7. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Íàøè öåëè
I Òðàíçèòèâíîñòü X åñëè A B è B CD òî A CF
P Ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü ïðåäïî÷òåíèé X âûáîð ìåæäó A è
B çàâèñèò òîëüêî îò òîãîD êàê ñîîòíîñÿòñÿ äðóã ñ äðóãîì A
è B â ìî¼ì ¾ïåðñîíàëüíîì ðåéòèíãå¿D è íèêàê íå çàâèñèò
îò ïîëîæåíèÿ òàì äðóãèõ àëüòåðíàòèâ C , D , . . . ÒFåF åñëè
âàì ïðåäëàãàþò âûáîð ìåæäó ïåðñèêîì è àïåëüñèíîìD
âàøè ïðåäïî÷òåíèÿ íàñ÷¼ò ÿáëîê íå äîëæíû íà ýòîò âûáîð
ïîâëèÿòüF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
8. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Íàøè öåëè
Q Ïîëîæèòåëüíàÿ àññîöèèðîâàííîñòü X åñëè ìîè
ïðåäïî÷òåíèÿ èçìåíèëèñü ê ëó÷øåìó äëÿ êàêîéEëèáî
àëüòåðíàòèâûD òî â ðåçóëüòàòå ãîëîñîâàíèÿ øàíñû ýòîé
àëüòåðíàòèâû íà ïîáåäó ìîãóò òîëüêî âîçðàñòèF
ÍàïðèìåðD åñëè ðàíüøå áûë ïðîôèëü ïðåäïî÷òåíèé
A B C D à ñåé÷àñ B A C D òî øàíñû B â ëþáîì
ãîëîñîâàíèèD äàæå ïðîòèâ C D íå äîëæíû îò ýòîãî
óõóäøèòüñÿF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
9. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Íàøè öåëè
R Åäèíîãëàñèå F Åñëè âñå ó÷àñòíèêè ãîëîñîâàíèÿ
ïðåäïî÷èòàþò âîçìîæíûé èñõîä A äðóãîìó âîçìîæíîìó
èñõîäó B D òî â ðåçóëüòàòå ãîëîñîâàíèÿ íå ìîæåò áûòü
âûáðàí B F
×åòâ¼ðòîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ïî ñóòè ñâîéñòâîì ôóíêöèè
ñîöèàëüíîãî âûáîðàD à íå ñâîéñòâîì îäíîãîEåäèíñòâåííîãî
àãåíòàD êàê ïåðâûå òðè @ýòî ïðîñòî îïòèìàëüíîñòü ïî
ÏàðåòîAF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
13. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ïàðàäîêñ Êîíäîðñå
Ðàññìîòðèì òðè âîçìîæíûõ èñõîäà AD B è C è òð¼õ
ó÷àñòíèêîâ x D y è z F ÏðåäïîëîæèìD ÷òî èõ ïðåäïî÷òåíèÿ
ðàñïðåäåëåíû òàêX
A x B x C,
B y C y A,
C z A z B.
Èíà÷å ãîâîðÿD ïðåäïî÷òåíèÿ òð¼õ ó÷àñòíèêîâ ïîëó÷àþòñÿ
öèêëè÷åñêèì ñäâèãîì îäíîãî ëèíåéíîãî ïîðÿäêàF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
14. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ïàðàäîêñ Êîíäîðñå
Åñëè íà âûáîð ïðåäëîæàò A è BD òî x è z ïðîãîëîñóþò çà
AD è áóäåò èçáðàí AX A BF
 áîðüáå ìåæäó B è C âûÿñíèòñÿD ÷òî B CF
Íî åñëè ïðåäëîæàò âûáîð ìåæäó A è CD òî y è z
ïðîãîëîñóþò çà C D è îêàæåòñÿD ÷òî C A3
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
16. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà Êîíäîðñå: ñåìü âàðèàíòîâ
Ìîæíî ïðèäóìàòü è åù¼ áîëåå ëþáîïûòíûå ñëåäñòâèÿF
Ïóñòü ó íàñ òðè àãåíòà ID PD Q è ñåìü âîçìîæíûõ
âàðèàíòîâX AD B D C D D D E D F D G F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
17. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà Êîíäîðñå: ñåìü âàðèàíòîâ
È ïðåäïî÷òåíèÿ ó íèõ âîò êàêèåX
I P Q
A C D
B D A
C A G
D F B
E G C
F B E
G E F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
18. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà Êîíäîðñå: ñåìü âàðèàíòîâ
Îíè ðåøàþò âîïðîñ ãîëîñîâàíèåì â ñëåäóþùåì ïîðÿäêåX
1 A ïðîòèâ D : 1 â ìåíüøèíñòâå, D èä¼ò äàëüøå.
2 D ïðîòèâ C : 1 è 2 ïðîâîäÿò äàëüøå C .
3 C ïðîòèâ B : B ïîáåæäàåò è ïðîõîäèò â ñëåäóþùèé áîé.
4 B ïðîòèâ G : íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî G íó ñîâñåì íå ìèë
àãåíòó 1, îí ïîáåæäàåò.
5 G ïðîòèâ F : âûèãðûâàåò F .
6 F ïðîòèâ E : E ïîáåæäàåò, 2 â ìåíüøèíñòâå.
 èòîãå ïîáåäèëî ñîâñåì íå îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî
ðåøåíèåX âàðèàíò E íèêîìó îñîáåííî íå èíòåðåñåíF
Áîëåå òîãîD åñòü íåñêîëüêî âàðèàíòîâD êîòîðûå ó êàæäîãî
àãåíòà ñòîÿò âûøåF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
19. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà Êîíäîðñå: ïîïðàâêà Ñàçåðëåíäà
Äðóãîå ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà ÊîíäîðñåX òîD ÷òî ðåçóëüòàò
ãîëîñîâàíèÿ ìîæåò çàâèñåòü îò ïîðÿäêàD â êîòîðîì
ïðîâîäÿòñÿ ðåôåðåíäóìû èëè äðóãèå ¾ïîäãîëîñîâàíèÿ¿F
Âñïîìíèì ïàðàäîêñ ÊîíäîðñåX
A x B x C,
B y C y A,
C z A z B.
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
22. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà Êîíäîðñå: ïîïðàâêà Ñàçåðëåíäà
Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþD â êîòîðîé åñòü ðîâíî äâå
àëüòåðíàòèâûX A è B D ïðè÷¼ì áîëüøèíñòâî õî÷åò âûáðàòü
AF
Òîãäà ïðîñòûì áîëüøèíñòâîì A áåç ïðîáëåì âûáåðóòF
Íî åñëè ó ìåíüøèíñòâà ïîëó÷èòñÿ ïîñòðîèòü òàêóþ òðåòüþ
âîçìîæíîñòü C D ÷òî ïðè âûáîðàõ C A è B C D òî ýòî
ìåíüøèíñòâî ñìîæåòD óñòàíîâèâ ïðàâèëüíûé ïîðÿäîê
âûáîðîâ @ñíà÷àëà A ïðîòèâ C D çàòåì B ïðîòèâ
ïîáåäèòåëÿAD ïðîâåñòè B D à íå AF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
23. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà Êîíäîðñå: ïîïðàâêà Ñàçåðëåíäà
 ïîëèòèêå òàêèå ñèòóàöèè ðåäêîD íî äåéñòâèòåëüíî
âîçíèêàþò íà ïðàêòèêåF
Îíè íàçûâàþòñÿ ¾ïîïðàâêèEóáèéöû¿ @killer —mendmentsAF
ÏðèìåðX â ÑØÀ ñåíàòîðîâ ïîíà÷àëó âûáèðàëè íå ïðÿìûì
âñåíàðîäíûì ãîëîñîâàíèåìD à çàêîíîäàòåëüíûìè îðãàíàìè
ñîîòâåòñòâóþùåãî øòàòàF Â òîìD ÷òîáû ââåñòè
ãîëîñîâàíèÿ íà ïîñò ñåíàòîðàD çàêëþ÷àëàñü IUEÿ ïîïðàâêà
ê Êîíñòèòóöèè ÑØÀD êîòîðàÿ â êîíöå êîíöîâ âñ¼ æå áûëà
ïðèíÿòà â IWIQF
Íî ïðèíÿëè å¼ íå ñðàçóF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
25. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà Êîíäîðñå: ïîïðàâêà Ñàçåðëåíäà
Îäíàêî ñåíàòîð ÑàçåðëåíäD ëèäåð ìåíüøèíñòâàD êîòîðîå
áûëî ïðîòèâ âûáîðîâ ñåíàòîðîâ âîîáùåD âí¼ñ
ïîïðàâêóEóáèéöó C X ïðåäëîæåíèå î ïðÿìûõ âûáîðàõ
ñåíàòîðîâ áåç êàêèõEëèáî ïîïðàâîê ïðî þæíûå øòàòûF
Ñàçåðëåíä ñíà÷àëà çàïóñòèë ãîëîñîâàíèå ìåæäó A è CF
Ìåíüøèíñòâî Ñàçåðëåíäà ïðîãîëîñîâàëî çà C D
ñåâåðÿíåEðåñïóáëèêàíöû òîæå ïðîãîëîñîâàëè çà CD è C
ïîáåäèëî AF
Çàòåì âñòàë âûáîð ìåæäó C è B D Ñàçåðëåíä âíåçàïíî
¾èçìåíèë ñâîþ òî÷êó çðåíèÿ¿ è ñòàë ãîëîñîâàòü íå çà CD
à çà B D òî åñòü ïðîòèâ âûáîðîâ ñîâñåìF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
26. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñëåäñòâèå ïàðàäîêñà Êîíäîðñå: ïîïðàâêà Ñàçåðëåíäà
 ðåçóëüòàòå áèëëü C ñíà÷àëà âûïîëíèë ñâîþ ôóíêöèþ è
âûáèë ïîääåðæèâàåìûé áîëüøèíñòâîì áèëëü AD à çàòåì
íå ïðîø¼ë íà ñëåäóþùèõ âûáîðàõF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
28. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Âûáîðû ïðåçèäåíòà ÐÔ
Äàâàéòå ðàññìîòðèì òåïåðü ñîâåðøåííî ðåàëüíóþ ñèñòåìóD
ïî êîòîðîé âûáèðàþò ïðåçèäåíòà ÐÔF
 ïåðâîì òóðå ó÷àñòâóþò âñå êàíäèäàòûD è åñëè íèêòî íå
%
íàáèðàåò áîëüøå SH D òî äâîå ëèäåðîâ âûõîäÿò âî âòîðîé
òóðF
ÏðåäïîëîæèìD ÷òî ó íàñ åñòü òðè êàíäèäàòà íà âûñîêèé
ïîñò è PU èçáèðàòåëåéF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
29. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Âûáîðû ïðåçèäåíòà ÐÔ
Ðàñïðåäåëåíèå ïðåäïî÷òåíèéX
Ê-âî èçáèðàòåëåé 6 6 6 4 2 3
Áàðñóêîâ I P Q P Q I
Ãðèçëåâ P Q I I P Q
Óãëåâîäñêèé Q I P Q I P
 ïåðâîì òóðå Áàðñóêîâ íàáåð¼ò W ãîëîñîâD Óãëåâîäñêèé
VD à Ãðèçëåâ IHF
Îäíàêî âî âòîðîì òóðå ñèòóàöèÿ èçìåíèòñÿD è ïîáåäèò
ÁàðñóêîâD íàáðàâ IS ãîëîñîâ ïðîòèâ IP ó ÃðèçëåâàF Ïîêà
âñ¼ íîðìàëüíîF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
30. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Âûáîðû ïðåçèäåíòà ÐÔ
ÏðåäïîëîæèìD ÷òî ÁàðñóêîâD ïûòàÿñü ïîáåäèòü Ãðèçëåâà â
ïåðâîì òóðåD ñóìåë âîçäåéñòâîâàòü íà ñåðäöà íåêîòîðûõ
èçáèðàòåëåéX
òðîå èç ÷åòûð¼õ ñ ðàñïðåäåëåíèåì 2 1 3 ïåðåìåñòèëè
Áàðñóêîâà íà ïåðâîå ìåñòî;
äâîå ñ ðàñïðåäåëåíèåì 3 2 1 èçìåíèëè åãî íà
2 3 1.
Èòîãî ïîëó÷àåòñÿX
Ê-âî èçáèðàòåëåé 9 8 6 1 3
Áàðñóêîâ I P Q P I
Ãðèçëåâ P Q I I Q
Óãëåâîäñêèé Q I P Q P
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
31. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ãîëîñîâàíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Âûáîðû ïðåçèäåíòà ÐÔ
 ïåðâîì òóðå Áàðñóêîâ äåéñòâèòåëüíî âûèãðûâàåò ñ
á¡ëüøèì îòðûâîìD ïîëó÷èâ IP ãîëîñîâF
î
Îäíàêî âî âòîðîé òóð òåïåðü âûõîäèò íå ÃðèçëåâD à
ÓãëåâîäñêèéD êîòîðûé â èòîãå ïîáåæäàåò Áàðñóêîâà ñ
ñ÷¼òîì IR : IQF
Áàðñóêîâ ñäåëàë ðàñïðåäåëåíèå ñòðîãî ëó÷øå äëÿ ñåáÿD íî
â èòîãå ñìåíèë ïîáåäó íà ïîðàæåíèåF È âñ¼ ýòî âî âïîëíå
åñòåñòâåííîé ñèñòåìå ãîëîñîâàíèÿD ïî êîòîðîé
äåéñòâèòåëüíî âûáèðàþò ïðåçèäåíòà ÐÔFFF
×òî æå äåëàòüc Ìîæíî ëè ÷òîEòî ñäåëàòüc
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
33. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ïàðàäîêñ Êîíäîðñå
Âñïîìíèì ïàðàäîêñ ÊîíäîðñåX ïóñòü ó íàñ òðè ó÷àñòíèêàD ó
íèõ åñòü ñâîè ïðåäïî÷òåíèÿ íà òð¼õ èñõîäàõD è ìû õîòèì
ðåøèòü äåëî ãîëîñîâàíèåìF
Ïðåäïî÷òåíèÿ òàêîâûX
x 1 y 1 z,
z 2 x 2 y,
y 3 z 3 x.
Ïîëó÷èòñÿD ÷òî íàðóøèëàñü òðàíçèòèâíîñòüF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
34. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ðàöèîíàëüíîñòü
Îïðåäåëåíèå
Ïðîôèëü ïðåäïî÷òåíèé íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì, åñëè îí
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîðÿäêîì, òî åñòü ëþáûå äâà èñõîäà
ñðàâíèìû è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå òðàíçèòèâíîñòè: äëÿ âñÿêèõ
x, y, z ∈ O, åñëè x y è y z , òî x z.
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
35. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ïðîôèëè ïðåäïî÷òåíèé
Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòüD ÷òî ïðîôèëè ïðåäïî÷òåíèé
áûâàþò âñÿêèåF
ÍàïðèìåðD âñÿêèå ðàöèîíàëüíûå èõ ìíîæåñòâî ìû
îáîçíà÷èì ÷åðåç RF
Èëè âîîáùå âñÿêèå ïðîôèëèD ëèøü áû ëþáûå äâà èñõîäà
áûëè ðàçëè÷èìûX ìíîæåñòâî òàêèõ èñõîäîâ ìû îáîçíà÷èì
÷åðåç P F
Åñëè àãåíòîâ N D òîD çíà÷èòD ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ
ïðåäïî÷òåíèé áóäåò â ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ RN èëè P N F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
36. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà
Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ f ñ
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ RN èëè P N è îáëàñòüþ çíà÷åíèé
OD êîòîðàÿ ïî äàííûì ïðåäïî÷òåíèÿì àãåíòîâ âûáèðàåò
èñõîäF
×óòü îáîáùèì ýòî îïðåäåëåíèå è áóäåì ñ÷èòàòüD ÷òî
ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà âûäà¼ò íå îäèí èñõîäD à
ñëàáûé ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà èìåþùèõñÿ èñõîäàõ
f ( 1 ,..., N ) F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
37. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ýôôåêòèâíîñòü ïî Ïàðåòî
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü ïàðà èñõîäîâ x , y ∈O òàêîâà, ÷òî äëÿ êàæäîãî àãåíòà i
èñõîä x íå õóæå, è ïðè ýòîì äëÿ êàêîãî-íèáóäü àãåíòà îí ñòðîãî
ëó÷øå: äëÿ âñåõ i x i y , è ñóùåñòâóåò òàêîå j , ÷òî x j y.
Òîãäà ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé
ïî Ïàðåòî, åñëè äëÿ êàæäîé òàêîé ïàðû èñõîäîâ ðåçóëüòàò
ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà f ( 1, . . . , N) ñòàâèò x ïåðåä y :
x f y.
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
38. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äèêòàòîðñêèå ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå
Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f íàçûâàåòñÿ äèêòàòîðñêîé, åñëè
ñóùåñòâóåò òàêîé àãåíò h, ÷òî äëÿ ëþáûõ x , y ∈O è ëþáîãî
ïðîôèëÿ ( 1, . . . , N) x f y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
x h y.
Äèêòàòîðñêàÿ ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà äåëàåò òî÷íî
òàêîé æå âûáîðD êàê îäèí èç ïðåäñòàâëåííûõ àãåíòîâF
Ó äèêòàòîðñêîé ôóíêöèè ïîëó÷èòñÿ ñîîòâåòñòâîâàòü
íóæíûì ñâîéñòâàìD òî÷íî òàê æåD êàê ó ïðåäïî÷òåíèé
îäíîãî àãåíòà ýòî ïîëó÷àåòñÿF
À áåäà â òîìD ÷òî íè÷åãî äðóãîãîEòî è íå ïîëó÷èòñÿF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
40. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Îïðåäåëÿþùèå íàáîðû àãåíòîâ
Äëÿ äàííîãî F áóäåì ãîâîðèòüD ÷òî íàáîð àãåíòîâ S ⊂ [N ]X
îïðåäåëÿþùèé äëÿ x ïåðåä y , åñëè êîãäà êàæäûé àãåíò â
S ïðåäïî÷èòàåò x y è êàæäûé àãåíò â [N ] S
ïðåäïî÷èòàåò y x , F âûáèðàåò x ;
îïðåäåëÿþùèì , åñëè îí îïðåäåëÿþùèé äëÿ ëþáîé ïàðû
{x , y };
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèì , åñëè êîãäà êàæäûé àãåíò èç S
ïðåäïî÷èòàåò x y , F òîæå âûáèðàåò x .
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
41. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
I Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ x è y íàáîð S ⊂ [N ] ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ x ïåðåä y D òî ∀z = x íàáîð S ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ x ïåðåä z è ∀z = y íàáîð S ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ z ïåðåä y F
Åñëè z = y D äîêàçûâàòü íå÷åãîF
Åñëè z = y D ðàññìîòðèì òàêîé ïðîôèëü ( 1, . . . , N )D ÷òî
x i y i z ∀i ∈ S ,
y i z i x ∀i ∈ [N ] S .
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
42. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
I Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ x è y íàáîð S ⊂ [N ] ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ x ïåðåä y D òî ∀z = x íàáîð S ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ x ïåðåä z è ∀z = y íàáîð S ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ z ïåðåä y F
ÒîãäàD çíà÷èòD ïî ñâîéñòâó îïðåäåëÿþùåãî íàáîðà f
äîëæíà ïðåäïî÷åñòü x ïåðåä y F
À ïî îïòèìàëüíîñòè ïî ÏàðåòîD F ïðåäïî÷èòàåò y ïåðåä z F
Çíà÷èòD F ïðåäïî÷èòàåò x ïåðåä z F
Îñòàëîñü ñîñëàòüñÿ íà ïîïàðíóþ íåçàâèñèìîñòüF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
43. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
P Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ x è y íàáîð S ⊂ [N ] ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì äëÿ x ïåðåä y D è z òðåòüÿ àëüòåðíàòèâàD
òî íàáîð S ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ z ïåðåä w è äëÿ
w ïåðåä z äëÿ âñåõ w = z ∈ O F
Ïî øàãó ID S îïðåäåëÿþùèé äëÿ z ïåðåä y è äëÿ x ïåðåä z F
Ïðèìåíèì ñíîâà øàã I äëÿ ïàðû {x , z } è àëüòåðíàòèâû wY
çíà÷èòD S îïðåäåëÿþùèé äëÿ w ïåðåä z F
Àíàëîãè÷íî äëÿ ïàðû {z , y }F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
44. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
Q Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ {x , y } ⊂ O S îïðåäåëÿþùèé äëÿ x
ïåðåä y D òî S îïðåäåëÿþùèéF
Äîêàçàòåëüñòâî ñðàçó ñëåäóåò èç øàãà P è èç òîãîD ÷òî
òðåòüÿ àëüòåðíàòèâà ñóùåñòâóåòF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
45. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
R Åñëè S îïðåäåëÿþùèé è T îïðåäåëÿþùèéD òî S ∩ T òîæå
îïðåäåëÿþùèéF
Ðàññìîòðèì òðîéêó àëüòåðíàòèâ {x , y , z } ⊂ O è ïðîôèëü
( 1 , . . . , N ) òàêîéD ÷òî
z i y i x ∀i ∈ S (S ∩ T ),
x i z i y ∀i ∈ S ∩ T,
y i x i z ∀i ∈ T (S ∩ T ),
y i z i x ∀i ∈ [N ] (S ∪ T ).
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
46. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
R Åñëè S îïðåäåëÿþùèé è T îïðåäåëÿþùèéD òî S ∩ T òîæå
îïðåäåëÿþùèéF
Òîãäà z f y D ïîòîìó ÷òî S = (S ∩ T ) ∪ (S (S ∩ T ))
îïðåäåëÿþùèéF
È xf z D ïîòîìó ÷òî T îïðåäåëÿþùèéF
Çíà÷èòD x f y D è ïî ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñòè S ∩T
îïðåäåëÿþùèé äëÿ x ïåðåä y F Çíà÷èòD îí âîîáùå
îïðåäåëÿþùèéF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
47. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
S Äëÿ ëþáîãî S ⊂ [N ] ëèáî S îïðåäåëÿþùèéD ëèáî åãî
äîïîëíåíèå [N ] S îïðåäåëÿþùèé
Ðàññìîòðèì òðîéêó àëüòåðíàòèâ {x , y , z } ⊂ O è ïðîôèëü
( 1 , . . . , N ) òàêîéD ÷òî
x i z i y ∀i ∈ S ,
y i x i z ∀i ∈ [N ] S .
Òîãäà ëèáî x f y D è S îïðåäåëÿþùèé äëÿ x ïåðåä y D ëèáî
y f xF
Åñëè y f x D òî ïî Ïàðåòî x f z D èD çíà÷èòD y f zY
çíà÷èòD y f z îïðåäåëÿþùèé äëÿ y ïåðåä z F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
48. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
T Åñëè S îïðåäåëÿþùèé è S ⊂ T D òî T îïðåäåëÿþùèéF
Ïî Ïàðåòî ïóñòîé íàáîð íå ìîæåò áûòü îïðåäåëÿþùèìF
Çíà÷èòD [N ] T íå ìîæåò áûòü îïðåäåëÿþùèìD ïîòîìó ÷òî
òîãäà è ∅ = S ∩ ([N ] T ) áóäåò îïðåäåëÿþùèìF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
49. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
U Åñëè S ⊂ [N ] îïðåäåëÿþùèéD è |S | ID òî åñòü ñòðîãîå
ïîäìíîæåñòâî S S D òîæå ÿâëÿþùååñÿ îïðåäåëÿþùèì
íàáîðîìF
Ðàññìîòðèì h ∈ S F Åñëè S {h} îïðåäåëÿþùèéD òî âñ¼F
Åñëè íåòD òî [N ] (S {h}) îïðåäåëÿþùèéD è
{h} = S ∩ ([N ] (S {h})) îïðåäåëÿþùèéF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
50. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
V Äëÿ íåêîòîðîãî h ∈ [N ] {h} îïðåäåëÿþùèéF
Íóæíî ïðîñòî èòåðèðîâàòü øàã UF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
51. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
W Åñëè S ⊂ [N ] îïðåäåëÿþùèéD òî äëÿ âñåõ x è y S
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèé äëÿ x ïåðåä y F
Íóæíî ïîëó÷èòüD ÷òî äëÿ âñåõ T ⊂ [N ] S x f y D åñëè âñå
àãåíòû èç S ïðåäïî÷èòàþò x y D èç T x yD
îñòàëüíûå y x F
Ðàññìîòðèì òðåòüþ àëüòåðíàòèâó è ïðîôèëü ( 1, . . . , N)
òàêîéD ÷òî
x i z i y ∀i ∈ S ,
x i y i z ∀i ∈ T ,
y i z i x ∀i ∈ [N ] (S ∪ T ).
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
52. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
W Åñëè S ⊂ [N ] îïðåäåëÿþùèéD òî äëÿ âñåõ x è y S
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèé äëÿ x ïåðåä y F
Ðàññìîòðèì òðåòüþ àëüòåðíàòèâó è ïðîôèëü ( 1, . . . , N)
òàêîéD ÷òî
x i z i y ∀i ∈ S ,
x i y i z ∀i ∈ T ,
y i z i x ∀i ∈ [N ] (S ∪ T ).
Òîãäà x f z D ïîòîìó ÷òî S ∪ T îïðåäåëÿþùèéD è z f yD
ïîòîìó ÷òî S îïðåäåëÿþùèéF Çíà÷èòD x f y D ÷òî è
òðåáîâàëîñüF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
53. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî
IH Åñëè {h} îïðåäåëÿþùèéD òî h äèêòàòîðF
Ýòî â òî÷íîñòè ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ïîëíîñòüþ
îïðåäåëÿþùåãî íàáîðàF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
54. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Åñëè â O äâà ýëåìåíòà
Ãäå ìû ïîëüçîâàëèñü òåìD ÷òî |O| ≥ Qc ×òî áóäåòD åñëè
|O| = Pc
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
55. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Òåîðåìà Ýððîó Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Åñëè â O äâà ýëåìåíòà
Ãäå ìû ïîëüçîâàëèñü òåìD ÷òî |O| ≥ Qc ×òî áóäåòD åñëè
|O| = Pc
Íà ñàìîì äåëåD åñëè |O| = PD òî òåîðåìà íåâåðíàF
ÍàïðèìåðD ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà ¾áîëüøèíñòâî
ãîëîñîâ¿ â äàííîì ñëó÷àå è íåäèêòàòîðñêàÿD è ïðàâäèâî
ðåàëèçóåìàÿ â äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
56. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Outline
1 Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
Ãîëîñîâàíèÿ
Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé
2 Òåîðåìà Ýððîó
Òåîðåìà Ýððîó
3 Òåîðåìà Ãèááàðäà!Ñàòòåðòóýéòà
Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
57. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Î ÷¼ì âñ¼ ýòî
Ìû óæå ñòîëüêî çàìå÷àòåëüíûõ ïðèìåðîâ ðàññìîòðåëèX è
ïðàâäèâûå ìåõàíèçìû ïîëó÷àþòñÿD è ðåàëèçóþùèå
ñîöèàëüíóþ ôóíêöèþ â äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõD è âîîáùå
âñ¼ ïðåêðàñíîF
ÍóD íå ìîãëî æå îíî âñ¼ òàê è ïðîäîëæàòüñÿD ãäåEòî
äîëæåí áûòü ïîäâîõF
Ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì îäèí èç ñàìûõ áîëüøèõ ïîäâîõîâ
ýòîé òåîðèèF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
58. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñóòü òåîðåìû
ÎêàçûâàåòñÿD ÷òî âñ¼Eòàêè íå âñÿêèå ìåõàíèçìû
ñóùåñòâóþòF
Ñåé÷àñ ìû ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå äîâîëüíî óçêîãî è
¾íå÷åñòíîãî¿ êëàññà ñîöèàëüíûõ ôóíêöèé
äèêòàòîðñêèõ D òFåF òàêèõD êîòîðûå âûãîäíû îäíîìó
êîíêðåòíîìó ó÷àñòíèêóF
À ïîòîì äîêàæåìD ÷òî íèêàêèõ äðóãèõ ðåàëèçîâàòü â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ íåëüçÿFFF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
59. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äèêòàòîðñêèå ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà
Îïðåäåëåíèå
Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f íàçûâàåòñÿ äèêòàòîðñêîé, åñëè
ñóùåñòâóåò òàêîé àãåíò i , ÷òî äëÿ âñåõ θ = (θ1 , . . . , θN ) ∈ Θ
f (θ) = {x ∈ X | ui (x , θi ) ≥ ui (y , θi ) äëÿ âñåõ y ∈ X }.
Ïðîùå ãîâîðÿD ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà âñåãäà
âûáèðàåò îäèí èç âàðèàíòîâD îïòèìàëüíûõ äëÿ i Eãî àãåíòàF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
60. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ìîíîòîííûå ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà
Âñïîìíèì îïðåäåëåíèåX ìíîæåñòâî íèæíåãî êîíòóðà
âîçìîæíîãî èñõîäà o ïðè àãåíòå i òèïà θi ýòî
Li (o , θi ) = {o ∈ O : ui (o , θi ) ≥ ui (o , θi )}.
Îïðåäåëåíèå
Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè
äëÿ êàæäîãî θ, åñëè θ òàêîâî, ÷òî Li (f (θ), θi ) ⊆ Li (f (θ), θi )
äëÿ âñåõ i , òî f (θ) = f (θ ).
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
61. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ìîíîòîííûå ôóíêöèè ñîöèàëüíîãî âûáîðà
Îïðåäåëåíèå
Ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè
äëÿ êàæäîãî θ, åñëè θ òàêîâî, ÷òî Li (f (θ), θi ) ⊆ Li (f (θ), θi )
äëÿ âñåõ i , òî f (θ) = f (θ ).
Òî åñòü åñëè f (θ) = x D è ïðè ïåðåõîäå ê θ íè ó îäíîãî
àãåíòà íè îäèí èñõîäD êîòîðûé ðàíüøå áûë õóæå x D íå ñòàë
ñòðîãî ëó÷øå x D òî x äîëæåí îñòàòüñÿ åãî ñîöèàëüíûì
âûáîðîìF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
62. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ïîðÿäêè ïðåäïî÷òåíèé
Âàæíûì äëÿ íàñ ïîíÿòèåì áóäóò ïîðÿäêè íà âîçìîæíûõ
èñõîäàõ OD êîòîðûå äëÿ êàæäîãî àãåíòà çàäàþòD ÷òî åìó
áîëüøå íðàâèòñÿF
Íàì íå òàê âàæíîD ñêîëüêî èìåííî àãåíò ïîëó÷èò @ui AD
ñêîëüêî òîD ÷òî îí èñõîä o1 öåíèò âûøåD ÷åì o2 D íî íèæåD
÷åì o3 F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
63. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ïîðÿäêè ïðåäïî÷òåíèé
Îáîçíà÷èì ÷åðåç P ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ ïîðÿäêîâ íà
OF
×åðåç Ri ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâD êîòîðûå ìîæåò
ðåàëèçîâûâàòü àãåíò i F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
64. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Òåîðåìà @ÃèááàðäàEÑàòòåðòóýéòàA
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî:
ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ O êîíå÷íî è ñîñòîèò íå
ìåíåå ÷åì èç òð¼õ ýëåìåíòîâ: |O | ≥ Q;
âñå èñõîäû ðåàëèçóþòñÿ: f (θ) = O;
êàæäûé àãåíò ìîæåò ðåàëèçîâûâàòü ëþáîå ðàöèîíàëüíîå
ìíîæåñòâî ïðåäïî÷òåíèé: Ri = P .
Òîãäà ôóíêöèÿ ñîöèàëüíîãî âûáîðà f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà
äèêòàòîðñêàÿ.
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
65. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñïðàâà íàëåâî
Î÷åâèäíîD ÷òî äèêòàòîðñêàÿ f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ @ïðîâåðüòå3AF
Äàëüøå áóäåì äîêàçûâàòü ñëåâà íàïðàâîF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
66. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñòðóêòóðà äîêàçàòåëüñòâà
Äîêàçûâàòü áóäåì òàêX
1 Åñëè R =Pi äëÿ âñåõ i, è f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõ, òî f ìîíîòîííà.
2 Åñëè R =Pi äëÿ âñåõ i, f ìîíîòîííà, è f (θ) = O, òî f
ýôôåêòèâíà ex post.
3 Åñëè f ìîíîòîííà è ýôôåêòèâíà ex post, òî îíà
äèêòàòîðñêàÿ.
Ýòî áóäóò íàøè òðè ëåììûF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
67. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1
I Åñëè Ri = P äëÿ âñåõ i D è f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõD òî f ìîíîòîííàF
Ðàññìîòðèì äâà ïðîôèëÿ òèïîâ θ è θ D äëÿ êîòîðûõ
Li (f (θ), θi ) ⊆ Li (f (θ), θ1 )F Õîòèì ïîêàçàòüD ÷òî
f (θ) = f (θ )F
ÒFêF f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìàD òî
f (θ1 , θ2 , . . . , θN ) ∈ L1 (f (θ), θ1 ) ⊆ L1 (f (θ), θi ) è
f (θ) ∈ L1 (f (θ1 , θ2 , . . . , θN ), θ1 )F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
68. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1
I Åñëè Ri = P äëÿ âñåõ i D è f ïðàâäèâî ðåàëèçóåìà â
äîìèíàíòíûõ ñòðàòåãèÿõD òî f ìîíîòîííàF
ÒFêF ïîðÿäêè ëèíåéíûå @âñ¼ ñðàâíèìîAD èç ýòîãî ñëåäóåòD
÷òî f (θ1 , θ2 , . . . , θN ) = f (θ)F
ÄàëååD f (θ1 , θ2 , θ3 , . . . , θN ) = f (θ1 , θ2 , . . . , θN ) = f (θ)F È
òFäFD â îáùåìD f (θ) = f (θ )F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
69. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2
P Åñëè Ri = P äëÿ âñåõ i D f ìîíîòîííàD è f (θ) = OD òî f
ýôôåêòèâíà ex postF
ÍàïîìíèìD ÷òî ¾ýôôåêòèâíà ex post¿ îçíà÷àåòD ÷òî óæå
ïîñëå òîãîD êàê àãåíòû ñûãðàþò ïî ñâîèì ñòðàòåãèÿìD äëÿ
êàæäîãî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ θ íåëüçÿ ñìåñòèòü
ðàâíîâåñèå òóäàD ãäå âñåì áóäåò ëó÷øåF
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîåF Ïóñòü ñóùåñòâóþò òàêèå θ ∈ ΘD
y ∈ X è i D ÷òî
ui (y , θi ) ui (f (θ), θi )
@íå ðàâíîD òFêF íåò íåñðàâíèìûõ èñõîäîâAF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
70. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2
P Åñëè Ri = P äëÿ âñåõ i D f ìîíîòîííàD è f (θ) = OD òî f
ýôôåêòèâíà ex postF
ui (y , θi ) ui (f (θ), θi )
Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü òåìD ÷òî f (θ) = OF Ýòî çíà÷èòD ÷òî
åñòü òàêîé θ ∈ ΘD ÷òî f (θ ) = y F
À òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ òåìD ÷òî âñå ïðåäïî÷òåíèÿ â P
âîçìîæíûF Âûáåðåì òàêîé âåêòîð θ ∈ ΘD ÷òî
∀i ∀x = f (θ), y ui (y , θi ) ui (f (θ), θi ) ui (z , θi ).
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
71. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2
P Åñëè Ri = P äëÿ âñåõ i D f ìîíîòîííàD è f (θ) = OD òî f
ýôôåêòèâíà ex postF
∀i ∀x = f (θ), y ui (y , θi ) ui (f (θ), θi ) ui (z , θi ).
Ïîñêîëüêó Li (y , θi ) ⊂ Li (y , θi ) äëÿ âñåõ i D ïî
ìîíîòîííîñòè f (θ ) = f (θ)F Ïðîòèâîðå÷èåD òFêF y = f (θ)F
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
72. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3
Q Åñëè f ìîíîòîííà è ýôôåêòèâíà ex postD òî îíà
äèêòàòîðñêàÿF
Ýòà ëåììà ñëåäóåò èç òåîðåìû Ýððîó î íåâîçìîæíîñòèF
Óïðàæíåíèå. ÄîêàçàòüD ÷òî ëåììà Q èç íå¼ äåéñòâèòåëüíî
âûòåêàåòF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
73. Ïàðàäîêñû ãîëîñîâàíèé Ââåäåíèå è îïðåäåëåíèÿ
Òåîðåìà Ýððîó Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî
Òåîðåìà ÃèááàðäàÑàòòåðòóýéòà
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå!
ve™ture notes è ñëàéäû áóäóò ïîÿâëÿòüñÿ íà ìîåé
homep—geX
http://logic.pdmi.ras.ru/∼sergey/index.php?page=teaching
Ïðèñûëàéòå ëþáûå çàìå÷àíèÿD ðåøåíèÿ óïðàæíåíèéD
íîâûå ÷èñëåííûå ïðèìåðû è ïðî÷åå ïî àäðåñàìX
sergey@logic.pdmi.ras.ruD snikolenko@gmail.com
Çàõîäèòå â ÆÆ smartnikF
Ñåðãåé Íèêîëåíêî Òåîðåìû î íåâîçìîæíîñòè
