Este documento resume brevemente los orígenes y desarrollo de las matemáticas. Explica cómo los primeros humanos necesitaron contar, medir y calcular para la caza, recolección y agricultura. Luego, se desarrollaron las matemáticas para el comercio, construcción y navegación. Finalmente, introduce conceptos matemáticos como números, símbolos, geometría, álgebra y formas numéricas como triángulos, cuadrados y cubos.

2. ' j,.
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M FEMATICffi
IJ HISTORIA DE I,OS NÚMEROS, LOS SÍMBOLOS
Y EL ESPACIO
POT IRVING ADLER Ifustr@nes ¿ls LOWELL HESS
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Tlrulo do r¡r¡ libro rn'-lnglór: nAfHEüAflC3
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E ün Rl - *ca rüobbada * orsanatción Edtorid
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G l!Da, lnc'
Drt¡Em¡dtral*

3. t-
I PALMO
las Matemáticas
Las matemáticas constituyen una nuestras r_espuestas son las correctas,
ciencia que nos enséña a pensar de- tratamos de pensar ordenada y cuida-
tenidamente en los númerós y en el d_osamente; al hacer todo esto, em-
espacio. Nos ayuda a llevar la cuenta pleamos las matemáticas.
en los deportes, a medir el área de un En los remotos días en que los
piso, a calcular los impuestos que de- hombres obtenían su alimentd únióa-
bemos pagar, y a deóidirnos á h""", mente de la caza y de la recolección
una compra ventaiosa. De ellas se sir- de_ frutos y bayas, surgió la difieul-
ve el ingeniero para diseñar una má- tad de cómo llevar un registro de sus
q_uina. Tanto en el trabaio como en provisiones. Contar, medir y calcular
el ju-ego, a menudo tenemos que res- fueron _operaciones más importantes,
ponder a preguntas como, ¿cúántos?, a m_edida que los hombres primitivos
¿dz qué tam,año?, ¿a qué á¡stanc¡a? se fueron convirtiendo en agriculto-
Fara contestar a estas preguntas, es
ne,cesario emplear números; debemos Ies y pastores, pues tenían que hacer
Ia medición de sus tierrar y át recuen-
saber cómo se relacionan los números to de los animales de su rebaño. Al
entre _sl, y cómo encajan unas con empezar a construir presas y canales
otras las distintas partes de un espa- de irrigación, tuvieron q,t" la
cio. Para tener la ceÍteza de q,r" "ilcular
cantidad de tierra qu¿ tenían que
2

4. Los antiguos mercad,eres, constructores A naoegantes, empleaban lns matemóticas pora
resohserws problernas
remover y cuántas piedras y ladrillos números , y la geometría, que estudia
habría que colocar. Los capataces te- el espacio.
nían que saber de antemano cuánta Para predecir los cambios de esta-
comidá habría que almacenar para los ción, toi sacerdotes estudiaban los
trabaiadores. movimientos del Sol, la Luna y las es-
Los carpinteros y los albarliles tu- trellas. Los navegantes también ob-
vieron que hacer cálculos y medicio- servaban el firmamento, guiándose
nes al cbnshuír habitaciones para el por la posición de los astros. Y para
pueblo, palacios para sus gobernantes ayudar a estos hombres en sus tareas,
y grandés tumbas en forma de Pirá- se inventó la trigorcmetría, que es el
mides para sus reyes. estudio de la relación entre las dis-
Al surgir el comercio, los mercade- tancias y las direcciones.
res tuvieron que medir y Pesar sus Al extenderse el comercio Por todo
artículos, ponerles precio, calcular su el mundo, tenían que rePetirse a'
costo y sus ganancias. menudo los mismos tipos de cáleulos,
Los recaudadores de impuestos por lo eual, para ahorrar üemPo, los
necesitaron fiiar las tasas y llevar matemáticos establecieron reglas para
registros. Para realizar todas estas efectua¡los y métodos para resolver
actividades, el hombre inventó la muehos problemas en forma ráPida;
aritmüi"m, eüe es el estudio de los tales fueron las bases del ólgebra.

5. *t ctr}
.
tw$il
$wfgiiti'iill
.:.
Los hombres han empleado los los representaban por rnedio de io"t
símbolos .numéricos escriios desde siones gl pe-daZos- de madera, o de
h""9 siete mil años, aproxim"d"*urr_ líneas dibujadas en el suelo. Todavía
te. Con el transcurso iel tiempo, in_ utilizamos este sistema cuando escri-
ventaron nuevos y mejores *Ztodos bimos los numerales ,o*"rro, I, II y
de escribir los números: Ái-p;i""tp"; III. También encontramos estar'fitií_

6. NI]MERO
3
# # $ I3 CENTAVOS
,ffi
# s ü
s ü T
I SEPARE tOS CENTAVOS EN DOS GRUPOS:
UNO DE DIEZ, Y UNO DE TRES
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3
cAl BlE EL GRUPO DE
POR UNA IAONEDA DE
En los números ardbigos mayues de g, el t¡alor ¡le cada dígito ilepenil,e de su posir;itln
ras, aunque ya transformadas, en los y otro de tres. Podtrnos ca¡nbiar los
números arábigos 2 y 3, Empezaron a diez centavos por una moneda de üez
usarse eomo conir:ntos de rayitas se- centavos. En tal forrra, tendrems
paradas. Posteriomrente, al escribirse unlo moneda de díez centavos y tres
las rayitas rápidalnente, se unieron en monedas de un centavo. Y esta canti-
diferentes sfmbolos. dad la representamos con la cifra 13.
La nr:meracién arábiga consta sólo El I escrito en el segundo lugar a
de üez sfmbblos: los dlgitos 0, 1, 2, partir de Ia derechq representa un
3,4,"5,6,'7,8,y 9; pero cón estos Ai"ú grupo de diez, asl como una moneda
dígitos, podemos formar cualquier , de diez centavos representa un con-
número. Lo hace,rros separando las ,l iunto de diez monedas de un centavo.
cifras grandes en gnrpos, tal crmo se- De igual modq un número escrito
paramos las eantidades de dinero. en el tercer lugar a partir de la dere-
Por eiemplo, podemos separar trece cha representa coniuntos de ciéntos; el
centavss en dos grupos: r¡no de diez cuarto t"*:, grupos de millares, etc.-
5
I
L-

7. --
ffi
$
Ha_gamos
pn"e
una representación obie-
no se Pueden o-,Jfffi:l
hileras de una fieha cada una, hasta
tiva de cualquier número entero em- formar una.hilera o una á"
pleando hileras de fichas. para hacer "ol"mou
siete fichas. El número 7 no eS urr nú-
esto, hay que emplear tantas fichas mero rectangular. Los números que
como unidades tenga el número. no pueden descomponerse de maréra
Una hilera de cuatro fichas puede que formen rectángulos, se llaman
separarse en dos hileras de dos fichas números primos.
cada una. Si colocamos estas dos hile- . Existe un método sencillo para de-
ras una debajo de la otra, Ias fiehas terminar si un número es rectangular
formarán un rectángulo, de igual mo- o primo. Este método recibe el nom-
do, se pueden formar rectángulos bre de Criba de Eratóstenes, en honor
con 6, 8, I ó 10 fichas. Por esto, lla- del matemático griego que inventó el
mamos ruimeros rectangulnres a estos sistema dos siglos antes del nacimien-
números. El rectángulJque se puede to de Jesuoristo. Imaginemos todos
formar con el número diez tendiá dos los'números enteros, a partir del dos,
hileras de cinco fichas. Observemos arreglados en una hilera, de menor a
que 2 X 5 mayor y en orden progresivo. El nú-
- L0. Todos los ruimeros
rectangul,a,res son el producto de dos mero dos, que encabeza la hilera, es
o mas nú,meros más pequeños. un número primo. Ahora, contemos
Pero hay algunos números que no de dos en dós y tachemos cada nú-
podemos descomponer de esta maqe- mero que obtengamos en esta forma,
i¡
ra. Eiemplo: no es posible hacer que descartando así el dos y todos sus
'li
il
siete fichas formen un rectángulo. Se múltiplos. El 4, el6, el d, etc., serán
#
q
pueden distribuir las fichas en siete. números rectangulares. De los núme-
I
{ Un número "rectanguhr", o rw prómo, siempre es el produc-to de nítmeros m.as p,equeños
$t
'",..
I
o

8. CUENTE
DE DOS EN DOS
CUENTE
DE TRES eñ rnrs L3
CUENTE
oe c'r.¡éó'e¡¡- cr¡¡co 'Í$ ffi
.,',,' :.,..€.tJF T,E.:.ir,,
DG.l$.l.ET€.,;€$'.
I : iti:itirliti:.:i
:.: :r.i:, r.ri.:.
I Med.iante ln. criba d,e Eratóstenes, se pueden determinar los números primos
ros que no hemos tachado, el tres
la lista, por lo que éste será
"ncab"ra primo que sigue al dos.
el número
Luego, tacharemos los números que
Otr
vayamos obteniendo al contar de tres
!i7
en tres. Se obtendrán así números
enteros como 9 y 15, con los que se
pueden formar rectángulos de tres
hileras. El número que encabeza
ahora la lista es el cinco, el cual es el
tercer número primo. Si continuamos
tachando de esta manera, obtendre- :;**y_*,qrr/
mos los múltiplos de cada uno de los
números primos, y después de haber
descartado cada familia de números,
7
el número que encabece la lista será el Los números primos no se pueden expresar
siguiente número primo. como el producto de ntimeros más pequeños

9. lf,-
ll
'-:]]
Las Formas de los Números
Los números, como las personas, recibe el nombre de número triangu-
tienen variadas formas. Algunos nú- lar. Los primeros cuatro númeios
meros son rectangulares; otros forman triangulares son: el l, el 3, el 6 y el
triángulos, cuadrados o cubos. 10. ¿Cuál es el séptimo número trian-
gol"t? Una de las maneras de saberlq
Nútr,rEnos rRraNcnLAxBs
consiste en formar el séptimo triángu-
Se pueden encontrar. números que lo y conta¡ el número de fichas que
forman triángulos colocando hileras contiene. Pero existe un método sim-
de fichas, -unas debaio de otras. Se plificado que podemos aplicar. El
pone una ficha'en la primera hilera, grabado de la página derecha mues-
dos enlla segunda, tres en Ia tercera, tra el séptimo triángulo, con otro si-
y así sucesivamente. El número total milar invertido. Los dos triángulos

10. forman un rectángulq por lo que el
número triangulax es la mitad del nú-
mero rectangular. El rectángulo de la
ilustraeión tiene siet€ hileras de ocho
fichas cada una. Por lo tanto, el nú-
mero rectangular es 7 X S, ó sea 56.
Y Ia mitad es 28. De-esto se deduce
que para encontrar un número trian-
gol"t, se multiplica el número de hile-
ras del triángulo por el número próxi-
mo más alto, y luego se divide , el
pr,oducto entre dos. Para déterminar
el octavo número triangular, divida
entre dos el producto d;S X-9.
,¡iú-MEaos crrADRADos
Forniamos los nrlmeros cuadrados
haciendo rectángulos en los que el
número de hileras sea igual al número
de fichas de eada hilera. El cuadrado tiplique cualquier número por sí
más pequeño tiene sólo una hilera; mismo. El séptimo número cuadrado
por lo tanto, el número euadrado más es 7 X 7, 6 sa 49. Lo llamamos "siete
pequeño es el 1. El siguiente cuadra- al cuadrado", y lo expresamos asl'.72,
do tiene dos hileras, con dos fichas en El pequeño dos escrito en la parte
cada hilera, por lo que el siguiente superior derecha, es una de las mane-
cuadrado es: 2 X 2, ó sea 4. El ter- ras de expresar qilé el siete se tomará
cer número cuadrado es 3 X 3, ó s'ea dos veees como multiplicador.
9. Para obtener un cuadrado, raul- Los números cuadrados se relacio-
9

11. I
2
'3
4
"6'
7
8
9,
r0
nan con los números impares ( nfrme- sumarnos cualquier número triangu-
ros que no pueden formar rectángulos lar con el siguiénte número triangu--lat
de dos líneas ). Si hacemos una lista mayor, obtendremos invariablemente
de los números impares, en orden pro- un cuadrado.
gresivo, y escogemos cualquiera de
rv{rrnrnnos cúsrcos
ellos, la suma de esos n{rmeros, incluso
el que hemos escogido, será siempre Si empleamos dados en vez de fi-
un número cuadrado. El grabado nos chas, podemos colocarlos en hileras
lo explica cilaramente. para formar un cuadrado, y encima
Los números cuadrados también se de éste se pueden poner cuadrados
relacionan los triangulares. Si formados por dados. Cuando el nú-
-con
,.
1
''
]
La suma, de cualquier serie de númergs-
impares consecufrirsos es siempre un n(tmero
cuadradn
- *----- -- i: r
:22ó 4
+3+5:31 9
1 +J+$+ 4'¿ 16

12. .q
?
+3
1 ryffi1 3 }
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4¿ 2' 3 i*o',-,;;-.,"$ 9¿ 3'
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l::i5É$l,:¿iliilirf,:-.¡,ii¡.:,i1-rliir!i4ii;i;lr;-",jlljtr:!:iiir'i:airi:?¡.
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10 , +15 e,"
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10 15
mero de capas sea igual ai número ¿r1 ctr'l-o'' r'1o reprerentamo.s ¿rsí: ?r]. EI
de dados que hal' en una hilera, ha- pequerlo tres que se escribe er, la pilr-
bremos form¿do un rubo, Ese núrnero te sr-rpelior clereclia inciicir que ei
de dados que forma el cubo es un dos se en-rpleó colrro niultiplicador tres
número cúbico. El número cúbico :eces. El quinto número cúbico es
rnás pequeño es el L. El segundo es "cinco al cnbo". Se reprcsenta asi: 53
2 X 2 X 2, o sea 8. Lo llamamos "dos v sigrrific¿r 5 X 5 X. 5, ó sea 125.
2' 53
A-
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{ ¡--. :
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13. los Conejot y las Plantas
Un hombre compró una Pareja de qtre el hombre empezíla cría. Anote-
coneios y cuidó de ellos. Esta paréja rnor seguida el número I para de-
"n
signar ccín él la pareja de conejos que
procreó un par de conejitos -un rnes
después, y un segunclo par de cone- nació al mes.
jitoi ai segundo mes. Luego, dejó de Al siguiente mes, ambas pareias
procrear. Cada nueva pareja cle cone- tuvieron crías, así que el sigtriente
¡itos tuvo a su vez dos Parejas de número es el 2. Hasta ahora tenemos
conejitos en el mismo período y luego tres núnleros en el esquema: 1, I y
no tuvieron más crías. ¿Cuántas nue- 2. Cada número representa una nue-
vas parejas de conejos tuvo este hom- va generación. En este.momento, la
bre cada mes? primera generación deió de procrear.
Para contestar a esta Pregunta, La segunda generación (una pareja)
hagamos un esquema del número de procreó una pareia. La tercera genera-
parejas en cada generación de cone- ción (dos parejas ) produjo, a su vez,
ios. Escribamos el número 1 para re- dos nuevas pareias. Por lo tanto, el
presentar la primera pareja con la número que escribimos es I + 2, 6
ESTA COTUMNA INDICA EsrA cotuMNA tNDtcA ¡l Húm¡no ToTAt
-CADA
tAS GENERACIONES DE CONEJOS DE pAREJAS, PoR ot¡¡rnlclótl

14. sea 3.. En este momento, la segunda
generación dejó de procrear, pero la
tercera generaciótr (dos pareias) pro-
duio dos pareias y Ia cuarta genera-
ción (tres parejas) proereó tres.pare-
ias, por lo que el número siguiente
que escribiremos será 2 + 3, ó sea 5.
Cada mes, sólo las dos últimas ge-
neraciones tuvieron hiios, así que
podemos obtener el siguiente número
sumando las dos últimas cifras de la
columna. Los números que obtenemos
en esta forma se llaman números de
Fibonacci. Los primeros doce son: 1,
I, 2,3, 5, g, 13, 2r, U,55, gg y L44.
Estos números tienen propiedades
muy interesantes; surgen a cada mo-
mento en Ia naturalez.a y en el arte.
He aquí una de las propiedades de
estos números. Escoiamos tres núme-
ros cualesquiera, sucesivos. Multipli-
quemos por sí mismo el número de
en medio, y el primero por el tercero.
Los resultados siempre diferirán en
una unidad. Por eiemplo, si escoge.
mos los números de Fibonacci 3, 5 y
8, tendremos: 52 - 5 X 5 - 25, en
tanto que 3 X 8 : 2A. Si los números
elegidos son ó, 8 y 13, se tendrá:
82:64,y 5 X 18 - 65. Las fracciones de Fibonacci tienen oar'ws
Ahora bien, si dividimos cada uno propiedad,es interesantes. tlna d,e ellas se
de los números de Fibonacci entre su puede emple_ar para desuibtr las espirales
vecino de la derecha, obtenemos una que forman las hoia"s de Ins plnntas caando
serie de fracciones: brotan del tallo. La distribución de lns hoias
ntperiores permite que los raqos d,el Sol se
112 35 8 _, _, _, _,
132134 55 39 ' filtren ho,sta las hoias más bá¡as
123591321345589144
-, -, -,
-r-,
-t
-
Estas fracciones describen el crb- fracción de una rotación completa
cimiento de las plantas. Cuando na- alrededor del tallo. Esta fracción es
gen hojas tt revai en una planta, se siempre una de las fracciones de Fi-
disponen en espiral alrededor del bonacci. Las fracciones de Fibonacci
tallo. La espiral va girando de abaio aparecen siempre en la disposición
hacia arriba; la magnitud de Ia vuelia de las brácteas del cono de un pino
de una hoia a Ia siguiente, es una o en la de los flósculos de una floi.
l3

15. Bl Ángulo Recto
El ángulo que empleamos más a
menudo es el que mide 90 grados. Lo
llamamos ángulo recto.
Los albañiles forman un ángulo
recto por medio de cuerdas. Fijan una
cuerda horizontal con un nivel y co-
locan otra cuerda vertical suspendien-
do un peso o plomada en el extremo
libre. Así forman un ángulo recto
exacto, que los guiará para tender las
hiladas .de ladrillos. De este modo,
los muros de las casas que construyen
estarán derechos y a plorno.
En el antiguo Egipto, los agrimen-
sores formaban un ángulo recto por
el procedimiento de "tender una
soga"; empleaban una cuerda dividi-
da en doce espacios iguales por me-
dio de nudos. Un trabaiador sostenla,
juntos, los dos extremos de la soga, en
tanto que otro sujetaba el nudo que
marcaba tres espacios a partir del
extremo, y un tercer hombre detenía
con la mano el nudo que indicaba
cuatro espacios contados del otro ex-
tremo. Sila cuerda estaba tirar-Ée, se
formaba un ángulo recto. ",,
Una manera de formar un ángulo
recto consiste en doblar una hoia de
papel. Se dobla y se vuelvd'a doblar,
haciendo coincidir los dobleces.
I
¡ Un ángulo recto mide 90 grados. Los anti-
I
guos egipcios formaban los á,ngulos rectos
manteniendo tirante urua cuerd,a anudnda
uniformemente

16. ';
"-$:'
'iu
Los Triángulos y la Distancia
Entre Ia Tierra y Ia Luna
Los triángolor pueden ser de dife- de 180. El tercer ángulo, en este
rentes magnitudes y formas, pero los caso, medirá 80 glados.
tres ángulos de cualquier triángulo Este método simplificado tiené es-
siempre suman el mismo número de pecial utilidad si el tercer ángulo está
grados. Para darnos cuenta de esto, fuera de nuestro alcance. Por eiem-
cortemos un triángulo de papel; lue- plo, supong¿unos que dos hombres
go, separemos con las tiieras sus tres situados en lugares muy distantes en-
ángulos. Coloquemos después lado tre sl, en la Tierra, miran hacia la
con lado y esquina con esquina, y Luna. La posicién de los dos hombres
veremos que la suma de los tres án- y la de la Luna foqman un triángulo.
golor es igual a 1800, es decir, for- Como no se puede medir el ángulo
marán dos ángulos rectos. Éste es un de la Luna, nos valemos, para calcu-
dato importante, porque nos permite Iarlo, de las dimensiones que tienen
averiguar las magnitudes de los án- Ios de la Tierra.
gulos de los triángulos, aunque sólo Conoeer la magnitud de este tercer
midamos dos de ellos. Por eiemplo, si ángulo es importante para los astró-
uno de los ángulos mide 40 grados y nomos, para calcular la_distancia que
el segundo 60, podremos saber cuán- hay de la Tierra a la Luna. Si ésta
tos grados mide el tercero, sin que Io estuviera más distante, el tercer, ángu-
midamos directamente. Bastará con lo sería más pequeño; si estuviera Ímás
sumar 40 más 60. y restar el resultadn cerca, el tercer ángulo sería mayor.
Sea cualquiera el tamaño o ln forma que
tenga un trióngulo, la sama de sas tres
óngulos internos siempre es de 780 grados
.15

17. El Avión y la Puerta
|ulio estaba construyendo un avión
de iuguete de gran tamaño en la ha-
bitación que le servía de taller. Cuan-
o ya estaba a punto de pegar las
'alas
al fuselaje del aeroplano, Julio
pensó: "¿Pasará el avión por la puer-
ta en cuanto las alas estén en su lu-
gar? Las alas miden 3L/z metros de
punta a punta, y la puerta 2 metros
de anchura por 3 metros de altura."
]ulio no podría pasar el avión por
la puerta, a menos que lo inclinara.
Podemos ayudar a Julio a resolver
su problema averiguando qué relación
hay entre los lados de un triángulo
rectángulo. Tracemos en una hoia de
papel cuadriculado un triángulo rect-
ángulo"de cuatro unidades de anchu-
ra (primer cateto) por tres unidades
de altura ( segundo cateto ) . Midamos
ahora la hipotenusa (el lado más lar-
go ) . Este último lado tendrá cinco
unidades de longitud. Construyamos
otros dos triángulos rectángulos,
como los del dibuio, y midamos la
hipotenusa de cada uno de los trián-
gulos:
cüeto cateto hipoterutsa
435
8610
t2513
Observemos los números corres-
pondientes a cada triángulo; aparen-
temente no hay relación alguna en-
tre ellos, pero sí existe una relación
escondida entre ellos. Esta saltará a
la vista si elevamos al cuadrado cada
uno de los números.

18. rlllrltrrr
wfggffi llltllrrrl
IIIT¡IIIIT
Itlrrltlr
lllllrrrr
IIIIIIITT
wfffiffigéÁ rlllllll
tttlllr
lllltlr
Hace 2,500 aiws, Pitógoras formuW un teorema, el cual expresa que un trióngula
rectóngulo, el andtadi de u¡w de los cotetos más el qndrado iIeI segutdn m,teto,
siernpre es ignl al androdo ile Ia hípoterutn
(7er. cateto) 2 ( 2e cateto) 2 (hipoteruna)z
4x 4- 16 3X3: I 5X 5- ?5,y 16+.$- 2,5
8X 8- M 6x6-36 10X10-100 et+36-100
Lzx12-L44 5x5-25 13x13-169 LM+ 25
- 169
Los eiemplos anteriores establecen a punta de las alas, paxa saber si es o
una regla que descubrió hace unos no más pequeña que Ia diagonal de la
dos mil quinientos arios un matemá- puerta. La distancia de punta a pun-
tico griego llamado Pitágoras. La re- ta de las alas es de 3% metros.
gla establece que, en todo triángulo
reetángulo, el cuadrado de uno de los (3r/z)' : yYz X 3L/z =
eatetos, más el cuadrado del otro %x%:as/+:LZT+
cateto, es igual al cuadrado de la hi-
potenusa; es decir: (cateto)'+ (cate- Este resultado es menor que 13;
to)'t (hipotenusa)2. por lo tantq el aeroplano poárá pa-
Si aplicamos esta regla, nos ayuda- sar, ladeándolo, por la puerta.
rá a resolver el problema de fulio. He aquí tres coniuntos de núme-
Nos damos cuenta de que la anchu- ros. Sólo dos de ellos obedecen al teo-
ra, la altura y la diagonal de Ia puerta, remb:de Pitágoys. .CCuáles son?
forman un triángulo rectángulo. Sus
catetos miden, respectivamente, ? y I L2 r5
3 metros. De aguí resulta: 8 15 vl
32 + 22 :9 * d- 13. Como 13 es el L2 15 r8
cuadrado de la diagonal por Ia que
el avión debe psü, tenemos que ele- 'ffinfu#¿. tp rrur,araal Io tnc
var al cuadrado la üstancia de punta qpaqo sogtnluoc ssp sonn4td, so.1
r7

19. Circulos y
ilIondadientes
En la vida diaria vemos continua-
mente circunferencias y círculos.
Eiemplos de las primeras son el borde
de las tazas y de los platos, una sorti-
ja, etc. De los segundos las monedas,
el Sol y la Luna vistos desde la Tierra.
La distancia que une en línea recta
los extrerúos del círculo, pasando por
su centro, se llama f,oí*utro del
círculo. La línea que limita el círculo,
CIRCUNFERENCIA o sea su perímetro, se llama circunfe-
CIRCUNFERENCIA
-
2 1r por RADIO rencin. Midamos el diámetro de una
APel -- 7r por RADIO por RADIO moneda y su circunferencia, emplean-
f 3.141ó APROXTMADAMENTE do un cordel para hacer esta última
-
medición y midiendo con una re¡fa
el pedazo de cordel. Encontraremos
que Ia cireunferencia de la moneda
medirá, aproximadamente, tres veces
más que el diámetro. La circunferen-
cia de cualquier círculo es siempre el
mismo número de veces mayor que
su diámetro. Este número constante
no puede escribirse exactamente co-
mo un número fraccionario o como un
decimal, por lo que utilizamos la letra
griega ,Í (pi) para representarlo.
Equivale a 3L/2, 6 3.L4, aproximada-
mente.
Aunque parez-ca extraño, hay una
forma interesante de calcular el valor
de '', arroiando un mondadientes a un
La cirarnferencia, o línea cuÍoa, que limi-
ta al úrcul.o, si,empre es igual al üámetro
maltlpkcado por 3.74, el Á(t¡nero conocido
como pi
t
il
i,:,l

20. piso de madera. El piso debe tener
duelas de la misma anehura, y el
mondadientes Ia misma longitud que
la anchura de las duelas. ArroiemoJ el
mondadientes varias veces al piso,
llevemos la cuenta de las veces que
lo arrojqmos y el de las veces que- el
mondadientes' cae en posición irans-.
versal, entre dos ra¡uras. Duplique-
mos el níimero de veces que arroiamos
el mondadientes y dividamos este
número entre el número de veces que
cay6 transversalmente a las ranuras.
EI resultado será el valor de ,,.
Por eiemplo, supongamos que he-
mos arroiado el mondadientes aI piio
cien veces y que eay6 en posición
transversal, en una duela, 62 veees.
Dividamos 200 entre 62. El resultado
es 3.2, aproximadamente. No es éste
un valor muy exacto de o, pero mien-
gras más veces arroiemos al piso el
mondadientes, obtendremos un valor
más exacto. Cuando un mondadientes
gira alrededor de su centro, describe
un círculo. Por esta razfifl, T, que es
una constante del círculo, también
se relaciona con las probabilidades de
que el mondadientes caiga transver-
salmente a las duelas, es decir, per-
pendicular a Ias ranuras.
Otra forma de -ealcular 7t es me-
diante el uso de los números impares,
l, 3, 5, 7, 9, etc. Eseriba primero las
fracciones Yt, r/r, ,t'a, t/r, Yi, etc. Lue-
go, a partir de la primera fracción,
reste Ia segunda, añada la terce-
rL, reste la cuarta, y asl sucesiva-
mente. Suspenda la operación cuando
usted quiera, y multiplique por 4. EI
resultado será un número apioximado
al valor de ''. Mientras rhayor sea el
número de fraccioner qrrl emplee
usted, más exacto será el valor d" *.
19

21. Lados lguales y Ángulos lguales
Utrq figura geométrica cuyos lados grados en la s.nnn. de los ángulos
estén cérrados y sean rectos, se llama de cualquier polígono,'reste 2 al nú-
polígorio. Los triángulos y los cua- mero de lados y luego multiplique el
drados son polígonos. El número 'de resultado por 180. Si la figura consta
ángulos que hay en un polígono es el de tres lados, los ángulos deberán
mismo que el ntlmero de lados. sumar 180 grados. ( 3 ángulos, menos
180 :
Existen polígonos que tienen áttgo-
los iguales y lados iguales. Los llama-
2
- L.l Xángulos 1800. ) Por lo tanto,
para tres iguales, dividimos
mos polígonos regulnres. Un polígono la suma de los angulos ( 180 ) entre 3.
regular puede tener cualquier número Esto nos proporciona la medida de
de lados, a partir de tres. Una for- cada ángulo. Por'lo tanto, cada ángu-
ma de construir un polígono regular, lo medir ffi grados. Si la figura geo-
es calcular el número de grados que métrica ^consta de cuatro lados, los
debe tener cada ángulo, y trazar estos ángulos sumarán 360 grados. (4 ángu-
ángulos utilizando un transportador y
separando sus lados en distancias
los menos 2
- 2. 2 X 180 - 360.)
Por tanto, cada uno de los cuatro
iguales. Para obtener el n{rmero de ángulos iguales medirá 90 grados.
20

22. DIIAENSIóN
SUl,tA DE DE CADA
tOS ANGUIO5 ANGUTO
NúTAERO EXPR.ESADA EXPRESADA
DE ANGUIOS EN GRADOS EN GRADOS
'.q,rilát"ro
l. Trtá";il 3 180 60
2. Cuadrado 4 360 90
3. Pentágono regular b MO r08
4. Hexágono regular 6 720 L20
Se puede trazar un triángulo equi- gular, se corta una tira de papel de
látero con regla y compás, por el anchura uniforme. Después, se hace
método que se ilustra en el grabado. un nudo con la tira, tal y como se
Para construir un cuadrado, primero muestra en el grabado, y se aplana.
se traza urr círculo. Después, se dobla Para construir un hexágono regular,
el papel en que fue trazado, de ma- se traza primero un círculo y luego se
nera que el borde del papel pase por marcar] con el compás partes iguales
el centro del círculo" Se dobla nueva- de la circunferencia, de la misma an-
rnente el papel en forma tal que forrne chura del radio del círculo con el que
un ángulo recto con el centro. Se ex- se ha trazado. Habrá seis espacios
tiende ia hoja de papel y se unen los iguales; únanse con líneas rectas las
puntos en que los dobleces crucen el marcas trazadas y se formará un hexá-
círculo. Para hacer un pentágono re- gono regular.
2t

23. F'
[a Sal y los Diamantes
Muchos minerales forman hermo- pone de triángulos, con tres triángu-
sos cristales de caras lisas y bordes los en cada esquina. El hexapdro o
agudos. En algunos de estos cristales, cubo (seis caras) te compone' de
las facetas son polígonos regulares, cuadrados, con tres cuadrados en
que tienen el mismo tamaño y la mis- cada esquina. El octaedro ( ocho ca-
ma forma, con el mismo número de ras ) está compuesto de triángulos,
polígonos en cada esquina. Un sólido con cuatro triángulos en cada esquina.
construido en esta forma, se llama El dodecaed,ro ( doce caras ) está com-
sóliiln regulnr. puesto de pentágonos, con tres pentá-
Hlay exactamente cinco sólidos re- gonos en cada esquina. El icoso¿dro
gulares. Sus nombres nos indican el (veinte caras) se compone de trián-
número de caras de que se componen. gulos, con cinco triángulos en cada
El tetroed,ro (cuatro car+s) se com- esquina.
Muclws mineral.es forman cristales. Unos cuantos,de éstos
son úlidos regul.ares, cayas caras son polígonos regulnres

24. -t
Una propiedad interesante de to- que es un cubo. Un cristal de dia-
dos los sólidos de caras planas es la mante es un octaedro.
de que, si sumamos el número de es- Los sólidos regulares forman atrac-
quinas y el número de caras de cual- tivos obietos de ornato. Se venden
quiera de ellos, obtendremos el nú- como pisapapeles. Hay calendarios
mero de bordes, o aristas, de ese dibujados en dodecaedros, en los que
sólido, más dos. Hagamos Io anterior cada mes está grabado en una cara
con el cubo que aparece en el graba- diferente. Podemos hacer modelos de
do de la págin a 28. Consta de ocho cada uno de los sólidos regulares em-
esquinas y seis caras, por lo que la pleando los patrones que ilustran es-
suma de estos números es 14. Ahora tas páginas. Primero, se hace un tri-
contemos el número de bordes. Cons- ángulo equilátero, un cuadrado y un
ta de 12. pentágono regular, en una hoia de
Si examinamos un cristal de sal co- cartón, y después se recortan; a con-
mún a través de un potente cristal de tinuación, s€ repiten estas figuras
aumento, podemos darnos cuenta de como lo indican los grabados.
Sólo hay cinco sólídos regulares. El ietraedro tiene cuatro caras, cáda una
de las cuales es un triángulo. El octaedro es un sólüo regular de ocho caras

25. lF.]Tx
SOLIDOS REGULARES
HEXAEDRO (CUBO)
S-e pueQg c_ons!ryir un d.od,ecaed.ro copiand,o sobre un ped,ozo de papel cartoncitln et
desarrollo de dicho sólido que so muestra arriba. (Jtw oez que esté trazado, recorte por
Las líneas gruesos, üblelo por lns líneas delgadas y una los bordes con papel edgo-
mada. Para construir un icosaedro, copie el desarioll.o de dicho sólido iyue aparéce
abaio, g siga Las instrucciones que se'dieron para construir el dodecaedrb '
ICOSAEDRO

26. T f
i
Las Matemáticas
en la Natur alena
En la naturaleza Podemos aPreciar
hermosos eiemplos de las cun¡as, PG
llgonos y sólidos que se .estudian en
las matemáticas.
En la esquina superior izquierda de
esta página se muestra el cristal de un
dé nieve. Todos los coPos de
"opo
niéve tienen la forma de un hexágo-
no regular. ]unto 4 copo de nieve
et con[iamos otro hexágono, en la
colmena que construyen las abeias.,
Debaio-del panal vemos la concha
del nautíhn, un animalito que vive
en el mar. Se ha cortado esta concha
transversalmente, Pil& mostrar las
cámaras que contiene. La llnea curva
que marca el límite de dichas cáma-
ras, se llama espiral. En la parte infe-
rior de la página se muestran varias
espirales que se desenvuelven en dos
direcciones a partir del centro de la
flor llamada girasol.
I
,f#/

27. I
Cuando se forma¡r los volcanes, la
lava caliente se esparce formando un
cono. En la sección de la galaxia que
aparece arriba, la Luna, el Sol y las
estrellas, son esferas. Podemos apre-
ciar claramente la forma esférica de
la Luna, que es eI cuerpo celeste más
cercano a la Tierra.
El grabado inferior de la izquierda
representa los esqueletos de algunos
radiolarios. Estos son animales mi-
croscópicos que viven en el mar. El
fondo de los océanos Pacífico e lndi
co está cubierto de estos esqueletos,
restos de animales que vivieron hace
millones de años. Cada uno de ellos
es un polígorro simétrico perfecto. El
esqueleto de la parte superior es un
octaedro casi perfecto, o sea, un só-
lido de ocho caras. El del centro, es
un dodecaedro, d€ doce caras; y el
de la parte inferior, un icosáedro, só-
lido de veinte caras.
26

28. letras en ver,de Números I
j
:2 + 1,
Sabemos que I + 2 representan números. Es como si uti-
-f
2+3-3+2,y4* 7-7+4.
4 lizátramos una clave pa,ra expresar
+
Podemos hacer que cualquier número muchas cosas en un espácio redlcido.
sumado a otro número forme una En esta clave no utilizamos el signo
igualdad de este tipo. Escribamos X para denotar "veces", porque po-
simplemente un primer número, más dríamos confundirlo con la letra Jc.
I
un segundo número, antes del signo Indicamos la multiplicación usando
I de igualdad. En el lado derecho de un punto en la parte media entre el
I dicho signo, invirtamos el orden de los multiplicando y el multiplicador, o
t
números. simplemente escribiendo el multipli-
En lugar de escribir cada miembro cando y el multiplicador uno a conti-
de la igualdad separadamente, pode- nuación del otro, sin emplear símbolo
mos escribirlos iuntos. De este modo: alguno. En esta clave, a' b significa
representemos por la letra a cualquier "el número que representa o,, multipli-
número, y por la letra b cualquier otro cado por el número que representa
número. Luego, escribamos simple- b". También se puede escribir ¿b.
mente: a * b
- b * a: Al hacer esto,
hemos pasado de la aritmética al
Cuando el mismo factor se emplea
una y otra vez, empleamos la misma
álgebra. forma abreviada de escribir el pro-
En álgebra empleamos letras que ducto de números cuadrados y cúbi-
Las ecuaciones algebraicas
siguen eI mismo principio
que Ins balanzas. Lo que se
ponga en u,n miembro de la
ecuación, o en un plntlllo
de In balnnza, deberá, set
igual, aI número o aI peso
que hay en el otro miembro,
o plntllln, a fin de que quede
en equikbrio
27

29. cos de las páginas 13 a 15. Cuando
escribimos fra, llamada esta expresión
"equis a la cuarta potenciú', es como
si escribiésemos lc ' Jc x x, ó sea r
como factor cuatro veces.
He aquí un enunciado en clave que
no siempre es cierto: r + 2 : 5.
Esto no es cierto, ya que si a r le
asignamos el valor de 7, 7 + 2 no
es igual a 5. Pero será cierto, si le da-
mos a r el valor de 3. Un enunciado
de este tipo recibe el nombre de
eatnci,ón Resolver una ecuación sig-
nifica obtener el valor que hace que
un enunciado sea cierto.
Una ecuación se asemeia a una
balanza. Se supone que t * 2 equi-
Iibrará el 5, de la forma en que dos
pesas iguales nivelan la balanza. Si
cambiamos una pesa en uno de los
platillos de la balanza, podemos equi- bros, y de esta manera encontramos
librarla nuevamente, haciendo que que r - 3 es la solución, es decir, el
cambie la otra pesa en la misma can- valor de la incógnita. Para resolver
tidad. Este Íazonamiento nos indica la ecuación 3r - 12, dividimos am-
cómo resolver una ecuación: simple- bos miembros de la ecuación entre 3,
mente modifiquemos ambos miem- y obtenemos la solución: x : 4.
bros de Ia ecuación, en idéntica forma, ¿Puede usted'resolver la ecuación
sumando o restando, multiplicando o 3r - 4 8? Para obtener la solución,
dividiendo. Como 5 es lo mismo que
-
súmese 4 a cada miembro de la ecua-
3 + z,la ecuaciónx * 2:5 significa ción, y luego divídase cada miembro
x * 2 3 * 2. Si quitamos 2 unida- entre 3.
-
des a cada miembro de la ecuación, La palabra á,lgebra fue acuñada
quedarán equilibrados ambos miem- hace unos mil años. Procede del título
de un libro que trataba acerca de las
ecuaciones y que fue escrito por un
matemático árabe, Al-Khowariztni, y
al que llamó al-iabr u:'al-mukabalah.
Cuando el libro fue traducido aI latín,
el título se convirtió en Ladus alge-
brae almucgrabal,a.eque. Al ser tradu-
cido al inglés su nombre fue algiebar
and alrnachabel. Las tres denomina-
ciones se simplificaron y su nombre
actual es álgebra.

30. 1
La Navegación
Un navegante tiene dos problemas meridiano de Greenwich, en Ingla-
fundamentales que resolver: uno de terra. El almanaque le indica cómo es
ellos es saber en un momento deter- el cielo en Greenwich determinado
minado en qué parte de la Tierra se día del año, o a determinada hora de
encuentra. El otro consiste en calcular un día cualquiera. Mediante toda esta
qué curso debe seguir su embarca- información, ya puede el navegante
ción para ir de un lugar a otro. Los resolver sus problemas.
utensilios de que dispone para resol- Veamos cómo puede localizar su
ver estos problemas son: una bruiula, lnsición en la Tierra. La Tierra es una
un sextante, un reloi y un ahanaque. ede¡a que gira alrededor de su pro-
La bruiula Ie indiea hacia dó'nde pio eie. Este eie apunta casi directa-
queda el norte,_parp que pueda medir mente hacia la estrella polar. El dia-
correctamente las direcciones. Con su grrima del pie de la página muestra
sextante mide la altura del Sol, la de a varios observadores situados en di-
la Luna o la de úna estrella que esté ferentes puntos de la Tierra, mirando
por encima del horizonte. El reloi le haeia la estrella polar. El hombre si-
indicará la.hora, respecto de la del tuado en el eeuador ve la estrella polar
HACIA
directamente sobre el horizonte.
Para los demás, 6b estrella forma
un ángulo con el horizonte, mientras
t
,i:
:
l
I
i
'l
En el ecuador, un obseroádor oerá la estrella polar en el horizonte. Si aoanzo lwcin
el norte, oerá, que ln estrelln, polnr formn un ángulo_ con el horizonte. Al médir este
ángulo, podrá saber a qué disiancia se encuentro ilel ecuador
29

31. donde está situado un observatorio al
servicio de las embarcaciones. Su
reloi le indica la hora de ese sitio en
aquel momento. Su almanaque le
muestra cómo es alll el cielo.
La posición de las estrellas en el
firf"*pnto que tiene ante sl el nave-
g4nte, es diferente del que se con-
templa en Greenwich y parece eomo
si hubiera descrito determinado ángu-
lo. La 'magnítud dé este ángulo le
indica la distancia'a la que está del
sitio en que el meridiano de Green-
wich cfirza el paralelo por el que
mas at norte esté sihrado el hom-
bre, más grande será el ángulo. Por
lo tantq al medir este ángulo, el hom-
bre sabe qué tan al norte está Por
encima del ecuador. Si el ángulo es
de 30 grados, el navegante estará a
30 grados de latitud norte. Después,
tiene que averiguar exactamente en
qué punto del.paralelo está su barco.
-
Este paralelo es cruzado en algún
sitio por el meridiano de Greenwich,
navega. Esta información le permite
fiiar su posición. Luego, bastará que
el navegante estudie su carta rnaríti-
ma ( un mapa de los océarios con los
paralelos y los meridianos marcados
en él ) , y averiguará exactamente la
posición en que se encuentra.
Por medio de un relni y un abnanaque
ndutico, un obseroador que sabe a qué dis'
tancia se encuentra del ecuador, Wede
determfuwr su posición con referencia al
merüiano de Creenwich. Y con ell'o, cono-
cer el punto exacto de la superficie de ln
Tierra ilondp está,
30

32. I
El Número en el Espacio
F
Lo anterior es un eiemplo de un {
.a
Muchas ciudades están divididas l
en manzanas, por calles que están importante descubrimiento realizado l
t
dispuestas en una dirección y aveni- hace más de trescientos años por René
das que cÍúzan las calles en ángulos Descartes, un gran matemático fran-
rectos. Se puede localizar cualquier cés. Una ecuación con dos datos des-
esquina mencionando dos números: conocidos puede representarse por
el número de la calle, y el número medio de una línea (recta o curva),
de la avenida que la cruza. Así, si llamada grá,fica. También, toda línea
se desea encontrar a un amigo, Por puede describirse mediante una ecua-
eiemplo, en la ciudad de Puebla, bas- ción. La rama de las matemáticas que
tará decir: "Te encontraré cerca de se desarrolló a partir de este descubri-
la biblioteca en la avenida quinta y la
calle cuarenta y dos."
Podemos localizar cualquier asien-
to en un salón de clases, mencionando H LERA
dos números: el de la fila y el de la
hilera. En el grabado, las filas están
numeradas de izquierda a derecha y
las hileras de adelante hacia atrás. EI
maestro dice: ' "Alcen la mano los
alumnos cuyos números de fila y de HILERA
hilera sumen cinco." Los lugares de
los alumnos que levantaron la mano
están representados por las pareias
de números (4, 1), (3, 2 ), (2, 3) y
(L, 4), las que el primer número de
"o
cada pareia representa el número HILERA
de la fila. Si designamos con la le-
tra f el número de la fila y por h
el número del asiento, podemos des-
cribir estos lugares por medio de la
ecuación, f + h
que los alumnos que han levantado HITERA
la mano están colocados en.línea rec-
ta. La ecuación describe los lugares
que forman esta línea, la cual es una
representación de las pareias de nú-
meros descritos por la ecuación.
A¿,AA- FItA FILA
3I

33. X+Y=5
M '' x:t tt Y:4
M sr X:2
EN.
roN- Y
CES I
:3
EN-
ttr! v :2
M sr X:3 -2
EN-
-3
M sr x:¿l"r!-Y:1
f;#"
-4 -3 -2 -l
René Descartes descubrió que urua eatación con dos incógnitas podía ser
representada por medio de una gráfica, sobre ln cual cada.línea es utur ecuación
miento, se llama geometrta analítica. indicará si está a la derecha o a Ia
La relación entre una línea y la izquierda, o encima o debajo del eje.
ecuación que representa, se muestra A los números de la izquierda o de la
generalmente en esta forma: sobre derecha los llamsrrros r; a los supe-
una hoia de papel cuadriculado tra- riores o inferiores los llamamos y. Los
zamos dos líneas que se cruzan, una números fraccionarios representarán
vertical y otra horizontal, y las llama- puntos que se encuentran entre las
mos eies. A continuación, dividimos rayas de los cuadros.
.t cada eie en porciones iguales y los He aquí algunos ejemplos de ecua-
!
numeramos a partir de la intersección ciones cuyas gráficas son líneas cur-
vas: Ia grafica de x' * U'
.
llamada origen. A la derecha del ori-
t
gen anotamos números positivos, y t - 25 es
tn círculn. La gráfica de 4x2 + 9U' :
la izquierda, negativos. Arriba del 25 es una curva cerrada llamada elip-
origen, anotamos números positivos, se. La gráfica d" A
y debaio, negativos. En esta forma, - 4r - x:2 es una
paráboln, o sea una curva similar a
cada intersección estará descrita por la que describe una pelota cuando se
una pareia de números, la cual nos arroia hacia arriba y hacia adelante.
j
t
ri
32

34. -l
¿Cara o Cruz?
Calcular las probabilidades de que cara. Por lo tanto, las probabilidades
algo suceda es como adivinar el fu- de obtener cura son de t/2.
turo. Y esto se hace aplicando el Si arroiamos al aire dos monedas,
sentido común y la experiencia de hay tres resultados posibles: podemos
lo que ha ocurrido en el pasado. Para obtener dos caras, o dos cruces, o una
comprender cómo funciona este eálcu- cora o una cruz. ¿Cuál es la probabi-
lo, observemos un cÍrso muy sencillo lidad de obtener cada ut o de estos
y tratemos de decir lo que sucederá resultados? Por supuesto que no es
al arrojar al aire una moneda. La uno en tres. Si empleamos dos mone-
moneda tiene dos caras, llamad as cora das ( digamos un centavo y un dé-
y cruz; cada una de ellas puede apare- cimo), vemos que en realidad h"y
cer el mismo número de veces que la cuatro posibles resultados. Arroiando
otra. Bl sentido común y la experien- el centavo primero y el décimo des-
cia nos inücan eüe, en un gran pués, podremos obtener cara
- cara,
número de veces que se arroia al aire, o cruz crvz. La probabilidad de
Ias probabilidades son de que la mi- obtener dos cruces es de una a cuatro,
tad de las veces la moneda caiga de o sea %. La probabilidad de obtener
cora y Ia mitad de cruz. Dicho de otra dos caras es también de t/+.La posi-
m¿ulera, de eada dos 'tiros" uno será bilidad de que salga una cara y una
,lsslna
li
ii
t
or .$t*o -TrRos- r$rrrrs
I
+ *
w
M+r&
W
ü t
1,t ;,-.';,1,'' u',',
ENTRE ENTNE
44
irF

35. F
iIiiiiI i
* * ü * t
t
* *
=íG ü * ü * * * ü
=l+ * * ü I * * ü
3 ENTRE
8
crúz es de dos en cuatro tiros, o sea Sus descubrímientos se describen en
Yr. una formación triangular de números,
¿Cuáles son las probabilidades de que muestra claramente la posibilidad
quó caigan dos caras y ula cruz al de obtener cara o crriz o cualquier
arroiar al aire tres monedas? Para con- combinación de ellas, en determinado
testar esta pregunta, debemos obier- número de tiros.
var primero que hay tres maneras de Cada hilera del triángulo se obti'e-
obtener dos caras y una cwz. Pode- ne de la inmediata superior, de esta
mos obtener c¿rra - cara - crrrz, o manera: se escribe un I en eada ex-
cara - cÍuz - cafa, o cftJz -cara - ca' tremo, y debaio de cada par de núme-
ra. Comparemos este número con el ros contiguos, se escribe la suma de
número total de maneras en que ambos. La primera hilera representa
pueden caer las tres monedas. Este las probabilidades de que salga cara
número es ocho, ya que cada moneda o cruz al arrojar una moneda; la se-
puede caer de dos posibles formas, y gunda hilera, para dos monedas; la
2 X 2 X 2 8. Por lo tanto, las pro- tercera,para tres monedas, qtc.
-
babilidades de obtener dos carasl y, El primer número de una hilera re-
una cruz es 3/s. presenta la probabilidad de obtener
Hay una forma directa y sencilla todas c¿uas y una ettrz, y así en forma
para obtener las probabilidadés de sucesiva. Pa¡a ealcular las posibilida-
cualquier combinaeión especial. Es el des al arroiar cuatro monedas, emplee
triángul.o il^e Pascal. Pascal fue un la cuarta hilera. Para las.probabilida-
filósofo y matemático fra¡rces del siglo des de obtener dos caras y dos ótuees
xvrl que se interesó en un tiempo por con cuatro monedas, use el tercer
la ruleta y otros iuegos de azar. Este número de la hilera. Compare este nú-
interés lo conduio al descubrimiento mero con Ia suma de todos los núme-
de algunas reglas importantes aeer- ros de la hilera. La probabilidad de
ca de las probabilidades de obtener obtener dos caras y dos cruees es de 6
una cara u otra al arroiar una moneda. veces en 16, o sea s/a,
34

36. Si se arroia um rnonedn,la posibilidad ile que caiga de cara es
MONEDA 7 entre 2, ó sea L/2
Si s¿ tiran das monedns, ln posibilillnd. de obtener dos caros es
U
¡i
H
MONEDAS 7 entre 4; de conseguir utua cara y u¡w cruz, 2 entre 4, ó sea a/2;
2 de que salgan dos cntces, T entre 4
Si se arrbian tres monedns,Ins posibílid,ad,es son: tod.as de cara,
M.NEDAS 7 entre 8; dos caros A urw cntrz, 3 entre 8; 2 cruces y 7 cara,
3 3 entre 8; tod,as de ctttz, 7 entre 8
Sf s¿ tiran antro manedas, enfie 76 de que
M.NEDAS
todas salgan de caro o todns d,e cruz; 4 entre 76 de obtener
I
4 3 caras y u,rx, cruz; ó 3 cruces y 7 cara; 6 entre 76 de obtener 2
cotut y 2 cruces
En chrco tiros, Ias posiülidailes son: 7 entre 32 ¿le que todas
MoNEDAS
salgan aaro, o tod"as de cruz; 5 entre 32 para 4 caras y 1 cruz,
5 ó 4 c,ntces y 7 cara; 7O entre 32 pora 3 caras, 2 c:races ó 3 uu-
ces V 2 caras
En seis tiros, lns posibílilladcs son que tod.as saXgan caros o
MoNEDAS tú"os cn.raes, 7 entre 61; p.ra 5 caras y 7 c.ruz, o al contrarío,
6 75 ent¡e 64;3 cotos y 3 cnrces, 2O entre 64
jh

37. .
=€.=ffiq.- "ffi
=*ffi La Regla de Celculoo
@''M el Aparato que Multiplica
,tf
Cuando resolvemos un problema de de este número, en la regla inferior.
matemáticas, tratamos de hacerlo Si hacemos un pequeño cambio en
de la forma más breve y fácil que sea nuestras reglas, podemos convertirlas
oosible. La manera más sencilla de en un aparato que multiplica. Obte-
iesolverlo, no es hacerlo en su totali- nemos la clave de eómo eiecutar esto
dad, sino sirviéndonos de algún apa- gracias a lo que aprendimos en la
rato'mecánico. página f5.
Se puede construir una sencilla má- Una forma simplificada de escribir
quina sumadora, con dos reglas comu- 2 - 2 - 2. 2 es 2a.Como 2 . 2. 2. 2
16, 24 es otra forma de expresar 16.
-
nes y eorrientes. Se colocan una enci-
ma de la otra, borde con borde, y ya El 4, que nos indica cuántas veces
t+
I' está formada una máquina rudimenta- tenemos que multiplicar 2 por sí mis-
ria. Si queremos sumar 2y 3, hacemos mo, para obtener 16, se llama el loga-
I
coincidir el cero de la regla superior rümo de 16. En igual forma, 23 es otro
modo de expresar 8, y el logaritmo
I
eon el 2 de la regla inferior. Después,
loealizamos el 3 de la regla de arri- de ocho es, en este caso, 3. Para multi-
ba, y la respuesta aparecerá debaio plicar 16 por 8, multiplicamos 2a por
Iln ytar il"e reglas cornunes y conbntes se prede utíIizor pala &nnar núme*os
HAGA COINCIDIR TAS DOS RBGLA EN FORIIA TAL, QUE Et 2 DE
2 rA REGrA TNFERToR EsrÉ ExActAme¡ne orsfuo DEt cERo
DE TA REGLA SUPERIOR
+3 LUEGO, ABAJO DEt Nú'MERO
SUPERIOR, I.EA
3 DE tA REGTA
LA RESPUESTA DE tA SUMA
EN IA REGTA INFERIOR
5
.:Í'"7
36

38. !
Urw regln de cálcula sunu, logaritmos para efechnr operacianes de multiplicación
23. Lo anterior equivale a multiplicar bién suma¡los. Poi ejemplo, para res-
2 - 2 . 2 . zpor 2 " 2 . 2. Substituyendo tar 3 de 5, coloque el 3 de la regla
la palabra por, obtenemos 2 . 2 . 2 - superior coincidiendo con el 5 de la
2.2.2.2, y el resultado, expresado regla inferior. El cero de la regla supe-
en forma abreviada, es 27, ó sea 128, rior indicará, que la respuesta es 2.
y su logaritmo es 7. En forma similar, una regla de cálculo
Observemos que, al multiplicar 16 que multiplica números se puede usar
por I para obtener L28, sumamos en sentido inverso para efectuar Ia
los logaritmos 4 y 3, para obtener 7. operación de división.
Esta es nuestra clave. Sabemos ya que Las reglas de cálculo se emplean
d.os reglas pueden, sym?r.las distan- en muy diversos géneros de activida-
cias que se miden con ellaE. Por lo des: en ingenierla,.arquitectur4 im-
'tanto, haremos una regla especial en prenta,'' y, €n general, son indispensa-
la que Ia distancia de cáda número bles para toda persona que flbcesite
respecto del extremo de la regla frecuentemente hacer cálculos rapi-
sea igual aI logaritmo del número. dos. Hay muchos tipos de reglas áe
O sea" que la regla medirá logaritmos. cálculo. Además de la reglp recta que
Y sumar logarihos equivale a inulti- se describió a¡rteriormente, las hay de
plicar süs respectivos números. Una forma circular. Éstas constan de dos
regla. de este tipo recibe el nombre discos impresos, de tamaño disgnto,
de regln dp cóInin. que están moRtados sobre un eje
Dos reglas comunes y corrientes común que les permite girar libre
pueden restar números, así cumo tan- e independientemente.
"t,
37

39. las Ruedas Contadoras
Otro aparato simple que se utiliza el cero en su lugar y, almismo tiempo,
para contar es el oümetro, el cual hace que gire la rueda próxima un
se instala en un, automóvil para indi- espacio. El objeto de este movimiento
car cuántos kilómetros ha recorrido el es cambiar diez espacios de Ia pri-
vehíeulo. Consta de una serie de rue- mera rueda por un espacio de la
das colocadas una iunto a otra. Llevan segunda. A su vez, la segunda rueda,
números impresos del I al I en el deryués _ de completar una vuelta,
i
I
canto de eada rueda. Uno de estos cambia üelz espacios por un espadio
números, €D cada rueda, asoma por de la tercera rueda. AJí, mientr¿s la
I
una abertura en el velocímetro del primera rueda registra décimos de
auto. La rueda de la derecha regis- kilómetro, Ia segunda rueda cuen-
tra décimos de kilómetro. Cuando el ta hlómetros, la tercera marca dece-
vehículo ha reeorrido la décima parte nas de kilómetros, Ia euarta indica
de un kilómetro, la rueda gira lo sufi- centenas de kilómetros, y así sucesiva-
ciente para hacer que aparezea el mente. La mayoría de las máquinas
siguiente número en la ventanilla ealculadoras dó oficina funcionin de
del odómetro. Después de nueve dé- manera semeiante a los odómetros.
l cimos de kilómetro, el nhmero I Son simples máquinas de contar, que
ap¿uece en la ventanilla. Al pasar el suman números como las personas su-
siguiente décimo, la rueda coloca man cnn los dedos. Cuentan el primer
Los antornóoiles tienen un frequeño aproto contado¡ en el tablero, llamado oümetro,
el cual mide la distancia qie el oehícttlan reco¡te y la expreso por medio de númeroi
situados en dkcos giratorios
I Kri tO Ktr
...'.
PUNTO
DE PARTIDA
ESTA DISTANCIA NO ESTA A ESCALA

40. Las calculadoras el.ectrónicas funcionan sumando dos cifras iuntas a gran oelocid,ad.
Enoí,an y cortan impulsos de corriente eléct¡ica a urw serie de óircuitos, formando nú-
tneros de oarias cifras en grupos de dos
número, y luego, empiezan en donde grupos de dos. Aunque esto parece
el primer número se quedó. Multipli- una forma muy lenta de contar, las
can sumando el mismo número varias computadoras funcionan a alta veloci-
veces. Para multiplicar 4 por 5, por dad, porque la corriente eléctrica viaia
eiemplo, una calculadora suma 5 + casi tan rápidamente como la luz.
5+5+5 Las computadoras que forman nú-
Las máquinas computadoras fun- meros de varias cifras en grupos de
cionan electrónicamente; son las más dos, escriben los números en una
rápidas. Tambiéh son máquinas que fotma especial. Para nosotros, los nú-
cuentan, sólo gu€, en vez de tener meros del 1 al 10 significan un grupo j,,
series de ruedas giratorias, están pro- de diez, y para la computadora, el
vistas de series de circuitos electróni- dígito I del número 10 expresa un 4i
cos. Llevan la cuenta interrunnpiendo grupo de dos. En su sistema de escri- i,l
y estableeiendo la corriente eléctrica tura, conocida como rutmeroción bi-
dentro de los circuitos. Así como naria, el 10 significa dos; el 11 se
en el odómetro una rueda pasa la escribe tres, y el 100 atatro.
cuenta a Ia siguiente, haciéndola girar, El odómetro, la calculadora y la
en las computadoras un circuito pasa computadora electrónica reciben el
la corriente a otro circuito contiguo, nombre de m.óqulnns dl,gttalns, porque
mediante impulsos de electricidad. eiecutan todos sus cálculos con los
Cada ruedá del odómetro tien e diez niimeros dígitos. Existe otto tipo de
divisiones; por tanto, este aparato aparato que míde, en vez de contar.
forma números de varias cifras en Este aparato transforma primero los
grupos de diez. Cada circuito en una números en medidas, como la longi-
computadora electrónica sólo tiene tud, el ángulo y las unidades de la
dos posicidnes, por lo que los números corriente eléctrica. La regla de cálculo
que forma'son de varias cifras, en es un ejemplo de este tipo de aparato.
39

41. q#
"& #
**-$ry6"-"+
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ffiffi
%ss$scd
ffi Las Matemáticas yla IVIúsica
Una nota musical es producida por comprénder cómo Se relacionan en-
una vibración. Por ejemplo, si se es- tre sí las notas de una escala, haga-
tira una cuerda y se pone tensa y mos una epcala musical.
después se puntea, vibrará y produ- La nota, más importante de una
cirá un sonido. Cómo suene la cuerda, escala es aquella en que la canción
dependerá del número de vibraciones termina. Se llama tónica. Escoiamos
que ésta produzca. El número de vi- como tónica Ia nota que se produce
braciones por segundo se llama al vibrar una cuerda 256 veces por
frecuencia de la nota. Cuando una segundo. A esta nota Ia llamam os do.
canción u obra musical se escribe, Si cortamos la cuerda a Ia mitad,
generalmente está compuesta de una vibrará dos veces más aprisa. La nota
familia de notas llamada escaln. para que producirá esta cuerda más cor-
La nota que produce una cuerda de oiolín depende del ntimero de oeces que ésta oibre
CONTRABAJO
vlotoNcEto
vrorí¡l
f
#
F
40
t

42. ta también se llama do. Su frecuencia
Do Re Mi Fa Sol La Si Do
es de 512 vibraciones por segundo. La
frecuencia de 256 es el doble de 128,
el que a su vez es el doble de 64, etc.
Damos el mismo nombre a estas
notas, porque pensafnos en ellas como
una inismá nota, pero tocadas a dife-
^
rentés "riiveles".-
Hagamos vibrar ahora una cuerda
cuya longitud sea de las dos terceras
partes de la cuerda original. La nota
que se produce es la paribnte más
cercana de la tónica. A esta nota la
llamamo's dominante. Su frecuencia
es 8/z veees mayor que la frecuencia de
la tónica. Una escala es unn farnilin
de notas en la que cada nota es ln
¿lunfuwnte dp otra nota en eI Wpo
de notas. Para encontrar la domi-
nante de cualquier nota de la eseala,
multiplicamos su frecuencia por 3/2, ó
por I/2.
Al multiplicar una y otra vez por
3/z obtenemos una serie de notas, cafla
una de las cuales es la dominante de
Ia que le precede.'Estas notas se lla-
man sol,'re, ln mi y si. Al dividír 256
Podemos producir el mismo tono a üferen-
entre 3/2, obtenemos L7L,la frecuencia tes "nioelef', acortando por la mitad o
de la nota fa, de la cual do es la do- d,upkcando ln langitud de la cuerda de los
minante. Estas notas forman la escala instrumentos
de do. ,- .
Empezamos con la nota dg;cuya que dividimos las frecuencias entre
frecuencia es 256. Bl do Sigulente dos, repetidamente, hasta que la fre-
tiene, a su vez, una frecuencia de 512. cuencia quede entre 256 y 5I2. La
Podemos obtener todos los tonos de frecuencia de fa es demasiado baia,
la escala que se encuentran entre así que habrá que duplicarla. Ahora,
estos dos límites, porquo.'cuando la arregladas las notas en orden de fre-
frecuencia de una nota es demasiado cuencia, formamos una "escalera" de
alt4 podemos dividirla a Ia mitad, y notas llamada escaln de do mayor, y
obtener otra nota igual, pero de fre- cuyo orden es: Do Qrc), re (288),
cuencia menor. La frecuencia de sol ni (3%*), fa (A4, sol (3S4), In
ho es demasiado alta, así que la man- (432),.sí (486) y'do (512). Este es
tenemos. Todas las demrás notas, el or.den de Ias teclas blancas de un
excepto fa, son demasiado altas, así piano.
4t

43. Las Ulatemáticas y el Arte
Pintura egípcia antigua trazn-
d.a, sin aplicar la perspec'tioo
Comparemos las dos ilustraciones relieve. También podemos apreciar
de esta págna. La de la parte supe- que algunos son más altos que otros,
rior es una antigrra pintura egipcia. y que algunos p¿uecen más leianos.
Las figuras que allí aparecen se ven Además, se observa que hay un gran
planas. Es difícil decir qué partes de patio que se extiende, aleiándose del
la pintura están más cerca o más leios observador. El espacio en el cuadro
del observador. El grabado de la parte de Chirico es mucho más real que en
inferior es una pintura de Chirieo, un la pintura egipcia, porque el pintor
artista italiano. Los edificios üenen italiano empleó las matemáticas al
Adquirida por donación de la señorita Litlie P. Büss,
Colección del Museo de A¡te Moderno, Nueva York
En esta obra "Delicias del Poeta.",
d"e Chirico empleó ln perspectioa
para lograr el efecto de profundi-
fud V la distancia

44. h"9:I el bosquejo de su obra en tela. cómo aplicó dos 'de las reglas de
la
Alberto Durero- el gran artista ale- p-"rrp".iiu"r más le¡o?-esté oo
Táo, expresó: "La. giometría es e.l gl¡"io, más pequero ap¿¡ecerá. Las
"rrtr"
cimiento adecuado de pintura." Hnlas paral"i"s' q"" r" pierden en
F
un cuadro parezca la dist"ir"i*,
}" eI pintor
real, ^11:1^9"" que pensar en su parece como";;"
hs vías de un tren,
si Ilegaran a un p""to.
tela como si fiene
'"a ventan4 a H"y ,^,;il pientes que unen las
fuese
-
través de la cuSl mira lo que está más matemáticas . el artt. HL-
allá de ella. Razona de'este "Jn
-oa"t **o las fracciones de Fibonaeci "qoí
"cada plnto_ de la escena envra un (n4ga"-- rzi
,rr""" d" p,rérrt", No
rayo de luz hlcia la person_a que la üdo"s tár rátaog"rár
está mirando. Estos tayos de luz-p_asan a Ia vista. Hay
r"ti"st"á"¡b,
por la ventana que está entre él o¡o placenter"r, {órmas d;üiilg"I",
las cuales Ia razón
y Ia escena. El sitio donde el rayo de t anchura "í f" f""jiñi"r;tb" de
r el
luz cÍuza la ventana, es el i,rg"t l¿ -, ilo aoríao.L"r-irüio-
"o*¡r"
en el que el punto df d.g{: pto"á" nes de Fibonacci ,"
a esta
apaxeeer á, en el cuadro." El c-oniunto razón. Entre ;á" "pro*iman .rr"
glande ,""
de ray9,s Que van de la d fracción en la serie, ;;;;állr¿*i
¡¡¡Eu r'¿
"sc"á"
ojo se-ilry" progección. La imagen ma a la media d;;;d;.-E-E
formada donde Ia ventana cruza" Ia Las mat"-ati"", han sido de gran
proyección se llama sección.Imaginar utilidad al ,tte-nrádñi;-il
cómo se verá el *;rñ*-
un-plobIema tiva. y er arte ha pagado su deuda,
-corte, T
de perspe_cthsa. Las reglas_dé Ia pers- porque
pect_iva_ fueron establecidas coo la ^conáu¡o "l est,ráiá de Ia perspectiva
ayuda de la-geometría. 'de desar;il d" ;;;t;;""
al
rama las _"t"_¿n""i-U"*"a"
En el cuadro de chirico 4preciamos geometría pnogiJruo.
:
Las líneas naral¿las dan ta impresión d,e que se ooncentran
del en un punto al aleiarse
obsercádor
HORIZONTE
**.*¡ ¡1,1;;liii#"Ñi+!'i:*'N
;:::' :::**-* - *:,"¡' $$
1;¡11
"-..-
---."::.¡ssJ;:-'^
s
RAYOS DE PROYECCIÓN
PTANO DEL GRABADO
43

45. -
^,&
YÜ
LV HNúmeroenlosNaiPes
!trY
Hay muchos trucos de n-aiPes que tres montones, mientras da usted la
," pold"n efectuar aplicando.las ma- Ápdda. Quien separe las cartas debe-
i"ni¿ti""t. El que a continuación pre- rf seguir estas instrucciones:
--
Q"E ponga la- Primera
carta con la
sentamos es sencillo, aunque parece
muy misterioso. figüa hacia arriba y empiece a contar
"p"ttit det número de esa carta'
Útilice una baraia de 62 cart*s Y " que el as vale uno, el
U"t¿i"itt perfectamente' Pida a algu- ;¡""k"' once, lá reina doce Y el reY
"¿iirti¿"dole
na persona que sePare la baraia en
r3
r2
il
I
44

46. -__- l
l
SU'IAE ET VATOR DE
32
ESTAS DOS CARTAS
J+8:11
AGREGUE IO
aa . rrr Ftr
J 21
Y REstE Et REsurTADo l
oel'núrrteno DE NAtpEs
QUE SOBRARON,
-
11
I I
o sEA Er vAroR
DEI "JACK-
Hay, rnuólws *ryú9{ con twipes que se pucdcn lucer maten&iumetc. En ln otn
se describe los *i*lu-, ¡eínas y reybs oatei 7r, rz y ls, ,"tp""th;;;;;, gü;;ñ
trece. Qo" cuente más cartas sobre Ia voltee la crarta de encima de dos de
primera hasta que llegue a trece. Si Ios tres montones. Entonces, dfuá
la primera carta es seis, por eiemplo, usted, sin verla, cr¡áI es la carta que
conta¡á: siete, ocho, nueve, diez, on- está encima del otro montón.
_ce,-
doce y treee. Al llegar a trece, Para 'adivinar" Ia carta, se hacen
habrá puesto siete cartas áncima de la los siguientes cálculos: se suman los
primera. Si la primera carta es un rey, valores de las cartas que se han vuelto
t
el cual tiene el valor de trece, ya no y se añade diez al resultado; luegq se
pondrá más cartas encima. Oue vuelva resta el número de cartas qoe sóbra-
t
el montón con las figuras hicia abaio ron. Por eiemplo, si las cartas que se
I
y eppiece un nuevo montón, contan- voltearon fuesen un 3 y un 8, y LI nú-
do hasta trece. Qo" repita el procedi- mero de las cartas que sobraron fuese
miento hasta que haya tres rnontones 32, se suman 3 + I + f0 :21, Lue-
sobre Ia mesa, con las figuras hacia go, se resta 21 de 32 y se obüene ll.
ab1io. _Pida las cartas quelobraron y Esta es la respuesta- Así se 'adivind'
cuéntelas. Procure no olvidar este que la carta que está encima del ter-
número. Pida a otra persona que oer montón es un 'iacK.
Lá
IJ
¡