filtros digitales con matlab

1. Índice
1. Introducción...........................................................................................................................1
1.1. Filtro analógico......................................................................................................1
1.2. Filtro digital..........................................................................................................2
1.3. Ventajas del filtro digital........................................................................................3
2. Funcionamiento de los filtros digitales..................................................................................4
2.1. Orden de un filtro digital......................................................................................5
2.2. Ejemplos de filtros digitales..................................................................................5
2.2.1. Filtro de ganancia unidad................................................................................5
2.2.2. Filtro de ganancia simple.................................................................................6
2.2.3. Filtro de retardo puro......................................................................................6
2.2.4. Filtro de diferencia de dos términos................................................................6
2.2.5. Filtro de media de dos términos......................................................................7
2.2.6. Filtro de media de tres términos......................................................................7
2.2.7. Filtro de la diferencia central...........................................................................8
3. Parámetros de un filtro digital..............................................................................................8
3.1. Dominio del tiempo................................................................................................8
3.2. Dominio de la frecuencia....................................................................................10
4. Clasificación de los filtros....................................................................................................12
4.1. Moving Average (media móvil)............................................................................12
4.2. Windowed Sinc.....................................................................................................13
4.3. Personalizados.....................................................................................................15
4.4. Chebyshev.............................................................................................................15
4.5. Filtro no-recursivo...............................................................................................17
4.6. Filtro recursivo...................................................................................................17
4.6.1. Orden de un filtro recursivo...........................................................................18
4.6.2. Ejemplo de un filtro recursivo.......................................................................19
4.7. ¿Filtros IIR o FIR?.............................................................................................20
i

3. 1. Intr oducción.
Se le llama filtrado al proceso mediante el cual se modifica una señal determinada
de tal manera que las amplitudes relativas de las componentes en frecuencia cambian o
incluso son eliminadas. Dicho de otra manera: un filtro es un dispositivo que impide o
permite el paso de una cierta gama de frecuencias, donde permitir o impedir esta
relacionado con un nivel de atenuación o ganancia. También sirven para restaurar una
señal, cuando haya una señal que haya sido deformada de alguna forma. La separación
de señales es necesaria cuando una señal ha sido contaminada con interferencias, ruidos
u otras señales.
Un ejemplo de separación de señales puede ser un mecanismo que permita la
medición de la actividad del corazón de un bebe (EKG) mientras se encuentra en el feto.
La señal se verá afectada por la respiración y la actividad del corazón de la madre. Un
filtro se utilizaría para separar estas señales y que puedan analizarse separadamente.
Un ejemplo de restauración de señal, una grabación de audio realizado en un equipo
de mala calidad deberá ser filtrada para conseguir una mayor calidad de sonido que el
grabado. Otro ejemplo puede ser una imagen borrosa adquirida por un mal uso de los
objetivos, o una mala camara.
Los filtros son sumamente importantes en sistemas de comunicaciones al igual que
en control o telemetría entre algunas aplicaciones. Estos filtros pueden realizarse de
manera analógica o digital en configuraciones distintas tales que rechacen bandas de
bajas frecuencias, altas frecuencias, frecuencias intermedias o alguna combinación de
las anteriores. El siguiente dibujo nos muestra la idea básica de los filtros:
Señal Pura Señal
(sin filtrar) FILTRO Filtrada
Ilustración 0. Funcionamiento externo básico de un filtro.
Actualmente hay dos tipos de filtros, analógico y digital. Ambos son muy distintos
en su construcción y en la forma en que tratan la señal.
Los filtros digitales son una importante parte de un DSP. De hecho, su gran
versatilidad es una de las razones claves por lo que los DSPs son tan populares.
Todos los problemas pueden ser tratados por un filtro tanto digital como analógico.
¿Por cuál decantarse? Los filtros analógicos son más baratos, rápidos y tienen un gran
rango dinámico tanto en amplitud como en frecuencia. En cambio, los filtros digitales
son enormemente superiores en el nivel de cumplimiento que los analógicos.
1.1.Filtro analógico.
Un filtro analógico se utiliza circuitos electrónicos que hacen uso de
resistencias, condensadores y amplificadores para producir el efecto requerido
en el filtrado. Como circuitos de filtrado son comúnmente utilizados en
aplicaciones de reducción de ruido, tratado de la señal de video, ecualizadores
gráficos en los sistemas Hi-Fi, y en otras áreas.
1

4. Existen una técnicas estándar bien establecidas para el diseño de un circuito
de filtrado analógico.
En todas las etapas, la señal que se filtra es un voltaje eléctrico o corriente
como puede ser la analógica directa de una cantidad física (un sonido, una señal
de video) compleja.
1.2. Filtro digital.
El filtro digital es un sistema de tiempo discreto que puede realizar
funciones de filtrado de señales. Aprovecha los avances de la tecnología digital
para emular sistemas análogos. Debe cumplir los requisitos necesarios para
procesar las señales analógicas (Teorema del muestreo).
Un filtro digital requiere un procesador digital para realizar cálculos
numéricos en los valores muestreados de la señal. El procesador puede ser un
ordenador corriente, como un PC, o un chip DSP (Digital Signal Processor)
especializado.
La parte analógica de la señal debe ser previamente muestreada y
digitalizada por un convertidor AD (analógico-digital). Los números binarios
resultantes de la conversión anterior, que representan valores sucesivos
muestreados de la señal de entrada, son transferidos al procesador, que realiza
unos cálculos numéricos sobre ellos. Estos cálculos suelen ser multiplicaciones
de los valores de entrada por unas constantes y suma de las anteriores
multiplicaciones. Si es necesario, los resultados de los cálculos, que representan
los valores de una señal filtrada, son sacados a través de un convertidos DA
(digital-analógico) para convertir la señal a su forma analógica.
El siguiente dibujo nos muestra la configuración básica de un filtrado
digital:
x(t ) xk yk y (t )
H (e ) jw G ( jΩ )
T
Muestreador Filtro digital Dispositivo
de reconstrucción
Señal Señal
analógica muestreada Señal
Señal filtrada
sin filtrar digitalmente analógica
digitalmente
filtrada
Ilustración 2. Funcionamiento interno básico de un filtro.
2

5. Que con más detalle queda de las siguiente forma:
Filtro digital
Dispositivo de
Muestreador Reconstrucción
x(t ) xk yk y (t )
S/H A/D DSP
D/A
LPF
Reloj T
Ilustración 3. Funcionamiento interno de un filtro.
1.3.Ventajas del filtro digital.
1. Un filtro digital es programable, su función está determinado por un
programa almacenado en el procesador. Esto significa que el efecto del
filtro puede ser cambiado fácilmente sin modificar su circuitería (hardware).
Un filtro analógico solo puede cambiar rediseñando el circuito de filtrado.
2. Los filtros digitales son fácilmente diseñados, testados e implementados en
un ordenador convencional o en una estación de trabajo (workstation).
3. Las características de los circuitos de filtrado analógico (particularmente
aquellos que contengan componentes activos) son susceptibles a las
variaciones de velocidad y de temperatura. En cambio, los filtros digitales
no sufren este problema, y son extremadamente estables con respecto al
tiempo y la temperatura.
4. A parte de sus correspondientes partes analógicas, los filtros digitales solo
pueden tratar señales de baja frecuencia con gran exactitud. A medida que
la velocidad de la tecnología DSP aumente, los filtros digitales podrán
empezar a poderse aplicar en señales de alta frecuencia en el dominio de
las frecuencias de radio, el cual fue un campo exclusivo reservado a la
tecnología analógica.
5. Los filtros digitales son mucho más versátiles en su capacidad de procesar
señales de diferentes formas. Esto significa que algunos filtros digitales
tienen la capacidad de adaptarse a los cambios en las características de la
señal.
3

6. 6. Los procesadores DSPs más rápidos pueden tratar combinaciones complejas
de filtros en paralelo o en cascada, haciendo que los requerimientos de
hardware sean relativamente simples y compactas en comparación con la
circuitería analógica.
7. Alta inmunidad al ruido.
8. Alta precisión (limitada por los errores de redondeo en la aritmética
empleada).
9. Muy bajo coste (y bajando).
2. Funcionamient o de los filtr os digitales.
En esta sección se desarrollará la teoría básica del funcionamiento de los filtros
digitales. Esto es esencial para comprender porque son diseñados y utilizados los filtros
digitales.
Suponemos una señal pura que va a ser filtrada digitalmente tiene la forma de onda
descrita por la función:
V = x (t )
donde la t es el tiempo.
Esta señal se muestrea en unos intervalos de tiempo h (intervalo de muestreo). El
valor muestreado en el tiempo t = ih es
xi = x (ih )
De este modo los valores digitales transferidos del convertidos analógico-digital
pueden ser representados por
x0 , x1 , x2 , x3 ,....
que corresponden a los valores de una señal ondulada en
t = 0, h,2h,3h,...
en la que t = 0 es el instante en el que comienza el muestreo.
En el instante t = nh (donde n es un entero positivo), los valores disponibles en el
procesador, almacenados en memoria, son
x0 , x1 , x2 , x3 ,..., xn
4

7. Nota: los valores muestreados xn +1 , xn +2 , etc no están disponibles, pues aun no se
han generado.
La señal de salida del procesador al convertidor digital-analógico consiste en una
secuencia de valores
y 0 , y 1 , y 2 , y3 ,...., y n
En general, el valor de y n es calculado con los valores x0 , x1 , x2 , x3 ,..., xn . La forma
en que las y’s son calculadas desde las x’s determina la acción del filtro digital.
2.1. Orden de un filtro digital.
El orden de un filtro digital es el numero de las entradas anteriores
(almacenadas en la memoria del procesador) utilizadas para calcular la salida de
la señal actual.
Orden cero: y n = a0 xn
Primer orden: y n = a0 xn + a1 xn −1
Segundo orden: y n = a0 xn + a1 xn −1 + a 2 xn −2
2.2. Ejemplos de filtros digitales.
A continuación se van a exponer las características esenciales de los filtros
digitales.
2.2.1.Filtro de ganancia unidad.
y n = xn
Cada valor de salida y n es la misma que el correspondiente valor de
entrada xn :
y 0 = x0
y1 = x1
y 2 = x2
... etc.
Este es un caso trivial en el que el filtro no ejerce ningún cambio en la
señal.
El orden de este filtro es cero, pues todas las salidas dependen de su
entrada actual y no de ninguna entrada anterior.
5

8. 2.2.2.Filtro de ganancia simple.
y n = Kxn
donde la K es una constante.
Este filtro aplica un factor de ganancia K a cada valor de entrada.
Valor de K Efecto del filtro
K >1 Amplificar la señal
0 > K >1 Atenuar la señal
K <0 Invertir la señal
En el filtro anterior se puede observar el caso especial cuando K = 1 .
Este filtro es de orden cero, como se puede observar, cada salida
depende de la entrada actual y no de una anterior.
2.2.3. Filtro de retardo puro.
y n = xn −1
El valor de salida en el instante de tiempo t = nh es simplemente el
valor de entrada en el instante de tiempo t = ( n − 1)h .
y 0 = x−1
y1 = x0
y 2 = x1
y 3 = x2
... etc.
Nota: El muestreo se asume comienza en t = 0 , y el valor de entrada x −1
en el instante t = −h es indefinido. Por lo que es normal tomar este valor
como un cero (y cualquier otro valor de x anterior a t = 0 ).
2.2.4.Filtro de diferencia de dos términos.
y n = xn − xn −1
6

9. El valor de salida en el instante de tiempo t = nh es igual a la diferencia
entre el valor actual de entrada xn y la anterior entrada xn −1 .
y 0 = x0 − x −1
y1 = x1 − x0
y 2 = x2 − x1
y 3 = x3 − x 2
... etc.
La salida es la diferencia del valor de muestreo actual y del valor del
muestreo del intervalo h anterior. El efecto de este filtro es similar al de un
circuito diferenciados analógico.
Este filtro es de primer orden, pues la salida actual depende de una
anterior.
2.2.5.Filtro de media de dos términos.
xn + xn −1
yn=
2
La salida es la media de la entrada actual y la anterior.
x0 + x −1
y 0=
2
x + x0
y 1= 1
2
x + x1
y 2= 2
2
x + x2
y 3= 3
2
...etc.
Este filtro es un sencillo ejemplo de un filtro pasa-bajo, pues tiende a
suavizar el efecto de las variaciones de alta frecuencia (como puedan ser los
ruidos) de una señal.
Este filtro es de primer orden, que al igual que el filtro anterior sólo
depende de un valor anterior.
2.2.6.Filtro de media de tres términos.
xn + xn −1 + xn −2
yn=
3
7

10. Este filtro es bastante parecido que el anterior, salvo que éste realiza la
media con dos valores de entrada anteriores.
x0 + x−1 + x −2
y 0=
3
x1 + x0 + x −1
y 1=
3
x2 + x1 + x0
y 2=
3
x3 + x2 + x1
y 3=
3
...etc.
Como sucedía anteriormente, los valores de entrada x −1 y x −2 .
Este filtro es de segundo orden, pues depende de dos entradas anteriores,
y como la más vieja es dos veces anterior, entonces es de segundo grado.
2.2.7.Filtro de la diferencia central.
x n + xn − 2
yn=
2
El efecto de este filtro es similar al filtro de diferencia de dos términos.
La señal de salida es igual a la mitad de la diferencia de la señal de entrada
actual sobre el anterior de dos muestras de intervalo:
x0 + x − 2
y 0=
2
x + x −1
y1= 1
2
x + x0
y 2= 2
2
x +x
y 3= 3 1
2
...etc.
Este filtro también es de segundo orden, pues en el cálculo de salida
interviene la entrada de dos intervalos anteriores.
3. Parámetr os de un filtr o digital
3.1.Dominio del tiempo.
Recordando que las respuestas de step, impulso y frecuencia, contienen
información idéntica, pero en diferentes formatos. La respuesta de paso es útil en
los análisis en el dominio del tiempo pues coincide con la forma humana de
observar la información proporcionada por una señal. Por ejemplo, suponer que
8

11. tenemos una señal de la que desconocemos su procedencia y tenemos que
analizarla. Lo primero que hacemos es dividir la señal en distintas regiones de
características parecidas. Algunas de las regiones pueden ser uniformes, otros
pueden tener picos de amplitud o pueden ser zonas de ruido. Esta segmentación
cumple con la identificación de puntos en regiones separadas. En este punto es
en el que la función de sep entra en juego. La función de sep es la forma más
pura de representación de una división entre dos regiones distintas. Puede
enfatizar el comienzo o el fin de un evento. También nos informa de que en la
parte izquierda hay algo diferente de la parte de la derecha. Esta es la forma en
la que el pensamiento humano observa la información del dominio del tiempo:
un grupo de funciones de steps dividiendo la información en regiones de
características similares. La respuesta de step es importante en la medida en la
que describe como las líneas divisorias están siendo modificadas por el filtro.
Los parámetros de la respuesta de step son importantes en el diseño de un
filtro que se observa en la siguiente figura. Para distinguir los eventos en una
señal, la duración del paso de respuesta debe ser menor que el espacio de los
eventos. Esto quiere decir que la respuesta de step debe ser lo más rápido
posible. Esto se observa en los apartados a) y b). La forma más común de
especificar el risetime es limitar el número de muestras entre el 10 % y el 90 %
de niveles de amplitud1.
1
¿Porqué el no es posible un rápido risetime siempre? Hay muchas razones para ello como pueden ser
una reducción de ruido, limitaciones inherentes a la adquisición de datos del sistema, evitar el aliasing,
etc.
9

12. MAL BIEN
a. Respuesta de step lento. b. Respuesta de step rápida.
c. Overshoot. d. Sin Overshoot.
e. Fase no lineal. f. Fase lineal.
Ilustración 4. Funcionamiento correcto en el tratamiento de la señal.
3.2. Dominio de la frecuencia.
A continuación se observa las cuatro respuestas básicas de frecuencia. El
objetivo de estos filtros es la de permitir que algunas señales pasen inalterables,
mientras se realiza un bloqueo a
las otras frecuencias. En la
banda de paso se refiere las
Amplitud
frecuencias de paso, mientras que
en la banda de interrupción se
sitúan aquellas frecuencias que Banda de Banda de
Paso Transición
no pasan. La banda de
transición se encuentra entre
ambos. Un apagado rápido
indica que la banda de transición Banda de
es muy estrecha. La división Interrupción
entre la banda de paso y la banda
de transición es llamada como la Frecuencia
Ilustración 5. Definición de las bandas de frecuencia.
10

13. frecuencia de corte. En el diseño de un filtro analógico, la frecuencia de corte
se encuentra habitualmente donde se la amplitud se reduce a 0’707. En los filtros
digitales se encuentra menos estandarizado, y es común encontrarse con el 99 %,
90 %, 70’7 % y 50 % de los niveles de amplitud definidos para la frecuencia de
corte. inherente
Amplitud
Amplitud
Pasa-bajo Pasa-banda
Frecuencia
Frecuencia
Amplitud
Pasa-alto Amplitud
Quita-banda
Frecuencia Frecuencia
Dominio de Tiempo Dominio de Frecuencia
Ilustración 6. Tipos de filtros en el dominio de la frecuencia.
a. Filtro original del núcleo. b. Respuesta de frecuencia original.
Amplitud
Amplitud
Número de muestra Frecuencia
c. Filtro del núcleo con inversión espectral. d. Respuesta de frecuencia invertida.
Amplitud
Amplitud
Intercambio
alto-por-bajo
Número de muestra Frecuencia
Ilustración 7. Diferencias entre los dominios del tiempo y de la frecuencia.
11

14. 4. Clasificación de los filtr os.
En la siguiente tabla se resume como los filtros digitales son clasificados por su uso
y por su implementación. El uso de un filtro digital puede estar en tres categorías:
dominio del tiempo, dominio de la frecuencia y personalizados. Como han sido
describidos anteriormente los filtros de dominio del tiempo son utilizados cuando la
información está codificada en la forma de onda de la señal. El filtrado del dominio del
tiempo es usado en acciones tales como: suavizado, supresión DC, formado de
ondulación, etc. Mientras que los filtros de dominio de la frecuencia son usados cuando
la información se encuentra en la amplitud, la frecuencia y la fase de la componente
sinuidal. El objetivo de este filtro es la de separar una banda de frecuencias de otra. Los
filtros personalizados son usados cuando se requiere una acción especial al filtro, son
más elaborados que las cuatro respuestas básicas de (pasa-alto, pasa-bajo, pasa-banda y
quita-banda).
Filtro implementado por:
Filtro usado para:
Convolution Recursión
Finite Impulse Reponse (FIR) Infinite Impulse Reponse (IIR)
Dominio del tiempo Moving Average2 Polo simple
(suavizado, supresión DC)
Dominio de la frecuencia Windowed-Sinc Chebishev
(separación de frecuencias)
Personalizado FIR personalizado Diseño iterativo
(Deconvolution)
4.1.Moving Average (media móvil).
El filtro moving average es el filtro más común en los DSP, en la mayoría de
las veces se debe a ser el filtro digital más fácil de entender y usar. A pesar de su
simplicidad, el filtro de la media móvil es óptimo para una tarea común como
puede ser la reducción de un ruido fortuito mientras retiene una respuesta de
paso muy bien definida.. Esto hace que este filtro predomine en el campo de las
señales codificadas en el dominio del tiempo, con la posibilidad de separar una
banda de frecuencias de otra. Relacionado con el este tipo de filtro se puede
encontrar la media móvil Gaussiana, de Blackman y de múltiple-paso. Estos
confieren una mejor ejecución en el dominio de la frecuencia, con un mayor
gasto del tiempo de CPU.
Como su propio nombre indica, el filtro de la media móvil opera mediante el
promedio de un número de puntos de la señal de entrada para producir cada
punto de la señal de salida. En una formula matemática queda como:
M −1
1
y[ i ] = ∑ x[ i + j ]
M j =0
Donde se encuentra la señal de entrada, la señal de salida y M que es el
número de puntos en la media. Por ejemplo en un filtro de media móvil 5, el
punto 80 en la señal de salida viene dado por:
2
Promedio variable, media móvil: promedio calculado nuevamente después de cada cambio numérico;
método para estimar el valor de las existencias.
12

15. x[ 80] + x[81] + x[ 82] + x[83] + x[84]
y[ 80] =
5
Como alternativa, el grupo de puntos de la señal de entrada pueden ser
escogidos simétricamente alrededor del punto de salida:
x[ 78] + x[ 79] + x[ 80] + x[81] + x[ 82]
y[ 80] =
5
Esto corresponde a realizar un cambio en el sumatorio de la ecuación
principal de: j = 0 a M − 1 a: j = − ( M − 1) 2 a j = ( M − 1) 2 . Por ejemplo en
un filtro de media móvil 11, el indice j, puede funcionar desde 0 hasta 11 (media
por un lado) o de –5 a 5
(media simétrica). La
media simétrica requiere
que la M sea impar. La
programación es mucho
más fácil con los puntos
de un lado; sin embargo,
esto produce un ligero
desplazamiento lateral
entre las señales de
entrada y de salida.
Un filtro de media
móvil es proporciona una
mala señal de salida en el Ilustración 9. Diferencias en la señal de salida según la M.
estudio en el dominio de
las frecuencias. La media
móvil es un mal filtro pasa-bajo, debido a un roll-off lento y una mala
atenuación de la banda de parada.
4.2.Windowed Sinc.
Los filtros que son windowed-sinc son utilizados para separar una banda de
frecuencias de otra. Son muy estables, producen algunos efectos, y pueden ser
forzados a diferentes niveles de rendimiento. Las características especiales del
dominio de la frecuencia son obtenidas en detrimento de sus funcionalidades
dentro del dominio del tiempo, incluyendo una ondulación excesiva y un
overshoot en la respuesta de step. Este tipo de filtro es muy fácil de programar,
pero tienen una ejecución muy lenta.
En la siguiente figura se muestra la idea en la que se basan los filtros
windowed-sinc. En el apartado a), se tiene la frecuencia de respuesta ideal de un
filtro pasa-bajo. Su funcionamiento es muy simple, todas las frecuencias que
vayan por debajo de la f c (frecuencia de corte), pasaran con una amplitud
13

16. unidad, mientras que todas aquellas frecuencias superiores a la f c serán
bloqueadas. Con esto conseguimos una banda de paso perfectamente plana, una
atenuación infinita en la banda de parada, y una transición entre ambas
extremadamente pequeña.
Ilustración 10. Respuestas de la señal de salida en un filtro ideal.
14

17. 4.3.Personalizados.
Muchos filtros solo tienen una de las cuatro respuestas estándar de
frecuencia: pasa-bajo, pasa-alto, pasa-banda o quita-banda. Se pueden diseñar
filtros que con una respuesta de frecuencia arbitraria, ajustado a las necesidades
de una aplicación particular. Los DSPs sobresalen en esta área, resolviendo
problemas que están muy lejos de ser abordados por la electrónica analógica.
Dos usos importantes de los filtros personalizados son deconvolution que es una
forma de restaurar señales que han sufrido una indeseada convolution, y filtrado
óptimo, el problema de la separación de las señales con un espectro de
frecuencia superpuestos
Ilustración 11. Deconvolution de una señal.
4.4.Chebyshev.
Los filtros chevyshev se usan para separar una banda de frecuencias de otra.
Aunque no pueda igualarse al rendimiento del filtro windowed-sinc, éstos son
más adecuados en la mayoría de aplicaciones. La principal característica de los
filtros de Chebyshev es su velocidad. Esto es debido a su buen cumplimiento en
la recursión más que en la convolution. El diseño de estos filtros está basado en
una técnica matemática llamada transformada Z.
La respuesta de Chebyshev es una estrategia matemática para lograr un
rápido roll-off permitiendo una ondulación en la respuesta de la frecuencia.
Todos los filtros que utilizan esta aproximación se les llaman filtros de
Chebyshev. Los filtros analógicos de Chebyshev se suelen usar en la conversión
analógico-digital y digital-analógico.
15

18. En la figura de la abajo-derecha, se puede observar la respuesta de
frecuencia de un filtro Chebyshev pasa-bajo con una ondulación de la banda de
paso de: 0 %, 0’5 % y 20 %. A medida que aumenta la ondulación (malo), el
roll-off se hace más brusco (bueno). La respuesta de chebyshev tiene una
dependencia óptima entre estos dos parámetros. Cuando la ondulación se fija en
el 0 %, el filtro se denomina extremadamente plano o filtro de Butterworth
(ingeniero británico que describió esta respuesta en 1.930). Una ondulación del
0’5 % es una muy buena elección para los filtros digitales. Esto coincide con la
precisión y exactitud típicas de la electrónica analógica en el paso de la señal.
Los filtros de Chebyshev se clasifican
en:
• Filtros de tipo 1, la ondulación solo
sucede en la banda de paso.
• Filtros de tipo 2, la ondulación solo se
produce en la banda de interrupción.
Este tipo de filtro se utiliza en raras
ocasiones.
• Filtro elíptico, en el que se permite una
ondulación en la banda de paso y la de interrupción. Estos filtros
proporcionan un roll-off muy veloz para un determinado número de polos,
pero son muy difíciles de diseñar. Este tipo está muy extendido en el mundo
profesional tanto digital como analógico.
Para definir un filtro de Chebyshev solamente hacen falta seleccionar cuatro
parámetros: (1) una respuesta pasa-bajo o pasa-alto, (2) una frecuencia de corte,
(3) el porcentaje de ondulación en la banda de paso y (4) el número de polos
(cuanto mayor sea, mejor respuesta)
Ilustración 1. Respuestas de frecuencias de Chevyshev. En las figuras a) y b) se observan las respuestas
de frecuencia de un filtro de Chevishev pasa-bajo con una ondulación del 0’5 %, mientras que c) y d)
corresponden con las respuestas de un filtro pasa-alto.
16

19. 4.5.Filtro no-recursivo.
En todos los ejemplos anteriores se puede observar que cada salida y n es
calculada únicamente desde la entrada actual y las anteriores entradas (
xn , xn −1 , xn −2 ,... ). Este tipo de filtro es conocido como filtro no-recursivo.
Estos filtros son conocidos por las siglas FIR (Finite Impulse Response 3),
pues la respuesta de impulso es de una duración finita (finaliza cuando la señal
de entrada finaliza).
• Filtros FIR:
o Tienen respuesta al impulso de duración finita.
o No tienen realimentación.
o Todos sus polos están en z=0, por tanto no tienen problemas de
estabilidad.
4.6. Filtro recursivo.
Un filtro recursivo es aquel que añade a los valores de entrada algún valor
de salida previo. Estos, al igual que las entradas, son almacenados en la memoria
del procesador.
A continuación se puede observar el funcionamiento de un filtro recursivo:
Ilustración 8. Funcionamiento interno en un filtro recursivo.
Los filtros digitales consisten de una serie de retardos en el tiempo y una
serie de funciones de escalamiento o ganancia los cuales se combinan según la
figura, a la cual se le llama forma directa I. En la figura, R corresponde a
retardos unitarios de la señal de entrada y L y k corresponden a factores de
escalamiento.
La ecuación que caracteriza a esta estructura es la siguiente:
3
“Impulse Response” de un filtro digital es la secuencia de salida del filtro cuando una unidad de impulso
es generada en su entrada. (Una unidad de impulso es la secuencia de entrada más simple consistente en
un valor simple de 1 en el tiempo t = 0, seguido de ceros en todos los instantes de muestreo sucesivos.)
17

20. n m
y n = ∑ Li xt −i + ∑ k j yt − j
i =0 j =1
La primera sumatoria que incluye a la variable x, implica una suma de la
señal de entrada con retrasos de ella misma y se le llama una estructura no
recursiva, a diferencia de la segunda sumatoria que implica una suma de la señal
de salida con retrasos de ella misma, a la cual se le llama una estructura
recursiva.
En este tipo de filtros se puede observar que en el cálculo del valor de salida
actual yn , intervienen las entradas ( xn , xn −1 , xn −2 ,... ) y salidas anteriores (
y n −1 , y n −2 , y n −3 ,... ).
A partir de este punto se puede pensar que en este tipo de filtros se requiere
realizar más cálculos para ejecutar el filtrado de la señal. Pues una aparte de los
valores de entrada, también se encuentran términos de salida en la expresión del
filtro. De hecho, pasa todo lo contrario, pues en el caso más común de lograr la
respuesta de la frecuencia característica de una señal, un filtro recursivo requiere
un expresión de menor orden (y por tanto, muchos menos términos a tratar por el
procesador) que su equivalente filtro no-recursivo.
Estos filtros son conocidos por las siglas IIR (Infinite Impulse Response), ya
que su respuesta de impulso no finaliza porque los términos recursivos (las
salidas anteriores) generan energía en la entrada del filtro y éste continúa
funcionando. Realmente esta nomenclatura no es exacta, ya que en todos los
filtros IIR la respuesta de impulso se reduce virtualmente a cero en un tiempo
finito.
• Filtros IIR:
o Tienen respuesta al impulso de duración infinita.
o Tienen realimentación.
o Deben diseñarse con cuidado para evitar problemas de estabilidad.
4.6.1.Orden de un filtro recursivo.
El orden de un filtro había sido definido como el instante de tiempo
más lejano del valor de entrada más lejano, que se utiliza para calcular la
salida actual. Esta definición es correcta para los filtros no-recursivos, que
calculan la salida actual de entradas anteriores. Entonces la definición debe
extenderse como sigue:
El orden de un filtro digital es el número más lejano de las
entradas y salidas anteriores requeridas para la salida actual.
Esta definición es más general, puede ser aplicada en los dos tipos
de filtros (FIR e IIR) que hemos observado hasta ahora.
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21. En la práctica, los filtros recursivos requieren la misma cantidad de
entradas como de salidas. De este modo un filtro recursivo de primer orden
generalmente requiere una entrada anterior xn −1 y una salida anterior y n −1 ,
mientras un filtro recursivo de segundo orden hace uso de dos entradas
previas ( xn −1 y xn −2 ) y dos salidas previas ( y n −1 y y n −2 ),...
Nota: Tener en cuenta que un filtro recursivo (IIR) debe, por definición,
ser al menos de primer orden, un filtro recursivo de orden cero es imposible.
(¿Por qué?1)
4.6.2.Ejemplo de un filtro recursivo.
Un simple ejemplo de un filtro digital recursivo viene dado por:
y n = xn + y n −1
Este filtro determina el valor de la salida actual y n añadiendo la
entrada actual xn a la salida anterior y n −1 .
y 0 = x0 + y −1
y1 = x1 + y0
y 2 = x2 + y1
y 3 = x3 + y 2
... etc.
Nota: Hay que tener en cuenta que el valor de y −1 (al igual que x −1 )
es indefinido, y normalmente suele considerarse como un cero.
A continuación vamos a realizar un estudio más en detalle del efecto
de este filtro. Si en todas las expresiones anteriores sustituimos el valor y n −1
por el valor obtenido de la expresión anterior, tendremos lo que sigue:
y 0 = x0 + y −1 = x0
y1 = x1 + y 0 = x1 + x0
y 2 = x2 + y1 = x2 + x1 + x0
y 3 = x3 + y 2 = x3 + x2 + x1 + x0
... etc.
Como se puede observar, la salida y n es igual a la suma de la
entrada actual y todas las entradas anteriores. El efecto de este filtro es la de
sumar o integrar todos los valores de entrada, y se consigue el mismo efecto
que con un circuito integrador analógico.
Este ejemplo nos demuestra la gran utilidad de la característica recursiva
de los filtros: la economía con la que los valores de salida son calculados,
comparado con su equivalente filtro no-recursivo. En éste ejemplo cada
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22. salida está determinada por la simple suma de dos números. Por ejemplo,
para calcular la salida en el instante t = 10 ⋅ h , el filtro recursivo hace uso de
la expresión
y10 = x10 + y9
Y para conseguir el mismo efecto que en un filtro no-recursivo
deberíamos hacer uso de la expresión
y10 = x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x1 + x0
Éste filtro no-recursivo requerirá más cantidad de operaciones de
adición y el almacenamiento de más valores en la memoria.
4.7. ¿Filtros IIR o FIR?
A continuación se enumeran las características de los dos tipos de filtros
digitales:
o Los filtros IIR producen en general distorsión de fase, es decir la fase
no es lineal con la frecuencia.
o Los filtros FIR son de fase lineal.
o El orden de un filtro IIR es mucho menor que el de un filtro FIR para
una misma aplicación.
o Los filtros FIR son siempre estables.
Los filtros FIR tienen una mejor ejecución que los filtros IIR, pero su
ejecución es mucho más lenta.
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23. 1
La definición del filtro recursivo nos dice que en el cálculo de la salida actual debe existir al menos una salida anterior, por
lo que el caso mínimo es la salida anterior y n −1 .