Curso basico de topografia fernando garcia marquez

CURSO BÁSICO DE
TOPOGRAFÍA
planimetría • agrimensura • altimetría

CURSO BÁSICO DE
TOPOGRAFÍA
planimetría • agrimensura • altimetría
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FERNANDO GARCÍA MÁRQUEZ
•
árbol editorial

© 1994 Árbol Editorial, S.A. de c.v.
Av. Cuauhtémoc 1430
Col. Sta. Cruz Atoyac
Tel.: 688/6458
Fax: 605/7600
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México, D.F. 03310
Tercera reimpresión
ISBN 968-461-003-3
Reservados todos los derechos
Impreso en México/Printed in Mexico
•

DEDICATORIA
Al Heroico Colegio Militar) mi Alma Mater)
en cuyas aulas me inicié en 1943 como cade-
te en el estudio de esta disciplina) y a la Escuela
Militar de Ingenieros) en la cual he participado
en la' enseñanza de la Topografía desde 1963
a la fecha.

A LOS ALUMNOS
Esta obra fue elaborada con el propósito de facilitar el estudio de la
Topografía a los alumnos.
Cada capítulo contiene problemas resueltos, seleccionados cuidadosa-
mente, que sirven de guía al alumno para la resolución de otros p'roblemas.
Si logro evitar esfuerzos inútiles a los estudiantes de esta asignatura
me sentiré satisfecho.
INO. FERNANDO OARCIA MARQUEZ

Capítulo 1
GENERALIDADES
CONTENIDO
~
ff~
Aplicaciones de la Topografía, 1
División de la Topografía, 3
Levantamiento, clases de levantamientos, 4
Levantamientos topográficos, 4
Poligonal, clases de poligonales, 5
Los errores, 5
Capítulo lJ
PLANIMETRIA
Levantamientos plaJ)'imétricos, 9
Medida directa de distancias, 9
!Medidas con cinta, ]O
Errores en la medida de distancias con cinta, 12
Tolerancias en medida de distancias con cinta, 13
Problemas, 14
Problemas resueltos con cinta, 16
Problemas, 27
Levantamientos con cinta, 31
Métodos de levantamiento con cinta, 36
Método de radiaciones, 36
Método de diagonales, 37
Método de líneas de liga, 37
Método de alineaciones, 38
Método de coordenadas rectangulares, 39
Levantamiento de edificaciones, 40
Levantamiento de detalles, 40
,Problemas, 41
1
9

X Contenido
Levantamientos con brújula y cinta, 50
Definiciones, 50
Descripción de la brújula, 59
Condiciones que debe satisfacer toda brújula, 61
Usos de la brújula, 61
Ventajas en el uso de la brújula, 62
Inconvenientes en el uso de la brújula, 62
Atracciones locales, 62
Mét.xlos de levantamiento con brújula y cinta, 64
Método de itinerario, 65
Problemas, 68
Método de radiaciones, 78
Método de intersecciones, 79
Método de coordenadas rectangulares, 79
Dibujo de la poligonal, 80
Compensación gráfica, 81
Determinación de la superficie del polígono por medio del
planímetro, 84
Levantamientos COIl tránsito )' cinta, 88
Descripción del tránsito, 88
Usos del tránsito, 91
Condiciones que debe satisfacer un tránsito para su buen
funcionamiento, 91
Vernier, 96
Medida de ángulos, 99
Medida simple, 99
Medida por repeticiones, lOO
Medida por reiteraciones, 102
Métodos de levantamiento con tránsito y cinta, 103
Método de medida directa de ángulos, ]03
Orientación magnética, 104
Medida de los ángulos, 105
Comprobación del ángulo medido, ]05
Problema, 124
Método de deflexiones. 130
Prohlema, 136
Método de conservación de azimutes, 141
Problemas. 149
Prohlemas, 154
Capít/llo 111
AG RlMENSURA
Métodos gráficos,
Métodos mecánicos,
Métodos analíticos.
205
206
206
~:vlU'f!l-ro¡jlRff
.5
205

Contenido XI
Triangulación del polígono, 206
'Problemas, 207
Método de las coordenadas, 208
Problemas, 21 1
Método de las dobles distancias meridianas, 214
Problemas, 21 6
Regla de los trapecios, 220
Problemas, 222
Regla de Simpson, 224
Problemas, 225
Agrodesia, 227
Problemas, 229
Capítulo IV
ALTIMETRIA O NIVELACION ..
Nivelación directa o topográfica, 247
Niveles, 247
N iveles fijos o topográficos, 248
Condiciones que debe reunir un nivel tipo americano, 250
Condiciones que debe reunir un nivel ,tipo inglés, 252
Errores en la nivelación, 254
Nivelación diferencial. 259
Problemas, 264
Comprobación de una nivelación, 266
Problemas, 267
Nivelación de perfil, 272
Construcción de un perfil, 275
'Problemas, 277
Nivelación trigonométrica, 281 .. 1Eclímetro, 282
Eclímetro de la brújula, 283
Plancheta de pendientes. 284 "
'Problemas, 285 ~
Nivelación barométrica. 297
Barómetros, 297
Barómetros de mercurio. 297
Aneroides, 300
Termobarómetros o hipsómetros. 302
Medición de alturas. 304
Prohlemas, 30ó
245

CAPÍTULO I
GENERALIDADES
Definic7ón, aplicaciones y división de la topografía
Se define la TOPOGRAFÍA (dél griego: topos, lugar y graphein, describir)
como la ciencia que trata de los principios y métodos empleados para
determinar las posiciones relativas de los puntos de la superficie terrestre,
por medio de medidas, y usando los tres elementos del espacio. Estos ele-
mentos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una
dirección y una elevación.
La TOPOGRAFÍA, en general, es una aplicación de la geometría y, por
tanto, sin el conocimiento de esta ciencia, sería imposible que aquélla
llenara el cometido que tiene asignado.
La TOPOGRAFÍA define la posición y las formas circunstanciales del
suelo; es decir, estudia en detalle la superficie terrestre y los procedimientos
por los cuales se pueden representar, todos los accidentes que en ella existen,
sean naturales o debidos a la mano del hombre. El medio usual de expre-
sión es el dibujo.
La TOPOGRAFÍA se encuentra directamente relacionada con la Tierra.
El estudio de la Tierra como cuerpo en el espacio le corresponde a la
Astronomía; y como globo terrestre en lo que concierne a su configuración
precisa y a su medida le corresponde a la Geodesia; pero el hombre tiene
necesidad de algo más, de un estudio detallado de un territorio determinado
de la tierra, en el cual orientará su existencia diaria.
He aquí donde entra la topografía: ayuda a determinar los linderos
de la propiedad, con sus divisiones interiores y diversos cultivos, las vivien-
das, los caminos y los ríos, los puentes, los ferrocarriles, los montes con
sus valles y barrancos, los bosques, los pantanos, etc., y, en suma, todas
aquellas particularidades del terreno que puedan interesar en las cuestiones
que se presentan en las necesidades de la vida práctica. .
APLICACIONES DE LA TOPOGRAFIA
A la topografía se le puede considerar como una de las herramientas
básicas de la ingeniería civil, aunque se le llega a utilizar en otras espe-
1

2 Curso básico de topografía
~UfM~~
~
cialidades. Las materias propedéuticas son la geometría, la trigonometría,
la física y la astronomía, por tanto, se puede decir que la topografía es
una ciencia aplicada.
Además del conocimiento de las materias mencionadas, 1?'ara la reali-
zación de los trabajos topográficos se hacen necesarias algunas cualidades
personales como: iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad
para tratar a las personas y buen criterio.
La topografía tiene un campo de aplicación extenso, lo .que la hace
sumamente necesaria. Sin su conocimiento no podría el ingeniero por sí
solo proyectar ninguna obra. Sin un buen plano no podría proyectar debi-
damente un edificio o trazar un fraccionamiento; sin el levantamiento de
secciones transversales no le sería posible proyectar presas, puentes, cana-
les, carreteras, ferrocarriles, etc. Tampoco podría señalar una pendiente
determinada como se requiere en un alcantarillado.
Además, al ingeniero recién graduado que ingresa a una empresa cons-
tructora o institución, generalmente los primeros trabajos que se le enco-
miendan son sobre topografía. Así pues, toda recomendación para que se
preocupe en el conocimiento de los métodos topográficos es pequeña y
el estudiante así debe entenderlo.
Las actividades fundamentales de la topografía son el trazo y el le-
vantamiento.
El trazo es el procedimiento operacional que tiene como finalidad el
replanteo sobre el terréno de las condiciones establecidas en un plano;
y el levantamiento comprende las operaciones necesarias para la obtención
de datos de campo útiles para poder representar un terreno por medio de
su figura semejante en un plano.
La topografía tiene una gran variedad de aplicaciones:
Levantamiento de terrenos en general, para localizar y marcar linde-
ros, medida y división de superficies y ubicación de terrenos en planos
generales.
Localización, proyecto, trazo y construcción de vías de comunicación:
caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc.
La topografía de minas tiene por objeto fijar y controlar la posición
de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales.
Levantamientos catastrales hechos con el propósito de localizar límites
de propiedad y valorar los inmuebles para la determinación del impuesto
correspondiente.
Topografía urbana es la denominación que con frecuencia se da a
las operaciones que se realizan para la disposición de lotes, construcción
de calles, sistemas de abastecimiento de agua potable y sistemas de drenaje.
La topografía hidrográfica estudia la configuración de océanos, lagos,
ríos, etc., para propósitos de navegación, suministro de agua o construc-
ción subacuática.
La topografía fotogramétrica es la aplicación a la topografía de la
ciencia de las mediciones por medio de fotografías. Se usa para levanta-

Generalidades 3
mientos topográficos generales, levantamientos preliminares de rutas, para
fines militares y aun para levantamientos en áreas agrícolas.
La topografía también es usada para instalar maquinaria y equipo
industrial; en la construcción de barcos y aviones; para preparar mapas
geológicos y forestales; en la navegación por control electrónico para fijar
la situación de puntos determinados sobre los planos empleados; en cues-
tiones militares (táctica, estrategia, logística, etc.); en la fabricación y
montaje de proyectiles dirigidos, etc. .
Así pues, la topografía sirve y está en mayor o menor escala en caSI
todas las obras que el hombre hace o pretende hacer, desde medir una
propiedad hasta para lanzar un cohete al espacio.
DIVISION DE LA TOPOORAFIA
Para su estudio la topografía se divide en tres partes:
TOPOLOGÍA que estudia las leyes que rigen las formas del terreno.
TOPOMETRÍA que establece los métodos geométricos de medida.
PLANOGRAFÍA que es la representación gráfica de los resultados y
constituye el dibujo topográfico.
Para que sea completa la representación gráfica de una porción de
la superficie terrestre, deberá contener:
La forma general del terreno, o sea, su contorno o perímetro y los
detalles interiores (construcciones, caminos, puentes, ríos, etc.).
La diferencia de altura que guardan los puntos del terreno, unos res-
pecto a otros; y
La superficie del terreno.
Por lo antes expuesto, se deduce que la topografía (topometría), según
las operaciones que se ejecutan para representar el terreno, se divide en
tres partes que son:
PLANIMETRÍA que estudia los instrumentos y métodos para proyectar
sobre una superficie plana horizontal, la exacta posición de los puntos más
importantes del terreno y construir de esa manera una figura similar al
mismo.
ALTIMETRÍA que determina las alturas de los diferentes puntos del
terreno con respecto a una superficie de referencia; generalmente corres-
pondiente al nivel medio del mar.
AGRIMENSURA que comprende los procedimientos empleados para medir
la superficie de los-terrenos y para fraccionarlos.

LEVANTAMIENTO
El levantamiento es uno de los más VIeJOS artes practic~dos por el
hombre, porque desde épocas tempranas ha sido necesario marcar límites
y dividir la tierra. Es una operación técnica que consiste en medir direc-
tamente el terreno.
Se puede definir el levantamiento como el conjunto de operaciones y
medios puestos eL práctica para determinar las posiciones de puntos del
terreno y su representación en un plano.
Clases de levantamientos
En cuanto a su extensión, los levantamientos pueden ser topográficos
o geodésicos.
LEVAN1AMIENTOS TOPOGRÁFICOS son los que se extienden sobre una
porción relativamente pequeña de la superficie de la Tierra que, sin
error apreciable, se considera como si fuera plana.
Las dimensiones máximas de las zonas representadas en los planos
topográficos no superan en la práctica los 30 Km de lado, correspondien-
tes aproximadamente a un círculo de 30 Km de diámetro, límites dentro
de los cuales se puede hacer abstraccióR de la curvatura de la superficie
terrestre.
LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS son aquellos que abarcan grandes ex-
tensiones y obligan a tomar en cuenta la forma de la Tierra, ya sea
considerándola como una verdadera esfera, o más exactamente, como un
esferoide de revolución. Estos levantamientos se salen de los límites de
la topografía y entran en el dominio de la geodesia.
LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS
Los levantamientos topográficos en cuanto a su calidad se dividen como
SIgue:
PRECISOS, que se ejecutan por medio de triangulaciones o poligonales
de precisión. Se emplean para fijar los límites entre naciones o estados,
en el trazo de ciudades, etc.
REGULARES, los cuales se .realizan por medio de poligonales, levanta-
das con tránsito y cinta. Se usan para levantar linderos de propiedades,
para el trazo de caminos, vías férreas, canales, ciudades pequeñas, etc.,
y en obras de saneamiento en las ciudades.
~ff
~

Generalidades 5
TAQUIMÉTRICOS, en los cuales las distancias se miden por procedimien-
tos indirectos. Generalmente se ejecutan con tránsito y estadía, y se emplean
en trabajos previos al trazo de vías de comunicación, en trabajos de
configuración y de relleno, y también para la formación de planos a
pequeña escala.
EXPEDITIVOS, efectuados con aparatos portátiles, poco precisos, como:
brújula, sextante, podómetro, telémetro, estadía de mano, etc., Y. cuando
no se dispone de aparatos se ejecutan a ojo o por informes proporcionados
por los habitantes de la región. Estos levantamientos se emplean en recono-
cimientos del terreno o en las exploraciones militares.
POLIGONAL
En topografía se da el nombre de poligonal a un polígono o a una
línea quebrada de n lados. También se puede definir la poligonal como
una sucesión de líneas rectas que conectan una serie de puntos fijos.
Clases de poligonales
De la definición de poligonal se deduce que las poligonales pueden
ser cerradas ° abiertas.
POLIGONAL CERRADA es aquella cuyos extremos inicial Y final coinci-
den; es decir, es un polígono.
POLIGONAL ABIERTA es una línea quebrada de n lados o aquella poli-
gonal cuyos extremos no coinciden.
Existen dos cIases de poligonales abiertas: las de enlace Y los cami-
namientos.
POLIGONAL DE ENLACE es una poligonal abierta cuyos extremos son
conocidos de antemano y, por tanto, puede comprobarse.
CAMINAMIENTO se denomina a una poligonal abierta, en la cual sólo
se conoce el punto de partida y por esto no es susceptible de compro-
bación.
LOS ERRORES
No se puede medir exactamente ninguna magnitud; por perfectos que
sean los procedimientos y aparatos que se empleen; cada medida que se

haga estará siempre afectada por un error. Al considerar una magnitud
cualquiera debemos distinguir en ella tres valores: valor verdaderp, valor
observado y valor más probable.
Valor verdadero de una magnitud es el que está exento de todo error;
y por lo mismo, será siempre desconocido para nosotros.
Valor observado es el que resulta de la observación o experiinentación,
después de hechas todas las correcciones instrumentales y del medio en
que se trabaja.
Valor más probable de una cantidad es el que más se acerca al valor
verdadero de acuerdo con las observaciones hechas o medidas tomadas.
Al referimos a las medidas, es importante distinguir entre exactitud y
precisión.
Exactitud es la aproximación a la verdad o bien el grado de confor-
midad con un patrón.
Precisión es el grado de refinamiento con que se lee una medida o el
número de cifras con el que se hace un cálculo. También se define como
el grado de refinamiento para ejecutar una operación o para dar un
resultado.
De estas dos definiciones, compatibles entre sÍ, se sigue, que una medi-
da puede ser exacta sin ser precisa, y viceversa. Por ejemplo, una distancia
puede medirse cuidadosamente con una cinta, aproximando hasta los
milímetros, y tener; sin embargo, un error de varios centímetros por ser
incorrecta la longitud de la cinta. La medida es precisa, pero no exacta.
Fuentes de error
Una de las funciones más importantes del ingeniero es obtener medidas
que estén correctas dentro de ciertos límites de error, fijados por la Natu-
raleza y objeto del levantamiento, para lo que se requiere que conozca las
fuentes de error, el efecto de los diferentes errores en las cantidades obser-
vadas, y esté familiarizado con el procedimiento necesario para mantener
la precisión requerida.
En las medidas hechas en topografía no es posible tener el valor exacto
a causa de los inevitables errores inherentes al operador, a la clase de
instrumentos empleados y a las condiciones en que se efectúa la medida.
Los errores personales se producen por la falta de habilidad del obser-
vador para leer los instrumentos. La apreciación de una lectura en una
cinta, por ejemplo, depende de la agudeza visual del observador y se
~ff
.5

Generalidades 7
comprende que a causa de la imperfección de nuestros sentidos, nOo es pOosi-
ble que se pueda hacer una coincidencia perfecta 00 una lectura exacta.
Los errores instrumentales se Ooriginan por las imperfecciOones 00 ajuste
defectuoso de los instrumentOos con que se toman las medidas.
Los errores naturales se deben a las variaciOones de los fenómenos de
la Naturaleza comOo la temperatura, la humedad, el viento, la gravedad, la
refracción atmosférica y la declinación magnética.
Clases de errores
Error verdadero es la diferencia entre el valOor verdaderOo de una canti-
dad y el OobservadOo, razón por la que siempre será descOonocido para nos-
Ootros; y como lOo único que llegamos a conocer es el valor más probable;
es decir, el más cercanOo al verdadero, la diferencia entre este valOor y el
observado se designa cOon el nombre de error residuo o residuo simplemente.
Los errores pueden dividirse en sistemáticos y accidentales.
Errores sistemáticos son aquellos que siguen siempre una ley definida
física o matemática y, mientras las cOondiciones en que se ejecutan las
medidas permanezcan invariables, tendrán la misma magnitud y el mismo
signo algebraico; por tantOo, son acumulativos. La magnitud de estos errOores
se puede determinar y se eliminan aplicandOo métodos sistemáticos en el
trabajOo de campo o correcciones a las medidas.
Los errores sistemáticos pueden ser instrumentales, persOonales o
naturales.
Errores accidentales son los que obedecen a una combinación de causas
que no alcanza el Oobservador a controlar y para las cuales no es posible
obtener correcciones; para cada Oobservación la magnitud y signOo alge-
braico del errOor accidental dependen del azar y no pueden calcularse. Como
todos los errOores accidentales tienen las mismas probabilidades de ser
positivos que negativos, existe ciertOo efectOo compensador y por ellOo muchos
de lOos errOores accidentales se eliminan. Los errores accidentales sólo se
pueden reducir por mediOo de un mayor cuidado en las medidas y aumen-
tando su númerOo.
Equivocaciones
Una equivocación es una falta involuntaria ·Ooriginada por el mal criterio,
falta de cuidado o de conocimientos, distracción o confusión en la mente
del OobservadOor.
Las equivocaciones no pertenecen al campOo de la teoría de los errores
y, a diferencia de éstos, nOo pueden cOontrolarse y estudiarse. Las equivOoca-
ciOones se encuentran y se eliminan comprobandOo todo el trabajOo.

Discrepancia
Una discrepancia es la diferencia entre dos medidas de la mjsma magni-
tud: distancia, ángulo o desnivel.
Valor más probable
El valor más probable de una magnitud medida varias veces, en idénti-
cas condiciones, es el promedio de las medidas tomadas o media arit-
mét:'ca.
Esto se aplica tanto a ángulos como a distancias y desniveles.
Comprobaciones
En todo trabajo de topografía, se debe buscar siempre la manera de
comprobar las medidas y los cálculos ejecutados. Esto tiene por objeto
descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de precisión
obtenic3.
Tolerancia
Se entiende por tolerancia el error máximo admisible en la medida de
ángulos, distancias y desniveles.
~ff
•

CAPÍTULO 11
PLANIMETRíA
Se llama planimetría al conjunto de los trabajos efectuados para tomar
en el campo los datos geométricos necesarios que permitan construir una
figura semejante a la del terreno, proyectada sobre un plano horizontal.
Levantamientos planimétricos
Estos levantamientos pueden ejecutarse de varias maneras:
Con cinta exclusivamente.
Por medio de poligonales, determinando las longitudes de los lados y
los ángulos que éstos forman entre sí; y
Por triangulaciones, cubriendo la zona que se va a levantar, con redes
de triángulos ligados entre sí. Por lo regular este método se elliplea en el
levantamiento de grandes extensiones de terreno, y se hace la medida
directa de uno de sus lados que se denomina base, así como la de los
ángulos de los triángulos.
Los levantamientos planimétricos por medio de poligonales, se clasi-
fican como sigue:
Levantamientos con brújula y cinta.
Levantamientos con tránsito y cinta.
Levantamientos con tránsito y estadia.
Levantamientos con plancheta.
Medida directa de distancias
En topografía, se entiende por distancia entre dos puntos la distancia
horizontal. La medida directa de una distancia consiste en la aplicación
material de la unidad de medida a lo largo de su extensión. El método
más común de determinar distancias es con la medida directa por medio
de la cinta.
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10 Curso básico de topografía "~UéH¡~#
.5
Medidas con cinta
El equipo que se emplea en la medida directa de distancias es el
siguiente:
Cinta de acero de 20, 30 o 50 metros de longitud, graduadas en
centímetros; generalmente tienen una anchura de 7.5 milímetros.
Cinta de lona en la que se han entretejido alamLres delgados de latón
o de bronce para evitar que se alargue.
Cinta de metal invar, de uso general para medidas muy precisas. E1
invar es una aleación de acero y níquel a la que afectan poco los cambios
de temperatura. La dilatación térmica de la cinta de metal invar es apro-
ximadamente la décima parte de las cintas de acero.
Balizas de metal, madera o fibra de vidrio. Son de sección circular,
tienen una longitud de 2.50 m y están pintadas de rojo y blanco, en
tramos alternos de medio metro. Las de madera y las de fibra de vidrio
están protegidas en el pie por un casquillo con punta de acero. Se usan
como señales temporales para indicar la posición de puntos o la dirección
de líneas.
Fichas de acero de 25 a 40 cm de 10ngitud. Se emplean para marcar
los extremos de la cinta durante el proceso de la medida de la distancia
entre dos puntos que tienen una separación mayor que la longitud de la
cinta empleada. Un juego de fichas consta de 11 piezas.
Plomadas, generalmente de latón, de 280 a 450 gramos, provistas de
una punta cambiable de acero de aleación resistente al desgaste, y de un
dispositivo para ponerles un cordón que queda centrado. En roca o pavi-
mento pueden marcarse los puntos con crayón o pintura de aceite.
Medidas de distancias sobre terreno horizontal
Para medir la distancia entre dos puntos del terreno, previamente se
materializan los extremos de la línea. La medida exige dos operadores:
el zaguero o cadenero de atrás y el delantero o cadenero de adelante.
La operación se realiza en la forma siguiente:
El zaguero contará las fichas y entregará al delantero 10 de ellas;
tomará la cinta colocando la marca cero en coincidencia con el eje de
la ficha inicial, mientras el delantero tomando el otro extremo de la cinta
se encaminará en la dirección de la línea por medir y atenderá las indi-

Planimetría 11
caciones del zaguero para que la cinta quede alineada. Durante el proceso
de alinear, el cadenero de adelante está a un lado, frente a la línea, soste-
niendo firmemente la cinta; con una mano coloca la ficha verticalmente
en línea y con la otra mantiene la cinta estirada y la pone en contacto con
la ficha. Como comprobación, vuelve a estirar la cinta y verifica que el
extremo de las graduaciones de la cincta coincida con el eje de la ficha
plantada. Entonces grita "bueno"; y el cadenero de atrás suelta la cinta;
el de adelante avanza; y de esta manera se repite el proceso.
Al partir, el zaguero recoge la ficha. De esta manera, siempre hay una
ficha en el terreno, y el número de fichas que trae el zaguero indica en
cualquier tiempo el número de puestas de cinta del origen a la ficha que
está en el terreno.
Cuando el delantero llegue al extremo de la línea que se está midiendo,
hará la lectura de la fracción correspondiente.
La distancia total medida se obtendrá multiplicando el número de
fichas que recogió el zaguero por la longitud de la cinta y añadiendo la
fracción leída en el extremo de la línea.
Para distancias largas, se usan generalmente 11 fichas de las cuales
10 recoge el cadenero de atrás; cuando el zaguero comprueba que ya
tiene 10 fichas volverá a entregarlas al delantero. Si se opera con una
cinta de 20 metros, por ejemplo, cada cambio o tirada corresponderá a
200 metros medidos.
Medidas de distancias sobre terreno inclinado
Cuando la pendiente del terreno es muy variable, se emplea el método
llamado de escalones, presentándose los dos casos siguientes:
Terreno descendente. A partir del punto inicial el zaguero colocará
~l extremo de la cinta en el suelo y en coincidencia con dicho punto y el
delantero manteniendo la cinta horizontal, a ojo, ejercerá tensión sobre
ella de manera que se reduzca al mínimo la curvatura que toma bajo la
acción de su peso; cuando el delantero es é alineado, utilizando una ploma-
da, marcará el punto del terreno, en el sitio señalado por la punta de la
plomada, y colocará la ficha correspondiente.
El zaguero se trasladará entonces en esa dirección y comenzará la
medida siguiente en la forma indicada.
Este procedimiento adolece de que la horizontalidad de la cinta exten-
dida es aproximada, porque se estima a ojo.
Terreno ascendente. Cuando la medida se realiza en terreno ascen-
dente, además del error por la horizontalidad aproximada de la cinta,
se comete otro debido a que la baliza plantada al lado de cada ficha no se
encuentra en posición vertical. En este caso el zaguero levantará la cinta,
manteniéndola a 10 largo de la baliza, hasta que el delantero, teniendo la

cinta horizontal a ojo, haga contacto con el suelo y una vez alineado por
el zaquero coloque la ficha. Si se requiere mayor precisión debe usarse
la plomada en vez de la baliza.
Si la pendiente del terreno es constante, la cinta puede ponerse paralela
al terreno, y deberá medirse también el ángulo vertical o la pendiente para
calcular posteriormente la distancia reducida al horizonte o sea la proyec-
ción horizontal de la distancia medida.
Errores en la medida de distancias con cinta
SISTEMÁTICOS
Longitud incorrecta de la cinta. Se determina, por longitud de cinta,
comparándola cm: un patrón.
Si la longitud de la cinta es mayor que la correcta, el error es negativo
y, por tanto, la corrección será positiva y viceversa.
Catenaria. Se comete este error cuando la cinta no se apoya sobre
el terreno sino que se mantiene suspendida por sus extremos, formando
entonces una curva llamada catenaria. Este error es positivo y se elimina
aplicando la corrección calculada.
Alineamiento. incorrecto. Se produce este error cuando la alineación
se separa de la dirección verdadera. Es positivo y, en consecuencia, la
corrección es negativa. Este error es de poca importancia, pues una des-
viación de 2 cm en 20 m, apenas produce un error de 1 mm.
Inclinación de la cinta. Si se opera en terreno quebrado hay que colo-
car a ojo, en posición horizontal, toda la cinta o parte de ella. El error
es positivo, por tanto, la corrección debe aplicarse con signo contrario
al error.
Variaciones de temperatura. Los errores debidos a las variaciones de
temperatura se reducen mucho utilizando cintas de metal invar. La cinta
se dilata al aumentar la temperatura y se contrae cuando la temperatura
disminuye; en el primer caso el error es positivo y negativo en el segundo.
Variaciones en la tensión. Las cintas, siendo elásticas, se alargan
cuand9 se les aplica una tensión. Si ésta es mayor o menor que la que
se utilizó para compararla, la cinta resultará larga o corta con relación
al patrón. Este error sistemático es despreciable excepto para trabajos
muy precisos.
ACCIDENTALES
De índice o de puesta de ficha. Consiste este error en la falta de
coincidencia entre el punto terminal de una medida y el inicial de la si-
guiente. Se evita colocando las fichas en posición vertical.
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.5

Planimetría 13
Variaciones en la tensión. En los trabajos comunes la tensión que
se da a la cinta es la natural ejercida por los cadeneros, y puede ser
mayor o menor que la usada en la comparación de la cinta con el patrón.
Apreciación de fracciones al leer las graduaciones. Este error se co-
mete al hacer las lecturas de las fracciones, por no coincidir las marcas
colocadas en el terreno con las graduaciones de la cinta.
TOLERANCIAS EN MEDIDA DE DISTANCIAS CON CINTA
1Q Si no se conoce la distancia entre dos puntos, puede determinarse
midiéndola en los dos sentidos; es decir, de ida y regreso.
En este caso la tolerancia se calcula aplicando la fórmula siguiente:
en la cual:
T = 2e ~ ~L
T = tolerancia, en metros.
e = error cometido en una puesta de cinta, en metros.
L = promedio de medidas, en metros.
1 = longitud de la cinta empleada, en metros.
(1)
Error: Si se hacen dos o más medidas, el error de cada una de ellas
es la diferencia con el promedio aritmético de medidas, o valor más pro-
bable.
2Q Si se conoce la verdadera longitud de la línea, la cual puede haber
sido obtenida por métodos más precisos, y después se tiene que volver a
medir la distancia, por ejemplo, para fijar puntos intermedios, la tole-
rancia está dada por la fórmula:
siendo:
T = tolerancia, en metros.
e = error cometido en una puesta de cinta, en metros.
L = longitud medida, en metros.
1 = longitud de la cinta, en metros.
K = error sistemático por metro, en metros.
(2)
El error está dado por la diferencia entre la longitud conocida y la
longitud media.

14 Curso bási:o de topografía
Los valores de "e" y "K" pueden tomarse de la tabla de valores expe-
rimentales que figuran en el libro MÉTODOS TOPOGRÁFICOS del Ing. Ricar-
do Toscano:
Condiciones de las medidas e (metros) K (metros)
Terreno plano, cinta bien comparada y alinea-
da, usando plomada y corrigiendo por tem-
peratura 0.015 0.0001
Terreno plano, cinta bien comparada 0.02 0.0003
Terreno quebrado 0.03 0.0005
Terreno muy quebrado 0.05 0.0007
PROBLEMAS
1. En la medida de una distancia, en terreno quebrado, usando una
cinta de 50 m, se obtuvieron los dos valores:
Ll = 150.04 m (ida) y L2 = 150.08 m (regreso)
Calcular el error cometido, la toleran'cia y el valor más probable
de la distancia medida, indicando sí se acepta el resultado o debe
repetirse la medida.
DATOS:
Ll = 150.04 m
L,2 = 150.08 m
Terreno quebrado
1 = 50 m
L = valor más proba-
ble de la distancia
medida = ?
E = error = ?
T = tolerancia = ?
SOLUCIÓN
Designemos por L el valor más probable:
Ll + L2
= 150.06 mL = 2
E = Ll - L = 150.04 -
~ff
.5
150.06 = - 0.02 m
E = L2 - L = 150.08 -
150.06 = + 0.02 m
E = +0.02 m
T = 2e~ ~L = 2(0.03) ~ 2 X 5~0.06 = +0.06~ 300~12
T = +0.15 m

Planimetría 1S
Se acepta el resultado, porque: E < T
Y el valor más probable para la distancia medida: L = 150.06 m
2. La distancia entre dos puntos, en terreno plano, es de 298.10 m.
Con una cinta comparada, de 30 m, y corrigiendo por temperatura
al medir esta distancia resultó de 298.02 m. ¿Es correcta la medi-
da o debe repetir-se?
SOLUCIÓN
Longitud conocida = 298.10 m
Distancia medida = 298.02 m
Terreno plano
Longitud de la cinta = 30.00 m
Error = 298.10 - 298.02 = 0.08 m
Tolerancia = 2 ( 0.015 ~ 29:
002 + 0.0001 X 298.02 )
= 0.03~29~~02 + 0.0002 X 298.02 = 0.0945 + 0.0596
Tolerancia = 0.15 m
La medida es correcta, porque: E < T.
3. En terreno muy quebrado, se empleó una cinta de 20 m para medir
una distancia, obteniéndose los siguientes resultados:
Ll = 120.38 m (ida)
L2 = 120.06 m (regreso)
Si se acepta el resultado, ¿cuál es el valor más probable de la dis-
tancia?
SOLUCIÓN
120.38 + 120.06
Error = 120.38 - 2 = 120.38 120.22 = +0.16 m
Error = 120.06 -- 120.22 = -0.16 m
E = -+-0.16 m
Tolerancia = 2(0.05) ~ 2 X ;gO.22 = 0.1 v' 12.022 = -+-0.35 m
T = -+-0.35 m
E < T por tanto, el valor más probable para la distancia medida
es: L ,= 120.22 m.

PROBLEMAS RESUELTOS CON CINTA
Trazo de perpendiculares
A. Levantar una perpendicular en cualquier punto sobre una línea.
1. Se puede determinar dicha perpendicular por medio de_ID!... trián-
gulo rectángulo cuyos lados estén en la proporción~:I pues
un triángulo en el que se cumple esta condición, siempre es rec-
tángulo. En efecto:
(5n)"l = (4n)2 + (3n)2
Al emplear este método, la distancia correspondiente a uno de
los catetos se mide a lo largo de la línea de referencia. Si un
cadenero junta la extremidad O de la cinta con la marca de 12
metros y otro cadenero la detiene en la marca de 3 metros, y
un tercero en la de 7 metros, y se mantiene tensa la cinta, se
estará formando un triángulo rectángulo. (Fig. NQ 1.)
~ff
.5
A . ~ IV~ &(
3m.
Figura 1
4m.
B
Este procedimiento tiene los inconvenientes de que se requieren
tres personas y que la cinta no se puede doblar completamente
en los ángulos del triángulo.
2. Desde un punto cualquiera P, descríbase un arco de círculo con
un radio PA, intersectando MN en C. El punto B de la perpendicu-
lar AB a la línea MN se encuentra prolongando CP; es decir, B
se halla en línea con CP y PB = CP. (Fig. NQ 2.)

2
I
/
I
P ~
/
/
/
Planimetría 17
M __----______~~--------~~~------------
e A
Figura 2
Por ejemplo, si se usa una cinta de 30 metros, establézcase el punto
P a 15 metros desde A, deteniendo la marca O en A.
El punto e se encuentra, manteniendo en P la marca 15 metros
e intersectando la línea MN con la extremidad Ode la cinta; tenien-
do luego la marca O de la cinta en e, con la marca 15 aún en P,
prolónguese la cinta hasta que la marca 30 metros determine el
punto B.
3. La perpendicular AB al alineamiento MN se puede trazar también,
midiendo distancias iguales a uno y otro lado del punto A. (Fig.
NQ 3.)
Se eligen dos puntos B y e, de tal manera que AB = Ae; con
la cinta se trazan arcos de igual radio, haciendo centro en B y e.
La intersección de los arcos será el punto D de la perpendicular
buscada.
D
~1________*-__+-~__~__~__~~/________
B A
Figura 3
AB = Ae
BD = eD

B. Desde un punto exterior a un alineamiento bajar una perpendicular a
éste.
1. Bajar del punto D la perpendicular DA al alineamiecto MN. (Fig.
NQ 4.)
Con un radio arbitrario, mayor que AD, trácense las intersecciones
en B y en C sobre el alineamiento MN. Mídase la distancia BC
y materialícese el punto A J pie de la perpendicular" buscada, to-
mando a partir de B, sobre la línea MN, la distancia BA = ~ BC.
~ff
.5
/
/
/
/
/
/
/
X
D

j

M: .... ( ( < //:lo <
j90 0
'- I
/
~
-----..
B A C
Figura 4
-N
2. Este problema puede resolverse también de la manera siguiente
(Fig. NQ 5):
/
j
ci/, Be = CD
j

/
M , / ~o~l/
:>-
N
B A
Figura 5

Planimetría 19
Tómese un punto B arbitrario sobre el alineamiento y materialícese
el punto medio C de la distancia BD. Luego, con centro en C y
radio igual a CB, trácese el arco CA. El punto A de intersección
de este arco con el alineamiento MN es el pie de la perpendicular
buscada.
3. Del punto D bajar una perpendicular a la línea MN. (Fig. NC? 6.)
Fíjese uno de los extremos de la cinta en el punto D y movién-
dola a lo largo de la línea MN, la menor lectura de la cinta
determinará el punto A, pie de la perpendicular DA al alinea-
miento MN.
/
/
/
I
I
I
I
/
D
~--------~~--~--~~--~~--------
Figura 6
Trazo de paralelas
N
1. Por un punto C trazar una paralela al alineamiento MN. (Fig.
NQ 7.)
e
M____~__+_--------------~~-------
p Q
Figura 7

Determínese y mídase la perpendicular CP a la línea MN
desde el punto dado; luego, en algún otro punto de la línea, como
el Q~ levántese la perpendicular QD al alineamiento MN ·Y mídase
QD = CP. El punto D pertenece a la paralela buscada.
2. Si se quiere trazar por C una paralela a MN (Fig. NC? 8), escójase
un punto P sobre la línea dada y materialícese el punto Q a la
mitad de la distancia CP. Se marca otro punto, como el R, sobre
la línea MN; se mide la distancia RQ y se prolongá, midiendo
QD = RQ.
Así se encuentra el punto D por el cual pasa la paralela CD
a la línea MN.
1 N
R p
Figura 8
3. En el caso de la figura NC? 9, a partir del punto A, marcado
~ff
.5
~~1 ; V ' N
A B
Figura 9

Planimetría 21
sobre el alineamiento MN, se mide la distancia AC y se prolonga,
materializando el punto O, de tal manera que CO = AC; luego
se mide la distancia OB, cuyo punto medio D pertenece a la
paralela CD al alineamiento MN.
Trazo de alineamientos entre puntos invisibles uno de otro
1. Si entre ambos puntos M y N, existe un obstáculo cualquiera, se
traza la línea MP que salve el obstáculo y del punto N se baja
la perpendicular NQ a la línea MP. Se eligen, convenientemente,
sobre la línea MQ, los puntos a, b, e ... y se miden las distancias
MQ, NQ, Ma, Mb, Me. .. Comparando los triángulos semejan-
tes formados, se encuentran las distancias aa', bb', ce' . .. , cuyos
extremos a', b', e' . .. corresponden al alineamiento MN.
M " ~b'~'_ _ a , ' .,/ e ___ _
. . d "
o
Figura 10
ASÍ, de la proporción:
aa' _ bb' _ ce' _ NQ _
~-- -~----K
Ma Mb Me MQ
se deduce: aa' = NQ Ma = K . Ma
MQ
bb' = K' Mb
ce' = K· Me
N
(1)
2. Si se interpone una colina entre los puntos M y N (Fig. NQ 11),
se emplean dos baliceros, los cuales se sitúan en puntos tales, como
A y B, que desde ellos se vean M y N.

M
El balicero situado en A, alínea al ubicado en B con el extre-
mo N de la línea; y el que se halla en B, alínea al situado en A
en la dirección de M; y así prosiguen sucesivamente hasta que los
cuatro puntos queden en línea recta.
-- ----------- - ---
flm7hA"......
---
---
- --
~UC#lDff
~
Figura 11
Intersección de alineamientos
Para materializar en el terreno la intersección de los alinea-
mientos MN y PQ (Fig. N9 12), márquense sobre uno de ellos,
dos puntos que estén situados a ambos lados del otro alineamiento,
como los puntos A y B de la figura. Luego, extiéndase la cinta
o un cordel entre A y B, marcando la línea AB en el terreno y
sobre ésta se localiza el punto 1, üitersección de los dos alinea-
mientos.
~M
"-,
P >(
/
/
Figura 12
;ft
,
B "
''1( N

Planimetría 23
Determinación de distancias a puntos inaccesibles pero visibles
1. Determinar la distancia A B al punto B inaccesible, pero visible.
(Fig. NQ 13.)
A ~~--------~ p
Figura 13
El problema se resuelve, trazando AP perpendicular a la línea
AB y bajando de A la normal A Q a la línea BP; se miden las
distancias AP, AQ Y PQ Y se calcula la distancia AB.
Comparando los triángulos semejantes BAP y AQP, se en-
cuentra:
AQ-AP
AB = PQ
2. Determinar la distancia A B al punto B inaccesible, pero visible.
(Fig. NQ 14.)
Se trazan AP y CQ perpendiculares a la línea AB y se miden
las distancias AP, CQ yAC:
Los triángulos semejantes BA P Y QQ'P, permiten establecer
la proporción:
( 1)

B
~.
~
==t-~:-5·
I
......,., ¡. .

E=--=~-X·_-
e

Q
~ff
~ AY'~ ! ''f' P
Q'
Figura 14
Ahora bien, en la figura se ve que:
QQ' =AC
Q'P =AP - CQ }
por tanto, sustituyendo (2) en (1), se encuentra:
AB AC
AP - AP - CQ
AP'AC
AB = AP - CQ
Medida de distancias salvando un obstáculo
(2)
1. Para hallar la distancia AB (Fig. NQ 15) se forma un triángulo
AL ~~~~~..- 'B
Figura 15

Planimetría 25
rectángulo, bajando del punto B la perpendicular BP a la línea
AP; y se miden los catetos AP y BP.
AH = V(AP )' + (HP) ' I
2. También se puede determinar la distancia AB, por triángulos
semejantes (Fig. NQ 16). Para aplicar este procedimiento- se elige
.B
~--------------~¡~.~,~~~~------~
Figura 16
un punto C desde el cual se vean los puntos A y B. Se I1l iden
AC y BC y se marcan D y E, de manera que CD tenga con CA.
la misma relación que CE tiene respecto a CR. Se miden DE '
CD. De la propoTción:
se obtiene:
AB AC
DE - eD
AB = AC' DE
CD
Trazo de ángulos con cinta
1. Para trazar el ángulo a (Fig. NQ 17), sobre la línea base se mide
la distancia AC y se calcula la normal BC. El punto B se marca
en el terreno y determina la dirección del lado A B 4ue con la
línea A C forman el ángulo .a.
I BC = AC tan a

línea base-"¡
A e
Figura 17
2. El ángulo a se puede trazar también por el método de la cuerda
(Fig. NQ 18).
/~J-nff
~
e
Figura 18
La cuerda se calcula aplicando la fórmula siguiente:
1 BM 2BM
sen 2 a = AC 2AC
BC
2AC
:. BC = 2AC sen ~ a
Escogida convenientemente la distancia AC = AB, Y calculada
la cuerda BC, podrá materializarse el punto B y el ángulo a que-
dará trazado.

Planimetría 27
PROBLEMAS NUMERICOS
1. Para levantar la perpendicular AB al alineamiento MN, se suje-
taron los extremos de la cinta, en los puntos A y C del terreno.
Si se usó una cinta de 50 metros y se juntaron las marcas de 25
y 30 metros en el punto B ¿qué distancia existe entre A y C?
(Fig. N<'> 19).
30
rJ_._._.~ .---.
900 .¡ 50
. ...... ---- N
e A
Figura 19
(Sujetando los extremos de la cinta este trabajo lo puede
ejecutar una sola persona.)
SOLUCIÓN
AC = V (BC)2 - (AB)-2 = V (25)2 - (20) 2 = 1'225
AC = 15 m I
2. Calcule la distancia AB con los datos de la figura siguiente:
AM = 38.50 m
CN = 29.10 m
AC = 15.80 m
AB = ?
SOLUCIÓN
Trácese NQ / / AC y compárense los 6. semejantes BAM y
NQM.

A
Q
M
./
,/
/'
/'
N
t//'
./
Figura 20
__~/B
.//
AB _NQ
- - -
AM MQ
AB = AM·NQ AM·AC
AM-CN
Si se sustituyen los datos en (1), se obtiene:
AB = 38.5 X 15.8 = 608.3
38.5 - 29.1 9.4
AB = 64.71 m
(1)
3. Con el vértice A del ángulo a como centro, se hizo girar la cinta,
colocándose fichas en los puntos M y N donde el arco intercepta
los lados AB y AC del ángulo. Se midió la cuerda MN y se
conoce el radio de giro de la cinta. ¿Cuál es el valor del ángulo
a? (Fig. NQ 21).
~ff
.5
B
MN =15.76 m
AM = 30.00 m
A p,wE:: J l' e
Figura 21

DATOS:
SOLUCIÓN
MN = 15.76 m
AM =30.00 m
1
1 "2
MN
7.88
sen'2 a = AM = 30 = 0.26266
~a = 15°14'
2
Planimetría 29
4. Para determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visi-
ble (Fig. NQ 22), se trazaron AP perpendicular a la línea AB
p
Figura 22
y AQ normal a la línea BP, y se midieron AP, AQ YPQ. De esta
manera se tienen elementos suficientes para obtener la distan-
cia AB. Calcúlela.
DATOS:
SOLUCIÓN
AP =24.00 m
AQ =21.70 m
PQ = 10.25 m
AB = ?
Los triángulos rectángulos BAP y AQP son semejantes, por
tanto, se puede establecer la proporción:

AB _AQ
AP - PQ
A - AQ'AP _ 21.7 X 24
B - PQ - 10.25
AB = 50.81 m
5. ¿Qué longitud debe tener la perpendicular CB a la línea AB, para
que el ángulo ,a sea de 25°30'?
~ff
.5
A
0' :=25° 30'
B
Figura 23
Se midió la distancia: A B = 20.00 m.
SOLUCIÓN
BC = AB tan ,a = 20 tan 25°30'
BC = 20(0.47698) = 9.54 m
I BC = 9.54 m I
6. ¿A qué distancia del punto auxiliar C, sobre CB, se debe situar
el punto E, para que los triángulos ACB y DCE sean semejantes
(Fig. N9 24) y, una vez medida la distancia DE, pueda calcu-
larse AB?
DATOS:
SOLUCIÓN
AC = 42.00 m
CD = 15.00 m
CB = 31.60 m
CE = ?

CE CD
CB CA
e
Figura 24
CE = CD·CB
CA
CE = 11.29 m
Planimetría 31
B
15 X 31.6
42
LEVANTAMIENTOS CON CINTA
Estos levantamientos se emplean cuando el terreno es sensiblemente
horizontal, descubierto y accesible. El levantamiento de un terreno con la
cinta se efectúa dividiéndolo en triángulos y tomando suficientes medidas
de los lados, alturas y ángulos de los triángulos que permitan calcular el
resto de lados y ángulos necesarios para dibujarlo yca1cular las superficies.
Para fijar las posiciones de puntos del terreno, se traza una figura lla-
mada polígono de base o poligonal, que siga aproximadamente el perímetro
del terreno que se desea levantar.
El polígono de base se transforma en una figura rígida dividiéndolo en
triángulos bien conformados; es decir, lo más cerca posible del equilátero
y evitando ángulos menores de 20°.
El levantamiento con cinta, comprende dos clases de trabajos: de cam-
po y de gabinete.
A. TRABAJO DE CAMPO. Este incluye las operacIOnes siguientes:
1. Reconocimiento del terreno donde se ejecutará el levantamiento,
para elegir el método adecuado, estimar el tiempo y el personal necsarios,
definir los vértices del polígono de base, etc.

2. Materialización de los vértices del polígono de base, por medio de
estacas, marcas sobre roca o pavimento, fichas, etc.
3. Elección del método que se aplicará en el levantamiento.
4. Dibujo del croquis del polígono de base, orientado aproximada-
mente.
5. Medición de los lados del polígono de base y de las líneas auxi-
liares (radiaciones, diagonales, líneas de liga, etc.), empleadas para dividir
en triángulos el polígono de base.
6. Medición de las distancias necesarias para el levanltamiento de
detalles con relación al polígono de base.
Los datos recogidos en el levantamiento deberán anotarse en forma clara
y ordenada en la libreta de campo, al mismo tiempo que se ejecuta el
trabajo. Se deberá utilizar un lápiz 3H o 4H con buena punta.
La libreta de campo debe tener papel de buena calidad, con una pasta
dura, y ser del tamaño adecuado para llevarla en el bolsillo. En general,
los datos numéricos se escriben en las páginas del lado izquierdo; los
croquis y las notas aclaratorias en las de la derecha.
Los números deberán ser claros; y no se deberá anotar un número
sobre otro. Los datos numéricos no deben borrarse; si un número está equi-
vocado, se le trazará una raya encima y el valor corregido se colocará
arriba.
Los croquis se dibujan a mano libre y son la guía y base para la
con3trucción del plano.
Las notas aclaratorias se emplean para explicar lo que los datos numé-
ricos y los croquis dejan de hacer.
El registro de campo refleja la competencia del ingeniero y su valor
depende, en gran parte, de la claridad y lo completo que se haya llevado.
B. TRABAJO DE GABINETE. Se entiende por trabajo de gabinete la
ordenación de los datos tomados en el campo y los cálculos que con ellos
se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir
el plaíD.
Este trabajo se hace en el orden siguiente:
1. Cálculo.
a ) De los ángulos interiores del polígono de base.
~$
~
En cada uno de los triángulos en que se divide el polígono de base,
los ángulos interiores se calculan aplicando las fórmulas siguientes:

Planimetría 33
tan ~ A = ..!(p - b) (p - e) .
2 1 p(p - a) ,
tan!. B = J (p - a) (p - c)
2 ~ p(p - b)
•$uuen;jflUf/
1 e ~ (p - a)(p - b)
tan- =
2 p(p - c)
Como comprobación, la suma de los ángulos calculados debe satisfacer la
condición geométrica:
A + B + e = 1800
Una vez calculados los ángulos interiores de todos los triángulos en
que se dividió el polígono de base, podrán obtenerse los ángulos interiores
de éste.
b) De la superficie del polígono de base.
Esta se encuentra sumando las superficies de los triángulos en que fue
dividido el polígono.
La superficie de cada triángulo se determina por la fórmula :
S = vp(p - a)(p - b)(p - c)
En las fórmulas anteriores, a, b y c, son los lados del triángulo y p el
semipedmetro.
2. Dibujo.
a) Antes de construir el plano se debe, en algunas ocasiones, deter-
min!ir la escala que se utilizará. En otros casos la escala, según la finalidad
del trabajo, ya está especificada.
La escala de un plano es la relación fija que todas las distancias en
el plano guardan con las distancias correspondientes en el terreno.
Se puede expresar por relaciones numér'ica o gráficamente.
Escala numérica: es la relación de la distancia del plano a la distancia
correspondiente en el terreno. Una unidad de longitud en el plano representa
un número determinado de las mismas unidades de longitud en el terreno,
como:
1
1000
ó 1: 1000
Escala gráfica es una línea subdividida en distancias del plano que
corresponden a unidades de longitud en el terreno. (Fig. N<? 25.)
100 50 O 100 200 300 400 500
Figura 25
3

En la escala gráfica de la figura N9 25, un centímetro representa
100 metros.
La fórmula general de la escala es:
en la cual:
I 1
Y-M
L = longitud medida en el terreno.
I = longitud en el plano, y
~ff
~
M = denominador o módulo de la escala.
b) Construcción del plano.
De preferencia la parte superior del plano debe representar el norte,
aunque la forma del terreno levantado, o la dirección de algún detalle prin-
cipal, pueden exigir otra orientación.
El estilo de letra será sencillo; para datos referentes al terreno se usará
el tipo romano moderno vertical y para los datos referentes a las aguas
(lagos, ríos, mares, etc.), el tipo cursivo, dibujados en la proporción que
se necesite y procurando que sean agradables a la vista.
La dirección de los letreros en un plano se indica en el esquema siguien-
te (Fig. N9 26):
Sonora
~
C,)
~
~
O
Figura 26
Los cuadros de los títulos de los planos se situarán en el ángulo infe-
rior derecho.

Planimetría 35
Un título de un plano debe contener todos los datos que se necesiten
de los que a continuación se citan.
Clase del plano.
Objeto del plano, si se representan detalles especiales.
Localización del terreno levantado.
Nombre del propietario.
Escala del plano (a menos de que se ponga en otra parte).
Fecha.
Nombre del iegeniero responsable.
Los datos que deben aparecer en los planos topográficos son:
La longitud de cada lado del polígono.
El ángulo entre cada par de lados consecutivos.
La superficie del terreno incluido.
El nombre del propietario del terreno y de los propietarios de los
terrenos adyacentes al levantado.
La dirección de la meridiana (magnética o astronómica).
La escala.
Símbolos o clave de símbolos que no sean de los correspondientes a
signos convencionales. Un símbolo es un diagrama, dibujo, letra o abrevia-
tura que por convención se supone que representa una característica espe-
cífica u objeto y su tamaño deberá ser en cierta forma proporcional a
la escala del plano.
Los dibujos a lápiz y los provisionales se hacen en papel de manila.
Para planos, en general, es conveniente usar el papel de calca o la tela
de calca.
Los instrumentos de dibujo son:
EscaIímetros, de sección triangular, con seis escalas.
Regla de acero niquelada o de acero inoxidable, de un metro de longi-
tud, con una de sus aristas longitudinales achaflanada.
Juego de escuadras.
Transportador para medir y trazar ángulos. La forma usual para dibu-
jar planos consiste en un círculo completo o en un arco semicircular de
metal, celuloide o papel dividido en grados y fracciones de grado.
Compás de regla para dibujar los arcos de los círculos, con radios
mayores de 15 cm.
Máquina de dibujo que combina las funciones de la regla T, la regla,
las escuadras, escalas y el transportador.
Las operaciones de la construcción de un plano son, en cierto modo,
inversas de las operaciones efectuadas para su levantamiento.
El proceso del dibujo del plano comprende:

1. La determinación de los puntos de control que son los vértices de
la poligonal o polígono de base; y
2. La localización de los detalles del plano, empleando medidas
angulares y lineales de los lados y vértices del polígono de base.
METODOS DE LEVANTAMIENTO CON CINTA
Comúnmente se emplean los siguientes:
Rarliaciones.
Diagonales.
Líneas de liga.
Prolongación de alineaciones; y
Coordenadas rectangulares.
Método de radiaciones
/.VUff~ff
~
Este método se emplea cuando desde un punto interior del polígono
de base sea posible ver los vértices de éste y no se dificulte la medida de
las distancias del punto interior a los vértices. Estas líneas auxiliares se
denominan radiaciones y con ellas se divide en triángulos el polígono de base.
Además de las radiaciones, se miden los lados del polígono y los resul-
tados se anotan ordenadamente en el registro de campo, como se indica
en el ejemplo siguiente (registro 1):
REGISTRO DE CAMPO 1
Levantamiento con cinta de 30 me-
tros, por el método de radiaciones
DISTANCIAS
Est.1 P.V. 1-----,---------
Ida
-----1- - -- - - - - - - -
o
1
2
2
3
3
4
4
1
2
O
3
O
4
O
33.53
31.97
37.64
49.98
29.23
47.72
38.26
62.91
33.55
31.95
37.64
49.94
29.23
47.72
38.28
62.95
33.54
31.96
37.64
49.96
29.23
47.72
38.27
62.93
2.óOm
MEXICO, D. F.
20-MAR-72
Levantó: José Gómez H.
CROQUIS Y NOTAS
t

Planimetría 37
Est. = ESTACIÓN: vértice desde el cual se hace la observación o medida.
P.V. = PUNTO VISADO.
El método descrito puede aplicarse cuando el terreno por levantar es
de pequeñas dimensiones y suficientemente despejado y debe procurarse
que los triángulos que se formen difieran poco del equilátero o en su
defecto del isósceles.
Método de diagonales
Consiste este método en dividir en triángulos el polígono de base por
medio de las diagonales de dicha figura. Las longitudes de los lados del
polígono y de las diagonales se miden, anotándose los resultados en el re-
gistro de campo. (Registro 2.)
REGISTRO DE CAMPO 2
Levantamiento con cinta de 30 me·
tras, por el método de diagonales
DISTANCIAS
Est. P. V.I-----,------,------- I
o
1
2
2
3
3
4
4
O
1
2
O
3
1
4
1
O
3
Ida Regreso Promedio
27.80
33.49
46.55
29.67
57.31
33.67
43.78
28.42
56.93
27.82
33.49
46.57
29.67
57.35
33.67
43.82
28.42
56.97
27.81
33.49
46.56
29.67
57.33
33.67
43.80
28.42
56.95
Método de líneas de liga
ZACATENCO, D. F.
24-ABR-63
Levantó: Enrique Zárate
CROQUIS Y NOTAS
Cuando el terreno encerrado por la poligonal es de tal naturaleza que
no permite el empleo de los métodos de levantamiento hasta ahora descritos,
por la existencia de accidentes naturales o artificiales que impidan ver tres
vértices consecutivos del polígono de base, el procedimiento indicado en
tales circunstancias es el conocido con el nombre de método de líneas
de liga, que consiste en medir los lados del polígono de base y, además,
las líneas que ligan dos puntos pertenecientes a lados contiguos. El registro
de campo se lleva como se ilustra en el siguiente ejemplo (registro 3):

REGISTRO DE CAMPO 3
tros, por el método de líneas de liga
DISTANCIAS
Est. 1 P.V.I---------..,.----
MEJfICO, D, F.
4-MAY-73
Levantó: Felipe Zárate
CROQUIS Y NOTAS
Ida Regreso 1 Promedio
- - - - 1 1- I
9.CK> .1o
a
a
h
h
-1-1 2 I
b
c
b c
- - - -
2 3
d
e
d e
- - - -
3 O
f
g
f g
40.44
41.65
Método de alineaciones
40.46
41.65
4.00
4.00.
6.20
40.45
4.00
5.CK>
5.94
11.58
6.00
6.00
9.33
41.65
5.CK>
6.00
6.71
()
,,~e'lfo
r:.e ~'IJ.
~~.ff
~
N
Consiste este método en encerrar el polígono por levantar dentro de
un rectángulo director cuyos lados se pueden medir con cinta, y en prolon-
gar los lados del polígono, que pueden ser los muros de una construcción
o los linderos de una propiedad, hasta su encuentro con los lados del
rectángulo, y se miden las distancias de los vértices del rectángulo a los
puntos en que los alineamientos prolongados intersectan los lados del rec-
tángulo, como se indica en el ejemplo siguiente. Se miden también, como
comprobación, los lados del polígono AB, BC, CD y DA, o bien las dis-
tancias Aa', Aa", Bb', Bb", ... Este método es adecuado para levantar
perímetros de construcciones irregulares.

Planimetría 39
REGISTRO DE CAMPO 4
Levantamiento eon cinta de 30 me-
tros, por el método de alineaciones
DISTANCIAS
Est. P.v.
Ida Regreso Promedio
-- --
M d 6.75
a" 4.04
N b' 4.00
b" 10.61
P e' 8.30
e" 3.22
Q d' 2.50
d" 7.20
comprobación:
A B 49.12 I 49.08 49.10
B C 26.50 26.50 26.50
C D 49.01 48.99 49.00
D A 28.50 28.50 28.50
Método de coordenadas rectangulares
ZACATENCO, D. F.
16-AG0-64
Levantó: Manuel Ortiz H.
CROQUIS Y NOTAS
~----4t!~N
b"
c"
~------------~~~
Este es en muchos casos el mejor procedimiento, porque permite fijar
cada vértice del polígono de base independientemente de los demás. Consiste
en proyectar todos los vértices del polígono sobre dos ejes rectangulares
convenientemente elegidos y en medir las distancias del pie de cada per-
pendicular al origen.
En algunos casos el método se facilita trazando solamente un eje y
bajando perpendiculares de los vértices del polígono a este eje; entonces
se miden, a partir del origen, las distancias al pie de las perpendiculares
y las longitudes de éstas, anotándose los resultados en el registro de campo,
como se indica en el ejemplo siguiente.

40 Curso básico de topografía ~Jnff
.5
REGISTRO DE CAMPO 5
Lemntamiento COII cinta por el
método de coordenadas rectangu-
lares
COORDENADAS
Vértices
x
10.00
2 11.40
3 30.76
4 39.79
5 30.40
Comprobación:
1-2 25.47
3-4 15.93
4-5 21 .00
5-1 20.65
y
5.00
30.44
33.78
20.66
1.86
.1
y
MEXICO, D. F.
4-SEP-74
Levantó: Othón Ríos
CROQUIS Y NOTAS
N
~ J.I _. _J I_..l • X
proyección
LEVANTAMIENTO DE EDIFICACIONES
Si se trata de levantar la planta de un edificio, por ejemplo, se pueden
fijar las ~uatro esquinas de cada habitación o patio, midiendo en cada u.no
los cuatro lados del perímetro y las diagonales.
Se facilita este levantamiento, empleando este método en combinación
con el de coordenadas o el de radiaciones, pero a veces se puede hacer
todo el levantamiento dividiendo la planta en cuadriláteros y tomando nota
del espesor de los muros. Sobre los claros, si no son muy grandes, se
pueden medir las diagonales por dos operadores, de una azotea a otra.
Si los claros son grandes, puede haber necesidad, en algunos casos, de
emplear líneas de liga, para tener los ángulos.
-También pueden levantarse por este método los predios y lotes peque-
ños, en la parte no edificada.
LEVANTAMIENTO DE DETALLES
Los detalles se fijan por intersecciones; es decir, por medio de dos
distancias Fig. NQ 27) o bien por normales a los lados del polígono de
base o a la prolongación de los lados del polígono.

poiígono d.e base
- 4........
Planimetría 41
A--- norm al al
lado 4-5
intersecciones
Figura 27
PROBLEMAS
1. Calcular la longitud que tendrá en un plano cuya escala es 1: 10,000
una línea que en el terreno mide 450 metros.
DATOS:
L = 450 m
M = 10,000
l = ?
SOLUCIÓN
De la fórmula general de la escala:
l 1
se deduce:
L M
l = .!::... = 450
M 10,000
l = 0.045 m
2. Determinar la longitud en el terreno de una línea medida en el pla-
no. Sea 1:5,000 la escala del plano, l = 14 mm la distancia medida
en él, y L su homóloga en el terreno.
DATOS:
l = 14 mm
M = 5,000
L= ?
SOL U CIÓN
L = l ' M ~ 0.014 X 5,000 = 70 m
IL = 70.00 m
3. Conocidas la distancia real y la longitud de su homóloga en el
plano, determinar la escala que se usará para dibujar el plano.
DATOS :
L = 128.50 m
l = 0.065 m
M= ?
SOLUCIÓN
L 128.50
M = -l = 0.065 = 1976.9 ::::: 2,000
Se usará la escala 1:2,000 I
-

1'"1 .YO
+ 50 .'to
.54.00
-114.80
.'
/
Il'.B
X ,..
-14q.b
4. Calcular los ángulos interiores y la superficie de un terreno trian-
gular cuyos lados se midieron con cinta.
A
b
B
DATOS
a;:::: 19.90 m
a
b = 50.90 m
e = 54.00 m
1~ SOLUCIÓN (por logaritmos): e
a= 19.90
b = 50.90
e = 54.00
2p= 124.80
p = 62.40
p - a = 42.50
p-b= 11.50
p-c= 8.40
FÓRMULAS
tan ! A = ...1 (p - b) (p - e)
2 1 p(p- a)
s = yp(p - a)(p - b)(p - e)
1
S = -ab sen e2
El cálculo por logaritmos se dispone como sigue:
log (p - b) = 1.060698
log (p - e) = 0.924279
colog p = 8.204815
colog (p - a) = 8.371611
A
2log tan 2" = 18.561403
A
log tan 2" = 9.2807015
~ = 10°48'
2
A = 21 °36'
log (p - a) = 1.628389
log (p - e) = 0.924279
colog p = 8.204815
colog (p - b) = 8.939302
B
210g tan 2" = 19.696785
~ff
~
B
log tan 2" = 9.8483925
.!!.. = 35°12'
2
B = 70°24'

Comprobación:
log (p - a) = 1.628389
log (p - b) = 1.060698
colog p = 8.204815
colog (p - e) = 9.075721
C
2log tan 2" = 19.969623
C
log tan - = 9.9848115
2
~ = 44°00'
2
A = 21 °36'
B = 70°24'
C = 88°00'
Planimetría 43
log p = 1.795185
lag (p - a) = 1.628389
Comprobación:
log a = 1.298853
log b = 1.706718
log (p - b) = 1.060698
lag (p - e) = 0.924279
2log S = 5.408551
log S = 2.7042755
S = 506.1464 m2
I
log sen C = 9.999735 - 10
colog 2 = 9.698970 - 10
log S 22.704276 - 20
lag S = 2.704276
S = 506.1464 m2
2<:l SOLUCIÓN (por funciones naturales):
tan A - .... /(p - b) (p - e) =....1 11.5 X 8.4 = 0.190854; ~ = 10048'.3
"2 -1 p(p - a) 162.4 .x 42.5 2
tan!: = J(p - a) (p - e) = J -42.5 X 8.4 = 0.705331; ~ = 35011'.8
2 1 p(p - b) 162.4 X 11.5
C _ ~(P - a) (p - b) __ ~42.5 X 11.5 = 0.965632; C
2
= 43059'.9tan- - 4
2 p(p - e) 62.4 :x 8.

Comprobación:
A = 21 °36'.6
~ff
~
B = 70°23'.6
C = 87°59'.8
-A-+-B--,...+-C=----,--:18:-:::0-=-°OO~,.-=-0
1 1
S = 2. be sen A = 2" (50.9) (54) (0.368294) = 506.1464 m2
Comprobación:
1 1
S = 2. ab sen C = 2: (19.9) (50.9) (0.99939) = 506.1461 m2
5. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la superfi-
cie del polígono de base.
Levantamiento con cinta de 30 m por
el método de radiaciones
ZA CATENCO, D. F.
24-ABRIL-76
Levantó: Alejandro Garda L.
Est. P.V. Distancias I CROQUIS Y NOTAS
O 1 22.92 N
1 2 26.84 ·1
2 3 17.40
3 4 25.00
4 O 28.60
A O 21.21
" 1 24.67
" 2 20.96
/
" 85 /
" /
" //
" /81 , / S4
--~"--- '"82 I s., "-I • <>
3
" 3 17.82
" 4 18.94
2
SOLUCIÓN
SI = y 34.40 X 11.48 X 13.19 X 9.73 y 50682.3480 = 225.1271
S2 = y 36.235 X 11.565 X 15.275 X 9.395 = Y 60138.3990 = 245.2313
Ss = Y28.09 X 7.13 X 10.69 X 10.27 = Y21988.1860 = 148.2841
S4 = Y30.88 X 13.06 X 5.88 X 11.94 = Y28314.0580 = 168.2678
S5 = Y 34.375 X 15.435 X 5.775 X 13.165 = Y 40338.7250 = 200.8450
I ST = 987.7553 m2
J

Planimetría 45
6. Calcular los ángulos interiores y la superficie del polígono de base
levantado por el método de diagonales, comprobando el cálculo,
con los datos del siguiente registro de campo.
Levantamiento con cinta de 50 m,
MEXICO, D. F.
30-AGOSTO-54
Levantó: Fd(). García L.por el método de diagonales
Est. P.V. Distancias
1-- - - -
CROQUIS Y NOTAS
1 2 50.60 N
2 3 35.10
3 4 56.40
4 1 39.00
1 3 61.50 4
2 4 68.30
banque,ta::==~=:~===~==~~=3.00 ro
Calle Feo. i. M¡¡:!!''O
SOLUCIÓN
Triángulo 1 - 2 - 4
a = 50.60 ID a _/39.95 X 10.65
b = 39.00 " tan '2 = "78.95 X 28.35 = 0.435994;
e = 68.30 "
2p = 157.90
p = 78.95
tan~= -'28.35 X 10.65 = 0309397' ~2 = 17011'.5
2 " 78.95 X 39.95 ' ,
"'-
p - a = 28.35
p - b = 39.95
p - e = 10.65
tan.!. = /39.95 X 28.35 = I 160604'
2 , 78.95 X 10.65 ' ,
SI = V78.95 X 28.35 X 39.95 X 10.65 = 975.8561 m".?
Comprobación:
f3 = 34°23'.0
1 = 98°30'.2
a + f3 + 1 = 180°00'.0
SI = ~ (50.6) (39.0) (0.98902)
SI = 975.8660 m2

Triángulo 2 - 3 - 4
a'= 35.10 m a' ¿,j235x116 a'
b' = 5640" tan ""2 = . , ' . = 0.275963; - = 15°25'.6
e = 68:30" 79.9 X 44.8 2
2p = 159.80 tan 11' = J 44.8 X 11.6 = 0526090' /3' = 27°44' 9
p = 79.90 2 " 79.9 X 23.5 · ' '2 .
p - a' = 44.80 A A
P - b' == 23.50 tan ~ = J 44.8 X 23.5 = 1.065787; ~ = 46049'.4
p - e = 11.60 2 " 79.9 X 11.6 2
S2 '= V79.9 X 44.8 X 23.5 X 11.6 = 987.8143 m2
Comprobación:
a' = 30°51'.2
f3' = 55°29'.8
A
3 93°38'.8
a' + f3' + 3 = 179°59'.8
A
4 = a + a'
A
2 = f3 + /3'
S = S1 + S2
1
S2 = 2: (35.1) (56.4) (0.99797) 1=
S2 = 987.8107 m2
1= 98°30'.2
2= 89°52'.8
3= 93°38'.8
4= 77°58'.0
ÁNGULOS
INTERIORES
1 + 2 + 3 + 4 = 359°59'.8
/.VUWUfh1nff
-.5
S1 = 975.8561
S2 = 987.8143
Sr = 1963.6704 m2 SUPERFICIE
7. Calcular los ángulos interiores del cuadrilátero levantado por el
procedimiento de líneas de liga, comprobando el cálculo, con los
datos del registro siguiente:

Planimetría 47
tros, por el método de lineas de liga
ZACATENCO, D. F.
28-DIC-70
Levantó: Javier González
Est. P.v. Distancias CROQUIS Y NOTAS
A B 70.86 A N
a 10.00 a
h 10.00 b B
a h 13.70
B C 69.88
b 7.00
e 7.00
b e 11.79
C D 100.00
d 8.00
e 8.00
d e 10.83
A 97.63 rr.:>D
f 9.00
g 9.00
/ g 10.78 D
SOLUCIÓN
•cff~Triángulo a-A-h
Aa = 10.00 p - Aa = 6.85
Ah = 10.00 p - Ah = 6.85
ah = 13.70 p - ah = 3.15
2p ';= 33~70
p = 16.85
Triángulo b-B-e
Bb -= 7.00 p - Bb = 5.895
Be = 7.00 p - Be ;= 5.895
be = 11.79 p - be :::-: 1.105
2p = 25.79
p = 12.895
Triángulo d-C-e
Cd = 8.00 p - Cd = 5.415
Ce = 8.00 p - Ce = 5.415
de = 10.83 p - de = 2.585
-2p 26.83-
p = 13.415
tan ~ = J (6.85) 2 .= 0940
2 " 16.85 X 3.15 . . 2
tan ~ = ...1 (5.895) 2 = 1.5617
2 " 12.895 X 1.105
~ - 57°22' I B = 114°44' I
tan ~ = J (5.415)2 = 0.9195
2 " 13.415 X 2.585
C
2

Triángulo f-D-g
Df = 9.00
Dg = 9.00
fg = 10.78
p - Df = 5.39
p - Dg = 5.39
p - fg = 3.61
D _ J (5.39):! = 0.7478
tan 2"' - ., 14.39 X 3.61
2p =28.78
p = 14.39
Comprobación:
D = 36°47'.5
2
A = 86°28'
B ;= 114°44'
C = 85 °12'
D = 73 °35'
A + B + e + D = 359°59'
8. Con los datos del registro siguiente
a) Dibuje el plano a la escala 1:500.
I D = 73°35'
~Ufhlnff
~
b) Calcule la superficie del cuadrilátero 1-2-3-4-1, comprobando
el resultado.
Levantamiento con cinta de 50 me- Lomas de Sote/o, D. F.
tras, por el método de prolongación 15-FEB-75
de alineaciones Levantó: Guillermo Garda O.
Est. P.v. Distancias L CROQUIS Y NOTAS
P l ' 17.10 rectángulo director
1" 6.80 p 1 ~ 1 2'. Q
Q 2' 13.20 1"", 11 12 J 2"
2" 7.00
N 3' 13.20
3" 8.80
~'-J3"
E
M 4' 9.91 o
o
4" 3.65 ott:)
1 2 50.60 I 4"
2 3 35.10
M I
I
3 4 56.40
4' 3' IN
~. ~<
I
I
4 1 39.00 80.0fun j-
SOLUCIÓN
s = 1963.5967 m2
I
9. En el levantamiento con cinta del predio que se indica en el regis-
tro de campo, se obtuvieron los datos siguientes:

4
Planimetría 49
a) Calcule la superficie.
b) Calcule las longitudes de los lados y compare los resultados
con los obtenidos directamente en el campo.
e) Dibuje el plano del predio levantado (Escala 1: 100').
tros, por el método de coordenadas
rectangulares
MEXICO, D. F.
26-MAY-76
Levantó: Enrique Garda
COORDENADAS
Vértices CROQUIS Y NOTAS
1
2
3
4
Lados:
1-2
2-3
3-4
4-1
x
1.92
20.00
28.90
11.62
22. 35 m
32. 82 m
17.95 m
25. 25 m
y
26.87
40.00
8.42
3.55
SOLUCIÓN
.y
o
l ' 4' 2' 3'
N
3.00 m
X
a) Cálculo de la superficie:
s = ~ [ (Xl + X.2 ) (Y2 - Yl ) + (X2 + Xa) (Ya - Y 2 ) +
(Xa + X 4 ) (Y4 - Ya) + (X4 + X l) (Y1. - Y4 ) J
s = ~ [ (21.92) (13.13) + (48.9) (-31.58) +
(40.52)(-4.87) + (13.54) (23.32)J
S =~ [ 287.8096 - 1544.2620 - 197.3324 + 315.7528J
S = 569.0160 m' I
Nota: El signo de la superficie sólo indica el sentido en que se ha
recorrido el polígono.

b) Cálculo de los lados: d = V(X;! - X1 )2 + (Yi - Y1F
1 - 2 = V (20 - 1.92F + (40 - 26.87) 2 = 22.34 m
.2 - 3 = V (28.9 - 20P + (8.42 - 40)"2 = 32.81 m
3 - 4 = V (11.62 - 28.9):! + (3.55 - 8.42)2 = 17.95 m
_ _ _ o
4 - 1 = V(1.92 - 11.62):! + (26.87 - 3.55)2 . 25.26 m
Nota: Los lados calculados coinciden con los medidos en el
caqlpo y que figuran en el registro respectivo.
LEVANTAMIENTOS CON BRUJULA y CINTA
Generalidades
La orientación topográfica, en términos generales, tiene por objeto dar
a las lí'1eas de un plano la misma dirección que guardan sus homólogas
en el terreno. La dirección de cualquier línea se determina por el ángulo
horizontal que forma con alguna referencia real o imaginaria que tiene
una dirección fija. Comúnmente se emplean como líneas de referencia la
meridiana astronómica, la meridiana magnética o una meridiana elegida
arbitrariamente que se denomina meridiana supuesta.
Definiciones
Plano meridiano astronómico o verdadero de un punto es el círculo
máximo que pasa por ese punto¡y por los polos terrestres.
Plano meridiano magnético es el plano vertical en que se coloca una
aguja imanada y orientada bajo la acción única del campo magnético te-
rrestre.
Meridiana astronómica o verdadera es la dirección norte-sur dada por
la intersección del plano meridiano astronómico con el horizonte.
Meridiana magnética es la línea paralela a las líneas magnéticas de
fuerza de la Tierra; su dirección es la que toma una aguja magnética sus-
pendida- libremente.
Lo:; polos magnéticos están a alguna distancia de los }Jolos geográficos,
por tanto, la meridiana magnética no es paralela a la verdadera.
La situación de los polos magnéticos está cambiando constantemente;
y por eso la dirección del meridiano magnético no es constante. Sin em-
bargo, la meridiana magnética se emplea como una línea de referencia en
los levantamientos aproximados en los que a menudo se usa una brújula.
Los diversos instrumentos de orientación suelen llevar todos una
brújula.

Planimetría 51
Se llama declinación magnética el ángulo entre la meridiana astronómica
y la magnética.
En nuestro país la declinación magnética es oriental; es decir, el extremo
norte de la aguja de la brújula apunta al Este de la meridiana astronómica
o verdadera. (Fig. N9 28.)
eS =Declinación magnética
Figura 28
La declinación cambia de valor de un lugar a otro y está sujeta a
variaciones seculares, anuales, diarias e irregulares.
La variación secular es igual a varios grados en un ciclo de aproxi-
madamente 300 años. Debido a su magnitud, es de mucha importancia
para el topógrafo, especialmente para retrazar líneas, cuyas direcciones se
encuentran referidas al meridiano magnético como existía en años anteriores.
La variación anual es una oscilación periódica diferente de la variación
secular y en la mayor parte de la República Mexicana su magnitud es
menor de 1'.
A la variación diaria se le llama variación solar diurna y ocurre todos
los días. La variación media es menor de 8', cantidad tan pequeña que
no es necesario tomar en cuenta en los trabajos en los que se emplea la
brújula.
Las variaciones irregulares se deben a perturbaciones magnéticas y 10
más probable es que se produzcan en las tormentas magnéticas. Pueden
alcanzar la magnitud de 1o o más, especialmente a elevadas latitudes.

Se llaman líneas isogónicas a las que unen los distintos lugares de la
Tierra que tienen la misma declinación.
Líneas agónicas son las que unen los puntos de declinación nula.
Inclinación magnética de un lugar es el ángulo vertical que la aguja
imanada libre forma con el plano horizontal.
Para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical, en las
brújulas fabricadas para su empleo en el hemisferio norte, se pone en la
punta sur de la aguja una pequeña corredera de alambre, que permite man-
tener 13. aguja en posición horizontal e identificar las puntas norte y sur.
Lineas isóclinas son aquellas que unen puntos de igual inclinación mag-
nética y corresponden a los círculos de igual latitud.
La dirección de cualquier línea con respecto a una meridiana dada
puede definirse por el azimut o por el rumbo.
Azimut de una línea es su dirección dada por el ángulo horizontal entre
el meridiano y la línea; se mide a partir del norte en el sentido del movi-
miento de las manecillas del reloj y su valor varía entre 00
y 3600
•
Los azimutes se llaman astronómicos o magnéticos según si el meri-
diano e3 el verdadero o el magnético.
Azimut directo de una línea es el que se toma en el origen de la línea
y azimut inverso el tomado en su extremo final.
Entre ambos azimutes, directo e inverso, existe una diferencia de 1800
,
esto es
N
A
Azimut inverso = Azimut directo ± 1800
I
~ff
.5
levantamiento
•
Figura 29
Az. BA = Az. AB + 1800
N
Az. BA
---
B

Planimetría 53
Cuando el azimut directo es mayor que 180°, para obtener el azimut
inverso, se le restan 180°; Y si el azimut directo es menor que 180°, enton-
ces el inverso se obtiene agregándole esa cantidad.
EJEMPLOS
1. Si: Az. directo = 75 °12'
entonces:
Az. inverso = 75°12' + 180° = 255 °12'
2. Si: Az. directo = 230°40'
entonces: t)o~ ~ I
Az. inverso = 230°40' - 180° :::s 60°301
Rumbo de una línea es el ángulo horizontal que dicha línea forma con
la meridiana; su valor está comprendido entre 0° y 90°; y se mide a partir
del Norte o desde el Sur, hacia el Este o hacia el Oeste. ,
El rumbo se llama astronómico o magnético según que el meridiano
sea el astronómico o el magnético.
El rumbo de una línea se indica por el cuadrante en el que se encuentra
y por el ángulo agudo que la línea hace con el meridiano en ese cuadrante.
ASÍ, en la figura NQ 30, los rumbos de las líneas OA , OB, OC Y OD,
se indican como sigue:
N
W____...L.L.-"*~_---E
e
B
s Figura 30
Rbo. OA = N 61 °10' E
Rbo. OB = S 42°07' E
Roo. OC = S 59°32' W
Rbo. OD = N 31 °40' W

S4 Curso básico de topografía
Como en el caso de los azimutes, los rumbos pueden ser directos e
inversos. Se llama rumbo directo de una linea, el que se toma en la direc-
ción general del levantamiento y rumbo inverso, el tomado en la dirección
opuesta. (Fig. NQ 31.) El rumbo directo y el rumbo inversO' -de una mis-
ma línea tienen el mismo valor y se localizan en cuadrantes opuestos.
N
V A l E
~ff
.5
s
N
directo W ?ti
s
Rbo. AB = S 60°15' E
Rbo. BA = N 60°15' W
Figura 31
Rbo. inverso
B E
Conversión de azimutes magnéticos a azimutes astronómicos
Cuando se conocen el azimut magnético de una línea y la declinación
magnética, se puede obtener el azimut astronómico de la línea mediante
la relación siguiente (Fig. N<? 32):

Planimetría
Azimut astronómico de la 1inea AB
Azimut magnético de la 1inea AB
A
B
Figura 32
Az. astronómico = Az. magnético + Declinación
EJEMPLO
Determine el azimut astronómico de la línea AB.
DATOS:
Az. magnético AB = 93 c
'28'.
Declinación magnética: 8 = 1+ 9°43'.
SOLucrÓN
Az. astronómico A B = 93 °28' + 9°43'
Az. astronómico A B = 103o tI '
Conversión de rumbos magnéticos a rumbos astronómicos
ss
Para convertir rumbos magnéticos a rumbos astronómicos se suma o
se resta la declinación al rumbo magnético, según el cuadrante.

o o
B
1er cuadrante 29 cuadrante
Rbo. astr. = Rbo. mago + 8 Rbo. astro = Rbo. mago - 8
o o
B
3er cuadrante ~J»ff 49 cuadran.te
.5
Rbo. astro = Rbo. mago + 81 I Rbo. astro = Rbo. mago - 8
Figura 33
1er y 3er cuadrantes: Rumbo astronómico = Rumbo magnético +
Declinación.
29 y 49 cuadrantes. Rumbo astronómico = Rumbo magnético -
Declinación.

Planimetría 57
EJEMPLO:
El rumbo magnético de una línea es S 42°40' W, y la declinación
magnética es 6°10' E. ¿Cuál es el rumbo astronómico de la línea?
DATOS:
Rbo. magnético = S 42°40' W.
Declinación = 6°10' E.
Rbo. astronómico = ? .
SOLUCIÓN
Dibuje un croquis.
o
A
W----------~-----------E
6° 10'
B
s
Figura 34
Rbo. astronómico = rumbo magnético + declinación.
Rbo. astronómico = S 42°40' W + 6°10'.
Rbo. astronómico = S 48°50' W I
Conversión de azimutes a rumbos y viceversa
Con frecuencia hay necesidad de convertir los azimutes en rumbos y
viceversa. Para facilitar esta conversión, con el auxilio de las figuras siguien-

tes, estableceremos la relación entre azimut y rumbo en cada uno de los
cuatro cuadrantes. (Fig. NQ 35.)
w
B
r..;
1
B
K
A
s
1('f cuadrante
Rbo = Az
Az = Rbo
N
E
~~ff
.5
s
3<!f cuadrante
Roo = Az - 180'"
Az = 180::' + Rbo
E
W
B
N
..."-,
A l '(z
s
29 cuadrante
Rbo = 1800
- Az
Az = 1800
- Rbo
N
W "1
s
4Q cuadrante
Rbo = 360: - Az
Az = 360 - - Rbo
Figura 35
E
ti:

Planimetría 59
EJEMPLOS
1. Convertir a rumbos los siguientes azimutes:
Azimutes Rumbos SOLUCIÓN
124°35' S 55°25' E 179°60' 359°60'
283°07' N 76°53' W 124°35' - 283°07'
72°10' N 72°10' E
S 55°25' E N 76°53' W
198°52' S 18°52' W I
2. Convertir a azimutes, los rumbos siguientes:
Rumbos Azimutes
S 23°40' W 203°40'
N 56°21' E 56°21'
S 9°56' E 170°04'
N 81 °03' W 278°57'
Descripción de la brújula
180°
+ 23°40'
203°40'
SOLUCIÓN
198°52'
180°
S 18°52' W
359°60'
- 81 °03'
278°57'
La brújula es un instrumento topográfico que sirve para determinar
direcciones con relación a la meridiana magnética. (Fig. Nq 36.)
Casi todos los trabajos antiguos de topografía fueron hechos con la
brújula, y por lo tanto es esencial un conocimiento de la brújula y de su
aplicación en los trabajos de topografía, para la comprensión de los eje-
cutados antiguamente y que a menudo tienen que ser resueltos por el topó-
grafo moderno.
Las partes principales de la brújula son:
1. La caja que lleva un círculo graduado de 0° a 360° en el sentido
del movimiento de las manecillas del reloj, o de 0° a 90° en ambas direc-
ciones del N y del S y, generalmente, los puntos E y W invertidos debido
al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja.
2. Un nivel circular que se usa para mantener el círculo graduado en
un plano horizontal, cuando se van a tomar direcciones con la brújula.
3. Pínulas ocular y objetivo,. que son los elementos que sirven para
dirigir la visual y están colocados en línea con los puntos cardinales N y S
de la caja de la brújula, y
4. Una aguja imantada que puede girar libremente sobre un pivote
colocado en el centro del círculo graduado. La punta S lleva un contrapeso
para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical.

contrapeso de
la aguja
pínula
• fJ11 nivel circular
nivel del eclímetro
pínula
.l"u,r"",1~#
-5
Figura 36

Planimetría 61
Condiciones que debe satisfacer toda brújula
1. La aguja debe ser móvil. Se conoce que la aguja llena esta condi-
ción cuando separada de su posición normal la recobra exactamente des-
pués de varias oscilaciones regularmente decrecientes. La faIta de limpieza
o los defectos de suspensión pueden ser causa de que no se cumpla esta
condición.
2. La aguja debe ser sensible. Esta propiedad se reconoce por el nú-
mero y la velocidad de las oscilaciones. Una aguja de longitud media deberá
dar Ull3S 30 oscilaciones para recobrar su posición normal y su período
no debe pasar de 2 segundos. Cuando la aguja pierde su sensibilidad puede
devolvérsele frotándola del centro a las puntas con el polo de nombre
contrario de un imán en he"rradura de 200 g de fuerza.
3. La línea de los ceros debe estar en el plano qUf~ pasa por la visual,
definida por las pínulas. Si esta condición no se cumple las direcciones mar-
cadas por la aguja, no quedarán referidas a la meridiana magnética.
4. La línea que une las dos puntas de la aguja debe pasar por el eje
de rotación de la aguja. Esta condición se cumple, si la diferencia de las
lecturas entre las dos puntas, en cualquier posición de la aguja es de 1800
•
Se corrige enderezando la aguja.
5. El pivote sobre el que reposa la aguja debe estar en el centro del
CÍrculo graduado. Se revisa observando si la diferencia de lectura de las
dos puntas es de 1800
en alguna posición y en otras no. El defecto con-
siste en que el pivote de la aguja se haya desviado. Se corrige enderezando
el pivote.
6. El eje magnético de la aguja debe coincidir con su eje geométrico.
Si no se cumple esta condición los rumbos dados por la brújula no serán
los reales y la figura no quedará correctamente orientada, pero este defecto
no tendrá influencia en la posición relativa de los lados.
Usos de la brújula
La brújula es útil solamente para hacer levantamientos aproxImados.
Se emplea para:
- levantamientos secundarios.
- levantamiento de detalles para el relleno de planos a pequeña escala.
- tomar radiaciones en trabajos de configuración.
- reconocimientos.
- trabajos preliminares, y
- exploraciones militares.

Ventajas en el uso de la brújula
- La brújula es ligera, se carga con facilidad y demanda poco tiempo
para visar y para leer.
- Un error en la dirección de una línea no afecta necesariamente a
las demás líneas del levantamiento.
- La brújula se adapta especialmente para correr líneas rectas a través
de un obstáculo, pues puede instalarse salvando éste y continuar
después COI: el rumbo directo leído anteriormente.
Inconvenientes en el uso de la brújula
- Los rumbos o azimutes no pueden obtenerse con una aproximación
mayor de 15 minutos.
- La aguja es insegura y en algunos casos nula, a causa de las atrac-
ciones locales, por tanto, la brújula no debe emplearse en poblaciones
y en la proximidad de vías férreas, estructuras metálicas, líneas de
alta tensión, etc.
.'·I"f'I,;/,1~'f
.5Atracciones locales
La aguja magnética puede cambiar de su posición natural por la
atracción de cualquier sustancia magnética que se encuentre cerca de ella,
como son el hierro, los rieles del ferrocarril, estructuras de acero de los
edificios, hierro magnético en terrenos de naturaleza volcánica, etc.
Corrección por las atracciones locales
Si en cualquier estación de un levantamiento existe una atracción local
producida por una fuente fija, ésta afectará los rumbos de atrás y de ade-
lante tomados en esa estación, en la misma cantidad. Tomando en consi-
deración que el ángulo calculado entre los lados de cualquier estación,
se puede determinar correctamente de los rumbos observados sin que im-
porte que la aguja esté afectada localmente, empezando por el lado de la
poligonal que no esté afectado por la atracción local, se pueden calcular
los rumbos correctos de los lados siguientes.
EJEMPLO
En el levantamiento de una poligonal, con brújula, se obtuvieron los
datos siguientes:

Planimetría 63
REGISTRO DE CAMPO 6
Rumbo Rumbo
Lados Distancias directo inverso Croquis y notas
~
A - B 60.50 N 45·00' E S 45·00' W
B - C 119.00 S 60·00' E N 62"00' W
t• o
C-D 72.40 S 31·00' W N 30·00' E
D-E . . .
... i9
Como los rumbos directo e inverso del lado AB coinciden, se supone
que las estaciones A y B están libres de atracciones locales. Por tanto, el
rumbo directo de Be, s 60°00' E es correcto. (Fig. NQ 37.)
N
B
D
,
J
N I
Figura 37
atracción
local
El ángulo en e, calculado de los rumbos observados, es:
e -= 180° - (62 ° + 31 ° ) = 87°
e = 8r es el ángulo correcto a pesar de la atracción local, excluyendo
desde luego los errores de observación.
Con el valor de e, se calcula ahora el rumbo correcto del lado eD.
Roo. eD = 180° - (60 + 87) = S 33°00' W
También se pueden hacer las correcciones de los rumbos observados, sin
calcular los ángulos de la poligonal, teniendo en cuenta la magnitud y di-
rección del error debido a atracciones locales.

EJEMPLO
En el registro de campo del ejemplo anterior, se ve que el rumbo inverso
correcto de BC es N 600
0<Y W y que el observado es N 62°00' W, por tanto,
la atracción local en C es de 2° en el sentido directo, y la corrección a
cualquier rumbo observado con la brújula en C es de 2° en el sentido
contrario del movimiento de las manecillas del reloj. (Fig. NQ 38.) El rum-
bo directo observado del lado CD es S 31°00' W, y el rumbo corregido
de CD, es: 31 ° + 2° = S 33°00' W.
N
B
s
'.'''''("1'Jo'N~
-5 D
I
I
!L-- desviación de la aguja a
N ~2 ° causa de atracciones
1 locales
I
')0
..
rumbos
correctos
Figura 38
Si las discrepancias entre los rumbos directo e inverso son pequeñas y
aparentemente no son de carácter sistemático, es razonable suponer que
los errores se deben a causas diferentes de las atracciones locales.
Las atracciones locales se presentan con frecuencia y el topógrafo debe
tener especial cuidado en evitar los errores a que ellas pueden conducir.
METODOS DE LEVANTAMIENTO CON BRUJULA y CINTA
Se emplean los siguientes:
- Itinerario.
- Radiaciones.

Planimetría 6S
- Intersecciones, y
- Coordenadas rectangulares.
El método de itinerario es el principal y se usa para el levantamiento
del polígono de base, en tanto que los tres restantes se emplean como auxi-
liares del primero, para el levantamiento de detalles.
Método de itinerario
Este método consiste en recorrer el perímetro de la poligonal, tomando
los datos necesarios para la 'construcción del plano correspondiente.
A. Trabajo de campo. Comprende las operaciones siguientes:
1. Reconocimiento del terreno.
2. Materialización de los vértices de la poligonal.
3. Dibujo del croquis de la poligonal.
4. Recorrido del perímetro del polígono de base o de la poligonal,
a partir del vértice elegido como origen, tomando en cada uno de los
vértices, los rumbos (o azimutes) directo e inverso de los lados que en
dicho vértice concurren y midiendo con la cinta los lados de la poligonal.
5. Levantamiento de detalles aplicando para el efecto los métodos
auxiliares procedentes.
Los datos recogidos en el levantamiento se anotan, en forma clara y
ordenada, en el registro de campo, como se ilustra en el ejemplo siguiente:
REGISTRO DE CAMPO 7
Levantamiento con brújula de 30' de Lomas de Sotelo, D. F.
aprox. y cinta de acero de 50 metros, 30-MAY-75
por el método de itinerario Levantó: Javier del Río
RUMBOS
I
Dist. CROQUIS Y NOTAS
Est. P.v. (m) Directos Inversos
--- .
O 1 37.00 N 45 °00' E S 45°30' W 2 N
1 2 40.50 N 37 °00' W S 37°00' E l I, 3 ~ I
N 70· 00' E l
I
2 3 36.50 S 70°30' W
,
prados
1
I3 4 37.45 S 2°00' E N roO' W
4 o 35.00 S 75°00'E N 75°30' W 4 I
II
J
5

Las distancias se comprueban midiéndolas dos veces (ida y regreso) y
los rumbos (o azimutes) tomando el directo y el inverso de cada lado.
B. Trabajo de gabinete.
1. Se calculan los ángulos interiores del polígono, a partir de los
rumbos (o azimutes) observados.
El error angular (EA) se determina comparando la suma de los ángulos
interiores obtenidos en función de los rumbos (o azimutes) observados con
la suma que da la condición geométrica:
I ¡ ángs. interiores = 1800
(n - 2)
siendo: n = número de lados del polígono.
El error angular no deberá exceder la tolerancia angular, que para este
caso es:
[ TA = ±a 'in .o"rlrJ"',#
.5
TA = tolerancia angular, en minutos.
a = aproximación de la brújula, en minutos = -+-30'.
n = número de vértices de la poligonal.
Si: EA > TA , deberá repetirse el trabajo.
La determinación del error angular debe hacerse en el campo, al termi-
nar el trabajo, porque en caso de resultar mayor que la tolerancia se puede
repetir el levantamiento, evitándose tener que regresar al campo y pérdida
de tiempo.
2. Se escoge un rumbo que se supone correcto. Este puede ser el de
un lado cuyos rumbos directo e inverso hayan coincidido mejor, y se deno-
mina rumbo base.
3. Luego con los ángulos interiores corregidos y el rumbo base, se
calculan nuevos rumbos para todos los lados del polígono, que serán los
rumbos calculados.
4. Se elige la escala (o se emplea la especificada para el trabajo efec-
tuado) .
5. Se dibuja el polígono.
6. Como a pesar de todas las precauciones tomadas en el terreno y
en la construcción del plano, generalmente, el extremo final del polígono
de base no coincide con el origen, la distancia gráfica entre dichos puntos
es el error de cierre que no deberá ser mayor que la tolerancia lineal
dada por las fórmulas siguientes:

Planimetría 67
Terreno Tolerancia lineal
PLANO TL = 0.015 vI:+ 0.OO08L + 0.1 Vn - 1
QUEBRADO TL = 0.020 VL + 0.OOO8L + 0.1 Vn - 1
MUY QUEBRADO TL - 0.025 VL + 0.OO08L I+ 0.1 Vn - 1
TL = tolerancia lineal, en metros.
L =perímetro o desarrollo de la poligonal, en metros.
n =número de lados de la poligonal.
Si: E > T, debe repetirse el levantamiento.
También se puede calcular la tolerancia lineal TL, para trabajos con
brújula y cinta, aplicando las fórmulas siguientes:
Terreno Tolerancia lineal
L
PLANO TL = 1000
L
ACCIDENTADO TL
= 500
TL = tolerancia lineal, en metros.
L = perímetro de la poligonal, en metros.
7. Si el error de cierre no rebasa la tolerancia establecida, se com-
pensará el error gráficamente.
8. Una vez compensado el error, se dibujarán los detalles, partiendo
de la estación origen, constituyendo éstos el verdadero valor del plano
topográfico.
9. La precisión o error relativo en los levantamientos con brújula y
cinta, en terreno plano es 1/1000 y en terreno accidentado 1/ 500.
La precisión obtenida en un levantamiento se calcula dividiendo el
error de cierre por el perímetro del polígono.
l
. _ Error de cierre
Precisión o error re atlVo - P ' d 1 renmetro e po 19ono

Si designamos por P la precisión, El, el error de cierre y 'J.,L el perí-
metro de la poligonal, se tiene:
~
; P=V; I (1)
Se acostumbra representar la precisión como una fracción cuyo nume-
rador es la unidad. De (1) se deduce:
EL
EL 1 1
P = - - - P=-
(2)~L 'i,L "5..L
EJ, El, EJ,
La expresión (2) indica que habrá una unidad de error por cada cierto
número de unidades medidas.
PROBLEMAS
1. En un levantamiento con brújula de 30' y cinta de acero, en terreno
muy quebrado, se tienen los datos siguientes:
'J.,L =2,500 m
n = 17
'i, ángulos obtenidos =2698°00'
en función de los
EL = 3.50 m rumbos
Calcular:
a) Tolerancia angular.
b) Erro.:- angular.
c) Tolerancia lineal.
.rlf~f'''e),/J~
-5d) Precisión.
SOLUCIÓN
~ ángs. ints = 1800
(n - 2) = 180°(17 - 2) = 180°(15) = 2700°
Comparando esta suma con la de los ángulos obtenidos en
función de los rumbos observados, se encuentra el error angular:
I E,[ = -2°00'
TA = +a yn +30' y17 = +123' ~ +2°
EA = TA
TA = +2°

Planimetría 69
Para terreno muy quebrado la tolerancia lineal se calcula apli-
cando la fórmula:
TL = 0.025 VL+ 0.OOO8L + 0.1 Vn - 1
= 0.025 V2500 + 0.0008(2500) + 0.1 V17 - 1
= 1.25 + 2.00 + 0.40 = 3.65 TL = 3.65 m
El error relativo o precisión obtenida en el levantamiento es:
p= EL =3.50=00014 ó
'J,L 2500 .
1 1
p = 2500 = 714
3.50'
2. Dados los rumbos directos e inversos tomados en un levantamiento
con brújula:
a) Calcular los ángulos interiores del polígono.
b) Determinar el error angular.
e) Calcular la corrección angular, y
d) Obtener los ángulos interiores corregidos.
Rumbos Rumbos
Lados directos inversos
0-1 S 30°30' W N 30°30' E
1 - 2 S 83 °00' E N 84°00' W
2-3 N 2°00' W S 2°30' E
3-4 S 89°30' W N 89°00' E
4-0 S 29°00' E N 28°00' W
SOLUCIÓN
Para obtener los ángulos interiores a partir de los rumbos ob-
servados dibújese un croquis del polígono anotando los valores
angulares de los rumbos. (Fig. NI? 39.)

4 4 * " • 3
29 2° 30'
.1?Uf'lr~.I/#
-530° 30'
30
0
30' 84~~1
1 P . 2
2°'
83 U
Figura 39
L O = 180° + 28° + 30°30' = 238°30'
L 1 = 180° - (30°30' + 83°) 66°30'
L 2 = 84° - 2° 82°00'
L 3 = 89°30' + 2°30' 92°00'
L 4 = 180° - (89° + 29°) 62°00'
¡ ángulos interiores = 541 °00'
(obtenidos a partir de los rumbos observados).
En este caso la condición geométrica, para n = 5, da:
¡ ángs. ints = 1800
(n - 2) ·= 180°(3) = 540°00'
Si se comparan las sumas de los ángulos interiores, una obtenida
a partir de los rumbos observados y la otra por la condición geo-
métrica, se encuentra el error angular:

Planimetría 71
EA = 541 °()()' - 540°00' = +1° EA = + 1° 1
La corrección que se aplicará a cada uno de los ángulos inte-
riores, con signo contrario al error, se obtiene dividiendo el error
angular, expresado en minutos, entre el número de ángulos del
polígono.
60'
Corrección angular = - = 12'
5
Los ángulos corregidos se hallan aplicando la corrección a los
obtenidos a partir de los rumbos observados, como sigue:
L O= 238°30' - 12' = 238°18'
L 1 = 66°30' - 12' = 66°18'
L 2 = 82°00' - 12' = 81 °48' ~
L 3 = 92°00' - 12' = 91 °48' fr,r('.1IJNI."
L4= 62°00' - 12' = 61°48'
~ ángulos interiores = 540°00'
3. Como la línea O - 1 del problema anterior, tiene rumbos directo
e inverso iguales, tómese como rumbo base y con los ángulos inte-
riores corregidos, calcúlense los nuevos rumbos de los lados del
polígono.
SOLUCIÓN
Dibújese un croquis del polígono y anótense los valores del
rumbo base y de los ángulos interiores corregidos (Fig. NI? 40) Y
así podrán encontrarse fácilmente los rumbos buscados.
Rbo. O - 1 = S 30°30' W (Rumbo base)
Rbo. 1 - 2 = 180° - (30°30' + 66°18')
Rbo. 1 - 2 = S 83°12' E
Rbo. 2 - 3 = 83°12' - 81 °48' = 1°24'
Rbo. 2 - 3 = N ]024' W _
Rbo. 3 - 4 = 180°00' - (91 °48' - 1°24')
Rbo. 3 - 4 =N 89°36' W
Rbo. 4 - O = 89°36' - 61 °48' := 27°48'
Rbo. 4 - O =S 27°48' E

.'·I"(,"JOI;~
-5
4 ti,.,. dmJ 3
91 0
48' 1 0
24'
lrW'1'1'//l 238 o 18'
1 0
24'
1
048'
83 012' 2
Figura 40
4. Con los siguientes datos del registro de campo calcular:
a) Los ángulos interiores del polígono a partir de los rumbos
observados.
b) El error angular (EA).
e) La tolerancia angular (T,d a '= 30'
d) La corrección angular (C).
e) Los ángulos interiores corregidos.
f) Los rumbos, a partir del rumbo base y los ángulos interiores
corregidos. (Tómese como rumbo base el del lado 1 - 2).
g) Los rumbos astronómicos (8 = 9°30' E).
h) La tolerancia lineal (terreno plano).
i) La precisión (supóngase: EL = 0.40 m).

Planimetría 73
Distancias Rumbos I Rumbos
Est. P.V. (m) directos inversos
--
O 1 37.00 N 45°00' E S 45 °30' W
1 2 40.50 N 37°00' W S 37°00' E
2 3 36.50 S 70°30' W N 70°00' E
3 4 37.45 S 2°00'E N 2°00' W
4 O 35.00 S 75 °00' E N 75 °30' W
186.45 m
SOLUCIÓN
a) Dibújese el croquis del polígono y anótense los valores angulares
de los rumbos observados. Los ángulos interiores se hallan como
se indica en seguida (Fig. NQ 41):
3
Figura 41

75 °30'
+ 45 °
LO - 120°30'
180°
- 72°
L 3 = 108°
OPERACIONES
37°
+ 45 °30'
- 82°30'
179°60'
L 1 9'7°30'
182°
- 75°
L 4 = 107°
75 °30' + 45° = 120°30'LO=
L 1 =
L 2 =
L 3 =
180° - (37" + 45 °30') = 9]030'
37° + 70°30' = 107°30'
180° - (70° + 2°) = 108°00'
L 4 = (180° + 2°) - 75° = 107°00'
37°
70°30'
L 2 = 107°30'
LO = 120°30'
L 1 = 97°30'
L 2 = 107°30'
L 3 = 108°00'
L 4 = 107°00'
~ ángs. = 540°30'
Angulos interiores del
polígono, calculados
con los rumbos directos
e inversos observados
durante el levantamien-
to.
b) El error angular (EA) se obtiene comparando las sumas de
los ángulos calculados a partir de los rumbos observados, y
de los ángulos interiores que da la condición geométrica:
::s ángs. ints = 1800
(n - 2)
En este caso:
n=5
por tanto:
.'·IfU·UiJ,1J~
.5
! . ángs. interiores = 180°(5 - 2) = 180°(3) = 540°00' I (1)
Por otra parte:
::s ángs. calculados = 120°30' + 97°30' + 107°30' + 108°00' + lOrOO'
~ ángs. calculados =540°30' I (2)
De las igualdades (1) y (2), se deduce: EA = +30'
c) La tolerancia angular se encuentra aplicando la fórmula:
TA = +a -In = +30' '.15 = +67'
EA < TA
[ TA = ±67'

Planimetría 7S
d) La corrección que se aplicará a cada uno de los ángulos inte-
riores, es en este caso:
Esta corrección se aplica con signo
contrario al error.
e) A continuación, los ángulos corregidos se obtendrán aplicando
a los calculados la corrección respectiva.
1 0
42'
Angulas
sin corregir
120°30'
97°30'
107°30'
108°00'
107°00'
SUMAS: 540°30'
Figura 42
Corrección
"G"
- 6'
- 6'
- 6'
- 6'
- 6'
-30'
Angulas
corregidos
120°24'
97°24'
107°24'
107°54'
106°54'
540°00'
rumbo
base
f) Con los ángulos corregidos y el rumbo base, se calcularán los
nuevos rumbos. Esta operación se facilitará dibujando un cro-

quis y anotando en él los valores de los ángulos interiores
corregidos y el rumbo base. (Fig. N<? 42.)
Rbo 1 - 2 = N 37°00' W (Rumbo base)
Rbo 2 - 3 = 107°24' - 37° = S 70°24' W
Rbo 3 - 4 = 180° - (70°24' + 107°54') = S ]°42' E
Rbo 4 - O = (180° + 1°42') - 106°54' = S 74°48' E
Rbo O - 1 = 120°24' - 74°48' = N 45°36' E
g) Cálculo de los rumbos astronómicos (8 = 9°30' E).
(> O O:
1
3 3er.cuadrante
ler.cuadrante
4 <2 cuadrante
]er cuadrante 4<? cuadrante 3er cuadrante
N 45°36' E N 37°00' W S 70°24' W
+ 9°30' - 9°30' + 9°30'
N 55°06' E N 27°30' W S 79°54' W
Rbo. astron. O - 1 = N 55°06' E
Roo. astron. 1 - 2 = N 27°30' W
Rbo. astron. 2 - 3" = S 79°54' W ~tnff
Rbo. astron. 3 - 4 = S 7°48' W ~
Rbo. astron. 4 - O = S 65 °18' E

Planimetría 77
2 ~/cuadrante
1 0
42'
29 cuadrante 29 cuadrante
',: 9°30'
S - 1°42' E
S 74°48' E
- 9°30'
S 7°48' W S 65 °18' E
h) La tolerancia lineal (TL), para terreno plano, se calcula por
medio de la fórmula:
TL = 0.015 yL+ 0.0008L 1+ 0.1 Vn - 1
L = perímetro de la poligonal, en metros = 186.45 m
n = número de lados de la poligonal = 5
TL = 0.015 Y186.45 + 0.0008(186.45) + 0.1(2)
TL = 0.21 + 0.15 + 0.20 = 0.56 m TL = 0.56 m I
i) La precisión obtenida en el levantamIento es:
P .. ~ EL 0.40 O 0021
reClSlon = ¡L = 186.45 = .
o bien:
P
.. , 1 1 1
reClSlon = ¡L = 186.45 - -46-6
EL 0.40

1
Precisión = O. 0021 = 466
Métodos usados para el levantamiento de detalles,
con brújula y cinta
Se toman como auxiliares del método de itinerario, para fijar detalles
referidos al polígono de base, los siguientes métodos:
- Radiaciones.
- Intersecciones, y
- Coordenadas rectangulares.
Método de radiaciones
Sean 4, 5, 6, ... , vértices .de la poligonal que se va levantando por el
método de itinerario (Fig. N9 43) Y M, una mojonera que es necesario
hacer figurar en el plano.
N
_........
M
5
~»ff
.5
,Ó.o~o
~~ "
~o
fl>.~e
oe"Q
6
Figura 43
El punto M puede levantarse por el método de radiaciones que consiste
en dirigir una visual a ese punto, midiendo el rumbo de la línea que dicho
punto determina con la estación desde la cual se observa, así como la
distancia del punto a la estación. En el ejemplo que se ilustra en la figura,
la posición del punto M estará determinada, tomando el rumbo (o azimut)
de la línea 4 - M Y midiendo la distancia 4 - M. Estos datos se anotan
en el registro de campo.

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