1. INTERSECCIONES Entre planos Entre recta y plano PERPENDICULARIDAD PARALELISMO Intersección entre tres planos Entre rectas Entre planos Entre recta y plano Entre rectas Entre planos Entre recta y plano

2. INTERSECCIONES ENTRE PLANOS. La intersección entre dos planos es una recta que debe pertenecer a ambos planos. P’ P r’ r R H=h V=v’ v h’ Q’ Q 1) 2) 3) P’ P Q’ Q P’ P H=h V=v’ v h’ Q’ Q

3. P’ P Q Q’ P’ P v v’ h h’ Q Q’ P’ P r’ r v v’ h Q Q’ 1) 2) 3) h’

4. Ejercicios P’ P Q’ P’ P Q’ Q P Q’ Q P’ P Q’ Q

5. P’ P Q’ r’ r R R r r’ R r’ r P’ P Q’ Q R r r’ P’ P Q’ Q P Q’ Q

6. P’ P Q’ P’ r’ r r r’ P’ P r r’ Q Q’ r r’ r’’ P P Q’ Q

7. INTERSECCIÓN ENRE 3 PLANOS. Q’ Q P’ P M M’ I La intersección entre tres planos es un punto. P’ P Q’ Q

8. Q’ Q P’ M M’ P i’ i

9. P’ P Q’ Q Q’ Q P’ M’ P A Recta de intersección entre dos planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo.

10. h h’ P P’ Q’ Q M’ i’ i P P’ Q’ Q r r’

11. INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO. Q P’ R r r’ P La intersección entre una recta y un plano es un punto que pertenece a ambos. P’ R r r’= Q’ P 1) 2) 3) Q P’ R r r’= Q’ P I S

12. P P P’ P’ r r’ Q Q’= r’= s ’ h h’ v’ v s r i’ i

13. P’ P r r’ P’ P’ P’ P P P r r’ r r’ r r’ P’ P’=P P’ P P’’ r r’ r r’ r r’ Ejercicios 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) P’ P r r’ P’ P r r’

14. Dos rectas son paralelas en el espacio cuando sus proyecciones del mismo signo son paralelas r r’ s s’ r’ r r’’ s s’ s’’ R r r’ S s’ s R S s’ s r’ r r S s’ s r’ R PARALELISMO Entre rectas r r’ s’ s

15. Dos planos son paralelos cuando sus trazas del mismo signo son paralelas P P’ Q’ Q Q’ Q P P’ P P’ P’’ Q’ Q Q’’ P’ Q’ Q P P P’ Q’ Q P P’ Q’ Q P’’ Q’’ Entre planos

16. Una recta y un plano son paralelos en el espacio cuando el plano contiene alguna recta paralela a la dada. P P’ r r’ s’ s r r’ s’ s NO P P’ R r r’ S s’ s Entre recta y plano SI P P’

17. PERPENDICULARIDAD En diédrico, al revés de lo que ocurre en paralelismo, dos rectas que son perpendiculares, o dos planos que son perpendiculares, no guardan relación espacial entre sí; es decir, que si en diédrico se da el caso de las proyecciones homónimas de dos rectas son perpendiculares, no significa que dichas rectas sean perpendiculares en el espacio; y si las trazas homónimas de dos planos son perpendiculares, tampoco significa que ambos planos sean perpendiculares. Entre recta y plano Si una recta R es perpendicular a un plano P, la proyección r de la recta sobre otro plano H es perpendicular a la recta de intersección de ambos planos. P P’ I R r’ r= Q 90º 90º Q’ S h h’ i’ i 90º 90º r= Q Q’ P P’ r’

18. Planos y rectas perpendiculares. P P’ r’ r r’ r P P’ r r’ r’’ P P’ P’’ P r r’

19. Entre rectas TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES: si dos rectas son perpendiculares en el espacio y una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de las rectas sobre el plano son perpendiculares. R r r’ S s’ s 90º 90º r r’ s’ s PERPENDICULARIDAD

20. EJEMPLOS. r r’’ r r’ s’ s r r’ s’ s s s’ r’ r r’ s’ s r r’ r’’ s’ s s’’ r= s r’= s’ r’’ s’’

21. Perpendicularidad entre rectas oblicuas. R S P Dibujar dos rectas oblicuas que sean perpendiculares Incorrecto r r’ s’ s r r’ s’ s 90º v’ h h h’ v v’ r r’ r r’ s’ s r r’ 90º 90º P P’ P P’ Correcto

22. Entre planos Dos planos son perpendiculares si uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro. Dibujar un plano perpendicular a P P P’ P P’ Solución: r r’ r r’ Q Q’ PERPENDICULARIDAD R S 90º P P’