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“¿Cuentas? ¿Qué cuentas?
Alternativas metodológicas para el Desarrollo del
Sentido Numérico en la Educación Obligatoria”
Rafael Bracho López
Fac. de Ciencias de la Educación
Universidad de Córdoba
MUPES - Matemáticas
(Enero 2019)

“¿Cuentas? ¿Qué cuentas: Alternativas metodológicas para el
Desarrollo del Sentido Numérico en la Educación Obligatoria”
1. Necesidad de cambio metodológico en la aritmética escolar
4. Nuestra experiencia en los últimos años
5. Una propuesta de intervención metodológica
3. Algunos modelos a seguir
2. ¿Por qué la resistencia al cambio?
6. Análisis de una implementación metodológica
7. Un vistazo a otras formas de calcular. Taller
ABN

Tiempo de rápidas transformaciones en el panorama educativo
- En las últimas décadas hemos asistido atónitos a cambios significativos en
nuestra sociedad que se han visto reflejados en nuestras aulas
- La incorporación de las TIC a nuestras aulas, el carácter intercultural de nuestros
centros, las nuevas necesidades de convivencia, entre otros nuevos fenómenos,
nos obligan a esforzarnos en adaptarnos
1. Necesidad de innovación en el aprendizaje de la
aritmética escolar
¿Necesidad de innovación educativa?

aritmética escolar
Tiempo de rápidas transformaciones en el panorama educativo
- En las últimas décadas hemos asistido atónitos a cambios significativos en
nuestra sociedad que se han visto reflejados en nuestras aulas
- Debemos encontrar alternativas que nos ayuden a conectar con nuestros
alumnos y alumnas y ofrecerles la moderna educación que demanda nuestra
sociedad
¿Necesidad de innovación educativa?

aritmética escolar
Importancia de la formación permanente y de la formación inicial
Oportunidades de innovación
La innovación: ¿Un reto para conseguir el cambio?

Barba y Calvo (2011) justifican de forma convincente el poco porvenir que
tienen los algortimos tradicionales de cálculo basándose en tres preguntas
que han sido formuladas históricamente:
¿Cuánto tiempo hace que no ves a alguien resolviendo una división por dos cifras con
lápiz y papel? (Plunkett, 1979).
aritmética escolar
¿Cuál es la razón para continuar enseñando algoritmos en la escuela? (Maier, 1987)
¿Cómo es posible que dedicando tanto tiempo al aprendizaje de los algoritmos se
obtengan resultados tan pobres? (De finales del siglo XX a la actualidad).
A. Maier acuñó el término supervivencia escolar para argumentar que los estudiantes
necesitan aprender los algoritmos tradicionales no porque les sean útiles para la vida, sino
porque le son necesarios para progresar y tener éxito en la escuela.
Stuard Plunkett cuestionaba el interés de enseñar a realizar operaciones complicadas en un
momento en el que comenzaban a proliferar las calculadoras y en la vida real dejaban de
realizarse los cálculos complicados con lápiz y papel.
La respuesta a la tercera pregunta puede deducirse del siguiente comentario de Lluís
Segarra en una de sus conferencias: “Solamente existen tres colectivos que actualmente
dividen por dos cifras utilizando el algoritmo estándar de lápiz y papel...”

Hace más de cuarenta años Ablewhite (1971) ya advertía de los problemas que se
derivaban del aprendizaje de las operaciones básicas.
Pocos años más tarde, en la misma década, la aparición de las calculadoras hizo
que comenzara a cuestionarse la enseñanza de los algoritmos tradicionales y su
papel en la escuela (Barba y Calvo, 2011).
Desde entonces han sido numerosos los autores que han escrito sobre el poco
sentido pedagógico que los algoritmos tradicionales tienen en la actualidad (Alcalá,
1986; Baroody, 1988; Castro, Rico y Castro, 1987; Chamorro, M. C. (coord.), 2005;
Dickson, Brown y Gibson, 1991; Ferrero, 1984; Gómez Alfonso, 1999; Jaulin-
Mannoni, 1980; Kamii, 1986; Maza, 1989; Mialaret, 1977; N. C. T. M., 2000; Pereda,
1987; Resnick y Ford, 1990; VV. AA., 2007; Vergnaud, 1991), citados por Martínez
(2011).
En lo relativo al dominio del cálculo en los primeros años de aprendizaje
matemático, son muchas las voces que se alzan pidiendo cambios
metodológicos...
aritmética escolar

Ante esta realidad, los referentes universales sobre educación matemática y
los marcos normativos actuales de los países desarrollados, inciden en la
importancia de fomentar el desarrollo del “sentido numérico” con un enfoque
orientado hacia el desarrollo de la competencia matemática:
En los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2003) se indica
que las competencias incluidas en el bloque de numeración y cálculo deben permitir a
todos los estudiantes que entiendan los números, las maneras de representarlos, las
relaciones entre números y los sistemas de numeración, que capten el significado de
las operaciones y cómo se relacionan unas con otras y que calculen de manera fluida
y hagan estimaciones razonables.
El Real Decreto del Ministerio de Educación y Ciencia del estado español por el que
se establece el curriculum y se regula la ordenación de la Educación Primaria
establece, entre otras cosas, que el objetivo fundamental del Bloque I sobre Números
y Operaciones es “conseguir el dominio reflexivo de las relaciones numéricas que se
pueden expresar en capacidades como: habilidad para descomponer números de
forma natural, comprender la estructura del sistema de numeración decimal, utilizar
las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas para realizar cálculos
mentales y razonados” (BOE, 2007, p. 31555).
aritmética escolar

2. ¿Por qué la resistencia al cambio?
Sin embargo, en la práctica totalidad de las escuelas, incluso
en las más innovadoras, todavía se sigue enseñando a
calcular por medio de los algoritmos tradicionales. No
obstante, es fácil comprender las razones para que exista esta
resistencia al cambio. Entre otras podemos citar:
1.La tendencia natural a reproducir los modelos metodológicos que hemos vivido
como estudiantes y más tarde como maestros y maestras.
2.La presión profesional, social y familiar que nos empuja a seguir enseñando a
calcular como se ha hecho toda la vida.
3.La falta de iniciativas sólidas de formación del profesorado desde las
administraciones públicas coherentes con la normativa curricular que se propone.
4.La escasez de modelos metodológicos y de materiales didácticos suficientemente
asequibles para el profesorado y también para el alumnado que faciliten la
adaptación a otras alternativas metodológicas más actuales.

¿Pero cómo podría hoy día un maestro o maestra o, mejor un colegio, lanzarse a
la aventura de afrontar metodológicamente el aprendizaje de las operaciones
aritméticas básicas de una manera distinta a la tradicional y adecuada a los
tiempos que corren?

Sin duda lo ideal sería que las administraciones educativas fuesen las que
marcasen los hitos a seguir, ofreciendo las herramientas necesarias para el
cambio metodológico (marco curricular, formación inicial y permanente del
profesorado, materiales didácticos, etc.).
Sin embargo, resulta utópico esperar que todo nos llegue argumentado,
impuesto y pautado desde el propio sistema educativo. Históricamente está
demostrado que los cambios metodológicos parten de las propias experiencias
que se sustentan en las investigaciones educativas.
En algunos países de nuestro entorno ya se vienen
dando pasos decisivos en este sentido desde hace años
con muy buenos resultados y los modelos que se han ido
construyendo podrían servirnos de referencia. Un buen
ejemplo a seguir es el caso holandés, seguido en otros
países del entorno europeo (Heuvel-Panhuizen, 2000).

Las experiencias basadas en la denominada “aritmética mental”, auspiciadas por
David Barba y Cecilia Blanco en Cataluña (Barba y Calvo, 2011).
El caso del CEIP Aguamansa de La Orotava (Tenerife), basado en el uso
educativo de la calculadora y el fomento del cálculo mental, exportado a otros
centros canarios y peninsulares (Iglesias y Martín, 2011).
El método ALOHA Mental Arithmetic, respaldado por una iniciativa comercial y
basado en la utilización del ábaco para el abordaje de las operaciones básicas y
el fomento del cálculo mental (http://www.alohaspain.com).
La metodología basada en algoritmos abiertos basados en números (en adelante
ABN), ideada por Jaime Martínez Montero, puesta en marcha inicialmente en
varios centros de la provincia de Cádiz y actualmente en prometedora fase de
expansión dentro y fuera de Andalucía e incluso en Sudamérica y Europa
(Martínez, 2011).
Algunos ejemplos a seguir tomados del panorama educativo español son
los siguientes...

Se basan en un conocimiento profundo del sistema de numeración decimal.
En todo momento se trabaja con números y no con cifras.
Se utilizan constantemente las propiedades de las operaciones.
Los cálculos se realizan de forma variada por lo que se adaptan a la diversidad
del alumnado.
Todas estas alternativas metodológicas parten de los mismos objetivos y
comparten planteamientos como:

4.1. Proyecto de investigación sobre materiales para el DSN
Durante los cursos 2009-2010 y 2010-2011 desarrollamos un proyecto de
investigación educativa en el marco de la convocatoria sistemática de la Consejería
de Educación...

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVA
Impacto escolar de nuevos materiales didácticos
para el desarrollo del sentido numérico en niños y
niñas de primer ciclo de Educación Primaria
Experiencia previa...
Experiencia previa
de la coordinadora
Prácticas docentes
del profesorado de la UCO
Experiencia previa
de la coordinadora
Prácticas docentes
del profesorado de la UCO

333 Niños y niñas de
1º y 2º de E. P.
21 CEIP
24 maestras y
maestros
210 estudiantes de 2º
y 3º de magisterio
Facultad de Educación de la UCO
5 profesores y 2 becarias
de investigación
CEP de Córdoba
2 asesores de formación

Formación
inicial
Innovación curricular
Investigación en el aula

4.2. Trabajo paralelo con algoritmos transparentes de cálculo
1.Porque nos llegaron de forma natural y nos parecieron una metodología
convincente y prometedora.
2.Por el importante proceso de expansión que se va desarrollando en torno a ellos.
3.Por las opiniones del profesorado que ya viene utilizándolos y por los buenos
resultados escolares que ya se vienen demostrando..
Nos centramos en los algoritmos ABN por varios motivos:
Y sobre todo...
5. Por las sensaciones positivas tras nuestra apuesta por su inclusión en nuestro plan de
formación inicial y nuestras investigaciones tras dos años de experiencia.
4.Por la creciente aunque todavía incipiente existencia de iniciativas
de formación del profesorado y de referencias metodológicas para
su aplicación sistemática en las aulas.

Aprendizaje significativo del SND Metodología de cálculo orientada al desa-
rrollo de la competencia matemática (ABN)

Actuación 1 (Primer año):
Fundamentación de la necesidad de una transformación metodológica
en lo relativo a la aritmética escolar (todo el profesorado).
Reflexión de todo el profesorado del centro acerca del posible
compromiso de transformación metodológica.
2 / 3 sesiones presenciales sobre aprendizaje significativo del Sistema
de Numeración Decimal basado en materiales manipulativos para el
profesorado de E. Infantil.
3 / 4 sesiones presenciales sobre aprendizaje significativo del Sistema
de Numeración Decimal basado en materiales manipulativos para el
profesorado de E. Primaria.
3 / 4 sesiones presenciales sobre abordaje del cálculo en la E.
Primaria (fomento del cálculo mental / algoritmos ABN).
Preparación de materiales.

Actuación 2 (Segundo año / Profesorado de Infantil y Primer
Ciclo de E. Primaria):
Preparación de materiales y guías didácticas (Primeros de
septiembre).
Sesión de puesta en marcha de la intervención metodológica
(Primeros de septiembre) .
Sesiones mensuales de seguimiento y asesoramiento:
• ¿Breve ponencia?
• Puesta en común (grupos de discusión)
• Planificación de actuaciones siguientes.
2/3 sesiones sobre ABN para el profesorado de 3º a 6º.
Evaluación de la experiencia (Intervenciones paralelas en todo el
proceso).

6. Análisis de una la implementación metodológica
6.1. Objetivo general e hipótesis de trabajo

6. Análisis una la implementación metodológica
6.2. Características generales
• Nuestra investigación se centró en situaciones concretas, particularizando los
resultados de las unidades de estudio y ofreciendo una perspectiva
contextualizada a través de técnicas descriptivas e inductivas que nos permitirán
acercarnos a la realidad.
• Se trata de un primer acercamiento a la realidad.

6.3. Elección de la muestra
• La muestra ha estado formada por sendos grupos de estudiantes de Educación
Primaria de dos colegios de la provincia de Córdoba. Ambos centros tienen
características parecidas y pertenecen a entornos socioeconómicos similares.
• Esta muestra ha sido configurada de manera no probabilística y no aleatoria.
Grupo de Control Grupo experimental
26 niños y niñas de 2º
curso de Educación
Primaria
21 niños y niñas de 2º
curso de Educación
Primaria
Aprendizaje basado en
algoritmos tradicionales
Aprendizaje basado en
algoritmos ABN
Durante 1º y 2º de E. Primaria

6.4. Herramienta y variables
✦TEMA-3 test (Test of Early Mathematics Ability, 3er edition)
• Test estandarizado de competencia matemática básica, validado a nivel
internacional.
• Autores: Ginsburg, H.P. y Baroody, A.J.
• Adaptación al medio español de Núñez y Lozano (2007).
• Ámbito de aplicación: Niños de 3 a 8 años y 11 meses de edad.
• Duración: 30-40 minutos.
• Administration: Individual.
• 72 items (41 items sobre matemática informal y 31 sobre matemática formal).

✦Variable dependiente: Sentido numérico.
• Percentil
• Edad equivalente
• Items variados (sobre conocimientos de matemática formal o informal de cada
niño). Estos items nos dan la puntuación de habilidad matemática.
✦Variable independiente: Grupo (de control o experimental).

Tabla 1: Aspectos analizados en el estudio realizado

6.5. Análisis de los resultados: Índice de competencia
matemática (ICM)
Tabla 2: Estadísticos descriptivos del ICM en ambos centros
• Significaciones mayores que 0,05 al aplicar la prueba de Kolmogorov-Smirnov.
• Significación de 0,530 en la prueba de Levene para igualdad de varianzas.
• El resultado de la prueba T de Student (0,004) es menor que la significación
que asumimos para el estudio (0,05), por lo que tenemos evidencias de que
hay diferencias significativas entre las medias del ICM de ambos centros.

6.5. Análisis de los resultados: Índice de competencia
matemática (ICM)
Tabla 3: Datos del ICM por niveles
Si nos centramos en la interpretación del ICM por niveles, obtenemos los siguientes
resultados:

6.5. Análisis de los resultados: Matemática formal y matemática
informal
Tabla 4: Test de diferencias de los estadísticos descriptivos
para las variables de matemática informal y formal
Podemos observar que tenemos evidencias de que existen diferencias significativas
entre las medias de las variables numeración, cálculo informal, convencionalismos y
conceptos formales, pero no en las otras cuatro variables.

6.5. Análisis de los resultados: Cálculo formal
Tabla 9: Ítems respondidos correctamente sobre cálculo formal
Aunque en conjunto no se hayan observado diferencias significativas entre los grupos en las
preguntas relacionadas con cálculo formal, analicemos los datos relativos a este aspecto, ya que
pensamos que se podrían observar cuestiones de interés.

El 30% del alumnado del grupo experimental responde correctamente a todos los ítems que
evalúan esta variable, mientras que este porcentaje se reduce a un 11,5% en el caso del
alumnado del grupo de control. En este colegio el mayor porcentaje de alumnos (19,2%) tan solo
responde correctamente a dos ítems de este apartado.

Por otro lado, en las preguntas que se corresponden con meros cálculos algorítmicos sencillos
no se aprecian grandes diferencias, pero las diferencias de rendimiento son más evidentes en
las sumas y restas con llevada y en los ítems 54, 59, 62 y 63 que se corresponden con
situaciones problemáticas que conllevan cálculos mentales.

6.6. Conclusiones
• En términos generales y a la vista de los resultados obtenidos, se puede determinar
que la competencia matemática desarrollada por el grupo de alumnos y alumnas del
grupo experimental es superior a la desarrollada por el grupo de control.
• Creemos que nuestra hipótesis de trabajo, a saber: la metodología basada en un
aprendizaje profundo del Sistema de Numeración Decimal, en el conocimiento y
utilización de las propiedades de los números y de las operaciones, el fomento del
cálculo mental y la utilización de los algoritmos ABN mejora significativamente el
DSN en los primeros años de aprendizaje matemático, se ha visto cumplida.
• Centrándonos en el bloque de cálculo, tanto formal como informal, los resultados del
grupo experimental han sido notablemente superiores en general, y de manera
particular en lo que respecta al cálculo mental y a los cálculos asociados a
situaciones problemáticas concretas, hecho que apoya los resultados obtenidos en
su día por el propio Martínez (2011), creador de los algoritmos ABN. Especial
significado por su relevancia como eje vertebrador del conocimiento matemático,
tienen los resultados relativos a las destrezas en la resolución de problemas, donde
se pone de manifiesto la importancia de abordar los cálculos de manera
comprensiva en el contexto de la situación problemática, ya que si se utilizan
técnicas sistemáticas alejadas de la realidad del problema se corre el riesgo de
perderse en el proceso.

6.6. Conclusiones
• En resumen, pensamos que de los resultados obtenidos en la investigación se
desprende la importancia de encontrar hoy día alternativas metodológicas que
aborden el aprendizaje del sistema de numeración decimal y de las operaciones
aritméticas básicas de manera significativa y comprensible, frente a las
metodologías basadas en los algoritmos tradicionales, cuyos mecanismos son
sin duda incomprensibles para el alumnado en toda la enseñanza primaria y
especialmente en los primeros años de aprendizaje, además de carecer de
mucho sentido, puesto que su aplicación actual fuera del entorno escolar es
muy escasa, por no decir prácticamente nula.
• Particularmente y con independencia de que puedan existir otras metodologías
idóneas, la basada en la utilización de los denominados algoritmos ABN se
muestra como una alternativa metodológica que responde a los objetivos
actuales en lo relativo al desarrollo del sentido numérico y a la orientación de
este hacia el desarrollo de la competencia matemática.

7. Un vistazo a otras formas de calcular (Minitaller ABN)
7.1. Ejemplificaciones (Suma)
Suma en 1º de primaria

Suma con tres sumandos en 2º de primaria

Suma mental con decimales en 4º

7.2. Ejemplificaciones (Resta)
Resta con llevada en 1º

7.2. Ejemplificaciones (Resta)
Resta con redondeo en 3º

7.3. Ejemplificaciones (Introducción a la multiplicación)
Las tres etapas del aprendizaje según Bruner (1988)

Estudiantes en formación inicial de Educación Primaria

5 x 4
13 x 3

123 x 14

2232

7.3. Ejemplificaciones (Multiplicación)
Multiplicación por 2 cifras en 3º

7.4. Ejemplificaciones (División)
División por 2 en 1º

División por 2 cifras en 4º
7.4. Ejemplificaciones (División)

División por 2 cifras en 4º
7.4. Ejemplificaciones (Cuadrados)

7.5. Ejemplificaciones (Raíz cuadrada)
Raíz cuadrada

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