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MATEMÁTICA,[object Object],ESCUELA DE ARQUITECTURA,[object Object],CapituloNro. 02,[object Object],ALGEBRA DE MATRICES,[object Object],DEFINICIONES, OPERACIONES MATRICIALES, LA INVERSA DE UNA MATRIZ, DETERMINANTES Y PROPIEDADES, SISTEMAS DE ECUACIONES. ,[object Object],Autores: ,[object Object],ING. SONIA LORENA GONZAGA V. (slgonzaga@utpl.edu.ec),[object Object],ING. LAPO PAUTA CARMEN MIREYA. (cmlapo@utpl.edu.ec),[object Object],ING. PINEDA PUGLLA EDGAR IVAN. (eipineda@utpl.edu.ec),[object Object],ING. IRENE ROBALINO PEDRO DANIEL. (pdriene@utpl.edu.ec),[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.,[object Object],Una matriz es una tabla bidimensional de números en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. ,[object Object]
Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, y registrar los datos que dependen de varios parámetros. ,[object Object],Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden descomponerse de varias formas.,[object Object]
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. ,[object Object]
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento ai,jo elemento (i,j)-iésimode la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.,[object Object],Abreviadamente se puede expresar A = (aij)Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices.,[object Object],El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.,[object Object]
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:,[object Object],[object Object]
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamañoes (2x3). Qué elemento es b23?.
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamañoes (4x3). Qué elemento es c42?.,[object Object]
Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero, Por ejemplo:,[object Object],Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es (1xn). Por ejemplo:,[object Object]
Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será (mx1), como por ejemplo:,[object Object],Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es (nxn).,[object Object]
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:,[object Object],En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estaría formada por 1, 5, 0.,[object Object]
Se llama traza de la matriza la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11+a22+a33+ . . . + ann, y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.,[object Object],La diagonal secundariaes la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1. En la matriz Destaría formada por 3, 5, -3.,[object Object]
Una matriz es triangular superiorsi todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos.,[object Object],Ytriangular inferiorsi son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal. Son ejemplos de estas matrices:,[object Object]
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal. Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.,[object Object],Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad ó identidad. Se suelen representar por In.,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
La suma-restano esta definida para matrices de diferentes tamaños.,[object Object],Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño, Por ejemplo:,[object Object]
Propiedades.,[object Object],Conmutativa: A + B = B + A,[object Object],Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C,[object Object],Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.,[object Object],Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A, por ejemplo:,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000y 2001 vienen dadas por las matrices:,[object Object],Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años.,[object Object],Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total?,[object Object],Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior.,[object Object]
Calcula x, y, z en la suma:,[object Object],Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad:,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño.,[object Object],Por ejemplo:,[object Object]
Propiedades.,[object Object],Distributiva respecto de la suma de matrices: ,[object Object],k·(A + B) = k·A + k·B.,[object Object],Distributiva respecto de la suma de números: ,[object Object],(k + d)·A= k·A + d·A.,[object Object],Asociativa: ,[object Object],k·(d·A)=(k·d)·A,[object Object],Elemento neutro, elnúmero 1:,[object Object],1·A=A,[object Object]
Ejercicios.,[object Object],Dada A y B, halla una matriz X que verifique la ecuación:  2 ∙ X – 4 ∙ A = B,[object Object],Determina las matrices X y Y sabiendo que:,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
Transposición de matrices.,[object Object],Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por Ata la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.,[object Object],Por ejemplo, si Aes como se describe, entonces At seria:,[object Object]
Propiedades:,[object Object],(At)t= A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.,[object Object],(A + B)t= At+ Bt,[object Object],(k ・ A)t= k ・ At,[object Object],En base a esta nueva operación, podemos definir otra dos clase de matriz: Matriz simétrica, que es aquella para la que se cumple que At = A, por ejemplo la matriz:,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
“No todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando cumplen…”,[object Object],Para dos matrices A y B, en este orden, A·B, es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.,[object Object],Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente.,[object Object],La multiplicaciónmatricialNO ES CONMUTATIVA.,[object Object],A x B ≠ B x A,[object Object]
Condición de los limites: Dadas Aab y Bcd donde a, b, c, dson sus limites, las matrices A y B deben cumplir la siguiente restricción:,[object Object],Ejemplos:,[object Object]
Condición de los limites: Dadas Aab y Bcd donde a, b, c, dson sus limites, las matrices A y B deben cumplir la siguiente restricción:,[object Object],Ejemplos:,[object Object]
Ejemplos:,[object Object]
Ejemplos:,[object Object]
Ejemplos:,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
ALGEBRA DE MATRICES
ALGEBRA DE MATRICES
Propiedades del producto matricial.,[object Object],Asociativa: ,[object Object],A·(B·C) = (A·B)·C,[object Object],Distributiva respecto de la suma: ,[object Object],A · (B + C) = A · B + A · C ,[object Object],(B + C) · A = B · A + C · A,[object Object],Elemento neutro, la matriz identidad correspondiente, si A es m x n:,[object Object],A · In = A,[object Object],Im· A = A,[object Object]
En general el producto de matrices no es conmutativo,[object Object],A · B ≠ B · A,[object Object],“Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Esta es una propiedad muy importante. ”,[object Object],El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
Si M es un a matriz cuadrada de orden n y si existe una Matriz M-1, tal que:,[object Object],𝑴−𝟏𝑴=𝑴𝑴−𝟏=𝑰,[object Object],Entonces M-1 se llama inversa multiplicativa de M, ó INVERSA DE M.,[object Object],Ejemplo:,[object Object],Para M, existeM-1tal que:,[object Object], ,[object Object]
Ejemplo:,[object Object],Resolviendo el sistema anterior tenemos:,[object Object]
Dado el resultado anterior, se demuestra:,[object Object]
Método de Gauss-Jordan:,[object Object],Dada la matriz a invertir por ejemplo de una de 3x3, reescribirla con la matriz aumentada (identidad).,[object Object],Lograr un pivote 1 en la posición a1,1.,[object Object],Realizar operaciones renglón con el objetivo de hacer CEROS todos los elementos bajo el pivote a1,1.,[object Object],Lograr un pivote 1 en la posición a2,2.,[object Object]
Realizar operaciones renglón con el objetivo de hacer CEROS todos los elementos sobre y bajo el pivote a2,2.,[object Object],Lograr un pivote 1 en la posición a3,3.,[object Object],Realizar operaciones renglón con el objetivo de hacer CEROS todos los elementos sobre el pivote a3,3.,[object Object],Es decir, si inicialmente tenemos [M|I] luego de realizarlas operaciones anteriores obtendremos: [I|M-1],[object Object]
Ejemplo:,[object Object]
Ejemplo:,[object Object]
Propiedades de la inversión de matrices:,[object Object],La matriz inversa, si existe, es única ,[object Object],A-1·A = A·A-1= I ,[object Object],(A·B)-1 = B-1·A-1,[object Object],(A-1)-1 = A ,[object Object],(kA)-1 = (1/k) · A-1,[object Object],(At) –1 = (A-1) t,[object Object]
Propiedades básicas de matrices:,[object Object],Suponiendo que todos los productos y las sumas están definidos por las matrices indicadas A, B, C, I y 0, entonces:,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
Dada M y M-1, encuentre el valor de cada variable de la matriz M-1, de acuerdo a la definición de 𝑴𝑴−𝟏=𝑰,[object Object],𝑴=𝟒−𝟏−𝟔𝟐𝑴−𝟏=𝒂𝒄𝒃𝒅,[object Object],Con la matriz M del ejemplo anterior, calcular por el método de Gauss-JordanM-1 .,[object Object],Calcular por el método de Gauss-Jordan la inversa de las siguientes matrices: ,[object Object], ,[object Object]
Demuestre que (M-1)-1 = M para la siguiente matriz:,[object Object],𝑴=𝟑𝟒𝟐𝟑,[object Object],Demuestre que (M.N)-1=(M-1.N-1) para las siguientes matrices:,[object Object],𝑴=𝟑𝟒𝟐𝟑 𝑵=𝟑𝟕𝟐𝟓,[object Object], ,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
Aplicaciones de los Determinantes:,[object Object],Entre las aplicaciones que podemos encontrar de los determinantes tenemos:,[object Object],Resolución de sistemas de ecuaciones a través de Determinantes.,[object Object],Encontrar si una matriz es invertible. Ya que si una matriz M no tiene determinante, entonces M no es invertible.,[object Object],Saber si un conjunto de n vectores es linealmente dependiente.,[object Object]
Definiciones:,[object Object],Existen diferentes métodos para hallar el determinante de una matriz, desde los mas sencillos hasta los complejos dependiendo de la longitud de la matriz, aquí analizaremos las de segundo orden, tercer orden, y orden superior:,[object Object],El determinante de una matriz, como resultado generara un escalar, el cual representa la singularidad de dicha matriz.,[object Object],Dada la matriz A, su determinante esta denotado por: det (A).,[object Object]
Dada la matriz A22, se define su determinante det(A) ó |A|igual a un escalar, de la siguiente forma:,[object Object],Ejemplo:,[object Object]
Determinante por el método de COFACTORES de aij,[object Object],Dada la matriz A33, se define su determinante det(A) ó |A|igual a un escalar, de la siguiente forma:,[object Object]
Ejemplo:,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
Regla de Sarrus.,[object Object],Solo para el caso de matrices de TERCER ORDEN.,[object Object],Dada la siguiente Matriz:,[object Object],M=a11a12a13a21a22a23a31a32a33,[object Object],Llamaremos sumandos positivos a los obtenidos al multiplicar:,[object Object],Los elementos de la diagonal principal: a11∙a22∙a33,[object Object],2)	Los elementos de la línea paralela superior a la diagonal principal por el elemento aislado de la esquina inferior izquierda: a12∙a23∙ a31,[object Object], ,[object Object]
3)	Los elementos de la línea paralela inferior a la diagonal principal por el elemento aislado de la esquina superior derecha: a21 ∙ a32 ∙ a13,[object Object],Representación Grafica de Sumandos Positivos,[object Object]
Dada la siguiente Matriz:,[object Object],M=a11a12a13a21a22a23a31a32a33,[object Object],Llamaremos sumandos negativosa los obtenidos al multiplicar:,[object Object],Los elementos de la diagonal secundaria: a13∙a22∙ a31,[object Object],Los elementos de la línea paralela superior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la esquina inferior derecha: a12∙a21∙a33,[object Object],Los elementos de la línea paralela inferior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la esquina superior izquierda: a32∙a23∙a11,[object Object], ,[object Object]
Representación Grafica de Sumandos Negativos,[object Object],Y entonces det (A)= |A|=Sumandos positivos- Sumandos negativos.,[object Object]
Ejemplo:,[object Object],Dada la matrizA, se tiene que aplicando la regla de Sarrus el det(A)esta dada comosigue:,[object Object]
Propiedades de los determinantes,[object Object]
Propiedades de los determinantes,[object Object]
Propiedades de los determinantes,[object Object],6. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta,[object Object],7. Si A tiene matriz inversa, A−1, se verifica que:,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
Las matrices Identidad e Inversa, pueden usarse para resolver ecuaciones matriciales mediante el mismo número de variables y ecuaciones. ,[object Object],Si el sistema tiene menos variables que ecuaciones o viceversa, entonces se deberá resolver por el método de eliminación de Gauss-Jordan.,[object Object],Entonces:,[object Object]
Xi= A-1∙Bi,[object Object]
Ejemplo:,[object Object],Use el método de la matrizinversa para resolver los siguientessistemas:,[object Object]
Respuesta:,[object Object]
Regla de Cramer,[object Object],La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.,[object Object],Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa.,[object Object],Pero como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas.,[object Object]
Si Ax=b es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, X=(x1,x2,..,xn) es el vector columna de las incógnitas y bes el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:,[object Object],Donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-ésimacolumna de A por el vector columna b. Note que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.,[object Object]
Regla de Cramer para DOSecuaciones y DOS variables,[object Object],Dado el sistema:,[object Object],Entonces:,[object Object]
Ejemplo:,[object Object]
Regla de Cramer para TRESecuaciones y TRES variables,[object Object],Dado el sistema:,[object Object],Entonces:,[object Object]
Ejemplo:,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES
Encuentre a, b, c de manera que la gráfica de la parábola con la ecuación 𝒚=𝒂+𝒃𝒙+𝒄𝒙𝟐 pase por los puntos (-2,3), (-1,2) y (1,6).,[object Object],El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?,[object Object],El área de una lámina de plata es 48cm2, y su longitud es 4/3 de su anchura. Halla su longitud y su anchura.,[object Object], ,[object Object]
Encuentre a, b, c de manera que la gráfica del circulo con la ecuación 𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒂𝒙+𝒃𝒙+𝒄=𝟎 pase por los puntos (6,2), (4,6) y (-3,-1).,[object Object],La diagonal de un rectángulo mide 26cm y el perímetro 68cm. Hallar los lados del rectángulo.,[object Object], ,[object Object]
ALGEBRA DE MATRICES

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ALGEBRA DE MATRICES

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  • 3.
  • 4.
  • 5.
  • 6.
  • 7.
  • 8. B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamañoes (2x3). Qué elemento es b23?.
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