1. จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
1. ขอความใดตอไปนี้ไมจริง (คณิตศาสตร กข 28)
ก. ถา x เปนจํานวนตรรกยะ แลว จะไมสามารถหา x ซึ่งมีคานอยที่สุด โดยที่
ข. ถา x เปนจํานวนเต็มที่ไมเปน 0 แลว จะมีจํานวนเต็ม
p
และ q ซึ่ง
x <9
p ≠ a, q ≠ 0
และ
p
= a
q
ค. ถา a เปนจํานวนจริงที่ไมเปนจํานวนตรรกยะแลว จะเขียน a ไดในรูปทศนิยมไมซ้ํา
ง. ถา a เปนจํานวนจริง แลว n a n = a เมื่อ n = 2, 4, 6, K
2. ขอใดตอไปนี้ถูก (คณิตศาสตร กข 32)
ก. มีจํานวนตรรกยะ a ≠ 0 และจํานวนอตรรกยะ b ซึ่ง ab เปนจํานวนตรรกยะ
ข. ถา a, b เปนจํานวนตรรกยะบวกแลว a b เปนจํานวนตรรกยะเสมอ
ค. มีจํานวนอตรรกยะ a, b ซึ่ง a ≠ − b และ a + b เปนจํานวนตรรกยะ
ง. ถา a,
ก. 0
ง. -6
b
เปนจํานวนอตรรกยะ และ b
≠
1
a
แลว
ab
เปนจํานวนอตรรกยะเสมอ
3. กําหนดให I เปนเซตของจํานวนเต็ม และ * เปนโอเปอเรชันที่กําหนด
โดย a * b = a + b + 2 เมื่อ a, b ∈ I
จํานวนใดเปนอินเวอรสของ 4 ภายใตโอเปอเรชัน * (คณิตศาสตร กข 24)
ข. -2
จ. -8
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
ค. -4
-1-
2. 4. กําหนดให a * b = a + b − 8 ;
ขอใดตอไปนี้ถูก (คณิตศาสตร กข 31)
ก. (2 * 3) * 4 ≠ 2 * (3 * 4)
ค. อินเวอรสของ a สําหรับ * ใน I คือ −a
5. กําหนดให A = {x / x =
ขอใดตอไปนี้ผิด (คณิตศาสตร กข 32)
ก. A มีคุณสมบัติปด
ค. มีสมาชิกบางตัวของ
A
a, b ∈ I
ข. เอกลักษณของ * ใน I คือ 8
ง. * ไมมีคุณสมบัติการสลับที่
2k ; k
ที่ไมมีอินเวอรสใน
เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม
เปนจํานวนเต็ม } และโอเปอเรชันบน
ข. 1 เปนเอกลักษณใน
A
คือการคูณของจํานวนจริง
A
ง. อินเวอรสของ 2 คือ
A
1
2
6. ขอใดตอไปนี้ถูก (คณิตศาสตร กข 30)
ก. เซตของจํานวนเต็มกับการบวกมีเอกลักษณ แตมีสมาชิกบางตัวไมมีอินเวอรส
ข. เซตของจํานวนตรรกยะกับการคูณมีเอกลักษณ และสมาชิกทุกตัวมีอินเวอรส
ค. สําหรับทุกๆ a, b ∈ R กําหนดให a * b = (2 a )(2 b ) ดังนั้น R กับโอเปอเรชัน * ไมมีเอกลักษณ
ง. มีจํานวนตรรกยะ a และจํานวนอตรรกยะ b ซึ่ง a + b เปนจํานวนตรรกยะ
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
-2-
3. 7. พิจารณาขอความตอไปนี้
(1) ถาให A = {x / x = a n ; a ∈ R, a > 0 และ n เปนจํานวนเต็ม } แลว A จะมีคุณสมบัติปดของการคูณ
(2) ถาให A = {x / x = ab ; a เปนจํานวนตรรกยะ และ b เปนจํานวนอตรรกยะ }
แลว A จะเปนสับเซตของจํานวนอตรรกยะ
(3) ถาให A เซตของจํานวนเต็มลบ และกําหนด * บน A ดังนี้ x * y = − xy เมื่อ x, y ∈ A
แลว A จะมีเอกลักษณภายใต * เปน -1
(4) ถาให A เปนเซตของจํานวนตรรกยะ และกําหนด ∆ บน A โดย x ∆ y = y ( x − y ) เมื่อ x, y ∈ A
แลว ∆ จะมีคุณสมบัติการสลับที่
ขอใดตอไปนี้ถูก (คณิตศาสตร กข 29)
ก. ขอ (1) และขอ (3) เปนจริง
ข. ขอ (2) และขอ (4) เปนจริง
ค. ขอ (1) และขอ (4) เปนจริง
ง. ขอ (2) และขอ (3) เปนจริง
8. ให
ถา
ก.
ค.
y 1
<
x z
my
< mz
x
m, x, y
x
>z>0
y
และ z เปนจํานวนจริงที่ไมใชศูนย
แลว ขอใดตอไปนี้เปนจริง (คณิตศาสตร กข 38)
ข.
x > yz
ง.
mx
> mz
y
9. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงลบทั้งคู
ถา a < x < b แลว ขอใดตอไปนี้เปนจริง (คณิตศาสตร กข 34)
ก. x + a > 0
ข. x + b < 0
ค.
1
1
<
x
b
ง.
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
1 1
<
x a
-3-
4. 10. กําหนดชวง (a, b) และ (c,
ก. ถา a < c และ b < d แลว c < b
ค. ถา a > c และ b > c แลว d < a
d)
มีจุดรวมกัน แลว พิจารณาวาขอใดตอไปนี้ผิด (คณิตศาสตร กข 33)
ข. ถา a < c และ d < b แลว c < b
ง. ถา a > c และ b < d แลว b > c
11. ให a เปนจํานวนเต็ม ถา x − a หาร x 3 + 2 x 2 − 5 x − 2 เหลือเศษ 4
แลว ผลบวกของคา a ทั้งหมดที่สอดคลองเงื่อนไขดังกลาว เทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 38)
ก. -6
ข. -2
ค. 2
ง. 6
12. ให p เปนจํานวนเฉพาะบวก และ m, n เปนจํานวนเต็ม
ถา x + 3 หาร x 3 + mx 2 + nx + p ลงตัว และ x − 1 หาร x 3
แลว m และ n มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 37)
ก. m = 4, n = − 4
ข. m = 2, n =
ค. m = − 4, n = 4
ง. m = − 2, n = 2
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
+ mx 2 + nx + p
เหลือเศษ 4
−2
-4-
8. 22. กําหนดให
A = {x ∈ R /
เมื่อ R เปนเซตของจํานวนจริง แลว
ก. [−3, − 1] ∪ [1, 3]
ค. [−3, 3]
x −1
x −2
A′ ∪ B
≤ 0}
และ
B = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3}
คือเซตในขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 32)
ข. (−∞, − 2] ∪ [2, ∞)
ง. (−∞, ∞)
23. ให A เปนเซตคําตอบของสมการ x − 4 +
A จะเทากับเซตในขอใด (คณิตศาสตร กข 30)
x−3 = 1
ก.
{3, 4}
ข.
{x ∈ R / x −
ค.
(−∞, 4]
ง.
7
1
≤ }
2
2
[3, ∞)
24. เซตคําตอบของ
ก.
ค.
1
)
4
1
(−6, − 1) ∪ (0, )
4
(−6, − 2) ∪ (0,
3x − 2
x +1 −1
> 5
คือ (คณิตศาสตร กข 26)
1
)
4
ข.
(−6, − 2) ∪ (−1,
ง.
(−6, − 1) ∪ (−1, ∞)
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
-8-
9. 25. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด ซึ่งหาร 90 เหลือเศษ 6 และหาร 150 เหลือเศษ 3
แลว n หาร 41 เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 39)
ก. 5
ข. 6
ค. 18
ง. 20
26. ให a, b เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a < b 5 หาร a ลงตัว และ 3 หาร b ลงตัว
ถา a, b เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ และ ค.ร.น.ของ a, b เทากับ 165
แลว a หาร b เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 41)
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4
27. กําหนดให x และ y เปนจํานวนเต็มบวก โดยที่ x < y
ห.ร.ม.ของ x, y เทากับ 9
ค.ร.น.ของ x, y เทากับ 28215
และ จํานวนเฉพาะที่แตกตางกันทั้งหมดที่หาร x ลงตัว มี 3 จํานวน
คาของ y − x เทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 37)
ก. 36
ข. 45
ค. 9
ง. 18
28. ให x และ
ซึ่ง
y
เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 80
< x < 200
และ
x = pq
เมื่อ
p
และ q เปนจํานวนเฉพาะ
p ≠ q
ถา x และ y เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ และ ค.ร.น.ของ x , y เทากับ 15015
แลว ผลบวกของคา y ทั้งหมดที่สอดคลองเงื่อนไขทั้งหมดที่กําหนดใหเทากับเทาใด (คณิตศาสตร กข 38)
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
-9-