Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Upcoming SlideShare
Geld verdienen met Linkedin
Geld verdienen met Linkedin
Loading in …3
×
1 of 64

Cap8

0

Share

Download to read offline

Related Audiobooks

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Cap8

  1. 1. CAP´ ITULO 8 as atic INTRODUCCION A LA TEORIA atem DE ESTABILIDAD eM o. d ept 8.1. ´ SISTEMAS AUTONOMOS, EL PLANO ,D DE FASE uia tioq Frecuentemente nos ocurre que no podemos resolver una E.D. anal´ ıtica- mente y con m´s frecuencia si la E.D. es no lineal, pero aunque no podamos a An resolverla expl´ ıcitamente, s´ podemos analizar su comportamiento cualita- ı tivo. Buscaremos informaci´n cualitativa a partir de la E.D. sin resolverla o de expl´ıcitamente. ad Estudiaremos en este capitulo sistemas de la forma rsid dx = F (x, y) (8.1) ive dt Un dy = G(x, y) (8.2) dt donde F y G son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en todo el plano. El sistema (8.1) y (8.2) en el que la variable independiente t no aparece en F y en G se le llama aut´nomo. o 281
  2. 2. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD Por el Teorema A.7 (de Picard), si t0 es cualquier n´mero y (x0 , y0 ) u es un punto cualquiera del plano XY , entonces existe una unica soluci´n: ´ o x = x(t) (8.3) y = y(t) (8.4) as tal que x(t0 ) = x0 y y(t0 ) = y0 atic Si x(t) y y(t) no son ambas constantes, entonces (8.3) y (8.4) son las atem ecuaciones par´metricas de una curva en el plano XY , a este plano lo lla- a maremos el plano de fase y la curva soluci´n la llamaremos una trayectoria o eM del sistema, la familia de trayectorias representadas en el plano de fase la llamaremos el retrato de fase o. d Nota: si (8.3) y (8.4) es soluci´n de (8.1) y (8.2), entonces o ept x = x(t + c) (8.5) ,D uia y = y(t + c) (8.6) tioq tambi´n es soluci´n de (8.1) y (8.2) para cualquier c. e o An Por tanto cada trayectoria viene representada por muchas soluciones que de difieren entre si por una translaci´n del par´metro. Tambi´n cualquier trayec- o a e ad toria que pase por el punto (x0 , y0 ), debe corresponder a una soluci´n de la o rsid forma (8.5) y (8.6), es decir, por cada punto del plano de fase pasa una sola trayectoria, o sea, que las trayectorias no se intersectan. ive Nota: Un i). La direcci´n de t creciente a lo largo de la trayectoria dada es la misma o para todas las soluciones que representan a esa trayectoria. Una trayectoria es por tanto una curva dirigida y en las figuras utilizamos flechas para indicar la direcci´n de t creciente sobre las trayectorias. o ii). Para el punto (x0 , y0 ) tal que dy dx = F (x0 , y0 ) = 0, y = G(x0 , y0 ) = 0 dt dt 282
  3. 3. 8.1. SIST. AUTON., PLANO DE FASE se cumple que x(t) ≡ x0 y y(t) ≡ y0 es tambi´n soluci´n (soluci´n constante), pero no la llamamos trayectoria. e o o De las anotaciones anteriores se concluye que las trayectorias cubren todo el plano de fase y no se intersectan entre si, la unica excepci´n a esta afir- ´ o maci´n ocurre en los puntos (x0 , y0 ), donde F y G son cero. o as atic Definici´n 8.1 (Punto Cr´ o ıtico) . atem Al punto (x0 , y0 ) tal que F (x0 , y0 ) = 0 y G(x0 , y0 ) = 0 se le llama un punto cr´ ıtico del sistema. eM Nota: en estos puntos la soluci´n es unica y es la soluci´n constante o ´ o o. d x(t) = x0 y y(t) = y0 . Como se dijo antes, una soluci´n constante no de- o fine una trayectoria, as´ que por un punto cr´ ı ıtico no pasa ninguna trayectoria. ept ,D Supondremos que todo punto cr´ ıtico (x0 , y0 ) es aislado, es decir, existe ırculo centrado en (x0 , y0 ) que no contiene ning´n otro punto cr´ un c´ u ıtico. uia tioq Vimos en el Cap. IV que la E.D. del p´ndulo amortiguado (4.18) en la e p´gina 155 era a d2 θ An c dθ g 2 + + sen θ = 0 dt m dt a de Haciendo x = θ y y = θ se obtiene el siguiente sistema aut´nomo no lineal o ad x = y = F (x, y) rsid c g y = − y − sen x = G(x, y). m a ive Un Los puntos (nπ, 0) para n ∈ Z son puntos cr´ ıticos aislados, ya que F (nπ, 0) = 0 y G(nπ, 0) = 0. Estos puntos (nπ, 0) corresponden a un estado de movimien- to de la part´ ıcula de masa m en el que tanto la velocidad angular y = dθ ´ dt dy d2 θ y la aceleraci´n angular dt = dt2 se anulan simult´neamente, o sea que la o ´ a part´ıcula est´ en reposo; no hay fuerza que act´e sobre ella y por consiguiente a u est´ en equilibrio. Por esta raz´n en algunos textos a los puntos cr´ a o ıticos tam- bi´n los llaman puntos de equilibrio. e 283
  4. 4. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD Como x (t) = F (x, y) y y (t) = G(x, t) son las componentes del vec- tor tangencial a las trayectorias en el punto P (x, y), consideremos el campo vectorial: V (x, y) = F (x, y)i + G(x, y)j dx dy donde dt = F (x, y) y dt = G(x, y) as atic atem C R v •S •Q eM P G F o. d ept ,D Figura 8.1 uia tioq En P (x, y) las componentes de V (x, y) son F (x, y) y G(x, y) (ver figura 8.1). An Como dx = F y dy = G, entonces V es tangente a la trayectoria en P y dt dt apunta en la direcci´n de t creciente. o de Si t es el tiempo, entonces V es el vector velocidad de una part´ ıcula que se mueve sobre la trayectoria. As´ el plano de fase est´ lleno de part´ ı a ıculas y cada ad trayectoria es la traza de una part´ıcula precedida y seguida por otras sobre rsid una misma trayectoria. Esto es lo que ocurre en un flu´ en movimiento ıdo y como el sistema es aut´nomo entonces V (x, y) no cambia con el tiempo, o ive por esta raz´n al movimiento del flu´ se le llama estacionario; los puntos o ıdo Un cr´ ıticos Q, R, S son puntos de velocidad cero, donde las part´ ıculas se hallan en reposo (puntos estacionarios del flu´ ıdo). De la figura se extraen las siguientes caracter´ ıticas: 1. Los puntos cr´ ıticos. 2. La disposici´n de las trayectorias cerca de los puntos cr´ o ıticos. 284
  5. 5. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. 3. La estabilidad o inestabilidad de los puntos cr´ ıticos, es decir, si una part´ ıcula pr´xima a un punto cr´ o ıtico permanece cerca de ´l o se aleja e hacia otra zona del plano. 4. Las trayectorias cerradas como la C, corresponden a soluciones peri´di- o cas. Como en general los sistemas no lineales no pueden resolverse expl´ ıcita- as mente, el prop´sito de la teor´ cualitativa que desarrollaremos en este cap´ o ıa ıtu- atic lo es descubrir todo cuanto sea posible acerca de los diagramas de fase a partir de las funciones F y G. atem eM 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ES- o. d TABILIDAD. Consideremos el sistema aut´nomo: o ept ,D dx = F (x, y) (8.7) dt uia tioq dy = G(x, y) (8.8) dt An donde F y G son continuas, con derivadas parciales continuas en el plano de de fase XY . Sea (x0 , y0 ) un punto cr´ ıtico aislado de (8.7) y (8.8). Si C = (x(t), y(t)) es una ad trayectoria de (8.7) y (8.8), decimos que C tiende a (x0 , y0 ), cuando t → ∞ rsid (o t → −∞), si ive l´ x(t) = x0 ım (8.9) t→±∞ Un l´ y(t) = y0 ım (8.10) t→±∞ Nota: si se cumple (8.9) y (8.10), entonces (x0 , y0 ) es punto cr´ ıtico de (8.7) y (8.8), adem´s, si a y(t) − y0 l´ ım : existe o es igual a ± ∞, t→±∞ x(t) − x0 285
  6. 6. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD entonces se dice que C entra al punto cr´ ıtico (x0 , y0 ) cuando t → ∞ o t → −∞. Esto significa que la recta que une (x0 , y0 ) con P (x, y) tiene una direcci´n determinada cuando t → ∞ o t → −∞. o Eliminando t tenemos que dx = G(x,y) : pendiente de la recta tangente a la dy F (x,y) trayectoria de (8.7) y (8.8) en (x, y) cuando F y G no se anulan simult´nea- a mente; cuando F y G se anulan simult´neamente, (x0 , y0 ) es un punto cr´ a ıtico as y ninguna trayectoria pasa por ´l.e atic atem 8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS. Sin p´rdida de generalidad supondremos que el punto (0, 0) es un cr´ e ıtico. eM 1. Nodos. (ver figura 8.2 y 8.3) o. d ept ,D y y uia tioq An x x de ad rsid ive nodo propio o nodo estrella nodo impropio Un asint´ticamente estable o asint´ticamente estable o Figura 8.2 Se distinguen dos tipos de nodos: nodos propios y nodos impropios. a). Los nodos propios : en estos el retrato de fase esta formado por semirrectas donde todas entran (o todas salen) del punto cr´ıtico, se le llama tambi´n nodo estrella. Cuando las trayectorias entran al punto e 286
  7. 7. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. y y x as x atic atem eM nodo propio o nodo estrella nodo impropio o. d inestable inestable Figura 8.3 ept ,D ıtico (sea nodo u otro tipo de punto cr´ cr´ ıtico) se dice que es un su- uia midero y cuando salen de ´l se dice que es una fuente. e tioq b). Nodo impropio: a un punto de este tipo tienden e incluso entran An las trayectorias cuando t → ∞ (´ t → −∞). Para este nodo existen o cuatro trayectorias en forma de semirrectas con extremos en el origen. de Todas las dem´s trayectorias tienen el aspecto de ramas de par´bola y a a al tender hacia el origen sus pendientes tienden a la pendiente de una ad de las semirrectas. rsid ive Ejemplo 1. Consideremos el sistema siguiente dx = x y dy = −x + 2y dt dt entonces (0, 0) es punto cr´ ıtico. Un La soluci´n general es x = C1 et , y(t) = C1 et + C2 e2t . o Cuando C1 = 0 ⇒ x = 0 y y = C2 e2t esto implica que la trayectoria es el eje Y positivo si C2 > 0 y el eje Y negativo si C2 < 0 y cada trayectoria tiende y entra al or´ ıgen cuando t ⇒ −∞. Si C2 = 0 entonces x(t) = C1 et y y = C1 et y la trayectoria es la semir- recta y = x con x > 0 y C1 > 0, o tambi´n es la semirrecta y = x con e 287
  8. 8. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD y x as atic atem eM Figura 8.4 Nodo impropio, inestable o. d x < 0 y C1 < 0. En estos dos casos ambas trayectorias tienden y entran ept al or´ ıgen cuando t ⇒ −∞. ,D uia Cuando C1 = 0 y C2 = 0, las trayectorias est´n sobre las par´bolas a a C y = x + C2 x2 que entran al or´ıgen con pendiente 1. Debe entenderse tioq 2 1 que estas trayectorias constan solo de una porci´n de la par´bola, la o a parte con x > 0 si C1 > 0 y la parte x < 0 si C1 < 0. An de dy Obs´rvese que dx = −x+2y : pendiente de la tangente a la trayectoria que e x pasa por (x, y) = (0, 0); resolviendo la E.D. encontramos y = x + Cx2 ad que son las curvas (par´bolas) sobre las que se apoyan las trayectorias, a rsid excepto las que est´n sobre el eje Y (Ver figura 8.4). a ive 2. Punto de Silla. Un El origen es un punto de silla si el retrato de fase muestra que a este punto tienden y hacia ´l entran dos semirrectas con extremos en el ori- e gen cuando t → ∞ y hay otras dos semirrectas que salen del origen cuando t → ∞. Entre estas cuatro semirrectas hay cuatro regiones, las cuales contienen una familia de trayectorias en forma de hip´rbolas; e estas trayectorias no tienden hacia origen cuando t → ∞, sino que son asint´ticas a alguna de las semirrectas cuando t → ∞ (figura 8.5) o 288
  9. 9. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. y x as atic atem eM Figura 8.5 Punto de silla o. d 3. Centros (o v´rtices)(ver figura 8.6) o ept ,D y uia tioq An x de ad rsid ive Un Figura 8.6 Centro (estable) Es un punto cr´ıtico que est´ rodeado por una familia de trayectorias a cerradas. Ninguna trayectoria tiende a ´l cuando t → ±∞. e 289
  10. 10. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD Ejemplo 2. Consideremos el sistema dx dy = −y, = x. dt dt Entonces (0, 0) es el unico punto cr´ ´ ıtico. Su soluci´n general es : o as x = −C1 sen t + C2 cos t atic y = C1 cos t + C2 sen t atem La soluci´n (o trayectoria) que satisface las condiciones iniciales x(0) = o 1 y y(0) = 0 es x = cos t y = sen t eM o. d y ept ,D uia C tioq 1 An 1,5 2 x de ad rsid ive Figura 8.7 Centro (estable) Un Y la soluci´n determinada por x(0) = 0 y y(0) = 1 es o π x = − sen t = cos t + 2 π y = cos t = sen t + 2 290
  11. 11. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. Estas dos soluciones diferentes definen la misma trayectoria C, es decir, la circunferencia: x2 + y 2 = 1. En ambos casos la direcci´n del recorrido es en sentido contrario a las o agujas del reloj. dy Eliminando t del sistema, tenemos que dx = − x cuya soluci´n es y o 2 2 2 x + y = R que es una familia de circunferencias en el plano de fase xy, pero sin direcci´n de recorrido. En este caso (0, 0) es un cen- o as tro(ver figura 8.7). atic atem 4 Focos. (ver figura 8.8) y eM o. d ept ,D uia tioq An x de ad rsid ive Un Figura 8.8 Foco o espiral (asint´ticamente estable) o Un punto cr´ıtico se llama foco o punto espiral si el retrato de fase mues- tra que hacia ´l tienden (o salen de ´l) las trayectorias de una familia e e que gira en forma espiral un n´mero infinito de veces cuando t → ±∞. u N´tese que aunque las trayectorias tienden al origen, no entran a ´l en o e 291
  12. 12. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD una direcci´n determinada, es decir, o dy l´ ım no existe t→±∞ dx Ejemplo 3. Sea a una constante arbitraria y consideremos el sistema: dx = ax − y (8.11) dt as dy atic = x + ay (8.12) dt atem entonces (0, 0) es el unico punto cr´ ´ ıtico. La E.D. de las trayectorias es eM dy x + ay = (8.13) dx ax − y o. d Pasemos a coordenadas polares: x = r cos θ y y = r sen θ como y r2 = x2 + y 2 y θ = tan−1 x , entonces ept dr dy dθ dy ,D r =x+y r2 =x −y dx dx dx dx uia ı: dr Luego (8.13) queda as´ dθ = ar ⇒ r = Ceaθ es la ecuaci´n polar de las o tioq trayectorias. La direcci´n del recorrido se puede deducir del hecho que dx = −y o dt An cuando x = 0. Si a = 0 entonces el sistema (8.11) y (8.12) se colapsa en el sistema: de dx = −y (8.14) ad dt rsid dy =x (8.15) dt ive y se convierte en r = c, que es la ecuaci´n polar de la familia de o Un circunferencias x2 + y 2 = c 2 , de centro en el or´ ıgen y en este caso decimos que cuando el par´metro a a = 0 se ha producido una bifurcaci´n, a este punto lo llamamos punto o de bifurcaci´n, en esencia es un punto donde las soluciones cambian o cualitativamente de estables (o asint´ticamente estables) a inestables o o viceversa (Ver figura 8.9 ). 292
  13. 13. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. y y y x x x as atic atem a<0 a=0 a>0 eM a) Asint´ticamente estable o b) Estable c) Inestable o. d Figura 8.9 Bifurcaci´n o Definici´n 8.2 (Estabilidad) . o ept ,D Supongamos por conveniencia que (0, 0) es un punto cr´ ıtico del sistema uia dx dy = F (x, y) = G(x, y) dt dt tioq Decimos que (0, 0) es un punto cr´ ıtico estable si para cada R > 0 existe An un r > 0 con r ≤ R, tal que toda trayectoria que est´ dentro del c´ a ırculo 2 2 2 2 2 2 x + y = r , para alg´n t = t0 , permanece en el c´ u ırculo x + y = R para de todo t > t0 , es decir, si todas las trayectorias que est´n suficientemente cerca a ad al punto cr´ıtico permanecen cercanas a ´l (ver figura 8.10). e rsid Definici´n 8.3 (Asint´ticamente Estable) Si es estable y existe un c´ o o ırcu- ive lo x2 + y 2 = r0 , tal que toda trayectoria que est´ dentro de ´l para alg´n 2 a e u t = t0 , tiende al or´ ıgen cuando t → ∞. Un Definici´n 8.4 . Si el punto cr´ o ıtico no es estable, diremos que es inestable. Los nodos de la figura 8.3 y 8.4, el punto de silla de la figura 8.5, el foco (o espiral) de la figura 8.9 c) son puntos inestables. 293
  14. 14. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD • t = t0 r • • R as atic atem eM Figura 8.10 o. d ept Los centros de la figuras 8.6 y 8.7 son estables, pero no asint´ticamente o estables. ,D uia Los nodos de la figura 8.2, el foco (o espiral) de la figura 8.8 y 8.9a) , son asint´ticamente estables. o tioq An Para los siguientes ejercicios determine el tipo del punto cr´ıtico que es (0, 0) y diga si es asint´ticamente estable, estable o inestable: o de Ejercicio 1. dx = −2x + y, dy = x − 2y ad dt dt (Rta: Nodo asint´ticamente estable.) o rsid ive Ejercicio 2. dx = 4x − y, dy = 2x + y dt dt (Rta: Nodo impropio inestable.) Un Ejercicio 3. dx = x + 2y, dy = 2x + y dt dt (Rta: Punto de Silla inestable.) Ejercicio 4. dx = 3x + y, dy = 5x − y dt dt (Rta: Punto de Silla inestable.) 294
  15. 15. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD Ejercicio 5. dx = x − 2y, dy = 2x − 3y dt dt (Rta: Nodo asint´ticamente inestable.) o dy Ejercicio 6. dx = 5x − 3y, dt dt = 3x − y (Rta: Nodo inestable.) dy Ejercicio 7. dx = 3x − 2y, dt dt = 4x − y as (Rta: Punto espiral inestable.) atic Ejercicio 8. dx = x − 3y, dy = 6x − 5y dt dt atem (Rta: Punto espiral asint´ticamente estable.) o Ejercicio 9. dx = 2x − 2y, dy = 4x − 2y eM dt dt (Rta: Centro estable, pero no asint´ticamente estable.) o o. d Ejercicio 10. dx = x − 2y, dy = 5x − y dt dt (Rta: Centro estable, pero no asint´ticamente estable.) o ept ,D uia 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE tioq ESTABILIDAD PARA SISTEMAS LI- An NEALES de Consideremos el sistema: ad dx rsid = a1 x + b 1 y (8.16) dt ive dy = a2 x + b 2 y (8.17) Un dt El cual tiene a (0, 0) como punto cr´ ıtico. Supondremos de ahora en adelante que a1 b 1 = a 1 b 2 − b 1 a2 = 0 (8.18) a2 b 2 Por tanto, (0, 0) es el unico punto cr´ ´ ıtico. (8.16) y (8.17) tiene una soluci´n no trivial de la forma o 295
  16. 16. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD i). x = Aem1 t , y = Bem2 t donde m1,2 son ra´ distintas de la cuadr´tica: ıces a m2 − (a1 + b2 )m + (a1 b2 − a2 b1 ) = 0 (8.19) que se conoce como ecuaci´n caracater´ o ıstica del sistema, la condici´n o as (8.18) impl´ que m = 0. ıca atic atem ii). O de la forma x = Aem1 t , y = Btem1 t eM si m1 es una ra´ de multiplicidad dos de la ecuaci´n caracter´ ız o ıstica o. d m2 − (a1 + b2 )m + (a1 b2 − a2 b1 ) = 0. o ept Teorema 8.1 (Caracterizaci´n de la naturaleza del punto cr´ ıtico) . ,D Sean m1 y m2 las ra´ de (8.19). La naturaleza del punto cr´ ıces ıtico est´ de- a terminada por estas ra´ıces. uia tioq Casos Principales: An CASO A: Si las ra´ ıces m1 y m2 son reales, distintas y del mismo signo, entonces es un nodo. de CASO B: Si las ra´ m1 y m2 son reales, distintas y de signos opuestos, ıces ad entonces es un punto de silla. rsid CASO C: Si las ra´ ıces m1 y m2 son complejas conjugadas pero no ive imaginarias puras, entonces es un foco. Un Casos Frontera: CASO D: Si las ra´ m1 y m2 son reales e iguales, entonces es un nodo. ıces CASO E: Si las ra´ ıces m1 y m2 son imaginarias puras, entonces es un centro. 296
  17. 17. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD A2 y = B 2 x A1 y = B 1 x as atic atem Figura 8.11 Nodo impropio (asint´ticamente estable) o eM o. d CASO A: si las ra´ m1 y m2 son reales, distintas y del mismo signo, ıces entonces (0, 0) es un nodo. ept ,D Demostraci´n: supongamos que m1 < m2 < 0. o Sabemos que la soluci´n del sistema 8.16, 8.17 es: o uia x = C 1 A 1 e m1 t + C 2 A 2 e m2 t (8.20) tioq An y = C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t (8.21) de donde los vectores A 1 m1 t A 2 m2 t ad e y e B1 B2 rsid B1 B2 son linealmente independientes, por lo tanto A1 = A2 y las C son constantes ive arbitrarias. Analicemos los coeficientes C1 y C2 Un 1.) Si C2 = 0, entonces x = C 1 A 1 e m1 t , y = C 1 B 1 e m1 t (8.22) en este caso: a). Si C1 > 0, entonces (8.22) representa una trayectoria que consiste en la semirrecta A1 y = B1 x con pendiente B1 A 1 b). Si C1 < 0, entonces (8.22) representa una trayectoria que consiste de la 297
  18. 18. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD otra semirrecta opuesta a la anterior. Como m1 < 0, entonces ambas semirrectas tienden a (0, 0) cuando t → ∞ y y como x = B1 , entonces ambas semirrectas entran a (0, 0) con pendiente B1 . A 1 A 1 2). Si C1 = 0, entonces x = C 2 A 2 e m2 t , y = C 2 B 2 e m2 t (8.23) Similarmente (8.23) representan dos semirrectas de la recta A2 y = B2 x as con pendiente B2 , las cuales tienden a (0, 0) cuando t → ∞ y entran a ´l con 2 e atic A B2 pendiente A2 . atem 3). Si C1 = 0 y C2 = 0, entonces (8.20) y (8.21) representa trayectorias curvas; como m1 < 0 y m2 < 0, entonces estas trayectorias tienden a (0, 0) eM cuando t → ∞, adem´s, como a o. d m1 − m 2 < 0 y ept C1 B1 e(m1 −m2 ) t + B2 ,D y C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t C2 = = C 1 A1 x C 1 A 1 e m1 t + C 2 A 2 e m2 t e(m1 −m2 ) t + A2 uia C2 y entonces, x → B2 cuando t → ∞, as´ que las trayectorias entran a (0, 0) con 2 ı tioq A B2 pendiente A2 . De acuerdo a lo analizado (0, 0) es un nodo impropio y es, An como lo veremos m´s adelante, asint´ticamente estable (Ver figura 8.11). a o de Si m1 > m2 > 0, la situaci´n es exactamente la misma, excepto que las o trayectorias salen de (0, 0) cuando t → ∞, las flechas son al contrario del ad caso anterior, (0, 0) es un nodo impropio inestable. rsid CASO B: si las ra´ m1 y m2 son reales, distintas y de signos opuestos, ıces entonces (0, 0) es un punto de silla (ver figura 8.12). ive Un Demostraci´n: supongamos que m1 < 0 < m2 . o La soluci´n general de (8.16) y (8.17) es de la forma (8.20) y (8.21), como en o el CASO A se tienen cuatro trayectorias en forma de semirrectas opuestas; un par de semirrectas opuestas representadas por (8.22) con m1 < 0, que tienden y entran a (0, 0) cuando t → ∞ y el otro par de semirrectas opuestas representadas por (8.23) con m2 > 0 las cuales tienden y entran al origen (0, 0) cuando t → −∞. 298
  19. 19. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD A1 y = B 1 x y as A2 y = B 2 x atic x atem eM o. d ept ,D uia tioq Figura 8.12 Punto de silla (inestable) An Si C1 = 0 y C2 = 0, la soluci´n general (8.20) y (8.21) representa trayecto- o de rias curvas, pero como m1 < 0 < m2 , entonces ninguna de ellas tiende a (0, 0) ad cuando t → ∞ o t → −∞. En lugar de esto una trayectoria es asint´tica ´ o rsid a una de las semirrectas de (8.23) cuando t → ∞ y asint´tica a una de las o semirrectas de (8.22) cuando t → −∞, en efecto, como m2 > m1 ive C1 B1 y C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t e(m1 −m2 ) t + B2 B2 Un C2 l´ ım = l´ ım = l´ ım C 1 A1 = t→∞ x t→∞ C1 A1 em1 t + C2 A2 em2 t t→∞ e(m1 −m2 ) t + A2 A2 C2 C2 B2 y C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t B1 + C1 e(m2 −m1 ) t B1 l´ ım = l´ ım m1 t + C A e m2 t = l´ ım C 2 A2 = t→−∞ x t→−∞ C1 A1 e 2 2 t→−∞ A1 + C1 e(m2 −m1 ) t A1 luego (0, 0) es un punto de silla y es inestable . 299
  20. 20. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD CASO C: si las ra´ m1 , m2 son complejas conjugadas pero no imagi- ıces narias puras, el punto cr´ ıtico es un foco (o punto espiral). Demostraci´n: m1 , m2 son de la forma a ± bi, donde a y b son reales no o nulos. En este caso el discriminante de 8.19 es negativo y por tanto D = (a1 + b2 )2 − 4(a1 b2 − a2 b1 ) = (a1 − b2 )2 + 4a2 b1 < 0 (8.24) as Suponiendo que al valor propio λ = a + ib esta asociado el vector propio atic A1 A2 v = v1 + iv2 = +i atem B1 B2 entonces la soluci´n general es de la forma o eM x = eat [C1 (A1 cos bt − A2 sen bt) + C2 (A1 sen bt + A2 cos bt)] (8.25) o. d y = eat [C1 (B1 cos bt − B2 sen bt) + C2 (B1 sen bt + B2 cos bt)] (8.26) ept donde C1 y C2 son par´metros. a ,D uia Si a < 0 entonces x → 0 y y → 0 cuando t → ∞, o sea que todas las trayectorias tienden a (0, 0) cuando t → ∞ y por tanto (0, 0) es asint´tica- o tioq mente estable. Probemos que las trayectorias no entran a (0, 0) cuando t → ∞, sino que An giran alrededor de ´l en forma de espirales. e Para ello utilicemos coordenadas polares y mostremos que a lo largo de de cualquier trayectoria, el signo de dθ no cambia para todo t. dt ad rsid Sabemos que y θ = tan−1 x ive dy dθ x − y dx Un = dt dt dt x2 + y 2 y usando (8.16) y (8.17): dθ x (a2 x + b2 y) − y (a1 x + b1 y) a2 x2 + (b2 − a1 )xy − b1 y 2 = = dt x2 + y 2 x2 + y 2 Como estamos interesados solo en soluciones que representan trayectorias, suponemos x2 + y 2 = 0. 300
  21. 21. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD y y as x x atic atem eM a<0 a<0 a2 > 0 a2 < 0 o. d Figura 8.13 Focos (asint´ticamente estables) o ept ,D De (8.24): a2 y b1 deben tener signos opuestos. Supongamos que a2 > 0 y b1 < 0. uia Si tioq dθ y = 0⇒ = a2 > 0 (8.27) dt An Si de dθ y = 0⇒ =0 (8.28) ad dt rsid dθ ya que si dt = 0, entonces a2 x2 + (b2 − a1 )xy − b1 y 2 = 0, o sea, ive 2 x x a2 + (b2 − a1 ) − b1 = 0 Un y y ecuaci´n cuadr´tica cuyo discriminante es o a (b2 − a1 )2 + 4a2 b1 = D < 0 x seg´n (8.24); por lo tanto u y es n´mero complejo, lo cual es absurdo porque u x y es n´mero real. u 301
  22. 22. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD dθ dθ De la continuidad de dt , de (8.27) y de (8.28) se concluye que dt > 0 cuando a2 > 0 y b1 < 0. dθ Similarmente, si a2 < 0 y b1 > 0 entonces dt < 0. En conclusi´n θ(t) es una una funci´n siempre creciente para todo t o o o siempre decreciente para todo t, luego no entra al or´ ıgen. as Por (8.25) y (8.26): x y y cambian de signo infinitas veces cuando t → ∞, atic es decir, todas las trayectorias giran en espiral alrededor del or´ ıgen en sentido atem contrario a las agujas del reloj si a2 > 0 y en sentido horario si a2 < 0. Luego el punto cr´ıtico es un foco asint´ticamente estable (Ver figura 8.13). o eM Si a > 0: el an´lisis es el mismo, salvo que las trayectorias tienden a (0, 0) a cuando t → −∞ y el punto cr´ ıtico es inestable. o. d CASO D: si las ra´ m1 y m2 son reales e iguales, el punto cr´ ıces ıtico (0, 0) es un nodo. ept ,D Demostraci´n: supongamos que m1 = m2 = m < 0. o uia Dos casos: tioq i). a1 = b2 = 0 y a2 = b1 = 0 ii). Todas las dem´s posibilidades que conducen a una ra´ doble. a ız An i). Si a1 = b2 = a = 0 entonces la ecuaci´n caracter´ o ıstica (8.19) se de convierte en m2 − 2am + a2 = 0 y por tanto m = a con multiplicidad dos y el sistema de E.D. queda convertido en el sistema desacoplado siguiente ad rsid dx dy = ax, = ay. dt dt ive Es claro que su soluci´n general es o Un x = C1 emt , y = C2 emt (8.29) donde C1 y C2 son constantes arbitrarias, eliminando el par´metro t, obte- a nemos x C1 C1 = o sea que y = x y C2 C2 Las trayectorias definidas por (8.29) son semirrectas de todas las pen- dientes posibles y como m < 0, entonces estas trayectorias tienden y entran 302
  23. 23. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD y x as atic atem eM Figura 8.14 Nodo propio o nodo estrella (asint´ticamente estable) o o. d a (0, 0) cuando t → ∞, de donde (0, 0) es un nodo (llamado tambi´n nodo ept e propio o nodo estrella) asint´ticamente estable (ver figura 8.14). o ,D Si m > 0, tenemos la misma situaci´n, excepto que las trayectorias entran o a (0, 0) cuando t → −∞, las flechas son al contrario, entonces es un nodo uia (nodo propio o nodo estrella) inestable. tioq ii). Para ra´ ıces repetidas sabemos de (7.22) en la p´gina 269 que para a A el valor propio m esta asociado el vector propio y el vector propio An B A1 de generalizado de rango dos , por lo tanto la soluci´n general es: o B1 ad x = C1 A emt + C2 (A1 + At) emt (8.30) rsid y = C1 B emt + C2 (B1 + Bt) emt ive (8.31) Un donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Cuando C2 = 0, entonces x = C1 A emt ; y = C1 B emt . Sabemos que estas soluciones representan dos semirrectas de la recta Ay = Bx con pendiente B y como m < 0, ambas trayectorias tienden a A y (0, 0) cuando t → ∞. Como x = B , entonces ambas trayectorias entran a A (0, 0) con pendiente B . A 303
  24. 24. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD y as x atic atem eM o. d ept Figura 8.15 Nodo impropio (asint´ticamente estable) o ,D uia Si C2 = 0, entonces (8.30) y (8.31) representan trayectorias curvas y como tioq m < 0, entonces estas trayectorias tienden a (0, 0) cuando t → ∞. Adem´s, a como C1 B emt + C2 (B1 + Bt) emt An y = x C1 A emt + C2 (A1 + At) emt de C1 B y C2 + B1 + Bt ad = C1 A x + A1 + At rsid C2 y B ⇒ → cuando t → ∞. ive x A Un Luego, estas trayectorias curvas entran a (0, 0) con pendiente B . A A este nodo se le llama nodo impropio (ver figura 8.15) y es asint´ticamente o estable. e y Cuando m > 0, observemos que tambi´n x → B cuando t → −∞, en A este caso las trayectorias curvas salen del origen. En este caso la situaci´n o es la misma excepto que las direcciones de las flechas se invierten y el punto cr´ ıtico es un nodo (impropio) inestable. 304
  25. 25. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD CASO E: si m1 y m2 son imaginarias puras, el punto cr´ ıtico (0, 0) es un centro (ver figura 8.16). y as atic x atem eM o. d Figura 8.16 Centro (estable) ept ,D Demostraci´n: m1 y m2 son de la forma a ± ib con a = 0 y b = 0, luego o uia por (7.10) en la p´gina 260, a tioq x = C1 (A1 cos bt − A2 sen bt) + C2 (A1 sen bt + A2 cos bt) An y = C1 (B1 cos bt − B2 sen bt) + C2 (B1 sen bt + B2 cos bt) de Luego x(t) y y(t) son peri´dicas y cada trayectoria es una curva cerrada o que rodea al or´ıgen, estas trayectorias son elipses, lo cual puede probarse ad dy resolviendo la E.D.: dx = a2 x+b2 y . rsid a1 x+b1 y Luego (0, 0) es un centro estable, pero no asint´ticamente estable. o ive Un 305
  26. 26. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD q cuadrante inestable cuadrante asint´ticamente o p 2 estable − 4q ola = ´b 0 ra pa centros no do espirales espirales ite lim as sl semieje im estable os atic ite d no atem nodos nodos p eM cuadrante inestable cuadrante inestable o. d puntos de silla Figura 8.17 ept ,D uia Teorema 8.2 ( Criterio de estabilidad) . tioq El punto cr´ıtico (0, 0)del sistema lineal (8.16) y (8.17) es estable si y solo si ambas ra´ de la ecuaci´n auxiliar (8.19) tienen partes reales no positivas, ıces o An y es asint´ticamente estable si y solo si ambas ra´ o ıces tienen partes reales negativas. de Escribamos la ecuaci´n (8.19) de la forma siguiente: o ad (m − m1 )(m − m2 ) = m2 + pm + q = 0 rsid donde p = −(m1 + m2 ) y q = m1 m2 . ive Luego los cinco casos anteriores se pueden describir en t´rminos de p y q y e Un para ello utilizamos el plano pq (ver figura 8.17). El eje p (o sea q = 0), est´ excluido ya que q = m1 m2 = a1 b2 − a2 b1 = 0. Por a √ −p± p2 −4q tanto, toda la informaci´n la podemos extraer de m1,2 = o 2 Observando la figura vemos que: Por encima de la par´bola p2 − 4q = 0 se tiene p2 − 4q < 0. Luego a m1 , m2 son n´meros complejos y estos son imaginarios puros si y solo u 306
  27. 27. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD si p = 0; estos son los casos C y E de focos y centros. Por debajo del eje p se tiene q < 0 ⇒ m1 , m2 son reales distintos y de signos opuestos, por tanto es un punto de silla o sea el caso B. La zona entre la par´bola y el eje p (excluido este eje e incluyendo a a as la par´bola), se caracteriza porque p2 − 4q ≥ 0 y q > 0 ⇒ m1 , m2 son a atic reales y del mismo signo y sobre la par´bola m1 = m2 ; por tanto son a nodos y son los casos A y D. atem eM El primer cuadrante excluyendo los ejes, es una regi´n con estabilidad o asint´tica; el eje positivo q corresponde a centros y por tanto es estable; o o. d el segundo, tercero y cuarto cuadrante son regiones inestables. Teorema 8.3 (Criterio para estabilidad asint´tica) . o ept El punto cr´ıtico (0, 0) del sistema lineal (8.16) y (8.17) es asint´ticamente o ,D estable si y solo si los coeficientes p = −(a1 + b2 ) y q = a1 b2 − a2 b1 , de la uia ecuaci´n auxiliar son ambos positivos. o tioq Encuentre los puntos cr´ ıticos: An dx dy Ejercicio 1. dt = 3x − y, dt = x + 3y de (Rta: (0, 0)) ad dx dy Ejercicio 2. = 3x − 2y, = 4x − 3y + 1 rsid dt dt (Rta: (2, 3)) ive dy Ejercicio 3. dx = 2x − xy, dt dt = xy − 3y Un (Rta: (0, 0) y (3, 2)) Ejercicio 4. dx = y, dy = − sen x dt dt (Rta: todos los puntos de la forma (nπ, 0), donde n es un entero.) Encuentre los puntos cr´ ıticos del sistema dado e investigue el tipo de es- tabilidad de cada uno: 307
  28. 28. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD Ejercicio 5. dx = −2x + y, dy = x − 2y dt dt (Rta: el or´ ıgen es un nodo asint´ticamente estable.) o Ejercicio 6. dx = x + 2y, dy = 2x + y dt dt (Rta: el or´ ıgen es un punto silla inestable.) Ejercicio 7. dx = x − 3y, dy = 6x − 5y dt dt as (Rta: el or´ ıgen es un foco o punto espiral asint´ticamente estable.) o atic Ejercicio 8. dx = x − 2y, dy = 4x − 2y dt dt atem (Rta: el or´ ıgen es un foco estable.) Ejercicio 9. dx = 3x − 2y, dy = 4x − y eM dt dt (Rta: el or´ ıgen es un foco o punto espiral inestable.) o. d Ejercicio 10 . dx = 3x − 2y, dy = 4x − y dt dt (Rta: el or´ ıgen es un foco o punto espiral inestable.) ept ,D uia 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL tioq METODO DIRECTO DE LIAPUNOV An Consideremos el sistema aut´nomo o de dx = F (x, y) ad dt (8.32) dy rsid = G(x, y), dt ive y supongamos que tiene un punto cr´ ıtico aislado; sea (0, 0) dicho punto cr´ıtico (un punto cr´ ıtico (x0 , y0 ) se puede llevar al or´ ıgen mediante la traslaci´n de o Un coordenadas x = x − x0 , y = y − y0 ). Sea C = (x(t), y(t)) una trayectoria de (8.32) y consideremos la funci´n o E(x, y) continua y con primeras derivadas parciales continuas en una regi´n o que contiene a la trayectoria. Si un punto (x, y) se mueve a lo largo de las trayectorias de acuerdo a las ecuaciones x = x(t) y y = y(t), entonces E(x, y) = E(x(t), y(t)) = E(t) 308
  29. 29. 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV es una funci´n de t sobre C , su raz´n de cambio es o o dE ∂E dx ∂E dy ∂E ∂E = + = F+ G (8.33) dt ∂x dt ∂y dt ∂x ∂y Esta f´rmula es la idea principal de Liapunov. o Definici´n 8.5 Supongamos que E(x, y) es continua y tiene primeras derivadas o as parciales continuas en una regi´n que contiene al origen. o atic Si E(0, 0) = 0 y atem i. Si E(x, y) > 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es definida positiva. eM ii. Si E(x, y) < 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es definida negativa. o. d iii. Si E(x, y) ≥ 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es semidefinida posi- tiva. ept ,D iv. Si E(x, y) ≤ 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es semidefinida nega- uia tiva. tioq Nota: An E(x, y) = ax2m + by 2n con a > 0, b > 0 y m, n enteros positivos, es de definida positiva. ad rsid E(x, y) es definida negativa si y solo si −E(x, y) es definida positiva. ive E(x, y) = ax2m + by 2n con a < 0 y b < 0 y m, n enteros positivos, es Un definida negativa. x2m es semidefinida positiva, ya que x2m = 0 para todo (0, y) y x2m > 0 para todo (x, y) = (0, 0). Similarmente se demuestra que y 2n , (x − y)2m son semidefinidas posi- tivas. 309
  30. 30. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD Si E(x, y) es definida positiva, entonces z = E(x, y) es la ecuaci´n o de una superficie que podr´ parecerse a un parabolo´ abierto hacia ıa ıde arriba y tangente al plano XY en el or´ ıgen (ver figura 8.18). z as atic atem eM o. d ept y ,D uia tioq An x de ad Figura 8.18 rsid ive Definici´n 8.6 (funci´n de Liapunov) E(x, y) es llamada una funci´n o o o Un de Liapunov para el sistema (8.32), si E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una regi´n que contiene al or´ o ıgen, E(x, y) es definida positiva y adem´s, a ∂E ∂E dE F+ G= (x, y) (8.34) ∂x ∂y dt es semidefinida negativa. 310
  31. 31. 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV Nota: Por (8.33), el requisito de que (8.34) sea semidefinida negativa impl´ ıca dE ∂E ∂E que la derivada de dt = ∂x F + ∂y G ≤ 0 y esto impl´ que E es no ıca creciente a lo largo de las trayectorias de (8.32) pr´ximas al or´ o ıgen. Por lo anterior las funciones E generalizan el concepto de energ´ total ıa as de un sistema f´ısico. atic Teorema 8.4 ( Criterio de Liapunov) . atem a. Si existe una funci´n de Liapunov para el sistema (8.32) , entonces el o eM punto cr´ıtico (0, 0) es estable. o. d b. Si (8.34) es definida negativa entonces (0, 0) es un punto cr´ ıtico asint´ticamente estable. o ept ,D c. Si (8.34) es definida positiva entonces (0, 0) es un punto cr´ ıtico uia inestable. tioq An Demostraci´n: sea C1 un c´ o ırculo de radio R > 0 centrado en el or´ıgen de tal manera que C1 se halla dentro del dominio de definici´n de la funci´n o o de E. Como E(x, y) es continua y definida positiva, tiene un m´ximo positivo a m en C1 . Adem´s, E(x, y) es continua en el or´ a ıgen y se anula en ´l, luego e ad podemos hallar un n´mero positivo r < R tal que 0 ≤ E(x, y) < m si (x, y) u rsid est´ dentro del c´ a ırculo C2 de radio r (Ver figura 8.19). ive Sea C = [x(t), y(t)] cualquier trayectoria que est´ dentro de C2 para e Un t = t0 , entonces E(t0 ) < m y como (8.34) es semidefinida negativa, entonces dE dt = ∂E F + ∂E G ≤ 0 lo cual impl´ que E(t) ≤ E(t0 ) < m para todo ∂x ∂y ıca t > t0 , luego la trayectoria C nunca puede alcanzar el c´ ırculo C1 en un t > t0 lo cual impl´ que hay estabilidad. ıca Probemos la segunda parte del teorema. Probemos que, bajo la hip´tesis adicional ( dE < 0), E(t) → 0, porque al ser o dt E(x, y) definida positiva, impl´ que C se aproxima al punto cr´ ıca ıtico (0, 0). 311
  32. 32. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD y c2 c1 t = t0 • r r• •R x as atic c3 atem c eM o. d Figura 8.19 ept Como dE < 0, entonces E(t) es decreciente y como E(t) est´ acotada a ,D dt inferiormente por 0, entonces E(t) tiene un l´ ımite L ≥ 0 cuando t → ∞. uia Supongamos que L > 0. Sea r < r (ver figura 8.19) tal que E(x, y) < L tioq para (x, y) dentro del c´ ırculo C3 de radio r, como la funci´n (8.34) es continua o y definida negativa, tiene un m´ximo negativo −k en el anillo limitado por a An los c´ ırculos C1 y C3 . Este anillo contiene a toda trayectoria C para t ≥ t0 , de luego de la ecuaci´n o t dE ad E(t) = E(t0 ) + dt t0 dt rsid y dE ≤ −k dt Se obtiene la desigualdad: ive E(t) ≤ E(t0 ) − k(t − t0 ) ∀t ≥ t0 Un Pero el miembro de la derecha tiende a −∞ cuando t → ∞, es decir, l´ E(t) = −∞, pero E(x, y) ≥ 0 (Absurdo!), luego L = 0. ım t→∞ Ejemplo 4. La E.D. de una masa m sujeta a un resorte de constante k, en un medio que ofrece un amortiguamiento de coeficiente C es d2 x dx m 2 +C + kx = 0 dt dt 312
  33. 33. 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV donde C ≥ 0, k > 0. Analizar la estabilidad de su punto cr´ ıtico. Soluci´n: o El sistema aut´nomo equivalente es: o dx dy k C = y; =− x− y dt dt m m as 2 Su unico punto cr´ ´ ıtico es (0, 0). La energ´ cin´tica es my y la energ´ po- ıa e 2 ıa x atic 1 2 tencial (o energ´ almacenada en el muelle) es 0 kx dx = 2 kx ıa Luego la energ´ total: E(x, y) = 1 my 2 + 1 kx2 la cual es definida positiva, ıa 2 2 atem como ∂E ∂E k C F+ G = kxy + my − x − y = −Cy 2 ≤ 0 eM ∂x ∂y m m o. d Luego, E(x, y) es una funci´n Liapunov para el sistema y por tanto (0, 0) es o estable. Se sabe que si C > 0 el punto cr´ ept ıtico (0, 0) es asint´ticamente estable, pero o la funci´n Liapunov no detecta este hecho. o ,D uia Ejemplo 5. (Resorte no lineal). Este es un ejemplo de una masa m = 1 sujeta a un resorte no lineal, en el cual la fuerza restauradora es una funci´n o tioq de la distancia de la masa al origen, sea −f (x) una funci´n no lineal que o representa la fuerza restauradora tal que f (0) = 0 y xf (x) > 0 si x = 0; no An hay fricci´n. La E.D. de su movimiento es o de d2 x + f (x) = 0 ad dt2 rsid Analizar la estabilidad de su punto cr´ ıtico. ive Soluci´n: el sistema aut´nomo equivalente es o o Un x =y y = −f (x) Su unico punto cr´ ´ ıa e 1 ıtico es (0, 0). La energ´ cin´tica es 2 x 2 = 1 y 2 y la energ´ 2 ıa potencial es x F (x) = f (x) dx 0 313
  34. 34. CAP´ ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD y la energ´ total es ıa y2 E(x, y) = F (x) + 2 Como x, f (x) tienen el mismo signo entonces F (x) ≥ 0 y por tanto E(x, y) es definida positiva. Adem´s a E (x, y) = F (x)x + yy = f (x)y + y(−f (x)) = 0 as es decir, es semidefinida negativa y por el teorema el punto cr´ ıtico (0, 0) es atic estable. Igual que sucede con un resorte lineal, se puede demostrar que este punto cr´ıtico es un centro. atem Ejemplo 6. Analicemos la estabilidad del punto cr´ ıtico del siguiente sistema x3 eM x = −x − − x sen y, 3 o. d y3 y = −y − 3 Soluci´n: o ept ,D (0, 0) es el unico punto cr´ico. Sea E(x, y) = 1 (x2 + y 2 ), luego ´ t 2 uia x3 y3 x4 y4 E (x, y) = x(−x − − x sen y) + y(−y − ) = −x2 − − y 2 − − x2 sen y tioq 3 3 3 3 pero |x2 sen y| ≤ x2 y por tanto x2 + x2 sen y ≥ 0. Entonces An x4 y4 x4 y4 − y2 − − (x2 + x2 sen y) ≤ − − y 2 − de E (x, y) = − <0 3 3 3 3 ad para (x, y) = (0, 0), es decir E es definida negativa y por el teorema anterior, rsid parte b., (0, 0) es asint´ticamente estable. o ive Ejemplo 7. Analizar la estabilidad del punto cr´ ıtico del siguiente sistema Un dx dy = −2xy; = x2 − y 3 dt dt Soluci´n: o (0, 0) es punto cr´ ıtico aislado E(x, y) = ax2m + by 2n 314

×