1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
(เนื้อหาตอนที่ 2)
ตัวหารร่วมมาก และ ตัวคูณร่วมน้อย
โดย
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร. ยศนันต์ มีมาก
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
สื่อการสอน เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 7 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
- ขั้นตอนวิธีการหาร
- การหารลงตัว
- จานวนเฉพาะ
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
- ตัวหารร่วมมาก
- ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
- จานวนเฉพาะสัมพัทธ์
- ตัวคูณร่วมน้อย
4. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
5. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
6. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ทฤษฎีจานวน
7. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ผู้สอน และนัก เรีย นทุก โรงเรีย นที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกั บการเรียนการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎี
จานวนเบื้องต้น นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด
ในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น (ตัวหารร่วมมาก และ ตัวคูณร่วมน้อย)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 2 (2/2)
หัวข้อย่อย 1. ตัวหารร่วมมาก
2. ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
3. จานวนเฉพาะสัมพัทธ์
4. ตัวคูณร่วมน้อย
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจบทนิยามและสัญลักษณ์ของตัวหารร่วมมาก
2. สามารถหาตัวหารร่วมมากโดยขั้นตอนวิธีของยุคลิด
3. เข้าใจบทนิยามจานวนเฉพาะสัมพัทธ์และสามารถตรวจสอบการเป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์
4. เข้าใจบทนิยามและสัญลักษณ์ของตัวคูณร่วมน้อยและสามารถหาตัวคูณร่วมน้อย
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. บอกบทนิยามและสัญลักษณ์ของตัวหารร่วมมากได้
2. หาตัวหารร่วมมากโดยขั้นตอนวิธีของยุคลิดได้
3. บอกบทนิยามจานวนเฉพาะสัมพัทธ์และตรวจสอบการเป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ได้
4. บอกบทนิยามและสัญลักษณ์ของตัวคูณร่วมน้อยและสามารถหาตัวคูณร่วมน้อยได้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ตัวหารร่วมมาก
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ตัวหารร่วมมาก
การสอนเรื่องตัวหารร่วมมาก ผู้สอนควรเริ่มโดยการทบทวนบทนิยามของการหารลงตัว ตัวหาร
พหุคูณ และสมบัติเบื้องต้นที่ผู้เรียนได้ศึกษาจากสื่อการสอนเรื่องทฤษฎีจานวนเบื้องต้น (เนื้อหาตอนที่ 1) แล้วให้
ผู้เรียนศึกษาบทนิยามของตัวหารร่วมมากจากสื่อการสอนดังนี้
จากบทนิยามของตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ผู้สอนอาจเพิ่มเติมว่า ห.ร.ม. นั้นผู้เรียนได้ศึกษามาบ้าง
แล้วในระดับประถมศึกษาตอนปลายและมัธยมศึกษาตอนต้น แต่ตอนนั้นเรานิยามเพียง ห.ร.ม. ระหว่างจานวน
เต็มบวกสองจานวน และคานวณ ห.ร.ม. ของจานวนเต็มบวกซึ่งมีค่าไม่มากนักโดยวิธีแยกตัวประกอบ หรือ หา
ตัวหารร่วมทั้งหมดดังแสดงในตัวอย่าง แต่ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย เราให้บทนิยาม ห.ร.ม. สาหรับจานวน
เต็มสองจานวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และเราจะศึกษาขั้นตอนวิธีหา ห.ร.ม. สาหรับจานวนเต็มที่มีค่ามาก
ๆ อีกด้วย และให้ผู้เรียนสังเกตเพิ่มเติมว่า ห.ร.ม. ของจานวนเต็ม a และ b นั้นต้องเป็นจานวนเต็มบวกซึ่งหาร
ทั้ง a และ b ลงตัวและมีค่ามากสุด
ต่อมาผู้สอนอาจย้าเกี่ยวกับสัญลักษณ์ ( a , b) ซึ่งแทน ห.ร.ม. ของ a และ b ที่มีลักษณะเหมือนกับ
ช่วงเปิดที่ผู้เรียนเคยพบตอนศึกษาเรื่องจานวนจริง แต่ในที่นี้เราใช้สัญลักษณ์นี้แทน ห.ร.ม. ของ a และ b
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เราได้ข้อสังเกตจากบทนิยามของ ห.ร.ม. ดังนี้
ผู้สอนอาจยกตัวอย่าง ห.ร.ม. ของจานวนเต็มสองจานวนเหล่านี้เพิ่มเติมจากตัวอย่างข้างต้น เพื่อให้
ผู้เรียนเกิดความเข้าใจข้อสังเกตนี้ยิ่งขึ้น
1. (12,80)  (80,12)  4, (75, 16)  (16,75)  (16,75)  1 (อาจย้าเพิ่มว่าไม่เหมือนช่วงเปิด)
2. (15,0)  15, (0, 2554)  2554, (a, a)  a เมื่อ a เป็นจานวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์
3. ( 155, 450)  (155, 450)  5 เพราะว่า 155  5  31 และ 450  5  90
ผูสอนอาจให้ข้อสังเกตเพิ่มเติมแก่ผู้เรียน เช่น
้
ข้อสังเกต ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็ม ซึ่ง b | a จะได้ว่า (a, b)  b
พิสูจน์ ให้ d  (a, b) ดังนั้น d | b ส่งผลให้ d  b
เพราะว่า b | a ดังนั้น b หาร a ลงตัว
และจาก b หาร b ลงตัว ทาให้ได้ว่า b เป็นตัวหารร่วมของ a และ b
เพราะฉะนั้น b  d เราจึงสรุปได้ว่า (a, b)  b #
ผู้สอนนาเข้าสู่ขั้นตอนวิธีของยุคลิดว่า ในการหา ห.ร.ม. ของจานวนเต็มสองจานวนที่ไม่เป็นศูนย์
พร้อมกันนั้น เราเพียงพอที่จะศึกษาเฉพาะขั้นตอนวิธีในการหา ห.ร.ม. ของจานวนเต็มบวกสองจานวนเท่านั้น
สาหรับจานวนเต็มลบหรือศูนย์นั้น เราสามารถใช้ข้อสังเกตข้างต้นหา ห.ร.ม. หรือแปลงคาถามเป็น ห.ร.ม. ของ
จานวนเต็มบวกได้เสมอ ซึ่งหากเป็นจานวนเต็มที่มีค่ามาก การแยกตัวประกอบหรือการหาตัวหารร่วมทั้งหมดอาจ
ทาได้ยาก
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
ในการหา ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบให้เป็นจานวนเฉพาะ หรือ การหาตัวหารร่วมทั้งหมดที่
ผู้เรียนได้ศึกษามาในระดับประถมศึกษาตอนปลายและมัธยมศึกษาตอนต้นนั้น เมื่อจานวนที่นามาหามีค่ามาก
วิธีการเหล่านี้จะมีความยุ่งยากและซับซ้อนมากในการคานวณ ขั้นตอนวิธีของยุคลิดเป็นวิธีหา ห.ร.ม. ที่มี
ประสิทธิภาพ
ขั้นตอนวิธีของยุคลิดเป็นวิธีที่ใช้กันมาตั้งแต่สมัยโบราณ โดยผู้ที่คิดค้นขั้นตอนวิธีคานวณนี้คือนัก
คณิตศาสตร์ชาวกรีกที่มีชื่อว่า ยุคลิด (Euclid) ซึ่งมีชีวิตอยู่เมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสตศักราช
สังเกตว่า a และ b ในขั้นตอนวิธีของ
ยุคลิดเป็นจานวนเต็มบวกดังได้กล่าวไว้
แล้วว่าเป็นการเพียงพอที่จะศึกษาเฉพาะ
ขั้นตอนวิธีในการหา ห.ร.ม. ของจานวน
เต็มบวกสองจานวนเท่านั้น
ผู้สอนอาจช่วยให้ผู้เรียนเข้าใจขั้นตอนวิธีของยุคลิดดียิ่งขึ้น ด้วยการทบทวนขั้นตอนวิธีการหารของ
จานวนเต็มบวกสองจานวนโดยชี้ให้เห็นว่าเศษเหลือนั้นเป็นศูนย์หรือจานวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าตัวหาร และ
ยกตัวหารของขั้นก่อนหน้ามาเป็นตัวตั้ง โดยนาเศษเหลือที่ไม่เป็นศูนย์ไปเป็นตัวหาร ทาเช่นนีไปเรื่อย ๆ ดังใน
้
ขั้นตอนวิธีของยุคลิดจะได้ว่าต้องมีเศษเหลือเป็นศูนย์ในที่สุด และเศษเหลือตัวสุดท้ายที่ไม่เป็นศูนย์ จะเท่ากับ
ห.ร.ม. ของ a และ b (ดูบทพิสูจน์ หน้า 12)
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนให้ผู้เรียนศึกษาตัวอย่างการหา ห.ร.ม. โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดในสื่อการสอนต่อไปนี้
ผู้สอนอาจให้ผู้เรียนทาแบบฝึกหัดต่อไปนี้เพื่อให้เข้าใจขั้นตอนวิธีของยุคลิดมากยิ่งขึ้น
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ชุดที่ 1
จงหา ห.ร.ม. ของ a และ b โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด เมื่อกาหนด a และ b ดังต่อไปนี้
1. a  26 และ b  118
2. a  364 และ b  9035
3. a  500 และ b  2301
4. a  234 และ b  1770 [ข้อแนะ (234, 1770)  (234,1770) ]
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในสื่อการสอนต่อไปนี้ ผู้สอนให้ผู้เรียนสังเกตว่าหากเราแทนค่าย้อนกลับจาก (a, b)  rk ขึ้นไป
เรื่อย ๆ จะได้ว่า เราสามารถเขียน ห.ร.ม. ของ a และ b ในรูปการรวมเชิงเส้นของ a และ b
ซึ่งเราสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ ดังนี้
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจให้ตัวอย่างเพิ่มเติมแก่ผู้เรียน ดังนี้
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 91 และ 259 โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด และ
หาจานวนเต็ม x และ y ซึ่ง (91, 259)  91x  259 y
วิธีทา โดยขั้นตอนวิธีของยุคลิด เราได้ว่า
259  2  91  77
91  1  77  14
77  5  14  7
14  2  7
ดังนั้น (91, 259)  7
โดยการแทนค่าย้อนกลับ เราได้ว่า
7  77  5  (91  1  77)
 6  (259  2  91)  5  91
 6  259  ( 17)  91
เพราะฉะนั้น x  17 และ y6 ทาให้ (91, 259)  7  91x  259 y #
หากผู้เรียนมีความสามารถสูง ผู้สอนอาจแสดงบทพิสูจน์ขั้นตอนวิธีของยุคลิด โดยเริ่มจาก
ทฤษฎีบทประกอบ ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก
ถ้า a  qb  r เมื่อ q และ r เป็นจานวนเต็มโดยที่ 0  b  r จะได้ว่า (a, b)  (b, r )  (b, a  qb)
พิสูจน์ ให้ d  (a, b) ดังนั้น d | a และ d | b
เราจะแสดงว่า d  (b, r ) นั่นคือ d เป็นจานวนเต็มค่ามากสุดที่ d | b และ d | r
จาก d | a และ d | b เพราะฉะนั้น d | (a  qb) ทาให้ได้ว่า d | r
ให้ c เป็นจานวนเต็มซึ่ง c | b และ c | r
ดังนั้น c | ( qb  r ) ส่งผลให้ c | a
เพราะฉะนั้น c เป็นตัวหารร่วมของ a และ b ดังนั้น c  d
ทาให้สรุปได้ว่า d  (b, r ) #
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
พิสูจน์ขั้นตอนวิธีของยุคลิด จาก rk หาร rk 1 ลงตัว โดยข้อสังเกตในหัวข้อ rk  ( rk , rk 1 )
ดังนั้นโดยทฤษฎีบทประกอบ จะได้
rk  (rk , rk 1 )  (rk 2  qk rk 1 , rk 1 )  (rk 2 , rk 1 )
โดยอาศัยทฤษฎีบทประกอบซ้าไปเรื่อย ๆ จะได้ว่า
rk  ( rk , rk 1 )  ( rk 2  qk rk 1 , rk 1 )
 ( rk 2 , rk 1 )  ( rk 2 , rk 3  qk 1rk 2 )

 ( r2 , r1 )  (b  q2 r1 , r1 )
 (b, r1 )  (b, a  q1b)
 ( a , b)
#
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ชุดที่ 2
1. จงหาจานวนเต็ม x และ y ที่ให้
ก) (26,118)  26 x  118 y
ข) (234, 1770)  234 x  ( 1770) y
ค) ( 110, 273)  ( 110) x  ( 273) y
2. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม ถ้ามีจานวนเต็ม x และ y ซึ่ง ax  by  1 จงแสดงว่า (a, b)  1
3. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิดพร้อมบอกเหตุผลประกอบ
ก) ถ้า a | c และ b | c แล้ว ab | c
ข) (ca, cb)  c (a, b) เมื่อ c  0
4. ให้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า
ก) ถ้า a | c และ b | c และ (a, b)  1 แล้ว ab | c
ข) ถ้า a | bc และ (a, b)  1 แล้ว a | c
5. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
ถ้า c เป็นจานวนเต็มโดยที่ (a, b) | c จงแสดงว่า มีจานวนเต็ม x และ y ซึ่ง c  ax  by
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. จานวนเฉพาะสัมพัทธ์
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. จานวนเฉพาะสัมพัทธ์
เราให้นิยามจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ดังนี้
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างจานวนเต็มที่เป็นจานวน
เฉพาะสัมพัทธ์เพิ่มเติม เช่น 123 และ 242
เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ และย้าผู้เรียนจาก
ข้อสังเกตว่า จานวนเฉพาะสัมพัทธ์ไม่เกี่ยวข้อง
กับการเป็นจานวนเฉพาะ
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจย้าผู้เรียนเพิ่มเติมเกี่ยวกับ การตรวจสอบว่าจานวนเต็มสองจานวนที่กาหนดให้เป็นจานวน
เฉพาะสัมพัทธ์หรือไม่ ทาโดยการหา ห.ร.ม. ของจานวนเต็มสองจานวนนั้นว่ามีค่าเป็น 1 หรือไม่ ซึ่งผู้เรียนได้
ศึกษาการหา ห.ร.ม. อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดมาแล้ว โดยอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเช่น
ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า 123 และ 242 เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือไม่ เพราะเหตุใด
วิธีทา คานวณหา ห.ร.ม. ของ 123 และ 242 โดยขั้นตอนวิธีของยุคลิด ดังนี้
242  1  123  119
123  1  119  4
119  29  4  3
4  1 3  1
3  3 1
ดังนั้น (123, 242)  1 ทาให้ได้ว่า 123 และ 242 เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ #
ตัวอย่าง ให้ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ จงแสดงว่า a และ a  1 เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์
วิธีทา ให้ d  (a, a  1) ดังนั้น d | a และ d | (a  1)
ทาให้ได้ว่า d | ((a  1)  a ) นั่นคือ d |1
เพราะว่า d  0 เพราะฉะนั้น d  1 ส่งผลให้ a และ a  1 เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ #
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นอกจากนีสื่อการสอนจะกล่าวถึงทฤษฎีบทของจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ที่เกี่ยวข้องกับจานวนเฉพาะ
้
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างประกอบทฤษฎีบทนี้
เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจมากยิ่งขึ้น เช่น
 เพราะว่า 7  100 ดังนั้น (7,100)  1
|
 2 และ จานวนคี่ใด ๆ เป็นจานวนเฉพาะ
สัมพัทธ์กันเสมอ
ผู้สอนอาจให้ข้อสังเกตเกี่ยวกับบทกลับของทฤษฎีบทข้างต้นเพิ่มเติม ดังนี้
ข้อสังเกต ถ้า p เป็นจานวนเฉพาะ และ a เป็นจานวนเต็มซึ่ง (a, p )  1 แล้ว p | a
พิสูจน์ ให้ p เป็นจานวนเฉพาะ และ a เป็นจานวนเต็มซึ่ง (a, p )  1
โดยวิธีขัดแย้ง สมมติว่า p | a ดังนั้น (a, p )  p  1 ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง ดังนั้น p | a #
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ทฤษฎีบทต่อมาเป็นสมบัติที่สาคัญของจานวนเฉพาะ ซึ่งการพิสูจน์อาศัยผลที่ได้จากทฤษฎีบทก่อน
หน้านี้ ผูสอนควรย้าว่าหาก p ไม่เป็นจานวนเฉพาะ ทฤษฎีบทนี้จะไม่จริง ดังตัวอย่างที่แสดงในสื่อการสอน
้
ข้อ 1 ในตัวอย่างนี้กล่าวได้อีกอย่างหนึ่ง
ว่า “ผลคูณระหว่างจานวนเต็มสองจานวนเป็น
จานวนคู่ จะสรุปได้ว่า จานวนใดจานวนหนึ่ง
ในสองจานวนนั้นต้องเป็นจานวนคู่ หรือ ทั้ง
สองจานวนเป็นจานวนคู่”
และให้ผู้เรียนศึกษาบทพิสูจน์จากสื่อการสอน
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง จานวนเฉพาะสัมพัทธ์
1. จงตรวจสอบว่าจานวนที่กาหนดให้แต่ละคู่ต่อไปนี้เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือไม่ เพราะเหตุใด
ก) 25,54
ข) 170,221
ค) 1011, 2012
2. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิดพร้อมบอกเหตุผลประกอบ
ก) จานวนคู่และจานวนคี่ เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเสมอ
ข) a และ a 2  1 เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เมื่อ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ
ค) (2a  1, 2a  1)  1 เมื่อ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ
3. จงแสดงว่า ถ้า (a, b)  1 และ (a, c)  1 แล้ว (a, bc)  1
4. ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวก และ (a, b)  1 จงพิสูจน์ว่า (a, bn )  1
5. จานวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 ที่ไม่เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 21 มีทั้งหมดกี่จานวน
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. ตัวคูณร่วมน้อย
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. ตัวคูณร่วมน้อย
ผู้เรียนได้ศึกษาเรื่องตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ตลอดจนการประยุกต์ต่าง ๆ เช่น ใช้ในการบวกลบ
เศษส่วนมาบ้างแล้ว เช่นเดียวกับ ห.ร.ม. การนิยาม ค.ร.น. ในระดับประถมศึกษาตอนปลายและมัธยมศึกษา
ตอนต้น นิยามสาหรับจานวนเต็มบวกใด ๆ เท่านั้น ในสื่อการสอนนี้ เราให้นิยาม ค.ร.น. สาหรับจานวนเต็ม a
และ b ที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ดังนี้
สังเกตว่า ค.ร.น. ต้องเป็นจานวนเต็มบวก และ เป็นพหุคูณร่วมค่าน้อยสุดของ a และ b โดยผู้สอน
อาจย้าเกี่ยวกับสัญลักษณ์ [a, b] ซึ่งแทน ค.ร.น. ของ a และ b ที่มีลักษณะเหมือนกับช่วงปิดที่ผู้เรียนเคยพบใน
เรื่องจานวนจริง และเช่นเดียวกับ ห.ร.ม. ว่า สาหรับจานวนเต็ม a และ b ใด ๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราได้ว่า
1. [a , b]  [b, a ] 2. [a , b]  [  a , b]  [a , b]  [a , b]
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในเรื่องต่อมาจะกล่าวถึงทฤษฎีบทที่จะช่วยในการหา ค.ร.น. ของจานวนเต็มบวกสองจานวนใด ๆ
จากทฤษฎีบทนี้ ในการหา ค.ร.น. ของจานวนเต็มบวก a และ b เราเริ่มหา ห.ร.ม. ของ a และ b
โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดก่อนแล้วจะได้ ค.ร.น. ของ a และ b มีค่าเป็นผลคูณของ a และ b หารด้วย ห.ร.ม.
ของ a และ b ซึ่งทาให้เราสามารถหา ค.ร.น. ของจานวนเต็มบวกสองจานวนได้อย่างมีประสิทธิภาพ
ยิ่งกว่านั้น หากเราทราบว่าจานวนเต็มบวก a และ b เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้ว่า ค.ร.น.
ของ a และ b มีค่าเท่ากับผลคูณของ a และ b
ผู้สอนให้ผู้เรียนศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้จากสื่อการสอน
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจแสดงบทพิสูจน์ของทฤษฎีบทให้ผู้เรียนที่มีความสามารถสูง ดังนี้
ทฤษฎีบท ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็มบวก แล้ว [a, b](a, b)  ab
พิสูจน์ ให้ d  (a, b) ดังนั้น m  ab เป็นจานวนเต็ม
d
เราจะแสดงว่า m  [a, b]
a b
เนื่องจาก d |a และ d | b ดังนั้น และ เป็นจานวนเต็ม
d d
จาก a  b   m และ b  a   m ทาให้ได้ว่า a | m และ b | m
   
d  d 
ให้ c เป็นจานวนเต็มบวกซึ่ง a | c และ b | c
ดังนั้น c  au และ c  bv เมื่อ u และ v เป็นจานวนเต็ม
เนื่องจาก d  (a, b) จะได้ว่า มีจานวนเต็ม x และ y ซึ่ง d  ax  by
c cd cax  cby (bv )ax  (au )by
เพราะฉะนั้น     vx  uy เป็นจานวนเต็ม
m md ab ab
ดังนั้น m | c ส่งผลให้ m  c
เราจึงสรุปได้ว่า m  [a, b] #
เนื่องจาก  a, b   a , b  และ  a, b    a , b  ทฤษฎีบทข้างต้นสามารถขยายสู่กรณีทั่วไป
 
พร้อมทั้งบทแทรกได้ดังนี้
ทฤษฎีบท ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ จะได้ว่า [a, b](a, b)  ab
บทแทรก ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ โดยที่ b | a จะได้ว่า [a, b]  a
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ตัวคูณร่วมน้อย
1. จงหา ค.ร.น. ของ a และ b เมื่อกาหนด a และ b ดังต่อไปนี้
ก) a  26 และ b  118
ข) a  364 และ b  9035
ค) a  500 และ b  2301
ง) a  234 และ b  1770
2. จานวนเต็มบวก a และ 48 มี ห.ร.ม. เป็น 4 และ ค.ร.น. เป็น 240 จงหาค่าของ a
3. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิดพร้อมบอกเหตุผลประกอบ
ก) ถ้า a และ b เป็นจานวนคู่บวก แล้ว [a, b]  ab
ข) (a, b) | [a, b] เมื่อ a และ b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์
ค) ถ้า a เป็นจานวนคู่บวกและ b เป็นจานวนคี่บวก แล้ว [a, b]  ab
4. จงหาจานวนเต็มบวกค่าน้อยสุดที่หารด้วย 10 และ 35 แล้วมีเศษเหลือเป็น 4
5. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก จงแสดงว่า [ab, a  b] เป็นจานวนคู่เสมอ
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
สาระสาคัญของทฤษฎีจานวนเบื้องต้น (ตอนที่ 2) ประกอบด้วยเนื้อหาหลักที่ผู้สอนควรย้าแก่ผู้เรียน
คือ บทนิยามและสัญลักษณ์ของตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
และขั้นตอนวิธีของยุคลิดซึ่งช่วยให้เราหา ห.ร.ม. ของจานวนเต็มได้อย่างมีประสิทธิภาพ
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รวมถึงบทนิยามของจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างจานวนเต็มสองจานวนที่ไม่มีตัวหารที่
เป็นบวกร่วมกันนอกจาก 1 และ ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ที่ช่วยให้เราหา
ค.ร.น.ได้สะดวกและรวดเร็วขึ้น
ผู้สอนอาจทบทวนหัวข้อต่าง ๆ โดยยกตัวอย่างเชิงตัวเลขประกอบ ตลอดจน
ชี้ให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. และย้าความสาคัญของขั้นตอนวิธี
ของยุคลิดซึ่งช่วยทาให้การหาทั้ง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. มีประสิทธิภาพ
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เอกสารอ้างอิง
1. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์
เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
2. สุเทพ จันทร์สมศักดิ์. (2533). ระบบจานวน. กรุงเทพฯ: ห้างหุ้นส่วนจากัดพิทักษ์การพิมพ์.
3. อัจฉรา หาญชูวงศ์. (2542). ทฤษฎีจานวน. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย.
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจแสดงการตรวจสอบว่าจานวนที่กาหนดให้เป็นจานวนเฉพาะหรือไม่ ด้วย Microsoft Excel
ดังได้กล่าวไว้ในสื่อการสอน โดยยกตัวอย่างจานวนเต็มบวกอื่น ๆ เพิ่มเติมได้
หากผู้เรียนมีความสามารถสูง ผู้สอนอาจอธิบายรายละเอียดที่มาของชุดคาสั่งข้างต้นว่าเป็นผลมา
จากทฤษฎีบท C และ หมายเหตุของทฤษฎีบทนี้ ประกอบสื่อการสอนเรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
(เนื้อหาตอนที่ 1) ซึ่งกล่าวว่า
ทฤษฎีบท C ถ้า n เป็นจานวนประกอบ แล้วจะมีจานวนเฉพาะ p  n ที่ p | n
หมายเหตุ จากทฤษฎีบท C จะได้ว่า ถ้าจานวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ a ทุกจานวนหาร a ไม่ลงตัว
แล้วจะได้ว่า a เป็นจานวนเฉพาะ
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อมาสื่อการสอนกล่าวถึงการใช้ Microsoft Excel ช่วยในการคานวณหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ
จานวนเต็ม a และ b โดยใช้คาสั่ง  GCD  a, b และ  LCM  a, b ดังนี้
ซึ่งผู้สอนสามารถชี้ให้ผู้เรียนเห็นว่า เราอาจใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการคานวณหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ให้
สะดวกขึ้นได้
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจเพิ่มเติมบทนิยามของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนเต็มมากกว่าสองจานวน ดังนี้
บทนิยาม ให้ a1, a2 , , ak เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
จานวนเต็มบวก d ซึ่งมีค่ามากสุดที่ d | a1, d | a2 , , d | ak เรียกว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของ
a1 , a2 , , ak เราใช้สัญลักษณ์ (a1 , a2 , , ak ) แทน ห.ร.ม. ของ a1 , a2 , , ak
บทนิยาม ให้ a1, a2 , , ak เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์
จานวนเต็มบวก c ซึ่งมีค่าน้อยสุดที่ a1 | c, a2 | c, , ak | c เรียกว่าเป็น ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ
a1 , a2 , , ak เราใช้สัญลักษณ์ [a1 , a2 , , ak ] แทน ค.ร.น. ของ a1 , a2 , , ak
ข้อสังเกต เราตรวจสอบได้ว่า (a1,(a2 , a3 ))  ((a1, a2 ), a3 )  (a1, a2 , a3 ) และ
[a1 ,[a2 , a3 ]]  [[a1 , a2 ], a3 ]  [a1 , a2 , a3 ] ซึ่งอาจขยายได้เป็น
(a1 , a2 , , ak )  ((a1, a2 ), a3 , , ak ) และ [a1 , a2 , , ak ]  [[a1, a2 ], a3 , , ak ]
ตัวอย่าง (20,30, 45)  ((20,30), 45)  (10, 45)  5
และ [20,30, 45]  [[20,30], 45]  [60, 45]  180
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. กาหนดให้ a  105 และ b  305
ก) จงหา ( a , b)
ข) จงหาจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ (a, b)  ax  by
ค) จงหา [a, b]
2. กาหนดให้ b เป็นจานวนเต็มซึ่ง
216  bq1  104
b  104q2  4
จงหา (216, b)
3. จงแสดงว่า (a, a  2)  1 เมื่อ a เป็นจานวนคี่ และ (a, a  2)  2 เมื่อ a เป็นจานวนคู่
4. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม และ p เป็นจานวนเฉพาะ
ถ้า p | ab และ p | a 2  b จงแสดงว่า p 2 | ab
5. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวกโดยที่ [a, b]  ab จงแสดงว่า (a, b)  1
6. ให้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a | c และ b | c จงแสดงว่า [a, b] | c
7. ถ้า (a, a  b)  5 และ ab  80 จงหา [a, b]
8. จงหาจานวนเต็มบวกค่ามากสุดที่หาร 130, 312 และ 481 แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน
9. จงหาจานวนเต็มบวกค่าน้อยสุดที่หารด้วย 4, 6 และ 11 แล้วมีเศษเหลือเป็น 3
10. นาฬิกาสองเรือนตั้งเวลาปลุกไว้ทุก 25 และ 40 ตามลาดับ
ถ้านาฬิกาทั้งสองเรือนปลุกพร้อมกันเวลา 6.00 น. อยากทราบว่านาฬิกาทั้งสอง
จะปลุกพร้อมกันครั้งต่อไปเวลาเท่าใด
11. กาหนดให้ S  {n | n เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ n  500 และ (n,100)  1}
จงหาจานวนสมาชิกของเซต S
12. กาหนดให้ A  {1, 2,3, , 200} และ S  {a  A | (a, 40)  5}
จงหาจานวนสมาชิกของเซต S
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ชุดที่ 1
1. ( a , b)  2 2. ( a, b)  13 3. ( a , b)  1 4. ( a , b)  6
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ชุดที่ 2
1. ก) x  9, y  2 ข) x  121, y  16 ค) x  67, y  27
2. ให้ d  (a, b) ดังนั้น d | a และ d | b
ทาให้ได้ว่า d | (ax  by ) นั่นคือ d |1
เพราะว่า d  0 ดังนั้น d  1
3. ก) ผิด เช่น 6 | 24 และ 8 | 24 แต่ 48 | 24
ข) ถูก ให้ d  (a, b) ดังนั้น d | a และ d | b
จาก c c เพราะฉะนั้น cd หาร ca และ cb ลงตัว
ให้ z เป็นจานวนเต็มซึ่ง z | ca และ z | cb
เพราะว่า d  (a, b) ดังนั้น มีจานวนเต็ม x และ y ซึ่ง d  ax  by
เพราะฉะนั้น dc  acx  bcy ส่งผลให้ z | dc
ดังนั้น zd c ทาให้สรุปได้ว่า (ca, cb)  c d
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. ก) สมมติว่า a | c และ b | c และ (a, b)  1
ดังนั้น จะมีจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ ax  by  1
เพราะฉะนั้น acx  bcy  c
เนื่องจาก a | c และ b | c ส่งผลให้ ab | cbx และ ab | acy ตามลาดับ
ดังนั้น ab | (acx  bcy ) นั่นคือ ab | c
ข a | bc และ (a, b)  1
ดังนั้น จะมีจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ ax  by  1
เพราะฉะนั้น acx  bcy  c
เพราะว่า a | bc และ a | ac ดังนั้น a | c
5. ให้ c เป็นจานวนเต็มโดยที่ (a, b) | c
ให้ d  (a, b) ดังนั้น จะมีจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ ax  by  d
เพราะว่า d | c จะได้ c  dq เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม
ดังนั้น c  dq  a(qx)  b(qy)
เนื่องจาก qx และ qy เป็นจานวนเต็ม ทาให้ได้ข้อสรุปตามต้องการ
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง จานวนเฉพาะสัมพัทธ์
1. ก) เป็น ข) ไม่เป็น เพราะว่า ( 170, 221)  17 ค) เป็น
2. ก) ผิด เช่น (9,12)  3 ดังนั้น 9 และ 12 ไม่เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์
ข) ถูก ให้ d  (a, a 2  1) ดังนั้น d | a และ d | (a 2  1)
เพราะฉะนั้น d | a  a  (a 2  1) ส่งผลให้ d |1 นั่นคือ d  1
ค) ถูก ให้ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ และ d  (2a  1, 2a  1)
เห็นชัดว่า d เป็นจานวนคี่
เนื่องจาก d | (2a  1) และ d | (2a  1) ดังนั้น d | ((2a  1)  (2a  1))
เพราะฉะนั้น d | 2
เพราะว่า d เป็นจานวนคี่ ทาให้ได้ว่า d  1
3. สมมติว่า (a, b)  1 และ (a, c)  1
ดังนั้น ax  by  1 และ ax  cy  1 เมื่อ x, x, y, y เป็นจานวนเต็ม
เพราะฉะนั้น 1  (ax  by )(ax  cy)  a(axx  bxy  cxy)  bc( yy)
ทาให้สรุปได้ว่า (a, bc)  1 โดยแบบฝึกหัดเรื่องขั้นตอนวิธีของยุคลิด ชุดที่ 2 ข้อ 2
4. เป็นผลจากข้อ 3 เมื่อ b  c
5.
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ตัวคูณร่วมน้อย
1. ก) 1534 ข) 252980 ค) 1150500 ง) 69030
240  4
2. a  20
48
ab ab
3. ก) ถูก เพราะว่า 2 | (a, b) ดังนั้น 2  ( a , b) ส่งผลให้ [ a , b]    ab
( a , b) 2
ข) ถูก ให้ d  ( a , b) และ m  [a, b]
ดังนั้น d | a และ d | b และ a | m และ b | m
ทาให้สรุปได้ว่า d | m
ค) ผิด เช่น a  6 และ b  15 จะได้ [a, b]  30 แต่ ab  90
4. 74
5. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม และ m  [ab, a  b]
กรณี ab เป็นจานวนคู่ เพราะว่า ab | m ดังนั้น m เป็นจานวนคู่
กรณี ab เป็นจานวนคี่ ดังนั้น a และ b ต้องเป็นจานวนคี่
ทาให้ได้ว่า a  b เป็นจานวนคู่
เพราะว่า (a  b) | m ดังนั้น m เป็นจานวนคู่
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. ก) ( a , b)  5 ข) x  29, y  10 ค) [a, b]  6405
2. (216, b)  (b,104)  (104, 4)  4
3. ให้ d  (a, a  2) ดังนั้น d | a และ d | (a  2) ทาให้ได้ว่า d | 2
ดังนั้น d  1 หรือ d  2
กรณี a เป็นจานวนคี่ เพราะว่า d | a ดังนั้น d  1
กรณี a เป็นจานวนคู่ เพราะว่า 2 | a และ 2 | (a  2) ดังนั้น 2  d นั่นคือ d  2
4. สมมติว่า p | ab และ p | ( a 2  b) ดังนั้น p |a หรือ p |b
กรณี p |a เพราะว่า p | ( a 2  b) ดังนั้น p |b ทาให้ได้ว่า p 2 | ab
กรณี p |b เพราะว่า p | ( a 2  b) ดังนั้น p | a2 ทาให้ได้ว่า p |a เพราะฉะนั้น p 2 | ab
ab
5. เนื่องจาก ab  [a, b]  ดังนั้น (a, b)  1
( a , b)
6. ให้ m  [a, b] สมมติว่า a | c และ b | c
โดยขั้นตอนวิธีการหาร จะได้ c  mq  r เมื่อ q เป็นจานวนเต็ม และ 0  r  m
ดังนั้น r  c  mq
เพราะว่า a | m, b | m, a | c และ b | c เพราะฉะนั้น a | r และ b | r
ถ้า r  0 จะได้ว่า mr ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง ดังนั้น r  0 นั่นคือ m|c
ab 80
7. เพราะว่า (a, b)  (a, a  b)  5 และ ab  80 ดังนั้น [a, b]    16
( a , b) 5
8. d  13 และ เศษเหลือที่เท่ากันมีค่าเท่ากับศูนย์
9. 135
10. [25, 40]  200 นาที ดังนั้น นาฬิกาทั้งสองจะปลุกพร้อมกันครั้งต่อไปเวลา 9.20 .
11. 200
12. 20
39

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
40

42. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัวหารร่ มน้อย
ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมมาก)
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
41

43. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
42

44. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
43