Teoria dos Jogos: Introdução à Equilíbrio de Nash

1. Sum´rio a Soma Zero Jogos sem Soma Zero Um Minicurso sobre Teoria dos Jogos Pedro Aladar Tonelli Departamento de Matem´tica Aplicada a Instituto de Matem´tica e Estat´ a ıstica USP Semana de Matem´tica Aplicada FFCLRP-USP setembro de a 2006 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

2. Sum´rio a Soma Zero Jogos sem Soma Zero Sum´rio a 1 Jogos de Soma Zero Introdu¸õ ca O Conceito de equil´ıbrio de Nash Os jogos de soma zero e dois jogadores Elementos de Sela e Valor do Jogo e e ´ Estrat´gias Mistas e Estrat´gias Otimas Estrat´gias dominantes e 2 Jogos nõ soma zero a Defini¸˜es co Exemplos com matrizes de dimensõ 2a Equil´ ıbrios evolucionariamente est´veis a Bibliografia Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

3. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca O que ´? e Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para e a estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de interesses por parte dos agentes que tomam decisõ. a Exemplos: Jogo de xadrez Conflito diplom´tico ou pol´ a ıtico Concorrˆncia na Economia e Teoria da Evolu¸õ em Sistemas biol´gicos ca o Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

8. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca Hist´rico o Cournot (1840) Walras (1890) Borel (1915) von Neumann e Morgenstern (1940) Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960) Maynard-Smith (1970) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

13. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Divis˜es Comuns o Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos e o Jogos Cooperativos Jogos nõ Cooperativos a Forma Extensiva Forma Estrat´gica (Normal) e Jogos de Soma Zero Jogos sem Soma Zero Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores. Estudaremos os jogos nõ cooperativos com dois jogadores. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

17. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Primeiras defini¸˜es co Um jogo nõ cooperativo na forma normal ´ composto dos a e seguintes elementos: Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito). Estrat´gias: Σi (quase sempre finito). e Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento) Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma e e vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias. e Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

21. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Dilema dos Prisioneiros O Jogo: Dois prisioneiros sõ mantidos em escrit´rios separados e a o o promotor do caso oferece a cada um o seguinte: caso ele testemunhe contra o comparsa e este nõ testemunhar contra ele, a sua pena ser´ de 1 ano de prisõ cabendo a seu colega cumprir 10 a a anos. Caso o comparsa tamb´m testemunhe contra ele sua pena e ser´ de 5 anos. Se, todavia, ambos se recusarem a testemunhar a um contra o outro, ambos passarõ dois anos na cadeia. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

22. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca Tabela de pagamentos do dilema dos prisioneiros N T N (−2, −2) (−10, −1) T (−1, −10) (−5, −5) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

23. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Melhor Resposta Temos um jogo na forma normal: Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn Um ponto u = (u1 , . . . , un )) ∈ Σ1 × · · · × Σn vamos chamar de um perfil de estrat´gias. e Fixado o perfil u e o jogador i definimos o conjunto melhor resposta de i Mi (u) ∈ Σi como Mi (u) = {vi ∈ Σi : Πi (u1 , . . . , ui−1 , vi , ui+1 , . . . , un ) = max Πi (u1 , . . . , ui−1 , v , ui+1 , . . . , un )} (1) v ∈Σi Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

24. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca O equil´ ıbrio como ponto fixo Note que na defini¸õ acima nõ ´ necess´rio que ui ∈ Mi (u). ca a e a Definimos M(u) = M1 (u) × · · · Mn (u) ⊂ Σ1 × · · · × Σn (2) e diremos que um perfil u ´ um Equil´ e ıbrio de Nash quando: u ∈ M(u) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

25. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Interpreta¸õ do equil´ ca ıbrio Se u ∈ M(u), para o jogador pi : ui ∈ Mi (u) ⊂ Σi , ou seja, ui ´ a melhor resposta do jogador para o e perfil u. Assim para um perfil de equil´ ıbrio, se um jogador mudar sozinho de estrat´gia ele nõ pode aumentar, e corre o risco de rebaixar o e a ganho individual Πi . Obs: Pode existir um perfil em que todos os jogadores ganham mais que num perfil de equil´ ıbrio, mas a´ cada jogador precisaria do ı aux´ dos outros. ılio Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

26. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Equil´ ıbrio do dilema dos prisioneiros N T N (−2, −2) (−10, −1) T (−1, −10) (−5, −5) O perfil u = (T , T ) ´ um equil´ e ıbrio de Nash. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

27. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca M´todo dos perf´ racionais e ıs Diremos que um perfil u ∈ Σ satisfaz a propriedade da racionalidade individual para o jogador i quando Πi (u) = max Πi (u1 , . . . , v , . . . , un ) (3) v ∈Σi Definimos o conjunto de perfis racionais de i como sendo: Ri = {u ∈ Σ : u tem a prop. de racionalidade individual } ⊂ Σ (4) N = ∩n Ri ´ o conjunto de todos os perf´ de equil´ i=1 e ıs ıbrio do jogo. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

28. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca defini¸õ dos jogos de soma zero ca Num jogo com dois Jogadores (Luiza e Carlos) com as estrat´gias e Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm } O jogo tem soma zero se Π1 (ei , fj ) + Π2 (ei , fj ) = 0. Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), −Π1 (ei , fj )) = (aij , bij ) (5) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

29. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Exemplo: Pedra, papel, tesoura Luiza e Carlos estõ jogando Pedra, Papel e Tesoura, eles tem o a mesmo conjunto de estrat´gias Σ = {R, P, T } e   0 −1 1 A= 1 0 −1 (6) −1 1 0 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

30. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Elementos de sela Se (ei , fj ) for um par de equil´ ıbrio entõ: a aij ≥ akj ∀k ∈ {1, . . . , n} (7) − aij ≥ −ail ∀l ∈ {1, . . . , m} (8) Dada uma matriz A ∈ Mn×m um elemento aij ´ chamado elemento e de sela da matriz A quando satisfaz as duas rela¸˜es co simultaneamente: aij = max akj para k ∈ {1, . . . , n} (9) k aij = min ail para l ∈ {1, . . . , m} (10) l Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

31. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca exemplo Vejamos um exemplo, a matriz   4 0 −1 A= 2 1 3  (11) −2 0 4 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

32. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Propriedades dos elementos de sela Proposi¸õ ca Se aij e apq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A, entõ apj e aiq tamb´m sõ elementos de sela e aij = apq a e a No caso de haver muitos elementos de sela seus valores sõ a iguais. Pode nõ haver elementos de sela. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

35. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Estrat´gias Mistas e ´ E comum uma matriz de um jogo nõ ter pontos de sela. a Definimos entõ uma distribui¸õ de probabilidades sobre as a ca estrat´gias puras. e Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza. e Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos. e M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias e mistas de Luiza. M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias e mistas de Carlos. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

42. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Exemplo: estrat´gia mista e Digamos que a matriz do jogo seja: 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 Esta matriz nõ tem ponto de Sela. a Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs. e e (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo? Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

47. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Extensõ Mista do Jogo a Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn ) Carlos: q = (q1 , . . . , qm ) Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq (M1 , M2 , E ) Extensõ mista do jogo. a Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

51. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca No exemplo anterior 0.8 0.2 0.5 A= 0.1 0.5 0.2 p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza. e e q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos. e E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 + 0.40.30.5 + 0.40.20.2 E (p, q) = 0.43200 Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

56. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza vL (A) = maxp minq E (p, q) Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos. vC (A) = minq maxp E (p, q) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

62. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca ´ Estrat´gias Otimas e Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax. e o e r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza e e o vL (A) = minq E (r, q) s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se e e o vC (A) = maxp E (p, s) Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

67. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca Teorema Minmax Teorema Dada uma matriz A temos que existem estrat´gias mistas ´timas e o para o jogador das linhas e das colunas e vC (A) = vL (A). Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

68. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Estrat´gias ´timas e perfil de equil´ e o ıbrio r e s estrat´gias ´timas. e o vL (A) = E (r, s) = vC (A) Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m: e e E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s) Luiza nõ ganha nada desviando da estrat´gia. a e Nem Carlos com racioc´ an´logo. ınio a O perfil (r, s) ´ um equil´ e ıbrio de Nash. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

75. Introdu¸õ ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸õ do Jogo a ca Um resultado para o C´lculo das estrat´gias ´timas a e o Proposi¸õ ca m n Definindo: E (i, q) = j=1 aij qj e E (p, j) = i=1 aij pi entõ: a vC (A) = min max E (i, q) (12) q i vL (A) = max min E (p, j) (13) p j Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

76. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca Caso de matrizes 2 × 2 Quando cada jogador tem s´ duas estrat´gias puras temos: o e M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]} M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1] Neste caso podemos calcular facilmente os equil´ ıbrios. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

77. Introdu¸˜o ca Equil´ ıbrio de Nash Sum´rio a Jogos de Soma Zero Soma Zero Sela e Valor do Jogo Jogos sem Soma Zero Estrat´gias Mistas e Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo a ca Caso de matrizes 2 × 2 Quando cada jogador tem s´ duas estrat´gias puras temos: o e M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]} M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1] Neste caso podemos calcular facilmente os equil´ ıbrios. Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos

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