1. MATH
ASAS PEMBEZAAN
Pengenalan Kepada Pembezaan
1. Note Penting:
xn
d
nx n 1 }jika ia ungkapan x n maka bila beza kita akan tulis
d
dx dx
y xn
dy
nx n 1 }jika ia persamaan y x n maka bila beza kita akan tulis
dy
dx dx
f x x n f ' x nx n1 } jika ia fungsi f x x n
maka bila beza kita akan tulis f ' x
Pembezaan Prinsip Pertama
1. Jika y f x , maka
had f x x f x
dy
dx x 0 x
2. Soalan Contoh
a. f x x
f ' x had
x x x
x 0 x
had x x x
x 0 x
had x
x 0 x
1
b. f x 3x
3x x 3x
f ' x had
x 0 x
had 3x 3x 3x
x 0 x
had 3x
x 0 x
3
Dxsuki
2. MATH
c. f x x 2
had x x x
2 2
f ' x
x 0 x
had x 2 xx x x
2 2 2
x 0 x
2 xx x 2
had
x 0 x
2 xx x 2
had
x 0 x x
had
x 0 2 x x
had
x 0 2 x 0
2x
d. f x 2x 2
had 2x x 2 2 x 2
f ' x
x 0
x
had
2 x 2 2 xx x 2 2 x 2
x 0 x
2 x 2 4 xx 2x 2 2 x 2
had
x 0 x
had 4 xx 2x 2
x 0 x
4 xx 2x 2
had
x 0 x x
had
x 0 4 x 2x
had 4 x 20
x 0
4x
Dxsuki
3. MATH
e. y 3x 2 x 1
dy
had 3x x 2 x x 1 3x 2 x 1
dx x 0 x
had
2
2
3 x 2 xx x x x 1 3x 2 x 1
x 0 x
had 3x 6 xx 3x x x 1 3x x 1
2 2 2
x 0 x
had 6 xx 3x x
2
x 0
x
6 xx 3x 2 x
had
x 0 x x x
had 6 x 3x 1
x 0
6 x 30 1
had
x 0
6x 1
f x
1
f.
x
1 1
f ' x
had x x x
x 0 x
had x x x
x 0 xx x x
x
had
x 0 x xxx
2
1
had
x 0 x xx
2
1
had
x 0 x x0
2
1
2
x
Dxsuki
4. MATH
g. y x
dy had x x x
dx x 0 x
had x x x x x x
x 0
x x x x
had x x x
x 0 x x x x Gunakan
x Konjugat
had
x 0 x x x x
1
had
x 0 x x x
1
had
x 0 x 0 x
1
x x
1
2 x
h. y x 1
dy x x 1 x 1
had
dx x 0 x
had x x 1 x 1 x x 1 x 1
x 0 x x x 1 x 1
x x 1 x 1
had
x 0 x x x 1 x 1
1
had
x 0 x x 1 x 1 Gunakan
1 Konjugat
had
x 0 x 0 1 x 1
1
2 x 1
3. Soalan Latihan :
1. y 5x 2 2. y x2 x 3
3. 1 4. 1
y y 2
x2 3x
5. y x 2 5x 6. y 2 x 2 3x 1
7. y 2x 8. y x 1
Dxsuki
5. MATH
Pembezaan Fungsi Algebra
A) Petua Asas Pembezaan
y xn dy
nx n 1
dx
y ax n dy
anx n 1
dx
yk dimana k ialah pemalar dy
0
dx
Contoh Soalan
1. y 9x 2. y t3
dy dy
9 3t 2
dx dt
3. y 3x 4 4. y x5
34 x 41
dy dy
5 x 51
dx dx
12x 4 5x 4
5. 7 2 6. 3
y x y
8 4x 2
dy 7 3 1 3
2 x 2 1 2 x2
dx 8 4 x 4
7 dy 3
x 2 x 21
4 dx 4
3 3
x 3 3
2 2x
7. y5 8. 1
y
dy 2
0
dx dy
0
dx
Soalan Latihan :
1. x4 2. y7
3. y 3x 2 4. y t5
5. 6.
f x
7 5 6
y 4 x
3x 3
7. f x 7 3 8.
y
1
4x3
Dxsuki
6. MATH
B) Pembezaan Hasil Tambah
y uv dy du dv
dx dx dx
Contoh Soalan
1. y 2x 5 x 2 9 2. y t 3 5t
dy d d 2 d dy d 3 d
2 x5 x 9 t 5t
dx dx dx dx dx dx dx
3t 31 51t 11
dy dy
2 5 x 51 2 x 21 0
dx dt
10 x 4 2 x 3t 2 5
2 x5x 3 1
3. 3x 4 x 3 5 x 2 4. 9z z 3
y y
2x 2 z
3x 4 x 3 5x 2 9z z 3
y 2 2 2
2x 2x 2x z z
3 x 5 9 z 2
y x2
2 2 2 dy d d
9 z2
dy 3 d 2 d x d 5 dz dz dz
x 21
dx 2 dx dx 2 dx 2 0 2z
3 1 2z
2 x 21 x11 0
2 2
1
3x
2
5. y 3x 2 kembangkan dulu
2 6.
2
y x 2 2 kembangkan dulu
9 x 2 12 x 4 x 4 4x 2 4
dy d d d dy d 4 d d
9 x 2 12 x 4 x 4x 2 4
dx dx dx dx dx dx dx dx
18x 12 4 x 8x
3
Soalan Latihan :
1. x 4 4x 2 2. z 15 2 z 4 4 z 3 z 6
3. 3x 2 x
6
4. t 5 4t 3 5
y y
2x 2 t3
5. 6.
f x 3 x 5
3 2 7 1
y 7 x7
2x 5 4 14
7. y 2 x 3
2 8.
y 1 x2
2
Dxsuki
7. MATH
C) Pembezaan Hasil Tolak
y u v dy du dv
dx dx dx
Contoh Soalan
1. y 2x 2 x 3 2. y 5t t 4 9
dy d d dy d d d
2 x2 x3 5t 4t 4 9
dx dx dx dt dx dx dx
2 2 x 2 x 31
21
dy
5t 11 4t 41 0
2x 2x 2 dt
2 x1 x 5 4t 3
3. x 4 2 x 3 3x 2 4. 9z z 3
y y
2x 2 z2
x4 2 x 3 3x 2 9z z 3
y 2 2 2 2 2
2x 2x 2x z z
1 x 3 9
y x2 z
2 2 2 z
dy 1 d 2 1 d d 3 dy d d
x x 9 z 1 z
dx 2 dx 2 dx dx 2 dz dz dz
11
1 1
2 x 21 1x11 0 1 9 z z 11
2 2 9 z 2 1
1 9
x 2 1
2 z
5. y 2 x kembangkan dulu
2
4 4x x 2
dy d d d 2
4 4x x
dx dx dx dx
4 2 x
2x 2
Soalan Latihan :
1. 5 x 4 x 2 2.
y
x 2x 3
x
3. 3x x
2 5 4. q 4q 3 5q
5
y y
2x 2 q3
5. 6.
f x 4 x 5 x f t t 15 t 4 3 5 z 15
3 1 7 3 1
x 5 4 2 t
7. y x 3x
2 8.
y 1 x2
2
Dxsuki
8. MATH
D) Pembezaan Hasil Darab
y uv dy dv du
u v
dx dx dx
Contoh Soalan:
Bagi soalan-soalan dibawah terdapat 2 cara untuk meyelesaikannya:
a) Kembangkan dan gunakan kaedah Pembezaan Hasil Tambah atau
Pembezaan Hasil Tolak
b) Gunakan kaedah Pembezaan Hasil Darab
Dalam contoh soalan dibawah akan menggunakan kaedah Pembezaan Hasil Darab.
Tetapi dalam keadaan biasa boleh kembangkan dan selesaikan.
1. y xx 1 2. y 2 x x 4
ux v x 1 u 2x v x4
du dv du dv
1 1 2 1
dx dx dx dx
dy dv du dy dv du
u v u v
dx dx dx dx dx dx
x1 x 11 2 x1 x 42
dy dy
dx dx
x x 1 2x 2x 8
2x 1 4x 8
4x 2
3. y 2 x 1x 3 4.
y x 2 2 3x 5
u 2x 1 v x3 u x 2 2
v 3x 5
du dv du dv
2 1 2x 3
dx dx dx dx
dy dv du dy dv du
u v u v
dx dx dx dx dx dx
2 x 11 x 32 x 2 23 3x 52 x
dy dy
dx dx
2x 1 2x 6 3x 2 6 6 x 2 10 x
4x 5
9 x 2 10 x 6
Soalan Latihan :
1. y x 2 x 5 2.
y 2x x 2 2
3. y x 43 x 4.
y x 2 2 3x 5
5. y 2 x 43 x 6.
y x 2 2 x 3x 5
Dxsuki
9. MATH
E) Pembezaan Hasil Bahagi
u du dv
y v u
v dy dx dx
2
dx v
Contoh Soalan
1. x2
y
x 1
u x2 v x 1
du dv
2x 1
dx dx
du dv
v u
dy
dx 2 dx
dx v
x 12 x x 2 1
x 12
2x 2 2x x 2
x 12
x 2 2x
x 12
x x 2
x 12
2. x2 2
y
3x 1
u x2 2 v 3x 1
du dv
2x 3
dx dx
du dv
v u
dy
dx 2 dx
dx v
3x 12 x x 2 23
3x 12
6 x 2 2 x 3x 2 6
3x 12
6 x 2 2 x 3x 2 6
3x 12
3x 2 2 x 6
3x 12
Dxsuki
10. MATH
3. 4x 2 1
y
x 4 5x
u 4x2 1 v x 4 5x
du dv
8x 4x3 5
dx dx
du dv
v u
dy
dx 2 dx
dx v
x 5x 8x 4 x 2 14 x 3 5
4
x 4 5x2
8 x 5 40 x 2 16 x 5 20 x 2 4 x 3 5
x 4
5x
2
8 x 40 x 16 x 20 x 2 4 x 3 5
5 2 5
x 4
5x
2
8 x 5 4 x 3 20 x 2 5
x 4
5x 2
8 x 5 4 x 3 20 x 2 5
x 4
5x 2
4. x 2 9x
y
2x 3
u x 2 9x v 2x 3
du dv
2x 2
dx dx
du dv
v u
dy
dx 2 dx
dx v
2 x 32 x x 2 9 x 2
2 x 32
4 x 2 6 x 2 x 2 18 x
2 x 32
4 x 2 6 x 2 x 2 18 x
2 x 32
2 x 2 24 x
2 x 32
2 x( x 12)
2 x 32
Dxsuki
11. MATH
Soalan Latihan :
1.
y
x4 5 2.
y
x 12 x 2 3 kembangkan dulu yg atas
x2 2 x2
3.
y
9 x 4.
y
2 x 32 kembangkan dulu yg atas
2x 3 2 x
F) Pembezaan Fungsi Gubahan (Petua Rantai)
y f u dy dy du
*
u g u dx du dx
NOTA PENTING :
Gunakan petua rantai @ fungsi gubahan nie adalah untuk persamaan yang
kuasanya > 2. (jika kuasa 2 maka persamaan itu perlu dikembangkan)
Terdapat 2 cara untuk selesaikan persamaan yg ada kuasa > 2
Contoh : y 3x 2 2 6
o Gunakan petua rantai
katakan : u 3x 2 2 y u6
du dy
6x 6u 5
dx du
dy dy du
* PETUA RANTAI/ FUNGSI GUBAHAN
dx du dx
dy
6u 5 6 x
dx
36 x u 5
then gantikan balik nilai u tadi dgn nilai sebenar
36 x 3x 2 2
5
o Gunakan cara biasa (mesti tunjuk cara petua rantai dulu baru cara ini)
dy
dx
6 3x 2 2
6 d
dx
3x 2 2
2. then bezakan yang
63x 2 6 x
1. bezakan kuasa 2 61 dalam kurungan
mula2 kuasa turunkan
dan kuasa -1
36 x3x 2
2 5
cara ini sesuai untuk selesaikan persamaan yang ada juga gunakan
cara Pembezaan Hasil Darab atau Pembezaan Hasil Bahagi :
3x 5
Contoh soalan : y 3x 2 2 x 1 atau
5
y
x3 2
Akan diterangkan lebih lanjut selepas Petua Rantai
Dxsuki
12. MATH
Contoh Soalan PETUA RANTAI/FUNGSI GUBAHAN
1.
y x3 3 5 2.
y 2 x 2 3x
8
katakan u x 3 , y u katakan u 2 x 3x , y u
3 5 2 8
du dy du dy
3x 2 5u 4 4x 3 8u 7
dx du dx du
dy dy du dy dy du
* *
dx du dx dx du dx
8u 7 4 x 3
dy dy
5u 4 3x 2
dx dx
15x 2 u 4 gantikan balik nilai :
gantikan balik nilai : dy
8 2 x 2 3x 4 x 3
7
dy
dx
15 x 2 x 3 3
4
dx
3.
y 2 x3 7 4.
y
1
maka
y 5x 3 2
5
katakan u 2 x , y u
3 7 5x 3
2
5
du dy katakan u 5x 3 2 , y u 5
3x 2 7u 6
dx du du dy
15x 2 5u 6
dy dy du dx du
*
dx du dx dy dy du
*
dy dx du dx
7u 6 3x 2
dx dy
5u 6 15 x 2
21x 2 u 6 dx
gantikan balik nilai : 75x 2 u 6
dy
21x 2 2 x 3
6 gantikan balik nilai :
dx dy
dx
75 x 2 5 x 3 2
6
Soalan Latihan :
1. y 3x 5
11 2.
y x2 2 5
3.
y 5 x 3 2 x 2 3x
9 4.
y 4 2 x 3 15
5. 4 6. 12
3 3x 5 x 3 2 x 2
y 1 y
2x x2
7. 2 8. 1
y y
2 5x 2
6
3x 4 2
9. 5 10. 1
y y
2 x 3 5x 2
4
3
x 3 5x
Dxsuki
13. MATH
Soalan Berkaitan Pembezaan – kuasa > 2
1. y 2 x 1 x 4 3
5
u 2 x 1 v x4 3
5
52 x 1 2
du dv
4x 3
4
dx dx
102 x 1
4
dy dv du
u v
dx dx dx
dy
dx
2 x 1 4 x 3 x 4 3102 x 1
5 4
2 x 1 4 x 3 2 x 1 10x 4 3
4
2 x 1 8x 4 4 x 3 10 x 4 30
4
2 x 1 18x 4 x 30 Faktorkan
4 4 3
2 x 1 29 x 2 x 15
4 4 3
22 x 1 9 x 2 x 15
4 4 3
2.
y 2 x 3 3 3x 5
3 8
u 2x3 3 3
v 3x 5
8
32 x 3 3 6 x 2 83x 5 3
du 2 dv 7
dx dx
18x 2 2 x 3 2
2
243x 5
7
dy dv du
u v
dx dx dx
dy
dx
2 x 3 2 243x 5 3x 5 18 x 2 2 x 3 2
3 7 8 2
2x 3 2 3x 5 2x 224 3x 518x
2 7 3 2
2 x 2 3x 5 48x 48 54 x 90 x
3 2 7 3 3 2
2 x 2 3x 5 x 90 x 48
3 2 7 3 2
102 Faktorkan
2 x 2 3x 5 251x 45x 24
3 2 7 3 2
22 x 2 3x 5 51x 45x 24
3 2 7 3 2
Dxsuki
14. MATH
3.
y
x 33
2 x 3
1 2
u x 3
3
v 2x3 1
2
3x 3 1 22 x 3 1 6 x 2
du 2 dv
dx dx
3x 3 12 x 2 2 x 3 1
2
du dv
v u
dy
dx 2 dx
dx v
dy
2 x 12 3x 32 x 33 12 x 2 2 x 3 1
3
dx 2 x 3 14
3 2 x 3 1 x 3 2 x 3 1 x 34 x 2
2
2 x 1 3 4
32 x 1x 3 2 x 1 4 x 12 x
3 2 3 3 2
2 x 1 3 4
32 x 1x 3 2 x 1 4 x 12 x
3 2 3 3 2
2 x 1 3 4
3x 3 2 x 12 x 1
2 3 2
2 x 1 3 3
3x 3 2 x 12 x 1
2 3 2
2 x 1 3 3
4.
y
3x 2
5 5
x 3
1
8
u 3x 2 5
5
v x3 1 8
53x 2 5 6 x 8x 3 1 3x 2
du 4 dv 7
dx dx
30 x 3x 2 5 4
24 x 2 x 3 1
7
du dv
u v
dy
dx 2 dx
dx v
dy x 1 30 x3x 2 5 3x 2 5 24 xx 3 1
3 8 4 5 7
dx x 3 116
Dxsuki
16. MATH
d2y d dy
G) Pembezaan peringkat kedua ditanda sbg yg bermakna
dx 2
dx dx
Pembezaan peringkat kedua atau peringkat tinggi ini mengkehendaki kita buat
pembezaan sebanyak 2 kali terhadap persamaan yang diberi
dy
Mula-mula bezakan seperti biasa (peringkat pertama) then persamaan yang
dx
d2y
telah dibezakan tadi bezakan sekali lagi
dx 2
Cth soalan
i. y 3x 2 2 x 1 ii. 2
f (t ) 3
2t 2 t
dy 1
1 t
6x 2x 2 0 f (t ) 2t 3 2t 2 t
dx 2
f ' x
d d d
6t 4 4t 1
1
6x x 2
dx dx dx
4
6t 4t 1
2 3
d y 1
6 x 2
dx 2
f ' ' x
2 d d
24t 5 4
dx dx
5
24t 4
iii. y (2 x 1)( x 2)
2x 2 4x x 2
2 x 2 3x 2
dy
4x 3
dx
d2y
4
dx 2
Dapatkan nilai-nilai terbitan kedua bagi fungsi-fungsi berikut apabila t = 2.
2
i. s 4t 2 3t 1 ii. s 3 3t 2 iii. s 5t 3 2t 2 t
3
Dxsuki
17. MATH
Pembezaan Fungsi Trigonometri
1. sin x d d
sin x
dx dx
kos x
2. kos x d d
kos x
dx dx
sin x
3. tan x d d
tan x
dx dx
sek 2 x
4. sin ax d d d
sin ax ax
dx dx dx
kos ax a
a kos ax
5. kos ax d d d
kos ax ax
dx dx dx
sin ax a
asin ax
6. tan ax d d d
tan ax ax
dx dx dx
sek ax a
2
a sek 2 ax
7. sin ax b
sin ax b ax b
d d d
dx dx dx
kos ax b a
a kos ax b
8. kos ax b
kos ax b ax b
d d d
dx dx dx
sinax b a
a sin ax b
9. tanax b
tanax b ax b
d d d
dx dx dx
sek ax b a
2
a sek 2 ax b
Dxsuki
18. MATH
Contoh Soalan
1. f x sin x 2. f x kos x
f ' x kos x f ' x sin x
3. tan x 4. y sin 5x
d dy d d
sek 2 x sin 5 x 5 x
dx dx dx dx
kos 5x 5
5kos 5 x
5. f x kos3x 6. y tan 7 x
dy d d
f ' x
d d
kos3x 3x tan 7 x 7 x
dx dx dx dx dx
sin 3x 3 sek 7 x 7
2
3 sin 3x 7sek 2 7 x
7. y 5 sin 4 x 8. f x 2 tan 6 x
dy d d
f ' x 2 tan 6 x 6 x
d d
5 sin 4 x 4 x
dx dx dx dx dx
5kos 4 x 4 2sek 6 x 6
2
20kos 4 x 12sek 2 6 x
Contoh Soalan
1. y sin3x 1 2. f x kos 5 3x
kos3x 1 3x 1 f ' x kos5 3x 5 3x
dy d d d d
dx dx dx dx dx
kos 3x 1 3 sin5 3x 3
3kos3x 1 3 sin 5 3x
3. y 2 tan2 x 3 4. 2
y sin x
2 tan2 x 3 2 x 3
d d d 5
dx dx dx dy d 2 d 2
sin x x
2sek 2 x 3 2
2
dx dx 5 dx 5
4sek 2 2 x 3 2
kos x
2
5 5
2 2
kos x
5 5
Dxsuki
19. MATH
5. 1
y 2kos1 x
6.
y 3 tan 2 x 2 5
2 3 tan2 x 2 5 2 x 2 5
dy d d
dy d 1 d 1 dx dx dx
2 kos1 x 1 x
dx dx 2 dx 2
3 sek 2 x 5 4 x
2 2
1
sin1 x
1 12 x sek 2 x 5
2
2
2 2
1
sin1 x
2
10. sin n x d d d d
sin n x sin x x
dx dx dx dx
n 1
n sin x kos x 1
1. Bezakan KUASA
11. kosn x d d d d turunkan kuasa, kuasa -1
kos n x kos x x
dx dx dx dx 2. Bezakan TRIGO
n.kos x sin x 1
n -1
3. Bezakan x atau dlm
n kosn1 x sin x kurungan
12. tan n x d d d d
tan n x tan x x
dx dx dx dx
n 1
n tan sek x 1
2
n tan n1 x sek 2 x
Contoh Soalan
1. y sin 2 2 x 2. f x kos3 x
f ' x
dy d d d d d d
sin 2 x sin x x kos3 x kos x x
dx dx dx dx dx dx dx
2 sin x kos x 1 3kos x sin x 1
2
2 sin x kos x 3kos2 x sin x
3. y tan 2 3x 4. y 2 sin 3 5x
d d d d dy d d d
tan 2 3x tan 3x 3x 2 sin 3 5 x sin 5 x 5 x
dx dx dx dx dx dx dx dx
2 tan 3x sek 3x 3
2
2 3 sin 5x kos 5x 5
2
6 tan 3x sek 2 3x 30 sin 2 5x kos 5 x
Dxsuki
20. MATH
5. f x 2kos4 3x 1
f ' x 2 kos 4 3 x 1 kos3 x 1 3x 1
d d d
dx dx dx
2 4kos3 3x 1 sin3x 1 3
24kos3 3x 1sin3x 1
6.
y 2 tan 3 2 x 2 1
2 tan 3 2 x 2 1 tan2 x 2 1 2 x 2 1
dy d d d
dx dx dx dx
2 3 tan 2 x 1 sek 2 x 1 4 x
2 2 2 2
24 x tan 2 2 x 2 1 sek 2 2 x 2 1
13. sek x d
sek x sek x tan x
dx
14. kosek x d
kosek x kosek x kot x
dx
15. kot x d
kot x kosek 2 x
dx
CONTOH SOALAN
1. y sek 4 x
KAEDAH 1 (PETUA RANTAI) KAEDAH 2 (CARA MUDAH)
Katakan: y sek 4 x
u sek x y sek 4 x dy d d d
sek 4 x sek x x
du dx dx dx dx
sek x tan x y u4
dx 4sek 3 x sek x tan x 1
dy
4u 3 4 sek 4 tan x
du
dy dy du
dx du dx
dy
4u 3 sek x tan x
dx
4sek 3 x sek x tan x
4 sek 4 tan x
Dxsuki
21. MATH
2. y kosek 3 2 x
KAEDAH 1 (PETUA RANTAI) KAEDAH 2 (CARA MUDAH)
Katakan: y kosek 3 2 x
u kosek 2 x y kosek 3 2 x dy d d d
kosek 3 2 x kosek2 x 2 x
du dx dx dx dx
2kosek 2 xkot 2 x y u3
dx 3kosek 2 2 x kosek2 xkot2x 2
dy
3u 2 6kosek 3 2 x kot 2 x
du
dy dy du
dx du dx
dy
3u 2 2kosek 2 xkot 2 x
dx
6u 2 kosek 2 x kot 2 x
6 kosek 2 2 x kosek 2 x kot 2 x
6kosek 3 2 x kot 2 x
NOTE PENTING !!!
1. PEMBEZAAN dilaksanakan mengikut ARAHAN yang diberi.
2. CARA MUDAH bagi soalan seperti y 2 sin3 3x 2 1 ialah
a. Letakkan 2 dihadapan
b. Bezakan kuasa turunkan kuasa dan kuasa -1
c. Bezakan trigo (abaikan kuasanye)
d. Bezakan x atau yang dalam kurungan
y 2 sin 3 3x 2 1
dy
dx
d
2 sin 3 3x 2 1
dx
d
dx
sin 3x 2 1
d
dx
3x 2 1
2 3 sin 3x 1 kos 3x 1 6 x
2 2 2
36 x sin 2 3x 2 1 kos 3x 1
2
Dxsuki
22. MATH
3. Cara mudah diatas boleh digunakan tidak kira sama ada kena gunakan kaedah HASIL
TAMBAH, HASIL TOLAK, HASIL DARAB atau HASIL BAHAGI.
y sin 2 3x 2kos5x 2
u sin 2 3x v 2kos5x 2
du dv
2 sin 3x kos3x 3 2 sin 5 x 2 10 x
dx dx
6 sin 3xkos3x 20 x sin 5x 2
dy dv du
u v gantikan/masukkan nilai
dx dx dx
dy
dx
sin 2 3x 20 x sin 5 x 2 2kos5 x 2 6 sin 3xkos3x
20 x sin 2 3x sin 5 x 2 12 kos 5x 2 sin 3x kos 3 x
Contoh Soalan
Dengan menggunakan Teknik Pembezaan Fungsi Trigonometri, bezakan y terhadap x.
i. y 2 sin 2 (2 x 2 1)kos4 x ii. y sek 4 x tan3 2 x
sin 3 5 x sek 5 x
iii. y iv. y
kot2 x 2 2kos3x
v. y sin 3 4 x vi. y kos6 2 x
vii. y tan 2 3x viii.
y kos2 x 2 1
2
2 tan 4 x
ix. y 3kos4 3z 1 sin 5 3z x. y
sin 4 2 x 2
Dxsuki
23. MATH
Pembezaan Fungsi Logarithma
ln x log e x
1. ln x d 1
ln x
dx x
2. lnax b d d
lnax b CARA MUDAH UTK INGAT !!!
dx dx 1. bezakan x atau yg dlm kurungan
a (letak diatas)
ax b 2. buat garisan ‘per’
3. salin balik yg dlm kurungan
(letak dibwh garisan ‘per’)
Notes
a) lnxy ln x ln y
b) x
ln ln x ln y
y
c) ln xn n ln x
d) ln x 2 lnxx
ln x ln x
2 ln x
Pembezaan Fungsi Eksponen
1. y ex d x
e ex CARA MUDAH UTK INGAT !!!
dx 1. bezakan kuasa
2. d ax
y eax (letak didepan/sebelah kanan
e ae ax tanda ‘=’)
dx 2. salin balik keseluruhan eksponen
3. d axb
y eaxb tadi
e ae axb
dx
Notes
a) xy
e exey
b)
x yex
e y
e
c) 1
e 1 x
e
Dxsuki
24. MATH
Contoh Soalan Logaritma
1. y ln x 2. y ln x 2
dy 1 dy 2 x
dx x dx x 2
2
x
3. y ln 2 x y ln 2 x
ln 2 ln x ATAU dy 2
dy d d dx 2 x
ln 2 ln x
dx dx dx 1
1 x
0
x
1
x
4. 2 2
y ln y ln
x x
ln 2 ln x ATAU y ln 2 x 1
dy d d
ln 2 ln x dy 2 x 2
dx dx dx
dx 2 x 1
1
0 2 2
x 2
x x
1
2 x
x 2
x 2
1
x
5. y ln 2 x 3 6.
y ln 2 x 3 3
dy 2 dy 6x
3
dx 2 x 3 dx 2 x 3
Dxsuki
25. MATH
7.
y ln 3x 2 2 x 1 8.
y ln
3x 2
ln 3x 2 ln 2 x 1 2x 1
ln 3x 2 ln 2 x 1
ln 3x 2 ln 2 x 1
dy d d
ln 3x 2 ln 2 x 1
dx dx dx dy d d
6x 2 dx dx dx
2
3x 2x 1 6x
2
2
6 x2 x 1 2 3x 2 3x 2x 1
3x 2 2 x 1 6 x2 x 1 23x 2
12 x 2 6 x 6 x 2 3x 2 2 x 1
3 x 2 2 x 1
12 x 2 6 x 6 x 2
18 x 2 6 x
3x 2 2 x 1
3x 2 2 x 1
6x 2 6x
6 x3x 1
3x 2 2 x 1
6 xx 1
3x 2 2 x 1
3x 2 2 x 1
9.
y ln 2 x 3 3 2 10. y ln 3x
2 ln 2 x 3 3
1
ln 3x 2
dy 6x 2 1
2 3 ln 3x
dx 2x 3 2
12 x 2 dy 1 3
3
2x 3 dx 2 3x
1
2x
11. y ln x Petua rantai
2
ATAU u ln x y u2
ln x ln x
dy d 2 d
du 1 dy
dx dx dx 2u
1 dx x du
2 ln x
x
dy dy du
2 ln x
x dx du dx
dy 1
2u
dx x
2u
x
2 ln x
x
Dxsuki
26. MATH
13. y ln ln 2 x 14. y ln 4 x
u ln 2 x y ln u 1
u ln 4 x yu 2
du 1 dy 1
du 1 dy 1 12
dx x du u u
dx x du 2
dy dy du
dy dy du
dx du dx
dx du dx
dy 1 1
dy 1 1
dx u x 1
dx 2u 2 x
1
1
xu
1 2x u
x ln x 1
2 x ln 4 x
15. 1
3x 1 3
y ln 2
2 x
1 3x 1
ln
3 2 x2
ln 3x 1 ln 2 x 2
1
3
dy 1 d
dx 3 dx
d
ln 3x 1 ln 2 x 2
dx
1 3 2x
3 3x 1 2 x 2
1 3 2 x 2 2 x3x 1
3 3x 1 2 x 2
1 6 3x 6 x 2 x
2 2
3 3x 12 x 2
1 6 3x 2 6 x 2 2 x
3 3x 1 2 x 2
1 9x 2 2x 6
3 3x 1 2 x 2
9x 2x 6
2
33x 1 2 x 2
Dxsuki
27. MATH
Contoh Soalan Eksponen
1. y ex 2. y e 2x
dy dy
ex 2e 2x
dx dx
3 2
4. 2
1
y e 2x y e 2x
dy 2 dy 2
4e 2x 4e 2x 1
dx dx
5. y 3e 3x 6. y e3x2y
dy y e3x e2y
3 3e 3x
dx dy d 3x d 2y
e e
9e 3x
dx dx dx
3e 3x 2e 2y
6e 3x2y
7. y e3x2y 8. y lne 2x
e 3x u e2x y lnu
y 2y du dy 1
e 2e 2x
d 3x dx du u
e
dy dx
dy dy du
dx d 2y
e
dx dx du dx
3e 3x dy 1
2y 2e 2x
2e dx u
3 2e 2x
e 3x 2 y
2 u
2e 2x
2x
e
2
Dxsuki