Olasılık Tablolarının .Net ortamında oluşturulması

1. OLASILIK TABLOLARI
Musa SARİ
Karadeniz Teknik Üniversitesi - İstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü

2. Tabloları Yapılan Dağılımlar
 Binom Dağılımı  Poisson Dağılımı
 Standart Normal Dağılım  Ki-Kare Dağılımı
 Student – 푡 Dağılımı

3. Binom Dağılımı
Bernoulli dağılımı: X rasgele değişkeni yalnızca 0 ve 1 değerlerini alsın. X ‘in olasılık
fonksiyonu:
푓 푥 = 푃 푋 = 푥 = 푝푥 1 − 푝 푥 , 푥 = 0,1 şeklindedir.
 n kez tekrar eden Bernoulli denemesi Binom dağılımını oluşturur.
Binom dağılımı
Olasılık fonksiyonu;
푓 푥 = 푛
푥 푝 푥 푞 푛−푥 ; 푥 = 0,1, … 푛 ; 푝 + 푞 = 1
Burada,
n : yapılan deneme sayısı p : başarılı olma olasılığı
x : başarılı olan deneme sayısı q : başarısız olma olasılığı

4. Binom Dağılımı

5. Binom Tablosu
Binom Tablosu için;
푓 푥 = 푛
푥 푝 푥 푞 푛−푥 ; 푥 = 0,1, … 푛 ; 푝 + 푞 = 1

6. Binom Tablosu
Örnek: Bir para 4 kez atılsın: a) 2 tura b) En az 1 kere tura gelmesi olasılıklarını
hesaplayalım.
a) 푋:4 atıştaki turaların sayısı,
푓 푥 = 푃 푋 = 푥 = 4
푥
1
2
푥 1
2
4−푥
푓 2 = 푃 푋 = 2 = 4
2
1
2
2 1
2
4−2
= 0.375

7. Binom Tablosu
b) En az 1 kere tura gelmesi olasılığı:
푃 푋 ≥ 1 = 1 − 푃 푋 = 0 = 1 − 4
0
1
2
0 1
2
4−0
= 1 − 0.0625 = 0.9375

8. Poisson Dağılımı
X rasgele değişkeni Poisson dağılımına sahip olsun. X in olasılık fonksiyonu;
푓 푥 =
푒−휆휆푥
푥!
, 푥 = 0,1,2, … , (휆 > 0) şeklindedir.
 Sürekli uzayda kesikli veriler veren deneylere uygulanır.
 Bir birim zaman ya da alanda bir sonucun(başarının) elde ediliş sayısı 푥 dir.
 Bir birim zaman ya da alanda bir sonucun(başarının) ortalama elde ediliş sayısı 휆 dır.

9. Poisson Dağılımı

10. Poisson Tablosu
Poisson tablosu için:
푓 푥 =
푒−휆휆푥
푥!
, 푥 = 0,1,2, … , (휆 > 0)

11. Poisson Tablosu
Örnek: 200 sayfalık bir kitaba 200 yazım hatası rastgele dağıtılıyor. Rastgele seçilen bir
sayfada;
a) İki b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir?
a) 푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1
푃 푋 = 2 = 푓 2 =
푒−112
2!
=
푒−1
2
= 0.1839

12. Poisson Tablosu
b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir?
푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1
푃 푋 < 2 = 푓 0 + 푓 1 = 푒−1 +
푒−111
1!
= 0.7358

13. Normal Dağılım
Normal Dağılım: Sürekli bir X rasgele değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu:
푓 푥 =
1
휎 2휋
푒−
1
2
푥−휇
휎
2
, 푥, 휇 ∈ 푅 , 휎 > 0
Standartlaştırma: 푋~푁 휇, 휎2 için, 푍 ~푁 0,1
푍 =
푋−휇
휎
dönüşümü ile X rasgele değişkeni standartlaştırılır.

14. Normal Dağılım

15. Standart Normal Dağılım
푓 푥 =
1
2휋
푥2
2 , −∞ < 푥 < ∞ −∞
푒−
∞ 1
2휋
푒−
푥2
2 dx = 1
푏 1
푃 푎 < 푋 < 푏 = 푎
2휋
푒−
푥2
2 dx , {푎, 푏 푠푎푏푖푡}

16. 푃 푎 < 푋 < 푏 =
푏
푎
1
2휋
푒−
푥2
2 dx

17. Kullanılan Yöntem
Trapez (yamuk) yöntemi:
b
f(a)
f (b)
a Taban
f (x)
x
퐴푙푎푛 = 푏 − 푎
푓 푏 + 푓 푎
2

18. Trapez Yöntemi
f2
I1 h
In
fn-1
x2....... xn-1
f1
I2
f0
fn
x0 x1 xn
푇표푝푙푎푚 푎푙푎푛 → 퐼 = 퐼1 + 퐼2 + … + 퐼푛
퐼 =
ℎ
2
푓1 + 푓2 + … + 푓푛−2 + 푓푛−1 + 푓푛

19. Trapez Yöntemi
퐼2
퐼1
퐼3 퐼4
푃 푧 < 1,64 = Σ퐼푖 = 퐼1 + 퐼2 + 퐼3 + 퐼4 + 0.5

20. Standart Normal Tablosu
Standart normal tablosu için;
푧 1
f z = −∞
2휋
푧
2 dz
푒−

21. Standart Normal Tablosu
Örnek: Bir okuldaki erkek öğrencilerin ağırlıkları 68,50 kg ortalamalı ve 2,32 kg standart
sapmalı normal dağılıma sahiptir.
a) Bu okuldaki herhangi bir erkek öğrencinin 72 kg dan daha hafif olması olasılığı nedir?
b) Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır?
Çözüm a):
푋: Okuldaki erkek öğrencilerin ağırlığı olsun.
O halde 푋~푁(휇 = 68.50, 휎 = 2.32) olur.
푃 푋 < 72 =?

22. Standart Normal Tablosu
푋 standartlaştırıldığında:
푧 =
72.0−68.5
2.3
= 1.52 elde edilir.
Böylece 푃 푋 < 72 = 푃 푍 < 1.52
푃 푍 < 1.52 = 0.9357

23. Standart Normal Tablosu
Çözüm b): Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır?
푃 70 < 푋 < 72 =?
푧1 =
70.0−68.5
2.3
= 0.65 ve 푧2 =
72.0−68.5
2.3
= 1.52
Böylece:
푃 70 < 푋 < 72 = 푃 푧1 < 푍 < 1푧2
푃 0.65 < 푍 < 1.52 = 0.9357 − 0.7421
= 0.1935

24. Ki-Kare Dağılımı
푓 푥 =
1
2
푣
2 Γ
푣
2
푥
푣
2
−1 푒−
푥
2 , 푥 > 0 , 푣 = 0,1,2 …
푣: serbestlik derecesi
Serbestlik Derecesi : Bir örneklemdeki gözlem sayısına bağlı olarak değişkenlik
göstermede serbest olmayı ifade eder.
 Bir örneklemdeki bağımsız gözlem sayısından parametre sayısının çıkarılmasıyla
bulunur.

25. Ki-Kare Dağılımı

26. Ki-Kare Dağılımı
18.304
푋2 = 18.304
푣 = 10
0.95 =
0
1
푣
2 Γ
2
푣
2
푥
푣
2
푥
2푑푥
−1 푒−

27. Ki-kare Tablosu
Ki-kare tablosu için;
푥 1
A푙푎푛 = 0
2
푣
2 Γ
푣
2
푥
푣
2
−1 푒−
푥
2푑푥

28. Student – 푡 Dağılımı
Olasılık yoğunluk fonksiyonu:
푓 푡 =
푣+1
2
푣휋Γ
Γ
푣
2
1 +
푡2
푣
−
푣+1
2
, 푡 ∈ 푅 şeklindedir.
 푡 -dağılımı veri modeli kurmak için normal dağılıma bir alternatif olarak kullanılır.
 Genel olarak örneklem sayısının küçük olduğu ve kitlenin normal dağıldığının
varsayıldığı durumlarda kullanılır.

29. Student – 푡 Dağılımı

30. Student – 푡 Dağılımı

31. Student – 푡 Dağılımı
푡0.95 = 1.812
푣 = 10

32. Student – 푡 Tablosu
Student - 푡 tablosu için;
푡 Γ
퐴푙푎푛 = −∞
푣+1
2
푣휋Γ
푣
2
1 +
푡2
푣
−
푣+1
2
푑푡

33. Teşekkürler…