable Valores
c. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm3 , y el mismo aumenta progresivamente,
duplicándose cada 3 horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo de 15 horas?
Variable Valores
Variable Valores
d. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm3 , y el mismo aumenta progresivamente,
incrementándose 10 cm3 cada dos horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo de 16 horas?
Variable Valores
Variable Valores
e. María, Josefina, Patricia y Carmen son cuatro hermanas. Patricia es de menor estatura que
María, pero más alta que Carmen. La estatura de Josefina excede la de María en 5 cm.
¿Cuál hermana es la de menor estatura?
Variable Valores
Variable Valores
Cierre
¿Cuál fue el tema de esta lección?
¿Qué aprendimos en esta lección?
15

¿Qué es un problema?
¿Cómo podemos clasificar los problemas, tomando en cuenta la información que nos dan?
¿Qué diferencias existen entre los dos tipos de problemas mencionados en clase?
¿Qué papel juegan las variables en el análisis y la solución de un problema?
¿Qué utilidad tiene lo aprendido en la lección?
16

LECCION 2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS
Introducción
¿Qué estudiamos en la lección anterior?
¿Qué características debe tener un problema?
¿De qué manera se expresa la información en un problema?
¿En qué se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado?
¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema?
Presentación del proceso
Consideremos el siguiente ejercicio:
Ejercicio 1: Miguel necesitaba ropa y fue al Centro Comercial, para lo cual sacó cierta
cantidad de dinero de su alcancía. Vio unos bonitos pantalones y gasto el 50% de lo que
llevaba para adquirirlos, luego compró una camisa que le costó 300 Um. Si al final le
quedaron 200 Um que gastó para invitar a unos amigos a comer. ¿Cuánto dinero sacó de su
alcancía?
Lo primero que debemos hacer es leer todo el enunciado. Nos preguntamos:
¿Tiene información?
¿Tiene una interrogante que debemos responder?
Ya que ambas respuestas son afirmativas, podemos concluir que es un problema.
¿De qué trata el problema?
De una persona que va de compras con cierta cantidad de dinero; le sobra algo y lo consume
en comida.
El segundo paso para continuar la resolución del problema es preguntándonos: ¿Qué datos
aporta el enunciado? ¿Cuáles son las variables y características?
17

Variable: Cantidad de dinero inicial Característica: Desconocida
Variable: Primera compra Característica: Pantalón
Variable: Costo de la primera compra Característica: 50% del dinero inicial
Variable: Segunda compra Característica: Camisa
Variable: Costo de la segunda compra Característica: 300 Um
Variable: Dinero después de las compras Característica: 200 Um
Variable: Destino del remanente Característica: Pagar invitación a comer
Muy bien. Hemos extraído todos los datos expresados en el problema.
En tercer lugar debemos analizar las relaciones que podemos plantear y las operaciones que
podemos realizar. Esto es pensar en una estrategia para resolver el problema. ¿Qué relación
podemos establecer entre el costo del pantalón y el dinero inicial?
A partir de la tercera variable de la lista podemos decir:
1. "El pantalón le costó la mitad del dinero inicial (50%) o, lo que es lo mismo, que el dinero
inicial es el doble del costo del pantalón."
Otra relación que podemos establecer es:
2. "Después de comprar el pantalón le quedó una cantidad de dinero igual a la mitad del
dinero inicial."
Una tercera relación a partir de la quinta y sexta variable sería:
3. "Con el dinero sobrante después de comprar el pantalón se compró una camisa de
300Um y le quedaron 200 Um que gasto en la comida."
Estas relaciones las podemos visualizar de la siguiente manera:
Dinero inicial = ?
liiHii lili
50%
pantalón
300 Um
camisa
200 Um
comida
El cuarto paso es usar la relaciones y operaciones planteadas (usar la estrategia de solución
que hemos planteado) para resolver el problema. Veamos cómo queda esto:
De la segunda y tercera relaciones podemos sacar que:
La mitad del dinero inicial es igual a la suma de 300 Um y 200 Um, que son 500 Um
Luego, con la primera o segunda relaciones podemos plantear la siguiente operación:
La cantidad de dinero inicial es el doble de la cantidad que quedó después de
comprar el pantalón, La cual es de 500 Um. Por lo tanto, la cantidad de dinero
inicial es de 1.000 Um.
El quinto paso es formular la respuesta:
La cantidad de dinero que sacó de la alcancía fue 1.000 Um.
18

El sexto, y último, paso del procedimiento es verificar si todo está correcto.
Muy bien. Lo que acabamos de ver es un procedimiento o estrategia que podemos aplicar para
resolver cualquier problema. El procedimiento esta listado a continuación. Verifica si esos
fueron los pasos que seguimos en la resolución del problema anterior.
Procedimiento para resolver un problema
1. Lee cuidadosamente todo el problema.
2. Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.
3. Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de
los datos y de la interrogante del problema.
4. Aplica la estrategia de solución del problema.
5. Formula la respuesta del problema.
6. Verifica el proceso y el producto.
i
¿Crees qué es importante tener un procedimiento para la solución de cualquier problema? ¿Por
qué?
I
t
¿Qué beneficio crees tiene aplicar este procedimiento?
i
Práctica del proceso l
Es importante recordar que estas prácticas presentan problemas sencillos para resolver, pero
que lo importante es seguir el procedimiento. Si lo seguimos de manera deliberada y en forma
sistemática, vamos a alcanzar la automatización del proceso, y por consecuencia, el desarrollo |
de la habilidad asociada al procedimiento o estrategia de resolución de problemas.
Práctica 1: Luisa gastó 500 Um en libros y 100 Um en cuadernos. Si tenía disponibles 800 I
Um para gastos de materiales educativos, ¿Cuánto dinero le queda para el resto de los <
útiles escolares?
1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?
2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.
19

3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los
datos y de la interrogante del problema.
4) Aplica la estrategia de solución del problema,
5) Formula la respuesta del problema.
6) ¿Cuál es el paso final en todos los procedimientos? Verificar el procedimiento y el producto.
¿Seguiste todos los pasos en el orden del procedimiento? ¿Verificaste si los datos eran los
correctos o que no confundiste o intercambiaste algún número?
¿Las operaciones matemáticas están correctas?
Práctica 2: María compró 50 libros y pagó 100 Um por cada uno. La editorial le hizo una
rebaja de un 20% sobre el precio de lista de cada libro. Se pregunta:
¿Cuánto es el precio de lista?
¿Cuánto pagó María por los 50 libros?
¿Cuánto gana el vendedor si logra colocar todos los libros al precio de lista?
20

6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado?
Práctica 3: María, Luis y Ana son hijos de Lucía y José. José al morir deja una herencia que
alcanza a 400 mil Um, la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el
dinero se divide en dos partes, 1/4 para la madre y el resto para repartirse en partes iguales
entre los tres hijos y la madre. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?
21

¿Podrías representar el reparto del dinero de la
herencia en el gráfico que se da a la derecha?
Práctica 4: María, Luis y Ana son hijos de Lucía y José. José al morir deja una herencia que
alcanza a 400mil Um, la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero
se divide en dos partes, 1/4 para la madre y el resto para repartirse entre los tres hijos y la
madre, con la condición que la hija menor, María, reciba el doble que los demás en esta
parte. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?
22

¿En qué se diferencia este problema del anterior?
SI. Ahora uno de los hijos, María va a recibir el doble de lo que van a recibir sus dos hermanos y
su madre de la parte que es para repartir (la otra mitad es completa de la madre).
datos y de la interrogante del problema. Trata de usar una representación gráfica como la
usada en el problema anterior.
i
i
i
I
23

Reflexión
En esta lección aprendimos que la solución de los problemas debe hacerse siguiendo un
procedimiento, sin importar el tipo o naturaleza del problema. Ahora, la clave para resolver el
problema está en el paso tres donde debemos plantear relaciones, operaciones y
estrategias para tratar de responder lo que se nos pregunta.
En las próximas unidades vamos a conocer varios tipos de problema, y vamos a practicar
ese planteamiento de relaciones, operaciones y estrategias concretas para cada tipo de
problemas.
Cierre
¿Qué aprendimos en esta lección?
¿Cuál es el objetivo que se persigue al resolver un problema?
¿Cuáles son los pasos del procedimiento para resolver un problema?
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6 ,
¿Crees qué son importantes todos los pasos? ¿Por qué?
¿Qué crees que pueda ocurrir si olvidamos u omitimos algún paso del procedimiento?
¿Cómo será más fácil resolver un problema, comenzando a escribir fórmulas de manera
entusiasta o siguiendo el procedimiento? ¿Por qué?
24

U N I D A D I I : P R O B L E M A S D E R E L A C I O N E S C O N U N A
V A R I A B L E
J U S T I F I C A C I O N
En esta unidad, como su nombre lo indica, se presentan problemas acerca de relaciones entre
variables o características de objetos o situaciones. Dichas relaciones están presentes en los
enunciados de los problemas y pueden ser de diferentes tipos; la naturaleza de la relación
determina la estrategia particular a seguir para lograr la solución del problema.
Una relación es un nexo entre dos o más características correspondientes a la misma variable.
En el enunciado del problema se dan los valores de las variables que correspondan y se
presentan los nexos entre éstas; del análisis de estos nexos surge el tipo de relación y de éste
la estrategia particular de representación a utilizar para comprender el problema, lograr la
imagen mental, y, en muchos casos, obtener la solución.
Las variables, sus valores y sus relaciones conforman los datos de los problemas. Un dato
puede ser una variable, un valor de una variable o una relación entre dos variables o entre sus
valores.
A pesar de que el enunciado de un problema siempre presenta relaciones entre sus datos, que
como sabemos provienen de las variables, existen ciertos tipos de nexos que determinan
clases especiales de problemas los cuales pueden agruparse y resolverse mediante
estrategias particulares. De lo dicho se desprende que esta unidad, además de lograr que los
jóvenes centren su atención en la identificación y el análisis de las relaciones entre variables y
características presentes en el enunciado de un problema, logra identificar estos tipos
especiales de relaciones y de estrategias particulares.
En la unidad se presentan relaciones especiales de diferentes tipos: intercambio, parte-todo,
causa-efecto, orden, pertenencia, equivalencia, familiares, etc.
OBJETIVOS
1. Centrar su atención en el enunciado del problema y en las relaciones entre sus datos
2. Identificar el tipo de relación presente en el enunciado de un problema
3. Analizar los diferentes tipos de relaciones presentes en el enunciado de un problema y
determinar la estrategia más apropiada para enfocar su solución de acuerdo al tipo de
relación.
4. Establecer relaciones entre las variables, sus valores y los datos de los problemas.
5. Valorar la utilidad del uso de estrategias en la solución de problemas
J
25

LECCIÓN 3 PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE-TODO Y FAMILIARES
Introducción
¿Sobre qué trató la unidad anterior?
¿Qué características debe tener un problema?
¿Qué debe hacer una persona para resolver un problema?
¿En qué se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado?
¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema?
Presentación y práctica del proceso
La lección anterior nos enseñó que debemos seguir una estrategia para resolver los problemas.
Ejecutando los pasos de ese procedimiento garantizamos: primero, una comprensión profunda
del problema; segundo, generamos las ideas y buscamos las relaciones, operaciones y
estrategias particulares para resolver la incógnita que se nos plantea en el problema; y tercero,
la corrección de eventuales errores mediante la verificación del procedimiento y del producto del
proceso.
Ejercicio 1. Con una balanza de 2 platillos y sólo 3 pesas de 1, 3, y 9 kilos respectivamente,
podrás pesar objetos cuyos pesos sean cantidades exactas entre 1 kilo hasta 13 kilos. Se
trata de identificar la pesa o grupo de pesas de las disponibles que podrían colocarse en uno
o los dos platillos para lograr un determinado equilibrio colocando el objeto en el platillo B.
Se pueden combinar las pesas como se desee. ¿Cómo se combinarían las pesas para
colocarlas -todas o algunas de ellas- en ambos platillos para pesar 2,5,7, 10 y 11 kilos?
V J
1) Lee todo el enunciado. ¿De qué trata el
problema?
De una balanza de dos platillos que se sirve para
pesar hasta 13Kg usando solamente una o una
combinación de las tres pesas de 1, 3, y 9 Kg.
26

2) ¿Cuál es la incógnita del problema?
La incógnita es determinar la pesa o grupos de pesas que deben colocarse en el platillo A o en
ambos platillos para equilibrar la balanza.
3) ¿Qué relaciones o estrategias puedo derivar del enunciado del problema?
Primera, que tenemos una balanza de platillo que se equilibra cuando ambos platillos
tiene el mismo peso.
Segunda, que cuento con 4 pesas con los valores de 1Kg, 3Kg y 9Kg.
Tercera, que el objeto se coloca en el platillo B.
Cuarta, que tengo total libertad de colocar una o varias pesas en uno u otro platillo para
lograr el equilibrio con el objeto.
Y quinta, que el peso del objeto puede calcularse conociendo el peso total del platillo.
4) ¿Cómo podemos pesar?
Si colocamos en el platillo B objetos de 1Kg, 3Kg y 9Kg podemos equilibrarlo colocando en el
platillo A la pesa correspondiente al peso del objeto.
Si colocamos un objeto de 4Kg en el platillo A, ¿Cómo podemos equilibrarlo?
No podemos hacerlo con una sola pesa, pero si podemos hacerlo colocando en el platillo A las
pesas de 1 Kg y 3Kg juntas. De esta manera podemos pesar objetos cuyo peso sea igual a la
suma de los pesos de dos pesas. De esta manera podemos pesar objetos de 4Kg, 10Kg y
12Kg. Y si colocamos las tres pesas en el mismo platillo podemos equilibrar objetos de 13Kg.
Ya hemos completado formas de pesar objetos de 1, 3, 4, 9, 10, 12 y 13 Kg.
¿Pero cómo podemos hacer para pesar un objeto de 2Kg?
Ahora recordamos la estrategia que nos dice que tenemos total libertad para colocar las pesas.
Si el objeto pesa 2Kg, puedo equilibrar la balanza colocando el objeto y la pesa de 1Kg en el
platillo B y la pesa de 3Kg en el platillo A porque la suma de los pesos en ambos platillos será
igual. Colocando el objeto y la pesa de 1Kg en el platillo B podemos pesar 2Kg y 8 Kg
colocando en el platillo A las pesas de 3Kg y 9Kg; y si colocamos el objeto y la pesa de 3Kg en
el platillo B y la pesa de 9Kg en el platillo A, podemos pesar 6Kg.
Nos falta averiguar ¿Cómo podemos pesar objetos de 5Kg, 7Kg y 11 Kg?
En el último caso acompañamos el objeto con una pesa, y podíamos pesar objetos cuyo peso
estaba por debajo del peso que teníamos en el platillo A. Eso lo podemos ampliar con otros
pesos en el platillo A si colocamos en él dos pesas. Así, colocando en A las pesas de 9Kg y
3Kg, y en B el objeto y la pesa de 1Kg, podemos pesar un objeto de 11 Kg; y colocando en A las
pesas de 9Kg y 1 Kg, y en B, el objeto y la pesa de 3Kg, podemos pesar un objeto de 7Kg
Ahora nos falta solamente como pesar 5Kg. Dándonos cuenta que 9Kg es igual a 5Kg + 4Kg,
entonces podemos pesar un objeto de 5Kg poniéndolo en el platillo B con las pesas de 3Kg y
1Kg, que pesan combinadas los 4Kg, y el platillo A la pesa de 9Kg.
De esta manera podemos resumir todas las alternativas de pesado en una tabla indicando que
muestre los kilogramos que se desean pesar, el contenido del platillo A y el contenido del platillo
B.
27

Cantidad de Kg a pesar Platillo B Platillo A
1 Objeto Pesa 1 Kg
2 Objeto + Pesa 1 Kg Pesa 3Kg
3 Objeto Pesa 3Kg
4 Objeto Pesas 3Kg y 1Kg
5 Objeto + Pesas 3Kg y 1 Kg Pesa 9Kg
6 Objeto + Pesa 3Kg Pesa 9Kg
7 Objeto + Pesa 3Kg Pesas 9Kg y 1 Kg
8 Objeto + Pesa 1 Kg Pesa 9Kg
9 Objeto Pesa 9Kg
10 Objeto Pesas 9Kg y 1 Kg
11 Objeto + Pesa 1 Kg Pesas 9Kg y 3Kg
12 Objeto Pesas 9Kg y 3Kg
13 Objeto Pesas 9Kg, 3Kg y 1Kg
5) Para formular la respuesta a la interrogante de cómo se combinan las pesas para pesar 2, 5,
7, 10 y 11Kg, solamente tenemos que identificar en la tabla anterior la distribución de pesas en
cada uno de los platillos. Por ejemplo, para pesar un objeto de 2Kg. Lo colocamos en el platillo
B junto con la pesa de 1Kg, y en el platillo A colocamos la pesa de 3Kg. De la misma manera
procedemos para las demás cantidades.
6) Por último verificamos cada paso y los resultados de las operaciones.
De esta manera terminamos la solución formal del ejemplo 1 que planteamos al inicio de esta
clase. Seguimos paso a paso el procedimiento que aprendimos en la lección 2. En este caso las
relaciones que planteamos utilizaban el principio que el equilibrio de la balanza se alcanza
cuando el peso total del platillo A es igual al peso total del platillo B, y que esos pesos totales
resultan de la suma de todos los pesos que hay en cada platillo.
Problemas sobre relaciones parte-todo
En este tipo de problema unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes
cantidades y para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas donde se
relacionan partes para formar una totalidad deseada, por esos se denominan "problemas
sobre relaciones parte-todo".
Práctica 1. El precio de venta de un objeto es 700 Um. Este precio resulta de sumar su
valor inicial, una ganancia igual a la mitad de su valor y unos gastos de manejo de 25% de
su valor. ¿Cuánto es el valor inicial del objeto?
-
¿Qué hacemos en primer lugar?
¿Qué datos se dan?
28

¿De qué variable estamos hablando?
¿Qué se dice acerca del precio de venta del objeto?
¿Qué se pide?
Representación del enunciado del problema:
¿Qué se extrae de este diagrama?
¿Qué se concluye?
¿Cuánto es el valor del objeto?
Práctica 2. La medida de las tres secciones de un lagarto -cabeza, tronco y cola- son las
siguientes: la cabeza mide 9 centímetros, la cola mide tanto como la cabeza más la mitad
del tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola. ¿Cuántos
centímetros mide en total el lagarto?
¿Cómo se describe el lagarto? Cabeza
Tronco
¿Qué datos da el enunciado del problema?

¿Qué significa que la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del cuerpo?
Escribe esto en palabras y símbolos:
¿Y qué se dice del cuerpo?
Vamos a escribir o a representar estos datos en palabras y símbolos:
Medida del tronco = Medida cabeza + medida cola
Medida del tronco = 9 cm + medida de la cola
Si colocamos lo que mide la cola obtenemos:
Medida del tronco = 9 cm + 9 cm + mitad de la medida del cuerpo
Medida del tronco = 18 cm + mitad de la medida del cuerpo
Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:
Medida del tronco
— •
Medida de medio tronco 18 cm
¿Qué observamos en el esquema? ¿Cuánto mide el tronco en total?
Entonces, ¿Cuánto mide en total el lagarto? Para contestar esto completa el esquema que
sigue.
Cola Tronco Cabeza
¿Qué estrategias particulares utilizamos para comprender y resolver el problema?
Identificamos en el dibujo las partes del lagarto y las medidas respectivas
Representemos las cantidades en el esquema
Veamos otro problema de relación entre las partes y el todo.
30

Práctica 3. Un hombre lleva sobre sus hombros un niño que pesa la mitad que él; el niño, al
mismo tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad que él, y el perrito lleva accesorios que
pesan la mitad que él. Si el hombre con su carga pesa 120 kilos, ¿Cuánto pesa el hombre
sin carga alguna?
¿Qué debemos hacer para resolver el problema?
¿Qué se pregunta?
¿Qué observan en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes?
¿Cómo podemos representar estos datos?
¿Cómo lo expresamos en palabras?
¿Qué relación existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga?
¿Cómo calculamos el peso del hombre?
¿Cuánto pesa el hombre?
¿Qué debemos hacer una vez que conocemos el resultado?
31

Problemas sobre relaciones familiares
En esta parte de la lección se presenta un tipo particular de relación referido a nexos de
parentesco entre los diferentes componentes de la familia
Las relaciones familiares, por sus diferentes niveles, constituyen un medio útil para
desarrollar habilidades de pensamiento de alto nivel de abstracción y es esta la razón por la
cual se incluye un tema en la lección que nos ocupa.
Práctica 4. María muestra el retrato de un señor y dice:
"La madre de ese señor es la suegra de mi esposo."
¿Qué parentesco existe entre María y el señor del retrato?
¿Qué se plantea en el problema?
¿Qué personajes figuran en el problema?
¿Qué relaciones podemos establecer entre estos personajes?
Completa las relaciones en la representación. La de Suegra-Yerno ya está indicada.
Madre del señor ^ _
del retrato ^
/
^ S u e g r a - Yerno v
XSeñor del Esposo .
, . . r. . 4 » Mana
retrato de Mana
í
Relación desconocida
¿Qué se observa en el diagrama con respecto a María y el señor del retrato? ¿Qué tienen en
común?
32

¿Qué relación existe entonces entre ambas personas?
Respuesta del problema:
¿Qué hicimos en este ejercicio?
¿Qué tipo de estrategia utilizamos?
Práctica 5. Un joven llego de visita a la casa de una dama; un vecino de la dama le
preguntó quién era el visitante y ella le contestó:
"La madre de ese joven es la hija única de mi madre."
¿Qué relación existe entre la dama y el joven?
¿A qué personajes se refiere el problema?
¿Qué afirma la dama?
¿Qué significa ser hija única?
Representación:
Respuesta:
Práctica 6. Un hombre dice, señalando a otro:
"No tengo hermanos ni hermanas, pero el padre de ese hombre es hijo de mi padre'
¿Qué parentesco hay entre "ese hombre" y el que habla?
33

Pregunta:
Representación:
Respuesta:
Práctica 7. Luis dice: "Hoy visité a la suegra de la mujer de mi hermano'
¿A quien visitó Luis?
Pregunta:
Representación:
Respuesta:
34

y i i w i i i i i i • mi ••• iiniii • • » • • i ••••• •• iiiiii • • a
Practica 8. Antonio dice: "El padre del sobrino de mi tío es mi padre".
¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?
i w i m w m m mu i • iimin nina». • • — • i n m i m
Pregunta:
Representación:
Respuesta:
Cierre
¿Qué clases de problemas estudiamos en esta lección?
¿Qué diferencias existen entre los diferentes problemas?
¿Qué hicimos para resolver los problemas de este tipo?
¿Cuál fue la variable en cada caso?
¿Qué estrategia seguimos para resolver estos problemas?
¿Crees que la estrategia estudiada tiene utilidad? ¿Por qué?

LECCIÓN 4 PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN
Introducción
¿Sobre qué trató la lección anterior?
¿Qué características tiene un problema con relaciones parte-todo?
¿Qué debe hacer una persona para resolver un problema de relación parte-todo?
¿En qué se diferencian un problema parte-todo de uno de relaciones familiares?
¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de estos problemas?
Vamos a iniciar el trabajo de esta lección con un ejercicio.
Ejercicio 1. José es más bajo que Patricio, pero más alto que Manuel. Manuel a la vez es
más bajo que José, pero más alto que Rodrigo. ¿Quién es más alto y quién le sigue en
estatura?
' « W B III B B M — 1IIMM I 1
¿Qué debemos hacer en primer lugar?
Leer todo el problema.
¿A qué aspecto o variable se refiere el problema?
¿Qué tipo de variable es?
¿En qué forma se expresa la información relativa a las estaturas?
Muy bien. Seguramente identificaste que el enunciado se refiere a la variable estatura de ciertas
personas, que es una variable cuantitativa y que la información está expresada en términos de
relaciones de orden (...más o menos alto que...). ¿Qué hacemos luego?
36

Podemos aplicar una estrategia de representación que nos va
solución del problema.
La representación puede hacerse de la siguiente manera: se
traza una línea o eje vertical, se fija sobre esta línea un punto
de referencia u origen a partir del cual se representan los
valores de la variable; se coloca una flecha sobre la línea
vertical para indicar el sentido creciente de la variable cuyo
nombre se escribe al lado de la punta de la flecha. Esto quiere
decir que más cerca de la flecha (arriba) es de mayor estatura,
y más lejos de la punta de la flecha es de menos estatura
(abajo).
Luego leemos el problema parte por parte y vamos aplicando la estrategia, esto es, vamos
representando los datos. Podemos utilizar las iniciales de los nombres de las personas para
hacer la representación.
¿Cuál es la primera relación que encontramos en el problema?
"José es más bajo que Patricio pero más alto que Manuel".
Podemos ubicar José en algún punto de la línea o eje, lo cual
significa que el tiene una estatura.
Luego, como José es más bajo que Patricio eso quiere decir
que Patricio debe estar ubicado por arriba de donde ubicamos
a José. Eso podemos leerlo José es más bajo que Patricio, o
Patricio es más alto que José. Y luego, como José es más alto
que Manuel, éste debe estar ubicado abajo de la posición
donde ubicamos a José.
Hasta ahora hemos logrado diseñar una estrategia que nos permite representar la información
que nos da el problema en un gráfico, esto es, pasamos de relaciones de orden a una
representación gráfica.
¿Cuál es la próxima relación que nos da el problema?
"Manuel a la vez es más bajo que José, pero más alto que
Rodrigo".
La relación dice que Manuel es más bajo que José. Eso ya lo
tenemos representado en el gráfico. Sigue la relación indicando
que Manuel es alto que Rodrigo. Eso significa que debemos
ubicar a Rodrigo de forma tal que la ubicación de Manuel esté
por encima, es decir, más arriba que 'a de Rodrigo. Para eso
solo tenemos que ubicarlo en la parte inferior de la línea o eje,
tal como se indica en el gráfico de la derecha. Ya hemos
agotado las relaciones que nos dan información. El gráfico de
la derecha contiene toda la información que suministra el
enunciado del problema.
Ahora que hemos completado el gráfico, ¿Podemos contestar quién es el más alto y quién le
sigue en estatura? Si. Inspeccionando el gráfico vemos que el de mayor estatura (persona más
alta) es el que está más arriba, es decir, Patricio, y le sigue en estatura José.
El último paso es la verificación. Esta estrategia de representación gráfica facilita la verificación
de las relaciones que están planteadas en el enunciado del problema, y de la inspección para
determinar el resultado.
a facilitar la comprensión y la
• Estatura
Estatura
Patricio
• José
• Manuel
Estatura
• Patricio
• José
• Manuel
• Rodrigo
37

Hemos seguido los seis pasos del procedimiento para resolver problemas con una estrategia de
representación de relaciones de orden basadas en variables cuantitativas. A esta estrategia de
resolución de problemas la llamamos representación en una dimensión.
Representación en una dimensión
La estrategia utilizada se denomina "Representación en una dimensión" y como
ustedes observaron permite representar datos correspondientes a una sola variable
o aspecto.
¿Qué utilidad tiene esta estrategia?
¿Qué papel juega la variable en estos problemas?
¿En qué casos se puede usar esta estrategia?
Reflexión
Los problemas de esta lección involucran relaciones de orden. Dichos problemas se refieren
a una sola variable o aspecto, el cual generalmente toma valores relativos, o sea que se
refieren a comparaciones y relaciones con otros valores de la misma variable; por ejemplo
cuando decimos "Juan es más alto que Antonio" nos estamos refiriendo a la variable o
aspecto estatura y estamos dando la estatura de Juan, pero con relación a la estatura de
Antonio; no sabemos cuánto mide Juan ni cuánto mide Antonio.
(Práctica 1. En el trayecto que recorren Mercedes, Julio, Paula y José al trabajo, Mercedes
camina más que Julio. Paula camina más que José, pero menos que Julio. ¿Quién vive más
lejos y quién vive más cerca?
Variable:
Pregunta:
Representación:
Respuesta:
38

Podemos aplicar una estrategia de representación que nos va a facilitar la comprensión y la
Estatura
solución del problema.
La representación puede hacerse de la siguiente manera: se
traza una línea o eje vertical, se fija sobre esta línea un punto
de referencia u origen a partir del cual se representan los
valores de la variable; se coloca una flecha sobre la línea
vertical para indicar el sentido creciente de la variable cuyo
nombre se escribe al lado de la punta de la flecha. Esto quiere
decir que más cerca de la flecha (arriba) es de mayor estatura,
y más lejos de la punta de la flecha es de menos estatura
(abajo).
Luego leemos el problema parte por parte y vamos aplicando la estrategia, esto es, vamos
representando los datos. Podemos utilizar las iniciales de los nombres de las personas para
hacer la representación.
¿Cuál es la primera relación que encontramos en el problema?
"José es más bajo que Patricio pero más alto que Manuel".
Podemos ubicar José en algún punto de la línea o eje, lo cual
significa que el tiene una estatura.
Luego, como José es más bajo que Patricio eso quiere decir
que Patricio debe estar ubicado por arriba de donde ubicamos
a José. Eso podemos leerlo José es más bajo que Patricio, o
Patricio es más alto que José. Y luego, como José es más alto
que Manuel, éste debe estar ubicado abajo de la posición
donde ubicamos a José.
Estatura
Patricio
• José
• Manuel
1
Hasta ahora hemos logrado diseñar una estrategia que nos permite representar la información
que nos da el problema en un gráfico, esto es, pasamos de relaciones de orden a una
representación gráfica.
¿Cuál es la próxima relación que nos da el problema?
"Manuel a la vez es más bajo que José, pero más alto que
Rodrigo".
La relación dice que Manuel es más bajo que José. Eso ya lo
tenemos representado en el gráfico. Sigue la relación indicando
que Manuel es alto que Rodrigo. Eso significa que debemos
ubicar a Rodrigo de forma tal que la ubicación de Manuel esté
por encima, es decir, más arriba que !a de Rodrigo. Para eso
solo tenemos que ubicarlo en la parte inferior de la línea o eje,
tal como se indica en el gráfico de la derecha. Ya hemos
agotado las relaciones que nos dan información. El gráfico de
la derecha contiene toda la información que suministra el
enunciado del problema.
Ahora que hemos completado el gráfico, ¿Podemos contestar quién es el más alto y quién le
sigue en estatura? Si. Inspeccionando el gráfico vemos que el de mayor estatura (persona más
alta) es el que está más arriba, es decir, Patricio, y le sigue en estatura José.
El último paso es la verificación. Esta estrategia de representación gráfica facilita la verificación
de las relaciones que están planteadas en el enunciado del problema, y de la inspección para
determinar el resultado.
Estatura
Patricio
• José
Manuel
Rodrigo
37

(
Práctica 2. Juana, Rafaela, Carlota y María fueron de compras al mercado. Carlota gastó
menos que Rafaela, pero más que María. Juana gastó más que Carlota pero menos que
Rafaela. ¿Quién gastó más y quién gastó menos?
Variable:
Pregunta:
Representación:
Respuesta:
Práctica 3. Luisa tiene más dinero que Antonia pero menos que José. Pedro es más rico
que Luisa y menos que José. ¿Quién es el más rico y quién posee menos dinero?
Variable:
Pregunta:
Representación:
Respuesta:
39

Ejercicio 2. Ramírez y Peña son más jóvenes que Sandoval. Gutiérrez es menor que Peña,
pero mayor que Ramírez. ¿Quién es el más joven y quién le sigue en edad?
Leer el problema
¿A qué variable se refiere el problema?
La edad de varias personas
¿Qué debemos hacer a continuación?
Como la edad es una variable cuantitativa y el problema está expresado en relaciones de orden,
podemos usar la estrategia de "representación en una dimensión". Dibujemos el eje para la
variable edad.
Edad
I >
La primera relación de orden establece que "Ramírez y Peña son más jóvenes que Sandoval".
Colocamos a Sandoval. Sin embargo, no podemos ubicar a Ramírez y Peña. Solo sabemos que
son más jóvenes, es decir, que están ubicados a la izquierda de Sandoval.
Sandoval E d a d
I 1 >
^Ramírez y Peña
En este momento solo anotamos la información concreta que tenemos, y postergamos la
información que no podemos ubicar hasta que encontremos alguna otra información que nos
ayude a ubicarla.
Luego leemos la próxima relación: "Gutiérrez es menor que Peña pero mayor que Ramírez".
Esto nos permite ordenar estas tres personas. De menor a mayor ellas están ubicadas en el
orden siguiente: Ramírez, Gutiérrez y Peña.
I I I
Ramírez Gutiérrez Peña
Pero ¿Dónde ubicamos este trío? Para responder esta pregunta debemos recordar la
información que postergamos en el paso anterior. Ramírez y Peña son menores que Sandoval.
Así que los tres deben ubicarse a la izquierda de Sandoval.
Sandoval Edad
I 1 1 1 1 >
Ramírez Gutiérrez Peña
Muy bien. Ya hemos vaciado toda la información del enunciado en la representación gráfica de
anterior. Por inspección podemos concluir la respuesta a la pregunta:
"Ramírez es el más joven y le sigue en edad Gutiérrez"
40

En el ejercicio anterior el problema se plantea con relaciones de orden con variables de valores
relativos como en el caso anterior; la única diferencia entre este ejercicio y las prácticas
anteriores está en los enunciados, los cuales presentan ciertas inversiones en la forma de
presentar los datos.
Estrategia de postergación
Esta estrategia adicional llamada de "postergación" consiste en dejar para más tarde
aquellos datos que parezcan incompletos, hasta tanto se presente otro dato que
complemente la información y nos permita procesarlos.
Práctica 4. Mercedes está estudiando idiomas y considera que el ruso es más difícil que el
alemán. Piensa además que el italiano es más fácil que el francés y que el alemán es más
difícil que el francés. ¿Cuál es el idioma que es menos difícil para Mercedes y cuál
considera el más difícil?
Variable:
Representación:
Respuesta:
Práctica 5. Roberto y Alfredo están más tristes que Tomás, mientras que Alberto está
menos triste que Roberto, pero más triste que Alfredo. ¿Quién está menos triste?
Variable:
Representación:
Respuesta:
41

Casos especiales de la representación en una dimensión
Finalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede
hacer parecer confuso un problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos o a
la redacción del mismo. En este caso se hace necesario prestar atención especial a
la variable, a los signos de puntuación y al uso de ciertas palabras presentes en el
enunciado.
Práctica 6. Pedro y Ramiro son mejores que Suárez en sus habilidades para golear. La
destreza como goleador de García puede deducirse del número acumulativo de goles que
lleva durante el año, el cual es inferior al de otros miembros del equipo como Pedro que
duplica dicho número. García supera a su compañero de equipo Ramiro. ¿Quién tiene el
peor desempeño como goleador? ¿Quién le sigue en tan pobre actuación?
¿A qué variable se refiere el problema?
¿Que se dice acerca de la variable?
¿Qué palabras lucen confusas en el enunciado?
Primero establece la variable como la "habilidad goleadora"; luego da como variable "número de
goles" y nos lleva a inferir que a mayor número de goles se tiene una mayor habilidad
goleadora; también, afirma que García supera a su compañero de equipo Ramiro, también
forzándonos a inferir que es en la habilidad goleadora; por último, nos lleva a inferir que una
pobre actuación está asociada a una mala habilidad goleadora. Todas estas son
complicaciones que nos obligan a tener especial atención a la variable, a los signos de
puntuación y al uso de las palabras en el enunciado.
¿Qué debemos hacer ahora que tenemos todo esto claro?
Representación:
Respuesta:
42

Práctica 7. Juan nació 2 años después de Pedro. Raúl es 3 años mayor que Juan.
Francisco es 6 años menor que Raúl. Alberto nació 5 meses después que Francisco.
¿Quién es el más joven y quién es el más viejo?
Variable:
Pregunta:
Representación:
Respuesta:
¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica?
¿Qué diferencia hay si resolvemos la práctica usando como variable la "edad" o el "año de
nacimiento"?
Práctica 8. Daría nació 15 años después que Patricio. Said triplica la edad de Patricio.
Dinorah, aunque le lleva muchos años de diferencia a Daría, nació después que Patricio.
Alfredo, tío de Daría, es menos viejo que Said, pero mucho menos joven que Patricio. ¿Cuál
de los cinco es el mayor y cuál es el menor?
Variable:
Pregunta:
43

Representación:
Respuesta:
¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica?
Precisiones acerca de las tablas
En este tipo de problemas existe una variable sobre la cual se centra el mismo. Es siempre
una variable cuantitativa que sirve para plantear las relaciones de orden que vinculan dos
personas, objetos o situaciones de los incluidos en el problema. Por ejemplo, en el Ejercicio
1 de esta lección la variable era "estatura" y José, Patricio, Manuel y Rodrigo eran los
sujetos incluidos en el problema. José, Patricio, Manuel y Rodrigo son valores de otra
variable llamada "nombre". La variable estatura "depende" de cual valor de la variable
nombre he seleccionado. Por tal razón llamamos a la variable "estatura" variable
dependiente. Y por complemento, a la variable "nombre" la llamamos variable
independiente.
En cierto sentido la variable "nombre" queda fija al seleccionar los personajes del problema.
En cambio, la variable estatura depende de cual joven estamos considerando.
La pregunta o incógnita del problema se formula alrededor de la variable dependiente, por
ejemplo, en este caso la pregunta es "¿Quién es el más alto?" la cual se refiere
.directamente a la variable estatura.
Cierre
¿Qué hicimos en esta lección?
44

¿Por qué se llama representación en una dimensión?
¿Y cómo son las variables en este tipo de problemas?
¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada?
¿Cómo reconocería los problemas que se resuelven aplicando la estrategia "representación en
una dimensión?
¿Qué le enseñarías a una persona que resuelve problemas en forma no planificada?
¿Cuáles encargos le harías a una persona para que minimice sus errores al resolver
problemas?
45

U N I D A D I I I : P R O B L E M A S D E R E L A C I O N E S C O N D O S
V A R I A B L E S
J U S T I F I C A C I Ó N
JUSTIFICACIÓN
En la presente lección se plantean problemas que involucran relaciones simultáneas entre dos
variables y se pide una respuesta que corresponde a una tercera variable que resulta de las
relaciones previamente mencionadas. En este tipo de problemas la estrategia más apropiada
para obtener las soluciones es la construcción de tablas.
De las tres variables que se dan, dos son cualitativas y permiten construir la tabla y la tercera
puede ser cualitativa, cuantitativa o lógica, según el tipo de respuesta que se pide encontrar y
los datos dados en el problema. Esta tercera variable siempre está incluida en la pregunta del
problema y se utiliza para llenar las celdas o los cuadros de la tabla.
Las lecciones de esta Unidad se refieren a los tres tipos de problemas antes mencionados:
relaciones numéricas, relaciones lógicas entre dos o más variables y relaciones entre
conceptos. El primer tipo de problema se resuelve mediante la construcción de Tablas
Numéricas; el segundo tipo de problema se apoya en las Tablas Lógicas y el tercer tipo se
trabaja con Tablas Semánticas o conceptuales; en el primer tipo de tablas se registran en las
celdas cantidades o números, en el segundo tipo relaciones lógicas y en el tercero conceptos.
Las tablas son instrumentos muy útiles para resolver problemas pues permiten organizar la
información, visualizar el problema y constituyen una especie de memoria externa que nos
ayuda a mantener el record de algunos elementos de información que a veces deben de
postergarse para relacionarse con datos que se dan posteriormente o que se infieren durante el
proceso de resolución de los problemas.
OBJETIVOS
1. Reconocer los tres tipos de problemas que se estudian en la lección y las
estrategias más apropiadas para resolverlos.
2. Aplicar apropiadamente las estrategias para resolver problemas mediante tablas
numéricas, lógicas y conceptuales.
3. Resolver problemas que involucren dos o más variables simultáneamente.
46

LECCIÓN 5 PROBLEMAS DE T A B L A S NUMÉRICAS
Introducción
¿Sobre qué trató la unidad anterior?
¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior?
¿Qué tiene en común todas los tipos de estrategias que vimos en la unidad anterior?
¿Cómo eran los diagramas en los problemas de relaciones parte-todo y relaciones familiares?
¿En qué consiste la estrategia de representación en una dimensión?
¿Cómo eran los diagramas en los problemas de relaciones de orden?
¿En qué consiste la estrategia de postergación en la solución de un problema?
En esta lección continuamos el estudio de estrategias para la solución de problemas. Veamos a
continuación otro ejemplo de problema.
• V
Ejercicio 1. Rita, Elsa y Pedro tienen un club para compartir discos de música y películas.
Entre los tres tienen 20 objetos, de los cuales 14 son discos de música y 6 películas. Rita
tiene 3 discos de música y Elsa tiene el mismo número de películas. Elsa tiene en total
tres objetos más que Rita. ¿Cuántos objetos tipo discos de música tiene Elsa, y
cuantos objetos tipo películas tiene Pedro si Rita tiene 5 objetos en total?
Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante, Por lo tanto, estamos
ante un problema. Inmediatamente podemos observar dos cosas: primero, que la información
no está suministrada en términos de relaciones de orden; y segundo, que la variable central es
número de objetos y requiero de dos calificativos para poder precisarlo, el tipo de objeto y la
persona a la cual pertenecen los objetos.
De lo expuesta anteriormente podemos concluir que la estrategia "representación en una
dimensión" no nos sirve. La razón principal es que la variable cuantitativa depende de dos
47

variables. Por ejemplo, el primer 3 son objetos de Rita y son del tipo disco de música. Para
resolver esto podríamos pensar en una cuadrícula donde por un lado ponemos el dueño y por
otro lado ponemos el tipo de objeto, y en el centro en número de objetos. Veamos lo que
queremos decir:
Nombre
Tipo o b j ^ * ^ ^ Rita Elsa Pedro
Discos de
música
3
Películas
_____
En cada cuadro sombreado puedo colocar el número de objeto, del tipo a que corresponde y de
la persona a que pertenece. Sin embargo, en el problema hablan de un total de discos de
música o del total de objetos de una de las personas. Para representar esto podríamos añadir
otra línea vertical de cuadros que llamamos "columna" y otra línea de cuadros horizontal que
llamamos "fila" las cuales sirviera para colocar los totales. En el caso de las columnas, la el
recuadro o celda inferior correspondería al total de objetos de la persona que encabeza la
columna; y en el caso de las filas, la celda del lado derecho correspondería al total de objetos
del tipo de objeto indicado en el lado izquierdo. La celda en el extremo inferior derecho es como
un total de totales, o, simplemente el número total de objetos sin distingos de tipo o dueño. El
nuevo recuadro quedaría como sigue:
Nombre
Tipo obj.
Rita Elsa Pedro Total
Discos de
música 1
Películas
• 1 i
Total
Ahora leemos el problema parte por parte, y vaciamos la información del problema en el cuadro
que tenemos preparado.
Nombre
Tipo objr**,,**^1<i^ Rita Elsa Pedro Total
Discos de
música
3 14
Películas 3 6
Total X X+3 20
Todas las informaciones pueden asentarse en el cuadro. Solamente la última información dice
que "Elsa tiene en total tres objetos más que Rita", Como no sabemos el total de objetos de
Rita, ponemos una X para recordar la información. Esto no es más que una aplicación de la
estrategia de postergación que habíamos estudiado en la unidad anterior a este tipo de
problemas.
48

Cuando leemos la pregunta nos informa que la solución que buscamos es para el caso que Rita
tenga en total 5 objetos. Ahora podemos cambiar la X por un 5, y la X+3 por un 8.
Los recuadros o celdas que no están aún llenas podemos calcularlos recordando que los totales
son las sumas de las filas o columnas. Así, Si Rita tiene 5 objetos y 3 son discos de música,
entonces tiene 2 películas. Si Elsa tiene 8 objetos y 3 son películas, entonces tiene 5 discos de
música. Si Rita y Elsa tienen 2 y 3 películas respectivamente, y el total de películas es de 6,
entonces Pedro debe tener 1 película. Haciendo esto para todas las celdas, completamos todas
las celdas del recuadro, y queda como sigue:
Nombre
Tipo obj. "'"•"-N^ Rita Elsa
I
Pedro Total
Discos de
música
3 | 5 6 14
Películas 2 j 3 1 6
Total 5 I 8
I 7
20
Ahora podemos contestar las preguntas inspeccionando el recuadro. Elsa tiene 5 discos de
música y Pedro tiene 1 película. Antes de concluir, verificamos que hemos vaciado
correctamente los datos, que las operaciones han sido correctamente realizadas y que la
inspección es la que corresponde.
La búsqueda de una respuesta para este problema nos permite formalizar una nueva estrategia
para la solución de problemas en los cuales existe dependencia de dos variables. El recuadro
que estructura la estrategia lo denominamos tabla numérica, y a la estrategia de solución del
problema la llamamos representación en dos dimensiones.
A diferencia de los problemas formulados con una variable cuantitativa dependiente, una
variable cualitativa independiente y relaciones de orden entre las características que resolvimos
en la unidad anterior, ahora se trata de problemas con una variable cuantitativa dependiente,
dos variables cualitativas independientes y relaciones que definen características de la variable
dependiente. Antes era relaciones de orden producto de comparaciones relativas del tipo
"Pedro es más alto que José", ahora son relaciones absolutas que definen la característica de la
variable cuantitativa del tipo "El número de películas de Elsa es 3.
La estrategia particular (a la que se hace referencia en el paso cuarto del Procedimiento para
resolver un problema de la Lección 2) que se utiliza en este caso es la representación mediante
tablas numéricas; las tablas son reticulados que tienen filas y columnas, las cuales determinan
celdas. En las filas y las columnas se representan los tipos de variables consideradas, y en las
celdas sombreadas con gris se insertan los números que son la característica de la variable
dependiente. Estos valores son producto de las relaciones absolutas con las características
49

correspondientes al par de variables independientes. Las celdas en el entorno exterior a la zona
sombreada corresponden a totalizaciones de filas y columnas, que es una característica propia
de estas tablas. Recorriendo la totalidad de celdas en la tabla podemos visualizar y relacionar
todos los posibles valores dados en la tabla, obtener datos faltantes y responder la pregunta del
problema.
Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas numéricas
Esta es la estrategia aplicada en problemas cuya variable central cuantitativa depende de
dos variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación gráfica
o tabular llamada "tabla numérica".
Práctica del proceso
d
Práctica 1. Elena, María y Susana estudian tres idiomas (francés, italiano y alemán), y entre
las tres tienen 16 libros de consulta. De los cuatro libros de Elena, la mitad son de francés y
uno es de italiano. María tiene la misma cantidad de libros de Elena, pero solo tiene la mitad
de los libros de francés y la misma cantidad de libros de italiano que Elena. Susana tiene
tres libros de alemán, pero en cambio tiene tantos libros de italiano como libros de alemán
tiene María. Cuantos libros de francés tiene Susana y cuántos libros de cada idioma tienen
entre todas?
J
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuáles es la variable dependiente?
¿Cuáles son las variables independientes?
Representación:
Respuesta:
50

Práctica 2. Tres muchachas Nelly, Estela y Alicia tienen en conjunto 30 prendas de vestir de
las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones. Nelly tiene tres blusas y tres
faldas, Alicia que tiene 8 prendas de vestir tiene 4 blusas. El número de pantalones de Nelly
es igual al de blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos pantalones como blusas tiene Nelly.
La cantidad de pantalones que posee Alicia es la misma que la de blusas de Nelly ¿Cuántas
faldas tiene Estela?
Representación:
Respuesta:
Las tablas numéricas
Las tablas numéricas son representaciones gráficas que nos permiten visualizar una
variable cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia de que la
representación sea de una variable cuantitativa es que se pueden hacer totalizaciones
(sumas) de columnas y filas. Este hecho enriquece considerablemente el problema porque
abre la posibilidad de generar, adicionalmente, representaciones de una dimensión entre
cualquiera de las dos variables cualitativas y la variable cuantitativa. También a deducir
valores faltantes usando operaciones aritméticas.
51

Práctica 3. Las hijas del señor González, Clara, Isabel y Belinda tienen 9 pulseras y 6
anillos, es decir, un total de 15 accesorios personales. Clara tiene 3 anillos. Isabel tiene
tantas pulseras como anillos tiene Clara y, en total, tiene un accesorio más que Clara, que
tiene 4. ¿Cuántas pulseras tienen Clara y Belinda?
Representación:
Respuesta:
í
Tablas numéricas con ceros
En algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen elementos asignados. Por
ejemplo, si hablamos de hijas e hijos en varios matrimonios, y decimos que Yolanda es la
hija única del matrimonio Pérez, eso no significa que la celda de hijos correspondiente al
matrimonio Pérez está vacía o le falta información, lo que significa es que a esa celda le
corresponde el valor numérico "0" cero, porque al ser Yolanda hija única significa que los
Pérez tiene solo una hija, y es hembra. A veces confundimos erróneamente la ausencia de
elementos en una celda con una falta de información; si hay ausencia de elementos,
entonces la información es que son cero elementos.
Vamos a continuar nuestra práctica incluyendo problemas donde se presentan celdas a las que
no les corresponden elementos, por lo tanto, deben ser llenadas con el valor numérico cero.
52

Práctica 4. Tres matrimonios, de apellidos Pérez, Gómez, y García, tienen en total 10 hijos.
Yolanda, que es hija de los Pérez, tiene sólo una hermana y no tiene hermanos. Los Gómez
tienen un hijo varón y un par de hijas. Con la excepción de María, todos los otros hijos del
matrimonio García son varones. ¿Cuántos hijos varones tienen los García?
Representación:
Respuesta:
Práctica 5. En las casas de María, Juana y Paula hay un total de 16 animales domésticos,
entre los cuales hay 3 perros, doble número de gatos, y además canarios y loros. En la casa
de Juana aborrecen a los perros y a los loros, pero tienen 4 gatos y 2 canarios (con mucho
miedo). En la de Paula sólo hay un perro y otros 2 animales, ambos gatos. En la de María
tienen 3 canarios y algunos otros animales. ¿Qué otros animales y cuántos de cada tipo hay
en la casa de María?
53

Representación:
Respuesta:
Práctica 6. Jorge Romero metió 6 goles durante la temporada de fútbol de 2006 y 6 en la
del 2009. En 2007 y 2008 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años (2006 a 2009)
metió un total de 15 goles. Pedro Vidal metió 14 goles en 2007 y la mitad en 2009. Su total
para los 4 años fue de 21 goles. Enrique Pérez metió tantos goles en 2008 como Vidal metió
en los 4 años, pero en las otras temporadas no le fue mejor que a Pedro en 2006. Entre los
tres en 2008 metieron 22 goles. ¿Cuántos goles metieron entre los tres en 2007?
54

Representación:
Respuesta:
Práctica 7. Milton, Mortus y Nartis tienen en total 20 mascotas. Milton tiene tres sapos y la
misma cantidad de arañas que de murciélagos. Mortus tiene tantas arañas como Milton
sapos y murciélagos. Nartis tiene 5 mascotas, una es murciélago y tiene la misma cantidad
de sapos que Mortus, que es el mismo número de murciélagos que Milton. Si Milton tiene 7
mascotas, ¿Cuántas y qué clase de mascotas tiene cada uno?
55

Representación:
Respuesta:
¿Cómo denominar una tabla?
Una de las variables independientes es desplegada en los encabezados de las columnas,
mientras que la otra variable es desplegada como inicio de las filas. Y la variable
dependiente es desarrollada en las celdas de la región reticular definida por el cruce de
columnas y filas. Por esta razón se habla que las tablas tienen dos entradas, una por las
columnas y otra por las filas.
En título de una tabla está determinado por la variable dependiente que se visualiza, y se
complementa con las variables independientes que caracterizan los valores del cuerpo de la
tabla. Así, la tabla de la práctica 1 de esta lección se denomina de la siguiente manera:
"Número de libros en función de dueño e idioma"
Cierre
¿Qué clases de problemas estudiamos en esta lección?
¿Qué hicimos para resolver los problemas de este tipo?
¿Cómo se llama la estrategia desarrollada en esta lección?
¿Qué hacemos cuando determinamos que una celda no tiene elementos asignados?
56

LECCIÓN 6 PROBLEMAS DE T A B L A S LÓGICAS
Introducción
¿Sobre qué trató la lección anterior?
¿Cómo se llama la forma de representación para resolver esos problemas?
¿Adicionalmente a la denominación de las variables cualitativas y de los valores de la variable
cuantitativa que otra información contienen estas tablas?
¿Qué tenemos que hacer si no puedo representar una información específica cuando leo el
problema parte por parte?
Iniciemos el trabajo de esta lección con un ejercicio.
Ejercicio 1. Las profesiones de Delia, Ana y Lea son diferentes. Ellas son arquitecta,
abogada y médica, aunque no necesariamente en ese orden. Ana contrató la arquitecta para
que le diseñara su casa. Lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el día
siguiente. ¿Cuáles son las profesiones de Delia, Ana y Lea?
De encontrar las profesiones de tres damas.
¿Qué variables están presentes?
Hay dos variables cualitativas: Nombres de damas (Delia, Ana y Lea) y Profesiones (arquitecta,
abogada y médica).
¿Qué otras informaciones están expresadas en el enunciado?
• Cada una de las damas tiene una de esas tres profesiones que son diferentes entre sí.
• Nos relatan dos hechos que aportan información sobre las profesiones de las damas.
¿Qué se pregunta en el problema?
Las profesiones de las tres damas.
57

Ninguna de las estrategias particulares anteriores se aplica en este caso. No tenemos esa
variable cuantitativa alrededor de la cual se centraba el problema. Sin embargo, tenemos una
condición nueva que puede ayudar. Relacionemos uno de los nombres, por ejemplo, Ana, con
las tres profesiones:
Ana es arquitecta Ana es abogada Ana es médico
Una de esas tres aseveraciones es verdadera, y las otras dos son falsas. Algo similar se
plantea si relacionamos los otros dos nombres con las profesiones. La información que nos
permite esclarecer cual de las tres aseveraciones es verdadera, y cuales falsas, son los hechos
que involucran a las damas. Para procesar la información de los hechos nos puede ayudar una
tabla como la siguiente:
N o m b r e * ^ ^
Delia Ana Lea
Arquitecta
•
Abogada
Médica
1 - 1 1
En este caso, lo que asentamos en la región sombreada es el valor de verdad o falsedad de la
aseveración que relaciona el valor de la columna con el valor de la fila. Con esta estrategia
particular podemos iniciar la lectura parte por parte de la información planteada en los hechos.
El primer hecho es: "Ana contrató la arquitecta para que le diseñara su casa". Eso significa que
Ana y la arquitecta son personas diferentes, entonces es falso que Ana sea arquitecta, y lo
podemos reflejar en la tabla como sigue:
N o m b r e ^ ^
Delia Ana Lea
Arquitecta Falso
Abogada
Médica
1
Luego el enunciado afirma "Lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el día
siguiente", lo cual implica que Lea no es abogada, y también que Ana no es abogada. Esto
podemos reflejarlo en la tabla.
Nombre ' — ^
Delia Ana Lea
Arquitecta Falso
Abogada Falso Falso
Médica
58

En este momento podemos hacer algunas deducciones basándonos en la observación de la
tabla. Si recordamos las relaciones que hicimos de Ana con las profesiones, hemos encontrado
que dos de ellas son falsas, podemos concluir que la tercera es verdadera., Entonces Ana es
médica. Algo similar ocurre con la fila intermedia; la única opción de profesión que queda para
Delia es abogada, por lo cual podemos concluir que Delia es abogada.
NombTe^^
Delia Ana Lea
Arquitecta Falso
Abogada Verdadero Falso Falso
Médica Verdadero
Además, podemos sacar otras deducciones: si Delia es la abogada, entonces es falso que Delia
sea arquitecta o médica; de la misma manera la médica no puede ser ni Delia, ni Lea. Y
finalmente nos queda que la única opción verdadera de profesión para Lea es arquitecta. Por lo
tanto la tabla queda:
N o m b r e ^ ^
Delia Ana Lea
Arquitecta Falso Falso Verdadero
Abogada Verdadero Falso Falso
Médica Falso Verdadero Falso
Ahora, inspeccionando la tabla, podemos contestar la pregunta: Delia es abogada, Ana es
médica y Lea es arquitecta. Verificamos y concluimos el problema del ejercicio.
En esta representación generamos una tabla cuyas celdas se llenan con dos posibles valores,
verdadero o falso, a diferencia de las tablas de la lección anterior en las cuales se colocaban
valores numéricos. La variable que graficamos es una variable lógica como las que ya
habíamos estudiado anteriormente; en ella solo se reconoce la veracidad o falsedad de una
relación. La variable lógica está implícita en el enunciado y debe ser definida por la persona que
resuelve el problema para usar esta estrategia particular usando relaciones entre las dos
variables cualitativas que siempre están de manera explícita en el enunciado.
Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas lógicas
Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen dos variables cualitativas
sobre las cuales puede definirse una variable lógica con base a la veracidad o falsedad de
relaciones entre las variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una
representación tabular llamada "tabla lógica".
Los valores que toma la variable lógica que se define con base a las dos variables cuantitativas
son de dos estados, verdadero o falso, si o no, o, en general, cualquier par de símbolos. Las
tablas lógicas no permiten la totalización de columnas o filas. Sin embargo con frecuencia
59

tienen otra característica de gran utilidad: la exclusión mutua que se da entre los valores de una
misma fila o columna. Cuando esta característica se da, si en una fila o columna una celda tiene
el valor de verdadero, entonces las demás celdas son falsas. Esta propiedad facilita la solución
de este tipo de problemas. Una vez que ubiquemos un valor verdadero en una celda, las demás
celdas en esa columna o fila son falsas.
La condición de exclusión mutua depende del enunciado del problema. En el ejercicio 1 hay tres
damas y tres profesiones y se dice que todas tienen profesiones diferentes; esto obliga a que si
una tiene una profesión, ninguna otra puede tener esa misma profesión, o que si una no tiene
dos de las profesiones, entonces tiene que tener la profesión que queda disponible. Por lo
tanto, en el enunciado debe indicarse que no se repiten las profesiones.
Otro ejemplo, sea la redacción "Ana, Eva y Olga tienen entre las tres, tres hijos, Pedro, Carlos y
Luis". Si averiguo que Pedro es hijo de Olga, entonces se que no es hijo de Ana o de Eva
porque una persona solo puede ser hijo de una madre; pero no puedo afirmar que Carlos y/o
Luis no sean hijos de Olga, porque una madre puede tener más de un hijo y no está excluido en
el texto. En este caso solo hay exclusión mutua para las madres, como es natural.
Ahora, con la redacción "Pedro, Carlos y Luis son hijos únicos de Ana, Eva y Olga". Si averiguo
que Pedro es hijo de Olga, entonces sé que no es hijo de Ana o de Eva porque una persona
solo puede ser hijo de una madre; pero también sé que Carlos y Luís no son hijos de Olga
porque Pedro, Carlos y Luis son hijos únicos, es decir, que no tiene hermanos, y por lo tanto
sus madres no han dado luz otros hijos. En este caso hay exclusión mutua para las madres,
como es natural, pero también la hay para los hijos por la condición que son hijos únicos.
Práctica del proceso
Práctica 1. Suponiendo que se aplica la característica de la exclusión mutua en ambas
variables, completa las siguientes tablas lógicas.
a) ^ ^ - ^ N o m b r e
País
Pedro Luis Carlos Raúl i
México V
Venezuela V
Ecuador
Chile V
b)
^~~~~~-~^Nombre
País
Pedro Luis Carlos Raúl
México X
Venezuela V
Ecuador X
Chile X X
60

^~""^Nombre
País
Pedro Luis Carlos Raúl
México X X X
Venezuela X X
Ecuador X
Chile
d)
^""~^^Nombre
País
Pedro Luis Carlos
México
Venezuela X
Ecuador V
Práctica 2: Leonel, Justo y Raúl juegan en el equipo de fútbol del Club. Uno juega de
portero, otro de centro campista y el otro de delantero. Se sabe que: Leonel y el portero
festejaron el cumpleaños de Raúl. Leonel no es el centro campista. ¿Qué posición juega
cada uno de los muchachos?
¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?
Representación:
61

Respuesta:
Práctica 3: José, Justo y Jairo desayunaron con comidas diferentes. Cada uno consumió
uno de los siguientes alimentos: magdalenas, tostadas y galletas. José no comió ni
magdalenas ni galletas. Justo no comió magdalenas. ¿Quién comió galletas y qué comió
Jairo?
Representación:
Respuesta:
Práctica 4: Tres niñas una de ellas con una blusa violeta, otra con una blusa rosa, y la
tercera con una blusa blanca, hablan con la maestra. La niña con la blusa violeta le dice:
"Nos llamamos Blanca, Rosa, y Violeta". A continuación, otra de las tres niñas le dice: "Yo
me llamo Blanca. Como puede usted ver, nuestros nombres son los mismos que los colores
de nuestras blusas, pero ninguna de nosotras usa blusas del color de nuestro nombre". La
maestra sonríe y dice: "Pero ahora ya se, como os llamáis". ¿Qué color de blusa usa cada
una de las niñas?
62

Representación:
Respuesta:
Reflexión
La estrategia de tablas lógicas es de gran utilidad para resolver tanto acertijos como
problemas de la vida real. Al ponerlo en práctica debemos ser muy cuidadosos en cuatro
cosas:
1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones.
2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta que
tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla.
3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo.
4. Leer las afirmaciones de manera secuencial, y cuando agotemos la lista, volver a
leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que hayamos obtenido.
Práctica 5: En la casa de Gisela hay un canario, un loro, un gato y un perro policía. Se
llaman Rampal, Perico, Félix y Rin-Tin-Tin, pero no necesariamente en ese orden. Rin-Tin-
Tin es más pequeño que el loro y que Félix. El perro es más joven que Perico. Rampal es el
más viejo y no se lleva bien con el loro. ¿Cuál es el nombre de cada animal?
63

¿Cuál puede ser la relación lógica para construir la tabla?
Representación:
Respuesta:
Práctica 6: Piense en estas cuatro personas.
1. Sus nombres son Ana, Luisa, Pedro y Miguel.
2. Trabajan en una escuela, una ferretería, un banco y una farmacia
3. Pedro es el hijo de la persona que trabaja en la ferretería
4. Ana y la persona que trabaja en la farmacia son hermano-hermana
5. El hijo de la persona que trabaja en el banco trabaja en la ferretería
6. Luisa no trabaja en la escuela
¿Dónde trabajan cada uno?
Representación:
•
64

Respuesta:
Práctica 7: En una carrera de autos, en la que no hubo empates, participaron corredores de
Francia. Brasil, México, Argentina y Holanda. El mexicano llegó dos lugares atrás del
brasileño. El francés no ganó, pero tampoco llegó en último lugar. El holandés ocupó un
lugar después que el argentino. Este último no llegó en primer lugar. En qué lugar llegó cada
corredor
¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?
Representación:
Respuesta:
Práctica 8: Seis muchachas del preuniversitario: Gloria, Catalina, Blanca, Silvia, Rosa y
Marú, tiene noviazgos secretos con otros seis muchachos llamados: Tobías, Raúl, Jacobo,
Sergio, Ramiro y Javier. Tratando de descubrir cuáles eran las parejas, las amigas de las
chicas averiguaron lo siguiente:
a) Jacobo y Sergio se reunieron con los novios de Blanca y de Rosa.
b) Gloria, Javier y Marú son hermanos.
c) Catalina y Raúl siempre andan tomados de la mano por los pasillos.
d) Tobías le dice cuñado a Javier.
e) Ramiro y los novios de Blanca y Gloria están peleados con Tobías.
f) Sergio no conoce a las hermanas de Javier ni a Rosa.
65

Representación:
Respuesta:
Práctica 9: Juan, Luis, Miguel y David son artistas. Averigua la actividad de cada uno con
base a la siguiente información:
a) Son: bailarín, pintor, cantante y actor.
b) Juan y Miguel estuvieron entre el público la noche que el cantante debutó.
c) El pintor hizo retratos de Luis y el actor
d) El actor, cuya actuación en "La vida de David" fue un éxito, planea trabajar en otra
obra de teatro semejante a la anterior, pero en relación con la vida de Juan.
e) Juan nunca ha oído hablar de Miguel
66

Representación:
Respuesta:
Cierre
¿Qué hicimos en esta lección?
¿Por qué se llama tablas lógicas?
¿Y cómo son las variables en este tipo de problemas?
¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada?
¿En qué se diferencia de las tablas lógicas de las tablas numéricas?

LECCIÓN 7 PROBLEMAS DE T A B L A S CONCEPTUALES
Introducción
¿En qué consiste la estrategia de representación en dos dimensiones?
¿Qué tipos de representaciones en dos dimensiones hemos estudiado?
¿Cuántas variables intervienen en una representación de dos dimensiones?
¿Qué diferencias hay entre las variables que intervienen en una representación de dos
dimensiones?
Consideremos el siguiente ejercicio:
Ejercicio 1. Andrés, Carlos y Enrique son tres alumnos que piensan en la importancia del
ejercicio. Los tres practican deportes, y le dedican un día a la semana a cada uno de los
siguientes deportes: natación, gimnasia y yudo. Si practican deportes los lunes, miércoles y
viernes, y en cada día cada uno practican un deporte diferente al de los demás, averigua
que deportes practican los jóvenes cada día con base a la siguiente información:
a) Enrique nada el día que sigue a Andrés.
b) El que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes.
c) Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes.
De tres jóvenes que practican que practican los mismos deportes tres diferentes
días.
¿Qué deporte practica cada uno cada día?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Tres variables. Nombres de los jóvenes, días de práctica y deportes practicado,
68

Los nombres de los jóvenes (Andrés, Carlos y Enrique) y los días de práctica
(lunes, miércoles y viernes).
¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?
El deporte practicado. Los valores son: natación, gimnasia y yudo
Representación:
Día
Nombre
Lunes Miércoles Viernes
Andrés
Carlos
Enrique
Leemos ahora la información suministrada: "Enrique nada el día que sigue a Andrés". Para esto
solo hay dos posibilidades: Lunes nada Andrés y miércoles Enrique o miércoles nada Andrés y
viernes Enrique, como suposiciones de trabajo.
Esto podemos representarlo en la tabla como sigue:
Día
Nombre
Andrés Nada Nada
Carlos
Enrique Nada Nada
No podemos derivar nada más de esa información. La segunda información dice: "El que
practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes". Esto significa que una persona hace
gimnasia el lunes y luego hace yudo el viernes. Estas suposiciones podemos representarlas
como sigue:
Día
Nombre
Andrés Nada Gimn. Nada Yudo
Carlos Gimn. Yudo
Enrique Gimn. Nada Nada Yudo 1
La tercera información dice: "Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes". Esto
significa que Carlos practica la natación el viernes que es el deporte que se practica con traje de
baño. Esto significa dos cosas: primero que Carlos nada el viernes; y segundo, que la opción de
Andrés nada el miércoles y Enrique el viernes es imposible porque el viernes está nadando
Carlos. Por esta razón debo aceptar que Andrés nada el lunes y Enrique el miércoles; y que
69

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