1. CAP´
ITULO 8
as
atic
INTRODUCCION A LA TEORIA
atem
DE ESTABILIDAD
eM
o. d
ept
8.1. ´
SISTEMAS AUTONOMOS, EL PLANO
,D
DE FASE
uia
tioq
Frecuentemente nos ocurre que no podemos resolver una E.D. anal´ ıtica-
mente y con m´s frecuencia si la E.D. es no lineal, pero aunque no podamos
a
An
resolverla expl´
ıcitamente, s´ podemos analizar su comportamiento cualita-
ı
tivo. Buscaremos informaci´n cualitativa a partir de la E.D. sin resolverla
o
de
expl´ıcitamente.
ad
Estudiaremos en este capitulo sistemas de la forma
rsid
dx
= F (x, y) (8.1)
ive
dt
Un
dy
= G(x, y) (8.2)
dt
donde F y G son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas
en todo el plano.
El sistema (8.1) y (8.2) en el que la variable independiente t no aparece en
F y en G se le llama aut´nomo.
o
281

2. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
Por el Teorema A.7 (de Picard), si t0 es cualquier n´mero y (x0 , y0 )
u
es un punto cualquiera del plano XY , entonces existe una unica soluci´n:
´ o
x = x(t) (8.3)
y = y(t) (8.4)
as
tal que x(t0 ) = x0 y y(t0 ) = y0
atic
Si x(t) y y(t) no son ambas constantes, entonces (8.3) y (8.4) son las
atem
ecuaciones par´metricas de una curva en el plano XY , a este plano lo lla-
a
maremos el plano de fase y la curva soluci´n la llamaremos una trayectoria
o
eM
del sistema, la familia de trayectorias representadas en el plano de fase la
llamaremos el retrato de fase
o. d
Nota: si (8.3) y (8.4) es soluci´n de (8.1) y (8.2), entonces
o
ept
x = x(t + c) (8.5)
,D
uia
y = y(t + c) (8.6)
tioq
tambi´n es soluci´n de (8.1) y (8.2) para cualquier c.
e o
An
Por tanto cada trayectoria viene representada por muchas soluciones que
de
difieren entre si por una translaci´n del par´metro. Tambi´n cualquier trayec-
o a e
ad
toria que pase por el punto (x0 , y0 ), debe corresponder a una soluci´n de la
o
rsid
forma (8.5) y (8.6), es decir, por cada punto del plano de fase pasa una sola
trayectoria, o sea, que las trayectorias no se intersectan.
ive
Nota:
Un
i). La direcci´n de t creciente a lo largo de la trayectoria dada es la misma
o
para todas las soluciones que representan a esa trayectoria. Una trayectoria
es por tanto una curva dirigida y en las figuras utilizamos flechas para indicar
la direcci´n de t creciente sobre las trayectorias.
o
ii). Para el punto (x0 , y0 ) tal que
dy dx
= F (x0 , y0 ) = 0, y = G(x0 , y0 ) = 0
dt dt
282

3. 8.1. SIST. AUTON., PLANO DE FASE
se cumple que
x(t) ≡ x0 y y(t) ≡ y0
es tambi´n soluci´n (soluci´n constante), pero no la llamamos trayectoria.
e o o
De las anotaciones anteriores se concluye que las trayectorias cubren todo
el plano de fase y no se intersectan entre si, la unica excepci´n a esta afir-
´ o
maci´n ocurre en los puntos (x0 , y0 ), donde F y G son cero.
o
as
atic
Definici´n 8.1 (Punto Cr´
o ıtico) .
atem
Al punto (x0 , y0 ) tal que F (x0 , y0 ) = 0 y G(x0 , y0 ) = 0 se le llama un punto
cr´
ıtico del sistema.
eM
Nota: en estos puntos la soluci´n es unica y es la soluci´n constante
o ´ o
o. d
x(t) = x0 y y(t) = y0 . Como se dijo antes, una soluci´n constante no de-
o
fine una trayectoria, as´ que por un punto cr´
ı ıtico no pasa ninguna trayectoria.
ept
,D
Supondremos que todo punto cr´ ıtico (x0 , y0 ) es aislado, es decir, existe
ırculo centrado en (x0 , y0 ) que no contiene ning´n otro punto cr´
un c´ u ıtico.
uia
tioq
Vimos en el Cap. IV que la E.D. del p´ndulo amortiguado (4.18) en la
e
p´gina 155 era
a
d2 θ
An
c dθ g
2
+ + sen θ = 0
dt m dt a
de
Haciendo x = θ y y = θ se obtiene el siguiente sistema aut´nomo no lineal
o
ad
x = y = F (x, y)
rsid
c g
y = − y − sen x = G(x, y).
m a
ive
Un
Los puntos (nπ, 0) para n ∈ Z son puntos cr´ ıticos aislados, ya que F (nπ, 0) =
0 y G(nπ, 0) = 0. Estos puntos (nπ, 0) corresponden a un estado de movimien-
to de la part´ ıcula de masa m en el que tanto la velocidad angular y = dθ
´ dt
dy d2 θ
y la aceleraci´n angular dt = dt2 se anulan simult´neamente, o sea que la
o ´ a
part´ıcula est´ en reposo; no hay fuerza que act´e sobre ella y por consiguiente
a u
est´ en equilibrio. Por esta raz´n en algunos textos a los puntos cr´
a o ıticos tam-
bi´n los llaman puntos de equilibrio.
e
283

4. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
Como x (t) = F (x, y) y y (t) = G(x, t) son las componentes del vec-
tor tangencial a las trayectorias en el punto P (x, y), consideremos el campo
vectorial:
V (x, y) = F (x, y)i + G(x, y)j
dx dy
donde dt
= F (x, y) y dt
= G(x, y)
as
atic
atem
C
R v
•S •Q
eM
P G
F
o. d
ept
,D
Figura 8.1
uia
tioq
En P (x, y) las componentes de V (x, y) son F (x, y) y G(x, y) (ver figura 8.1).
An
Como dx = F y dy = G, entonces V es tangente a la trayectoria en P y
dt dt
apunta en la direcci´n de t creciente.
o
de
Si t es el tiempo, entonces V es el vector velocidad de una part´ ıcula que se
mueve sobre la trayectoria. As´ el plano de fase est´ lleno de part´
ı a ıculas y cada
ad
trayectoria es la traza de una part´ıcula precedida y seguida por otras sobre
rsid
una misma trayectoria. Esto es lo que ocurre en un flu´ en movimiento
ıdo
y como el sistema es aut´nomo entonces V (x, y) no cambia con el tiempo,
o
ive
por esta raz´n al movimiento del flu´ se le llama estacionario; los puntos
o ıdo
Un
cr´
ıticos Q, R, S son puntos de velocidad cero, donde las part´ ıculas se hallan
en reposo (puntos estacionarios del flu´ ıdo).
De la figura se extraen las siguientes caracter´
ıticas:
1. Los puntos cr´
ıticos.
2. La disposici´n de las trayectorias cerca de los puntos cr´
o ıticos.
284

5. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD.
3. La estabilidad o inestabilidad de los puntos cr´
ıticos, es decir, si una
part´
ıcula pr´xima a un punto cr´
o ıtico permanece cerca de ´l o se aleja
e
hacia otra zona del plano.
4. Las trayectorias cerradas como la C, corresponden a soluciones peri´di-
o
cas.
Como en general los sistemas no lineales no pueden resolverse expl´ ıcita-
as
mente, el prop´sito de la teor´ cualitativa que desarrollaremos en este cap´
o ıa ıtu-
atic
lo es descubrir todo cuanto sea posible acerca de los diagramas de fase a partir
de las funciones F y G.
atem
eM
8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ES-
o. d
TABILIDAD.
Consideremos el sistema aut´nomo:
o ept
,D
dx
= F (x, y) (8.7)
dt
uia
tioq
dy
= G(x, y) (8.8)
dt
An
donde F y G son continuas, con derivadas parciales continuas en el plano de
de
fase XY .
Sea (x0 , y0 ) un punto cr´
ıtico aislado de (8.7) y (8.8). Si C = (x(t), y(t)) es una
ad
trayectoria de (8.7) y (8.8), decimos que C tiende a (x0 , y0 ), cuando t → ∞
rsid
(o t → −∞), si
ive
l´ x(t) = x0
ım (8.9)
t→±∞
Un
l´ y(t) = y0
ım (8.10)
t→±∞
Nota: si se cumple (8.9) y (8.10), entonces (x0 , y0 ) es punto cr´
ıtico de
(8.7) y (8.8), adem´s, si
a
y(t) − y0
l´
ım : existe o es igual a ± ∞,
t→±∞ x(t) − x0
285

6. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
entonces se dice que C entra al punto cr´
ıtico (x0 , y0 ) cuando t → ∞ o
t → −∞. Esto significa que la recta que une (x0 , y0 ) con P (x, y) tiene una
direcci´n determinada cuando t → ∞ o t → −∞.
o
Eliminando t tenemos que dx = G(x,y) : pendiente de la recta tangente a la
dy
F (x,y)
trayectoria de (8.7) y (8.8) en (x, y) cuando F y G no se anulan simult´nea-
a
mente; cuando F y G se anulan simult´neamente, (x0 , y0 ) es un punto cr´
a ıtico
as
y ninguna trayectoria pasa por ´l.e
atic
atem
8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS.
Sin p´rdida de generalidad supondremos que el punto (0, 0) es un cr´
e ıtico.
eM
1. Nodos. (ver figura 8.2 y 8.3)
o. d
ept
,D
y
y
uia
tioq
An
x
x
de
ad
rsid
ive
nodo propio o nodo estrella nodo impropio
Un
asint´ticamente estable
o asint´ticamente estable
o
Figura 8.2
Se distinguen dos tipos de nodos: nodos propios y nodos impropios.
a). Los nodos propios : en estos el retrato de fase esta formado por
semirrectas donde todas entran (o todas salen) del punto cr´ıtico, se le
llama tambi´n nodo estrella. Cuando las trayectorias entran al punto
e
286

7. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD.
y
y
x
as
x
atic
atem
eM
nodo propio o nodo estrella nodo impropio
o. d
inestable inestable
Figura 8.3
ept
,D
ıtico (sea nodo u otro tipo de punto cr´
cr´ ıtico) se dice que es un su-
uia
midero y cuando salen de ´l se dice que es una fuente.
e
tioq
b). Nodo impropio: a un punto de este tipo tienden e incluso entran
An
las trayectorias cuando t → ∞ (´ t → −∞). Para este nodo existen
o
cuatro trayectorias en forma de semirrectas con extremos en el origen.
de
Todas las dem´s trayectorias tienen el aspecto de ramas de par´bola y
a a
al tender hacia el origen sus pendientes tienden a la pendiente de una
ad
de las semirrectas.
rsid
ive
Ejemplo 1. Consideremos el sistema siguiente dx = x y dy = −x + 2y
dt dt
entonces (0, 0) es punto cr´
ıtico.
Un
La soluci´n general es x = C1 et , y(t) = C1 et + C2 e2t .
o
Cuando C1 = 0 ⇒ x = 0 y y = C2 e2t esto implica que la trayectoria
es el eje Y positivo si C2 > 0 y el eje Y negativo si C2 < 0 y cada
trayectoria tiende y entra al or´
ıgen cuando t ⇒ −∞.
Si C2 = 0 entonces x(t) = C1 et y y = C1 et y la trayectoria es la semir-
recta y = x con x > 0 y C1 > 0, o tambi´n es la semirrecta y = x con
e
287

8. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
y
x
as
atic
atem
eM
Figura 8.4 Nodo impropio, inestable
o. d
x < 0 y C1 < 0. En estos dos casos ambas trayectorias tienden y entran
ept
al or´
ıgen cuando t ⇒ −∞.
,D
uia
Cuando C1 = 0 y C2 = 0, las trayectorias est´n sobre las par´bolas
a a
C
y = x + C2 x2 que entran al or´ıgen con pendiente 1. Debe entenderse
tioq
2
1
que estas trayectorias constan solo de una porci´n de la par´bola, la
o a
parte con x > 0 si C1 > 0 y la parte x < 0 si C1 < 0.
An
de
dy
Obs´rvese que dx = −x+2y : pendiente de la tangente a la trayectoria que
e x
pasa por (x, y) = (0, 0); resolviendo la E.D. encontramos y = x + Cx2
ad
que son las curvas (par´bolas) sobre las que se apoyan las trayectorias,
a
rsid
excepto las que est´n sobre el eje Y (Ver figura 8.4).
a
ive
2. Punto de Silla.
Un
El origen es un punto de silla si el retrato de fase muestra que a este
punto tienden y hacia ´l entran dos semirrectas con extremos en el ori-
e
gen cuando t → ∞ y hay otras dos semirrectas que salen del origen
cuando t → ∞. Entre estas cuatro semirrectas hay cuatro regiones, las
cuales contienen una familia de trayectorias en forma de hip´rbolas;
e
estas trayectorias no tienden hacia origen cuando t → ∞, sino que son
asint´ticas a alguna de las semirrectas cuando t → ∞ (figura 8.5)
o
288

9. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD.
y
x
as
atic
atem
eM
Figura 8.5 Punto de silla
o. d
3. Centros (o v´rtices)(ver figura 8.6)
o ept
,D
y
uia
tioq
An
x
de
ad
rsid
ive
Un
Figura 8.6 Centro (estable)
Es un punto cr´ıtico que est´ rodeado por una familia de trayectorias
a
cerradas. Ninguna trayectoria tiende a ´l cuando t → ±∞.
e
289

10. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
Ejemplo 2. Consideremos el sistema
dx dy
= −y, = x.
dt dt
Entonces (0, 0) es el unico punto cr´
´ ıtico.
Su soluci´n general es :
o
as
x = −C1 sen t + C2 cos t
atic
y = C1 cos t + C2 sen t
atem
La soluci´n (o trayectoria) que satisface las condiciones iniciales x(0) =
o
1 y y(0) = 0 es
x = cos t y = sen t
eM
o. d
y
ept
,D
uia
C
tioq
1
An
1,5 2
x
de
ad
rsid
ive
Figura 8.7 Centro (estable)
Un
Y la soluci´n determinada por x(0) = 0 y y(0) = 1 es
o
π
x = − sen t = cos t +
2
π
y = cos t = sen t +
2
290

11. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD.
Estas dos soluciones diferentes definen la misma trayectoria C, es decir,
la circunferencia: x2 + y 2 = 1.
En ambos casos la direcci´n del recorrido es en sentido contrario a las
o
agujas del reloj.
dy
Eliminando t del sistema, tenemos que dx = − x cuya soluci´n es
y
o
2 2 2
x + y = R que es una familia de circunferencias en el plano de
fase xy, pero sin direcci´n de recorrido. En este caso (0, 0) es un cen-
o
as
tro(ver figura 8.7).
atic
atem
4 Focos. (ver figura 8.8)
y
eM
o. d
ept
,D
uia
tioq
An
x
de
ad
rsid
ive
Un
Figura 8.8 Foco o espiral (asint´ticamente estable)
o
Un punto cr´ıtico se llama foco o punto espiral si el retrato de fase mues-
tra que hacia ´l tienden (o salen de ´l) las trayectorias de una familia
e e
que gira en forma espiral un n´mero infinito de veces cuando t → ±∞.
u
N´tese que aunque las trayectorias tienden al origen, no entran a ´l en
o e
291

12. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
una direcci´n determinada, es decir,
o
dy
l´
ım no existe
t→±∞ dx
Ejemplo 3. Sea a una constante arbitraria y consideremos el sistema:
dx
= ax − y (8.11)
dt
as
dy
atic
= x + ay (8.12)
dt
atem
entonces (0, 0) es el unico punto cr´
´ ıtico.
La E.D. de las trayectorias es
eM
dy x + ay
= (8.13)
dx ax − y
o. d
Pasemos a coordenadas polares: x = r cos θ y y = r sen θ como
y
r2 = x2 + y 2 y θ = tan−1 x , entonces
ept
dr dy dθ dy
,D
r =x+y r2 =x −y
dx dx dx dx
uia
ı: dr
Luego (8.13) queda as´ dθ = ar ⇒ r = Ceaθ es la ecuaci´n polar de las
o
tioq
trayectorias.
La direcci´n del recorrido se puede deducir del hecho que dx = −y
o dt
An
cuando x = 0.
Si a = 0 entonces el sistema (8.11) y (8.12) se colapsa en el sistema:
de
dx
= −y (8.14)
ad
dt
rsid
dy
=x (8.15)
dt
ive
y se convierte en r = c, que es la ecuaci´n polar de la familia de
o
Un
circunferencias
x2 + y 2 = c 2 ,
de centro en el or´
ıgen y en este caso decimos que cuando el par´metro
a
a = 0 se ha producido una bifurcaci´n, a este punto lo llamamos punto
o
de bifurcaci´n, en esencia es un punto donde las soluciones cambian
o
cualitativamente de estables (o asint´ticamente estables) a inestables
o
o viceversa (Ver figura 8.9 ).
292

13. 8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD.
y
y
y
x x x
as
atic
atem
a<0 a=0 a>0
eM
a) Asint´ticamente estable
o b) Estable c) Inestable
o. d
Figura 8.9 Bifurcaci´n
o
Definici´n 8.2 (Estabilidad) .
o ept
,D
Supongamos por conveniencia que (0, 0) es un punto cr´
ıtico del sistema
uia
dx dy
= F (x, y) = G(x, y)
dt dt
tioq
Decimos que (0, 0) es un punto cr´ ıtico estable si para cada R > 0 existe
An
un r > 0 con r ≤ R, tal que toda trayectoria que est´ dentro del c´
a ırculo
2 2 2 2 2 2
x + y = r , para alg´n t = t0 , permanece en el c´
u ırculo x + y = R para
de
todo t > t0 , es decir, si todas las trayectorias que est´n suficientemente cerca
a
ad
al punto cr´ıtico permanecen cercanas a ´l (ver figura 8.10).
e
rsid
Definici´n 8.3 (Asint´ticamente Estable) Si es estable y existe un c´
o o ırcu-
ive
lo x2 + y 2 = r0 , tal que toda trayectoria que est´ dentro de ´l para alg´n
2
a e u
t = t0 , tiende al or´
ıgen cuando t → ∞.
Un
Definici´n 8.4 . Si el punto cr´
o ıtico no es estable, diremos que es inestable.
Los nodos de la figura 8.3 y 8.4, el punto de silla de la figura 8.5, el foco
(o espiral) de la figura 8.9 c) son puntos inestables.
293

14. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
•
t = t0 r
•
•
R
as
atic
atem
eM
Figura 8.10
o. d
ept
Los centros de la figuras 8.6 y 8.7 son estables, pero no asint´ticamente
o
estables.
,D
uia
Los nodos de la figura 8.2, el foco (o espiral) de la figura 8.8 y 8.9a) , son
asint´ticamente estables.
o
tioq
An
Para los siguientes ejercicios determine el tipo del punto cr´ıtico que es
(0, 0) y diga si es asint´ticamente estable, estable o inestable:
o
de
Ejercicio 1. dx = −2x + y, dy = x − 2y
ad
dt dt
(Rta: Nodo asint´ticamente estable.)
o
rsid
ive
Ejercicio 2. dx = 4x − y, dy = 2x + y
dt dt
(Rta: Nodo impropio inestable.)
Un
Ejercicio 3. dx = x + 2y, dy = 2x + y
dt dt
(Rta: Punto de Silla inestable.)
Ejercicio 4. dx = 3x + y, dy = 5x − y
dt dt
(Rta: Punto de Silla inestable.)
294

15. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD
Ejercicio 5. dx = x − 2y, dy = 2x − 3y
dt dt
(Rta: Nodo asint´ticamente inestable.)
o
dy
Ejercicio 6. dx = 5x − 3y,
dt dt
= 3x − y
(Rta: Nodo inestable.)
dy
Ejercicio 7. dx = 3x − 2y,
dt dt
= 4x − y
as
(Rta: Punto espiral inestable.)
atic
Ejercicio 8. dx = x − 3y, dy = 6x − 5y
dt dt
atem
(Rta: Punto espiral asint´ticamente estable.)
o
Ejercicio 9. dx = 2x − 2y, dy = 4x − 2y
eM
dt dt
(Rta: Centro estable, pero no asint´ticamente estable.)
o
o. d
Ejercicio 10. dx = x − 2y, dy = 5x − y
dt dt
(Rta: Centro estable, pero no asint´ticamente estable.)
o
ept
,D
uia
8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE
tioq
ESTABILIDAD PARA SISTEMAS LI-
An
NEALES
de
Consideremos el sistema:
ad
dx
rsid
= a1 x + b 1 y (8.16)
dt
ive
dy
= a2 x + b 2 y (8.17)
Un
dt
El cual tiene a (0, 0) como punto cr´
ıtico. Supondremos de ahora en adelante
que
a1 b 1
= a 1 b 2 − b 1 a2 = 0 (8.18)
a2 b 2
Por tanto, (0, 0) es el unico punto cr´
´ ıtico.
(8.16) y (8.17) tiene una soluci´n no trivial de la forma
o
295

16. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
i).
x = Aem1 t , y = Bem2 t
donde m1,2 son ra´ distintas de la cuadr´tica:
ıces a
m2 − (a1 + b2 )m + (a1 b2 − a2 b1 ) = 0 (8.19)
que se conoce como ecuaci´n caracater´
o ıstica del sistema, la condici´n
o
as
(8.18) impl´ que m = 0.
ıca
atic
atem
ii). O de la forma
x = Aem1 t , y = Btem1 t
eM
si m1 es una ra´ de multiplicidad dos de la ecuaci´n caracter´
ız o ıstica
o. d
m2 − (a1 + b2 )m + (a1 b2 − a2 b1 ) = 0.
o ept
Teorema 8.1 (Caracterizaci´n de la naturaleza del punto cr´ ıtico) .
,D
Sean m1 y m2 las ra´ de (8.19). La naturaleza del punto cr´
ıces ıtico est´ de-
a
terminada por estas ra´ıces.
uia
tioq
Casos Principales:
An
CASO A: Si las ra´ ıces m1 y m2 son reales, distintas y del mismo signo,
entonces es un nodo.
de
CASO B: Si las ra´ m1 y m2 son reales, distintas y de signos opuestos,
ıces
ad
entonces es un punto de silla.
rsid
CASO C: Si las ra´ ıces m1 y m2 son complejas conjugadas pero no
ive
imaginarias puras, entonces es un foco.
Un
Casos Frontera:
CASO D: Si las ra´ m1 y m2 son reales e iguales, entonces es un nodo.
ıces
CASO E: Si las ra´
ıces m1 y m2 son imaginarias puras, entonces es un
centro.
296

17. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD
A2 y = B 2 x
A1 y = B 1 x
as
atic
atem
Figura 8.11 Nodo impropio (asint´ticamente estable)
o
eM
o. d
CASO A: si las ra´ m1 y m2 son reales, distintas y del mismo signo,
ıces
entonces (0, 0) es un nodo.
ept
,D
Demostraci´n: supongamos que m1 < m2 < 0.
o
Sabemos que la soluci´n del sistema 8.16, 8.17 es:
o
uia
x = C 1 A 1 e m1 t + C 2 A 2 e m2 t (8.20)
tioq
An
y = C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t (8.21)
de
donde los vectores
A 1 m1 t A 2 m2 t
ad
e y e
B1 B2
rsid
B1 B2
son linealmente independientes, por lo tanto A1
= A2
y las C son constantes
ive
arbitrarias.
Analicemos los coeficientes C1 y C2
Un
1.) Si C2 = 0, entonces
x = C 1 A 1 e m1 t , y = C 1 B 1 e m1 t (8.22)
en este caso:
a). Si C1 > 0, entonces (8.22) representa una trayectoria que consiste en la
semirrecta A1 y = B1 x con pendiente B1
A
1
b). Si C1 < 0, entonces (8.22) representa una trayectoria que consiste de la
297

18. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
otra semirrecta opuesta a la anterior.
Como m1 < 0, entonces ambas semirrectas tienden a (0, 0) cuando t → ∞ y
y
como x = B1 , entonces ambas semirrectas entran a (0, 0) con pendiente B1 .
A
1
A
1
2). Si C1 = 0, entonces
x = C 2 A 2 e m2 t , y = C 2 B 2 e m2 t (8.23)
Similarmente (8.23) representan dos semirrectas de la recta A2 y = B2 x
as
con pendiente B2 , las cuales tienden a (0, 0) cuando t → ∞ y entran a ´l con
2
e
atic
A
B2
pendiente A2 .
atem
3). Si C1 = 0 y C2 = 0, entonces (8.20) y (8.21) representa trayectorias
curvas; como m1 < 0 y m2 < 0, entonces estas trayectorias tienden a (0, 0)
eM
cuando t → ∞, adem´s, como
a
o. d
m1 − m 2 < 0
y ept
C1 B1
e(m1 −m2 ) t + B2
,D
y C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t C2
= = C 1 A1
x C 1 A 1 e m1 t + C 2 A 2 e m2 t e(m1 −m2 ) t + A2
uia
C2
y
entonces, x → B2 cuando t → ∞, as´ que las trayectorias entran a (0, 0) con
2
ı
tioq
A
B2
pendiente A2 . De acuerdo a lo analizado (0, 0) es un nodo impropio y es,
An
como lo veremos m´s adelante, asint´ticamente estable (Ver figura 8.11).
a o
de
Si m1 > m2 > 0, la situaci´n es exactamente la misma, excepto que las
o
trayectorias salen de (0, 0) cuando t → ∞, las flechas son al contrario del
ad
caso anterior, (0, 0) es un nodo impropio inestable.
rsid
CASO B: si las ra´ m1 y m2 son reales, distintas y de signos opuestos,
ıces
entonces (0, 0) es un punto de silla (ver figura 8.12).
ive
Un
Demostraci´n: supongamos que m1 < 0 < m2 .
o
La soluci´n general de (8.16) y (8.17) es de la forma (8.20) y (8.21), como en
o
el CASO A se tienen cuatro trayectorias en forma de semirrectas opuestas;
un par de semirrectas opuestas representadas por (8.22) con m1 < 0, que
tienden y entran a (0, 0) cuando t → ∞ y el otro par de semirrectas opuestas
representadas por (8.23) con m2 > 0 las cuales tienden y entran al origen
(0, 0) cuando t → −∞.
298

19. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD
A1 y = B 1 x
y
as
A2 y = B 2 x
atic
x
atem
eM
o. d
ept
,D
uia
tioq
Figura 8.12 Punto de silla (inestable)
An
Si C1 = 0 y C2 = 0, la soluci´n general (8.20) y (8.21) representa trayecto-
o
de
rias curvas, pero como m1 < 0 < m2 , entonces ninguna de ellas tiende a (0, 0)
ad
cuando t → ∞ o t → −∞. En lugar de esto una trayectoria es asint´tica
´ o
rsid
a una de las semirrectas de (8.23) cuando t → ∞ y asint´tica a una de las
o
semirrectas de (8.22) cuando t → −∞, en efecto, como m2 > m1
ive
C1 B1
y C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t e(m1 −m2 ) t + B2 B2
Un
C2
l´
ım = l´
ım = l´
ım C 1 A1
=
t→∞ x t→∞ C1 A1 em1 t + C2 A2 em2 t t→∞ e(m1 −m2 ) t + A2 A2
C2
C2 B2
y C 1 B 1 e m1 t + C 2 B 2 e m2 t B1 + C1
e(m2 −m1 ) t B1
l´
ım = l´
ım m1 t + C A e m2 t
= l´
ım C 2 A2
=
t→−∞ x t→−∞ C1 A1 e 2 2 t→−∞ A1 +
C1
e(m2 −m1 ) t A1
luego (0, 0) es un punto de silla y es inestable .
299

20. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
CASO C: si las ra´ m1 , m2 son complejas conjugadas pero no imagi-
ıces
narias puras, el punto cr´
ıtico es un foco (o punto espiral).
Demostraci´n: m1 , m2 son de la forma a ± bi, donde a y b son reales no
o
nulos. En este caso el discriminante de 8.19 es negativo y por tanto
D = (a1 + b2 )2 − 4(a1 b2 − a2 b1 ) = (a1 − b2 )2 + 4a2 b1 < 0 (8.24)
as
Suponiendo que al valor propio λ = a + ib esta asociado el vector propio
atic
A1 A2
v = v1 + iv2 = +i
atem
B1 B2
entonces la soluci´n general es de la forma
o
eM
x = eat [C1 (A1 cos bt − A2 sen bt) + C2 (A1 sen bt + A2 cos bt)] (8.25)
o. d
y = eat [C1 (B1 cos bt − B2 sen bt) + C2 (B1 sen bt + B2 cos bt)] (8.26)
ept
donde C1 y C2 son par´metros.
a
,D
uia
Si a < 0 entonces x → 0 y y → 0 cuando t → ∞, o sea que todas las
trayectorias tienden a (0, 0) cuando t → ∞ y por tanto (0, 0) es asint´tica-
o
tioq
mente estable.
Probemos que las trayectorias no entran a (0, 0) cuando t → ∞, sino que
An
giran alrededor de ´l en forma de espirales.
e
Para ello utilicemos coordenadas polares y mostremos que a lo largo de
de
cualquier trayectoria, el signo de dθ no cambia para todo t.
dt
ad
rsid
Sabemos que
y
θ = tan−1
x
ive
dy
dθ x − y dx
Un
= dt dt
dt x2 + y 2
y usando (8.16) y (8.17):
dθ x (a2 x + b2 y) − y (a1 x + b1 y) a2 x2 + (b2 − a1 )xy − b1 y 2
= =
dt x2 + y 2 x2 + y 2
Como estamos interesados solo en soluciones que representan trayectorias,
suponemos x2 + y 2 = 0.
300

21. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD
y
y
as
x x
atic
atem
eM
a<0 a<0
a2 > 0 a2 < 0
o. d
Figura 8.13 Focos (asint´ticamente estables)
o
ept
,D
De (8.24): a2 y b1 deben tener signos opuestos.
Supongamos que a2 > 0 y b1 < 0.
uia
Si
tioq
dθ
y = 0⇒ = a2 > 0 (8.27)
dt
An
Si
de
dθ
y = 0⇒ =0 (8.28)
ad
dt
rsid
dθ
ya que si dt
= 0, entonces a2 x2 + (b2 − a1 )xy − b1 y 2 = 0, o sea,
ive
2
x x
a2 + (b2 − a1 ) − b1 = 0
Un
y y
ecuaci´n cuadr´tica cuyo discriminante es
o a
(b2 − a1 )2 + 4a2 b1 = D < 0
x
seg´n (8.24); por lo tanto
u y
es n´mero complejo, lo cual es absurdo porque
u
x
y
es n´mero real.
u
301

22. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
dθ dθ
De la continuidad de dt
, de (8.27) y de (8.28) se concluye que dt
> 0
cuando a2 > 0 y b1 < 0.
dθ
Similarmente, si a2 < 0 y b1 > 0 entonces dt
< 0.
En conclusi´n θ(t) es una una funci´n siempre creciente para todo t o
o o
siempre decreciente para todo t, luego no entra al or´
ıgen.
as
Por (8.25) y (8.26): x y y cambian de signo infinitas veces cuando t → ∞,
atic
es decir, todas las trayectorias giran en espiral alrededor del or´
ıgen en sentido
atem
contrario a las agujas del reloj si a2 > 0 y en sentido horario si a2 < 0. Luego
el punto cr´ıtico es un foco asint´ticamente estable (Ver figura 8.13).
o
eM
Si a > 0: el an´lisis es el mismo, salvo que las trayectorias tienden a (0, 0)
a
cuando t → −∞ y el punto cr´ ıtico es inestable.
o. d
CASO D: si las ra´ m1 y m2 son reales e iguales, el punto cr´
ıces ıtico (0, 0)
es un nodo.
ept
,D
Demostraci´n: supongamos que m1 = m2 = m < 0.
o
uia
Dos casos:
tioq
i). a1 = b2 = 0 y a2 = b1 = 0
ii). Todas las dem´s posibilidades que conducen a una ra´ doble.
a ız
An
i). Si a1 = b2 = a = 0 entonces la ecuaci´n caracter´
o ıstica (8.19) se
de
convierte en m2 − 2am + a2 = 0 y por tanto m = a con multiplicidad dos y
el sistema de E.D. queda convertido en el sistema desacoplado siguiente
ad
rsid
dx dy
= ax, = ay.
dt dt
ive
Es claro que su soluci´n general es
o
Un
x = C1 emt , y = C2 emt (8.29)
donde C1 y C2 son constantes arbitrarias, eliminando el par´metro t, obte-
a
nemos
x C1 C1
= o sea que y = x
y C2 C2
Las trayectorias definidas por (8.29) son semirrectas de todas las pen-
dientes posibles y como m < 0, entonces estas trayectorias tienden y entran
302

23. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD
y
x
as
atic
atem
eM
Figura 8.14 Nodo propio o nodo estrella (asint´ticamente estable)
o
o. d
a (0, 0) cuando t → ∞, de donde (0, 0) es un nodo (llamado tambi´n nodo
ept e
propio o nodo estrella) asint´ticamente estable (ver figura 8.14).
o
,D
Si m > 0, tenemos la misma situaci´n, excepto que las trayectorias entran
o
a (0, 0) cuando t → −∞, las flechas son al contrario, entonces es un nodo
uia
(nodo propio o nodo estrella) inestable.
tioq
ii). Para ra´
ıces repetidas sabemos de (7.22) en la p´gina 269 que para
a
A
el valor propio m esta asociado el vector propio y el vector propio
An
B
A1
de
generalizado de rango dos , por lo tanto la soluci´n general es:
o
B1
ad
x = C1 A emt + C2 (A1 + At) emt (8.30)
rsid
y = C1 B emt + C2 (B1 + Bt) emt
ive
(8.31)
Un
donde C1 y C2 son constantes arbitrarias.
Cuando C2 = 0, entonces x = C1 A emt ; y = C1 B emt .
Sabemos que estas soluciones representan dos semirrectas de la recta
Ay = Bx con pendiente B y como m < 0, ambas trayectorias tienden a
A
y
(0, 0) cuando t → ∞. Como x = B , entonces ambas trayectorias entran a
A
(0, 0) con pendiente B .
A
303

24. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
y
as
x
atic
atem
eM
o. d
ept
Figura 8.15 Nodo impropio (asint´ticamente estable)
o
,D
uia
Si C2 = 0, entonces (8.30) y (8.31) representan trayectorias curvas y como
tioq
m < 0, entonces estas trayectorias tienden a (0, 0) cuando t → ∞. Adem´s, a
como
C1 B emt + C2 (B1 + Bt) emt
An
y
=
x C1 A emt + C2 (A1 + At) emt
de
C1 B
y C2
+ B1 + Bt
ad
= C1 A
x + A1 + At
rsid
C2
y B
⇒ → cuando t → ∞.
ive
x A
Un
Luego, estas trayectorias curvas entran a (0, 0) con pendiente B .
A
A este nodo se le llama nodo impropio (ver figura 8.15) y es asint´ticamente
o
estable.
e y
Cuando m > 0, observemos que tambi´n x → B cuando t → −∞, en
A
este caso las trayectorias curvas salen del origen. En este caso la situaci´n
o
es la misma excepto que las direcciones de las flechas se invierten y el punto
cr´
ıtico es un nodo (impropio) inestable.
304

25. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD
CASO E: si m1 y m2 son imaginarias puras, el punto cr´
ıtico (0, 0) es un
centro (ver figura 8.16).
y
as
atic
x
atem
eM
o. d
Figura 8.16 Centro (estable)
ept
,D
Demostraci´n: m1 y m2 son de la forma a ± ib con a = 0 y b = 0, luego
o
uia
por (7.10) en la p´gina 260,
a
tioq
x = C1 (A1 cos bt − A2 sen bt) + C2 (A1 sen bt + A2 cos bt)
An
y = C1 (B1 cos bt − B2 sen bt) + C2 (B1 sen bt + B2 cos bt)
de
Luego x(t) y y(t) son peri´dicas y cada trayectoria es una curva cerrada
o
que rodea al or´ıgen, estas trayectorias son elipses, lo cual puede probarse
ad
dy
resolviendo la E.D.: dx = a2 x+b2 y .
rsid
a1 x+b1 y
Luego (0, 0) es un centro estable, pero no asint´ticamente estable.
o
ive
Un
305

26. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
q
cuadrante inestable cuadrante asint´ticamente
o
p
2
estable
−
4q
ola
=
´b
0
ra
pa
centros
no
do espirales espirales
ite
lim
as
sl semieje
im estable os
atic
ite d
no
atem
nodos nodos p
eM
cuadrante inestable cuadrante inestable
o. d
puntos de silla
Figura 8.17 ept
,D
uia
Teorema 8.2 ( Criterio de estabilidad) .
tioq
El punto cr´ıtico (0, 0)del sistema lineal (8.16) y (8.17) es estable si y solo si
ambas ra´ de la ecuaci´n auxiliar (8.19) tienen partes reales no positivas,
ıces o
An
y es asint´ticamente estable si y solo si ambas ra´
o ıces tienen partes reales
negativas.
de
Escribamos la ecuaci´n (8.19) de la forma siguiente:
o
ad
(m − m1 )(m − m2 ) = m2 + pm + q = 0
rsid
donde p = −(m1 + m2 ) y q = m1 m2 .
ive
Luego los cinco casos anteriores se pueden describir en t´rminos de p y q y
e
Un
para ello utilizamos el plano pq (ver figura 8.17).
El eje p (o sea q = 0), est´ excluido ya que q = m1 m2 = a1 b2 − a2 b1 = 0. Por
a √
−p± p2 −4q
tanto, toda la informaci´n la podemos extraer de m1,2 =
o 2
Observando la figura vemos que:
Por encima de la par´bola p2 − 4q = 0 se tiene p2 − 4q < 0. Luego
a
m1 , m2 son n´meros complejos y estos son imaginarios puros si y solo
u
306

27. 8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD
si p = 0; estos son los casos C y E de focos y centros.
Por debajo del eje p se tiene q < 0 ⇒ m1 , m2 son reales distintos y de
signos opuestos, por tanto es un punto de silla o sea el caso B.
La zona entre la par´bola y el eje p (excluido este eje e incluyendo a
a
as
la par´bola), se caracteriza porque p2 − 4q ≥ 0 y q > 0 ⇒ m1 , m2 son
a
atic
reales y del mismo signo y sobre la par´bola m1 = m2 ; por tanto son
a
nodos y son los casos A y D.
atem
eM
El primer cuadrante excluyendo los ejes, es una regi´n con estabilidad
o
asint´tica; el eje positivo q corresponde a centros y por tanto es estable;
o
o. d
el segundo, tercero y cuarto cuadrante son regiones inestables.
Teorema 8.3 (Criterio para estabilidad asint´tica) . o ept
El punto cr´ıtico (0, 0) del sistema lineal (8.16) y (8.17) es asint´ticamente
o
,D
estable si y solo si los coeficientes p = −(a1 + b2 ) y q = a1 b2 − a2 b1 , de la
uia
ecuaci´n auxiliar son ambos positivos.
o
tioq
Encuentre los puntos cr´
ıticos:
An
dx dy
Ejercicio 1. dt
= 3x − y, dt
= x + 3y
de
(Rta: (0, 0))
ad
dx dy
Ejercicio 2. = 3x − 2y, = 4x − 3y + 1
rsid
dt dt
(Rta: (2, 3))
ive
dy
Ejercicio 3. dx = 2x − xy,
dt dt
= xy − 3y
Un
(Rta: (0, 0) y (3, 2))
Ejercicio 4. dx = y, dy = − sen x
dt dt
(Rta: todos los puntos de la forma (nπ, 0), donde n es un entero.)
Encuentre los puntos cr´
ıticos del sistema dado e investigue el tipo de es-
tabilidad de cada uno:
307

28. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
Ejercicio 5. dx = −2x + y, dy = x − 2y
dt dt
(Rta: el or´
ıgen es un nodo asint´ticamente estable.)
o
Ejercicio 6. dx = x + 2y, dy = 2x + y
dt dt
(Rta: el or´
ıgen es un punto silla inestable.)
Ejercicio 7. dx = x − 3y, dy = 6x − 5y
dt dt
as
(Rta: el or´
ıgen es un foco o punto espiral asint´ticamente estable.)
o
atic
Ejercicio 8. dx = x − 2y, dy = 4x − 2y
dt dt
atem
(Rta: el or´
ıgen es un foco estable.)
Ejercicio 9. dx = 3x − 2y, dy = 4x − y
eM
dt dt
(Rta: el or´
ıgen es un foco o punto espiral inestable.)
o. d
Ejercicio 10 . dx = 3x − 2y, dy = 4x − y
dt dt
(Rta: el or´
ıgen es un foco o punto espiral inestable.)
ept
,D
uia
8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL
tioq
METODO DIRECTO DE LIAPUNOV
An
Consideremos el sistema aut´nomo
o
de
dx
= F (x, y)
ad
dt (8.32)
dy
rsid
= G(x, y),
dt
ive
y supongamos que tiene un punto cr´ ıtico aislado; sea (0, 0) dicho punto cr´ıtico
(un punto cr´
ıtico (x0 , y0 ) se puede llevar al or´
ıgen mediante la traslaci´n de
o
Un
coordenadas x = x − x0 , y = y − y0 ).
Sea C = (x(t), y(t)) una trayectoria de (8.32) y consideremos la funci´n
o
E(x, y) continua y con primeras derivadas parciales continuas en una regi´n
o
que contiene a la trayectoria. Si un punto (x, y) se mueve a lo largo de las
trayectorias de acuerdo a las ecuaciones x = x(t) y y = y(t), entonces
E(x, y) = E(x(t), y(t)) = E(t)
308

29. 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV
es una funci´n de t sobre C , su raz´n de cambio es
o o
dE ∂E dx ∂E dy ∂E ∂E
= + = F+ G (8.33)
dt ∂x dt ∂y dt ∂x ∂y
Esta f´rmula es la idea principal de Liapunov.
o
Definici´n 8.5 Supongamos que E(x, y) es continua y tiene primeras derivadas
o
as
parciales continuas en una regi´n que contiene al origen.
o
atic
Si E(0, 0) = 0 y
atem
i. Si E(x, y) > 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es definida positiva.
eM
ii. Si E(x, y) < 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es definida negativa.
o. d
iii. Si E(x, y) ≥ 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es semidefinida posi-
tiva. ept
,D
iv. Si E(x, y) ≤ 0 con (x, y) = (0, 0), decimos que E es semidefinida nega-
uia
tiva.
tioq
Nota:
An
E(x, y) = ax2m + by 2n con a > 0, b > 0 y m, n enteros positivos, es
de
definida positiva.
ad
rsid
E(x, y) es definida negativa si y solo si −E(x, y) es definida positiva.
ive
E(x, y) = ax2m + by 2n con a < 0 y b < 0 y m, n enteros positivos, es
Un
definida negativa.
x2m es semidefinida positiva, ya que x2m = 0 para todo (0, y) y x2m > 0
para todo (x, y) = (0, 0).
Similarmente se demuestra que y 2n , (x − y)2m son semidefinidas posi-
tivas.
309

30. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
Si E(x, y) es definida positiva, entonces z = E(x, y) es la ecuaci´n
o
de una superficie que podr´ parecerse a un parabolo´ abierto hacia
ıa ıde
arriba y tangente al plano XY en el or´
ıgen (ver figura 8.18).
z
as
atic
atem
eM
o. d
ept
y
,D
uia
tioq
An
x
de
ad
Figura 8.18
rsid
ive
Definici´n 8.6 (funci´n de Liapunov) E(x, y) es llamada una funci´n
o o o
Un
de Liapunov para el sistema (8.32), si E(x, y) es continua, con primeras
derivadas parciales continuas en una regi´n que contiene al or´
o ıgen, E(x, y)
es definida positiva y adem´s,
a
∂E ∂E dE
F+ G= (x, y) (8.34)
∂x ∂y dt
es semidefinida negativa.
310

31. 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV
Nota:
Por (8.33), el requisito de que (8.34) sea semidefinida negativa impl´ ıca
dE ∂E ∂E
que la derivada de dt = ∂x F + ∂y G ≤ 0 y esto impl´ que E es no
ıca
creciente a lo largo de las trayectorias de (8.32) pr´ximas al or´
o ıgen.
Por lo anterior las funciones E generalizan el concepto de energ´ total
ıa
as
de un sistema f´ısico.
atic
Teorema 8.4 ( Criterio de Liapunov) .
atem
a. Si existe una funci´n de Liapunov para el sistema (8.32) , entonces el
o
eM
punto cr´ıtico (0, 0) es estable.
o. d
b. Si (8.34) es definida negativa entonces (0, 0) es un punto cr´
ıtico
asint´ticamente estable.
o ept
,D
c. Si (8.34) es definida positiva entonces (0, 0) es un punto cr´
ıtico
uia
inestable.
tioq
An
Demostraci´n: sea C1 un c´
o ırculo de radio R > 0 centrado en el or´ıgen
de tal manera que C1 se halla dentro del dominio de definici´n de la funci´n
o o
de
E. Como E(x, y) es continua y definida positiva, tiene un m´ximo positivo
a
m en C1 . Adem´s, E(x, y) es continua en el or´
a ıgen y se anula en ´l, luego
e
ad
podemos hallar un n´mero positivo r < R tal que 0 ≤ E(x, y) < m si (x, y)
u
rsid
est´ dentro del c´
a ırculo C2 de radio r (Ver figura 8.19).
ive
Sea C = [x(t), y(t)] cualquier trayectoria que est´ dentro de C2 para
e
Un
t = t0 , entonces E(t0 ) < m y como (8.34) es semidefinida negativa, entonces
dE
dt
= ∂E F + ∂E G ≤ 0 lo cual impl´ que E(t) ≤ E(t0 ) < m para todo
∂x ∂y
ıca
t > t0 , luego la trayectoria C nunca puede alcanzar el c´
ırculo C1 en un t > t0
lo cual impl´ que hay estabilidad.
ıca
Probemos la segunda parte del teorema.
Probemos que, bajo la hip´tesis adicional ( dE < 0), E(t) → 0, porque al ser
o dt
E(x, y) definida positiva, impl´ que C se aproxima al punto cr´
ıca ıtico (0, 0).
311

32. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
y
c2 c1
t = t0
•
r
r• •R
x
as
atic
c3
atem
c
eM
o. d
Figura 8.19
ept
Como dE < 0, entonces E(t) es decreciente y como E(t) est´ acotada
a
,D
dt
inferiormente por 0, entonces E(t) tiene un l´
ımite L ≥ 0 cuando t → ∞.
uia
Supongamos que L > 0. Sea r < r (ver figura 8.19) tal que E(x, y) < L
tioq
para (x, y) dentro del c´
ırculo C3 de radio r, como la funci´n (8.34) es continua
o
y definida negativa, tiene un m´ximo negativo −k en el anillo limitado por
a
An
los c´
ırculos C1 y C3 . Este anillo contiene a toda trayectoria C para t ≥ t0 ,
de
luego de la ecuaci´n
o
t
dE
ad
E(t) = E(t0 ) + dt
t0 dt
rsid
y dE ≤ −k
dt
Se obtiene la desigualdad:
ive
E(t) ≤ E(t0 ) − k(t − t0 ) ∀t ≥ t0
Un
Pero el miembro de la derecha tiende a −∞ cuando t → ∞, es decir,
l´ E(t) = −∞, pero E(x, y) ≥ 0 (Absurdo!), luego L = 0.
ım
t→∞
Ejemplo 4. La E.D. de una masa m sujeta a un resorte de constante k,
en un medio que ofrece un amortiguamiento de coeficiente C es
d2 x dx
m 2
+C + kx = 0
dt dt
312

33. 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV
donde C ≥ 0, k > 0. Analizar la estabilidad de su punto cr´
ıtico.
Soluci´n:
o
El sistema aut´nomo equivalente es:
o
dx dy k C
= y; =− x− y
dt dt m m
as
2
Su unico punto cr´
´ ıtico es (0, 0). La energ´ cin´tica es my y la energ´ po-
ıa e 2
ıa
x
atic
1 2
tencial (o energ´ almacenada en el muelle) es 0 kx dx = 2 kx
ıa
Luego la energ´ total: E(x, y) = 1 my 2 + 1 kx2 la cual es definida positiva,
ıa 2 2
atem
como
∂E ∂E k C
F+ G = kxy + my − x − y = −Cy 2 ≤ 0
eM
∂x ∂y m m
o. d
Luego, E(x, y) es una funci´n Liapunov para el sistema y por tanto (0, 0) es
o
estable.
Se sabe que si C > 0 el punto cr´ ept
ıtico (0, 0) es asint´ticamente estable, pero
o
la funci´n Liapunov no detecta este hecho.
o
,D
uia
Ejemplo 5. (Resorte no lineal). Este es un ejemplo de una masa m = 1
sujeta a un resorte no lineal, en el cual la fuerza restauradora es una funci´n
o
tioq
de la distancia de la masa al origen, sea −f (x) una funci´n no lineal que
o
representa la fuerza restauradora tal que f (0) = 0 y xf (x) > 0 si x = 0; no
An
hay fricci´n. La E.D. de su movimiento es
o
de
d2 x
+ f (x) = 0
ad
dt2
rsid
Analizar la estabilidad de su punto cr´
ıtico.
ive
Soluci´n: el sistema aut´nomo equivalente es
o o
Un
x =y
y = −f (x)
Su unico punto cr´
´ ıa e 1
ıtico es (0, 0). La energ´ cin´tica es 2 x 2 = 1 y 2 y la energ´
2
ıa
potencial es
x
F (x) = f (x) dx
0
313

34. CAP´
ITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD
y la energ´ total es
ıa
y2
E(x, y) = F (x) +
2
Como x, f (x) tienen el mismo signo entonces F (x) ≥ 0 y por tanto E(x, y)
es definida positiva. Adem´s
a
E (x, y) = F (x)x + yy = f (x)y + y(−f (x)) = 0
as
es decir, es semidefinida negativa y por el teorema el punto cr´ ıtico (0, 0) es
atic
estable. Igual que sucede con un resorte lineal, se puede demostrar que este
punto cr´ıtico es un centro.
atem
Ejemplo 6. Analicemos la estabilidad del punto cr´ ıtico del siguiente sistema
x3
eM
x = −x − − x sen y,
3
o. d
y3
y = −y −
3
Soluci´n:
o
ept
,D
(0, 0) es el unico punto cr´ico. Sea E(x, y) = 1 (x2 + y 2 ), luego
´ t 2
uia
x3 y3 x4 y4
E (x, y) = x(−x − − x sen y) + y(−y − ) = −x2 − − y 2 − − x2 sen y
tioq
3 3 3 3
pero |x2 sen y| ≤ x2 y por tanto x2 + x2 sen y ≥ 0. Entonces
An
x4 y4 x4 y4
− y2 − − (x2 + x2 sen y) ≤ − − y 2 −
de
E (x, y) = − <0
3 3 3 3
ad
para (x, y) = (0, 0), es decir E es definida negativa y por el teorema anterior,
rsid
parte b., (0, 0) es asint´ticamente estable.
o
ive
Ejemplo 7. Analizar la estabilidad del punto cr´
ıtico del siguiente sistema
Un
dx dy
= −2xy; = x2 − y 3
dt dt
Soluci´n:
o
(0, 0) es punto cr´
ıtico aislado
E(x, y) = ax2m + by 2n
314