Apostila de estatística

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ESTATÍSTICA

Regiane Slongo Fagundes

Cascavel - 2011

PARTE I
Introdução á Estatística
A estatística é um processo que permite a análise e a interpretação de dados
provenientes de uma ou mais amostras, com o objetivo de inferir características de
populações. Sendo aplicável a qualquer ramo do conhecimento onde se manipulam
dados experimentais.

1. O Crescimento e o Desenvolvimento da Estatística Moderna
Historicamente, o crescimento e o desenvolvimento da estatística moderna podem
ser relacionados a três fenômenos isolados – a necessidade do governo de coletar dados
sobre os cidadões, o desenvolvimento da teoria da probabilidade e o advento da
informática.
Dados têm sido coletados através de toda a história. Nas civilizações Egípcias,
Grega e Romana, dados primários eram coletados com propósito de taxações e
finalidades militares. Na idade Média, igrejas registram dados e informações sobre
nascimentos, mortes e casamentos. Nos Estados Unidos, a Constituição de 1790
determinava a realização de censo a cada 10 anos. Atualmente, informações numéricas
são necessárias para cidadões e organizações de qualquer natureza, e de qualquer parte
do globo.

2. Estatística Descritiva versus Inferência Estatística
A estatística pode ser dividida em duas partes:

2.1 - Estatística Descritiva
Ocupa-se da organização, sumarização e descrição de um conjunto de dados.
Esta análise serve como um primeiro guia ao pesquisador, fornecendo informações
sobre a qualidade de seus dados e indicando algumas tendências (se existirem) e, em
geral, não tem um fim em si própria, exceto o caso do censo.

2.2 - Estatística Inferencial
É uma etapa da estatística que cuida da coleta, redução, análise, modelagem e
interpretação dos dados.
O objetivo da estatística inferencial (ou indutiva) é o de tirar conclusões com
base nos resultados observados em amostras extraídas dessas populações.
O próprio termo “indutiva” decorre da existência de um processo de indução,
isto é, um processo de raciocínio e que partindo-se do conhecimento de uma parte,
procura-se tirar conclusões sobre a realidade no todo.

3. Pesquisa Estatística
Pesquisa é um conjunto de atividades orientadas para a busca de um
determinado conhecimento. Para merecer qualificativo de científica a pesquisa deve ser
feita de modo sistematizada, utilizando para isto métodos próprios e técnicas específica.
A pesquisa científica se distingue de outras modalidades quaisquer de pesquisa pelo
método, pela técnica, por estar voltada para a realidade empírica e pela forma de
comunicar o conhecimento.

3.1 – Finalidade da Pesquisa
• Descobrir respostas para questões, mediante a aplicações de métodos científicos;

• Tentar conhecer e explicar fenômenos que ocorrem no mundo existente.
3.2 – Tipos de Pesquisas
3.2.1 Pesquisa de Reconhecimento ou “Survery”
• estudo de opinião, mercado e diagnóstico

3.2.2 Pesquisa Bibliográfica
• Procura material já elaborado

3.2.3 Pesquisa documental
• Coleta de informações a partir de documentos quantitativos tais como
arquivos públicos e privados, imprensa, revistas, etc.

3.2.4 Pesquisa Experimental
• Experiências realizadas em laboratórios, fábricas, parcelas de terras. É
utilizado o Delineamento de Experimento e Controle de Qualidade.

3.3 – Etapas de uma Pesquisa Estatística

Determinar Tratamento
população amostra
os Objetivos: dos dados
Para que?

inferência

Cada uma essas passagens merece um estudo aprofundado e tem características
próprias.

3.3.1 - População
É o conjunto de interesse final para a pesquisa. Em geral é o conjunto do qual a
amostra é retirada.

3.3.2 - Amostra
Chamaremos de amostra qualquer subconjunto da população de interesse, quer
os dados tenham sido coletados de um estudo observacional, quer sejam provenientes de
um experimento realizado sob certas condições de controle.

3.3.3 - Tratamento dos Dados
Conjunto de técnicas usadas para descrever os dados observados.

3.3.4 - Inferência
Conjunto de métodos que permitem inferir o comportamento de uma população
a partir do conhecimento da amostra

3.3.5 - Cálculo de Probabilidade
Teoria matemática que deduz a partir de um modelo, as propriedades de um
fenômeno aleatório.

4 Terminologia Estatística

População Amostra Unidade experimental

4.1 - Unidade experimental ou de Análise
É o objeto ou indivíduo que será estudado na população, e sobre os quais obtêm-
se os dados.

4.2 - Dados
É o valor ou resposta que toma a variável em cada unidade experimental.
É o resultado de uma observação.
É a matéria prima da estatística.

4.3 - Variável
É uma característica observável, susceptível de adotar distintos valores ou ser
expresso em várias categorias.
Variáveis:
• Idades;
• Sexo;
• Série;
• Horas de estudo;
• Horas de treino; etc...

4.4 Informação
É o resultado dos dados processados (ou organizados) de acordo com certos
objetivos.

4.5 - Estatística
É qualquer função dos dados empíricos* que é usada com fins descritivos ou
analíticos.
É uma medida resumo dos dados.
*Dados Empíricos: baseado apenas na experiência, e não no estudo.

4.6 - Parâmetros
São as características mais importantes da população.
Comumente são desconhecidas.

5 Classificação Das Variáveis

Qualitativas Quantitativa
s
Nominais Ordinais Discretas Contínua

5.1 - Variáveis qualitativas
São características cujos dados não são numéricos, isto é, são apresentados como
uma qualidade ou atributo. Ex: Sexo, estado civil, nível de escolaridade.

5.1.1 - Nominal
Não existe nenhuma ordenação ou hierarquia nos possíveis resultados. Ex: sexo,
estado civil, região de procedência.

5.1.2 - Ordinal
Existe uma certa ordem ou hierarquia nos possíveis resultados. Ex: Nível de
escolaridade, nível de satisfação.

5.2 - Variáveis Quantitativas
É uma característica em estudo cujos resultados se referem a quantidades, isto é,
são medidas numa escala numérica. Ex: idade, salário, número de filhos, etc.

5.2.1 - Discretas
Cujos resultados se referem a dados que podem assumir valores inteiros (IN).
Ex: idade, número de pessoas, número de filhos por família, etc.

5.2.2 - Contínuas
São dados que podem assumir qualquer valor de um conjunto de números reais
(IR). Ex: peso, altura, consumo mensal de energia, etc.

MODELO DE UM QUESTIONÁRIO
Esperamos beneficiar à você através de um estudo que estamos realizando para
conhecer suas preferências na escolha de supermercado, gostaríamos que nos auxiliasse
respondendo as seguintes perguntas:

1. – Sexo 1( ) Masculino 2 ( ) Feminino

2. – Idade ___________ anos

3. – Estado Civil:
1( ) Solteiro (a) 4 ( ) Divorciado
2 ( ) Casado (a) sem filhos 5 ( ) Outros ___________________
3 ( ) Casado (a) com filhos

4. – Nível Escolar
1 ( ) Sem instrução 5( ) Ensino Médio completo
2( ) Ensino Fundamental Incompleto 6( ) Ensino Superior Incompleto
3 ( ) Ensino Fundamental completo 7( ) Ensino Superior completo
4 ( ) Ensino Médio Incompleto 8( ) Outros _____________

5. – Número de Pessoas que Moram com você _________

6. – Renda Mensal da Família ______________

7. – Com que freqüência você visita um supermercado
1 ( ) Diariamente 4 ( ) Mensalmente
2 ( ) Semanalmente 5 ( ) Outros ______
3 ( ) Quinzenalmente

8. – Quantos mercados diferentes você visita em suas compras? _____________

9. – Quanto da sua renda você gasta em suas comprar mensais de supermercado?
1 ( ) menos de 25% da renda 3 ( ) acima de 50% até 75% da renda
2 ( ) de 25% até 50% da renda 4( ) acima de 75% da renda

10. – Ao escolher um supermercado você observa:
10.1 ( ) A tradição da empresa 1( ) sim 2( ) não
10.2 ( ) Propaganda 1( ) sim 2( ) não
10.3 ( ) Higiene 1( ) sim 2( ) não
10.4 ( ) Atendimento 1( ) sim 2( ) não
10.5 ( ) Diversificação de produtos 1( ) sim 2( ) não
10.6 ( ) Preços 1( ) sim 2( ) não
10.7 ( ) Tamanho da Loja 1( ) sim 2( ) não
10.8 ( ) Prazos 1( ) sim 2( ) não
10.9 ( ) Distância 1( ) sim 2( ) não
10.10 ( ) Promoções 1( ) sim 2( ) não

11. – O atendimento no supermercado em que você compra freqüentemente é:
1 ( ) Insatisfatório 3 ( ) Muito Satisfatório
2 ( ) Médio Satisfatório 4 ( ) Satisfatório

AGRONOMIA-FAG Estatística

PARTE II
Análise Exploratória Dos Dados ou
Estatística Descritiva
1. Introdução

A Estatística Descritiva é a fase na qual os dados de um experimento ou
pesquisa, são organizados, resumidos, descritos, apresentados e interpretados. Esta fase
é de grande importância para uma pesquisa, pois nela, podemos perceber as tendências
do nosso conjunto de dados.
Após a coleta dos dados experimentais, devemos organizá-los e apresentá-los; esta
apresentação, pode ser feita através de tabelas e gráficos.

2. Tabelas de distribuição de freqüências

As apresentações através de tabelas deverão ser realizadas em uma pesquisa,
mediante alguma convenção ou norma, dependendo de qual instituição, congresso ou
órgão, esta tabela será apresentada. Mas alguns princípios básicos podem ser utilizados,
segundo as normas do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística):
- Título: aonde é dada uma noção inicial ao leitor sobre o que é a tabela;
- Cabeçalho: para que sejam identificados os conteúdos referentes a cada coluna da
tabela. O cabeçalho deve conter o suficiente para responder as questões: o que está
sendo representado? onde ocorreu ? Quando ocorreu?
- Coluna Indicadora: que especifica as diferentes categorias da variável;
- Corpo: é representado por colunas e subcolunas dos quais são registrados os dados
numéricos e informações.
- Rodapé ou pé: onde é identificada a fonte original dos dados, ou alguma nota
referente a tabela.

Exemplo:
Tabela 01: Casos registrados de intoxicação humana segundo a causa
determinante. Brasil, 1993
Causa Freqüência
Acidente 29.601
Abuso 2.604
Suicídio 7.965
Profissional 3.735
Outras 1.959
Ignorada 1.103
Fonte: Mensário Estatístico 259/260

Observação: Não há linhas laterais, ponto final em cada linha e linhas horizontais no
corpo da tabela separando as linhas.

Regiane Slongo Fagundes 7


2.1 - Tabela de distribuição de freqüências
Uma tabela de distribuição de freqüências é composta, além dos itens citados acima:

- Freqüência absoluta ( fi ): é o número de vezes em que cada elemento aparece na
amostra ou população. Na tabela acima, esta freqüência absoluta está sendo expressa
pela “empresas fiscalizadas”.

- Freqüência Absoluta Acumulada (Fi): É a soma das freqüências dos dados
anteriores.

- Freqüência Relativa (hi): É a razão entre o valor de cada freqüência e o número
f
total de dados existentes na observação. Ou seja: hi = i
n

- Freqüência Relativa Acumulada (Hi): É a soma das freqüências relativas dos
dados anteriores.

As tabelas de distribuição de freqüências são válidas para variáveis quantitativas e
qualitativas. Mas quando há um número grande de dados para a distribuição de
freqüências, ou quando a variável de interesse é quantitativa contínua, convém
utilizarmos intervalos (ou classes); estes intervalos podem ser de igual tamanho, ou de
tamanho diferentes. Ou ainda, os intervalos podem ser abertos ou fechados.

Segundo Bussab e Morettin, a escolha dos intervalos dependerá da familiaridade do
pesquisador com os dados. Mas, vale assinalar que, com um pequeno número de
intervalos pode-se perder informações, e com um grande número de intervalos pode-se
prejudicar o resumo dos dados.

Entretanto, segundo Fonseca, há duas aparentes soluções para a definição do número de
intervalos:

a) Se o número de elementos (n) for menor que 25 então o número de classes (k) é
igual a 5; se n for maior que 25, então o número de classes é aproximadamente a
raiz quadrada positiva de n. Ou seja:

Para n ≤ 25, k = 5
Para n > 25, K = n

b) Fórmula de Sturges: k ≅ 1 + 3,33 log n.

- Amplitude total ou “range” (R ): É a diferença entre o maior e o menor valor
observados no conjunto de dados.

- Amplitude dos intervalos ou das classes (h): É o maior inteiro da divisão da
amplitude total (R) pelo número de intervalos (k).
R
Ou seja: h ≅
k



2.2 - Tabela de distribuição de freqüências bidimensional

Muitas vezes, estamos interessados em analisar o comportamento conjunto de
duas ou mais variáveis. Assim, vamos estudar como organizamos e resumimos os dados
para uma distribuição conjunta de duas variáveis em forma de tabelas. Essas tabelas
podem apresentar freqüências relativas as quais servem para apresentar estimativas de
riscos, ou seja, dão estimativas das probabilidades de dano.
O exemplo mostrado abaixo apresenta o número de nascidos vivos registrados,
classificados segundo dois fatores: o ano de registro e o sexo.

Tabela 02: Nascidos vivos registrados segundo o ano de registro e o sexo.
Ano de registro sexo Total
Masculino Feminino
1984 1.307.758 1.251.280 2.559.038
1985 1.339.059 1.280.545 2.619.604
1986 1.418.050 1.361.203 2.779.253
Fonte: IBGE (1988)
Nota: Nascimentos ocorridos no ano de registro

ATIVIDADE DESENVOLVIDA EM SALA DE AULA

1. Os dados a seguir determinam a produção de sacas/ha de soja em determinada
região.
Tabela 01-Produção de sacas/ha
67 65 68 67 67 64 69 66 66 66
68 71 67 67 70 65 65 66 70 64
67 68 66 68 64 65 67 66 69 68
65 69 68 67 68 67 67 67 66 66
Organize os dados e construa uma tabela de distribuição de freqüência e o histograma
da produção.

2. Os dados a seguir representam a idade 50 funcionários selecionados
aleatoriamente da população de uma agroindústria X.
3.
Tabela 02-Idades de 50 funcionários(colocados em ordem crescente)
18 20 20 21 22 24 25 25 26 27
29 29 30 30 31 31 32 33 34 35
36 36 37 37 37 37 38 38 38 40
41 43 44 44 45 45 45 46 47 48
49 50 51 53 54 54 56 58 62 65
Organize os dados e construa uma tabela de distribuição de freqüência e o histograma
da produção.



3. Representação Gráfica para Variáveis Qualitativas e Quantitativas
A apresentação dos dados através de gráficos, nos fornece uma excelente idéia dos
resultados obtidos e de como se relacionam os dados. Todo gráfico ou diagrama deve
ser auto-explicativo e de fácil compreensão, devem ter três requisitos básicos:
simplicidade, clareza e veracidade. Mas algumas sugestões devem ser seguidas na sua
construção:
- O tamanho do gráfico deve ser adequado à sua publicação;

- Todo gráfico dever ter sempre um título e uma escala, sendo que, esta escala deve
ser adequada para que não desfigure os fatos.

3.1 Representação gráfica de variáveis qualitativas

Para a representação gráfica de variáveis qualitativas, os tipos de gráficos mais
usados são: gráficos de ordenadas, gráfico em barras, gráfico em colunas, pictograma,
dot plot, gráfico de setores.

• Gráfico de Ordenadas
Para a sua construção é traçada uma reta horizontal (ou vertical) que servirá de base;
a partir de pontos com a mesma distância nesta reta, constroem-se traços
perpendiculares, cujo comprimento seja proporcional a freqüência.

• Gráfico em Barras
O gráfico em barras é a representação em que sobre o eixo vertical constroem-se
retângulos para as diferentes categorias da nossa variável, com largura apropriada e
altura proporcional as respectivas freqüências de cada categoria. As barras não são
justapostas ou ligadas, pois na maioria das vezes as categorias das variáveis qualitativas
não apresentam relação de continuidade.

Tabela 04: Internações em estabelecimento de saúde, por espécie de clínica - 1992
Espécie de Clínica Freqüência Freqüência relativa (%)
Médica 6457923 32,51
Ginecologia e Obstetrícia 3918308 19,73
Cirurgia 3031075 15,26
Pediatria 2943939 14,82
Outros 3513186 17,69
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisa, Pesquisa de Assistência Médico-Sanitária



Outros

Pediatria

Cirurgia

Ginicologia e Obstretrícia

Médica

0 5 10 15 20 25 30 35
Frequência relativa (%)

Figura 1: Internações em estabelecimento de saúde, por espécie de clínica - IBGE
1992.

• Gráfico em Colunas
A construção do gráfico em colunas é semelhante ao em barras, com uma única
diferença, os retângulos serão sustentados no eixo horizontal.

35
Frequência relativa (%)

30
25
20
15
10
5
0
Médica

Cirurgia
Obstretrícia
Ginicologia

Outros
Pediatria
e

1992.

• Pictograma
O gráfico pictograma é semelhante ao gráfico em colunas, com a diferença que no
lugar de retângulos serão figuras que representaram as distribuições de freqüência.

• Gráfico de Setores Circulares
Geralmente este gráfico é usado para evidenciar a distribuição percentual de uma
população ou amostra. Para a construção deste tipo de gráfico, divide-se a área total de
um círculo em subáreas (setores) proporcionais às respectivas freqüências absoluta ou
relativa.
Lembrando que um círculo tem 360°, então usaremos a seguinte regra de três para
calcularmos o ângulo de cada setor :



n  360°
360 ⋅ fi
fi  x° ⇒ x° =
n

Onde n é o total de elementos no conjunto de dados e fi a respectiva freqüência
absoluta da categoria da variável. Para calcularmos o ângulo para a freqüência relativa,
basta substituirmos o total de elementos pelo número 1.
Sabendo-se o ângulo de cada setor, traça-se uma circunferência e assim, basta
marcarmos os valores da cada ângulo na circunferência e traçar os raios, separando os
setores.

18%
Médica

32%
Ginicologia e
Obstretrícia
Cirurgia
15%
Pediatria

Outros

15%
20%
1992.

• Dot Plot
É o gráfico onde, no eixo horizontal marca-se com espaçamentos iguais cada
categorias da variável e verticalmente a estas, desenha-se pontos, sendo que, a
quantidade de pontos em cada categoria é igual ao valor da freqüência absoluta desta.
Este gráfico não é usual e é recomendado apenas, quando as freqüências são pequenas.



3.2 Representação gráfica de variáveis quantitativas

Alguns tipos de gráficos que construímos anteriormente: gráfico em colunas, em
barras, dot plot, de setores circulares também são usados para representar a distribuição
de variáveis quantitativas.

• Histograma
Este é um gráfico usado para apresentar dados organizados em intervalos, utilizado
principalmente para representar a distribuição de variáveis contínuas.

14
12
10
Freqüência

8

6
4
2
0
1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 M ais
P e so a o na sce r

Figura 4: peso ao nascer dos nascidos vivos, em quilogramas.

- Histograma para classes com amplitudes iguais
Para a sua construção, trace o sistema de eixo cartesiano; marque os extremos das
classes no eixo horizontal (das abscissas); no eixo vertical (das ordenadas) marque as
freqüências absolutas ou freqüências relativas; e para cada classe, trace um retângulo
com base igual ao intervalo de classe e altura igual a freqüência.

- Histograma para classes com amplitude diferentes
Para a sua construção, calcule a densidade de freqüência absoluta ou relativa.

fi hi
di = ou di =
h h

Trace um sistema de eixo cartesianos; marque os extremos de classes no eixo
horizontal; no eixo vertical marque a densidade e para cada classe, trace um retângulo
com base igual ao intervalo da classe e altura igual a densidade de freqüência.

• Polígono de freqüências
É a representação gráfica de uma distribuição de freqüências por meio de um
polígono.
Para a sua construção, trace o sistema de eixo cartesianos; marque os pontos
médios de cada classe no eixo horizontal (ponto médio de um intervalo é a soma dos
extremos do intervalo dividido por dois); no eixo vertical coloque as freqüências; faça



pontos na intersecção do ponto médio de cada intervalo com sua respectiva freqüência;
una todos estes pontos por segmentos de reta.

14
12
10
Freqüência

8

6
4
2
0
1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 M ais
P e so a o na sce r

Figura 5: peso ao nascer dos nascidos vivos, em quilogramas.

• Ogiva
É o gráfico que representa a distribuição da freqüência absoluta acumulada. Sua
construção é semelhante ao do polígono de freqüências, com a diferença que
consideraremos a freqüência absoluta acumulada.



EXERCÍCIOS

1. A WW Indústria e Comércio, desejando melhorar o nível de sues funcionários
em cargos de chefia, montou um curso experimental e indicou 25 funcionários
para a primeira turma. Os dados referentes à seção a que pertencem, sexo, idade,
notas e graus obtidos no curso estão na tabela a seguir:

Tabela 01 – Informações sobre a seção, sexo, idade e aproveitamento dos funcionários
da indústria WW, nas disciplinas oferecidas durante o curso experimental.
Funcio seção sexo idad Adminis direit redaçã estatís inglê metod polític econo
nário e tração o o tica s ologia a mia
1 P M 25 8 9 8,0 9 A A 9,0 8,5
2 P M 45 8 9 7,5 9 A B 8,5 8,0
3 P M 43 8 9 9,5 9 A A 9,5 8,5
4 P M 32 6 9 5,0 6 B B 7,0 7,0
5 P F 30 9 9 10,0 10 A B 7,5 8,0
6 P F 29 9 9 10,0 10 A B 9,0 9,5
7 P F 40 9 9 10,0 9 B A 9,5 7,5
8 T F 35 10 9 10,0 9 A A 1,0 9,5
9 T M 20 6 9 7,0 8 C C 6,0 6,0
10 T M 23 6 9 7,5 5 D C 4,0 5,0
11 T F 21 6 9 6,5 9 C C 5,0 5,0
12 T F 25 9 9 10,0 10 A A 9,5 9,5
13 T F 39 10 9 9,5 10 A A 9,5 9,5
14 T M 37 7 9 8,0 7 B B 9,0 8,0
15 V M 40 7 9 8,0 7 B A 9,0 8,5
16 V M 27 7 9 8,0 7 A A 8,5 9,5
17 V F 35 8 9 8,5 8 B A 9,5 9,5
18 V F 34 8 9 8,5 8 B B 7,0 7,5
19 V F 37 8 9 7,0 8 A B 8,0 8,0
20 V M 29 10 9 10,0 9 A A 9,5 8,5
21 V M 30 10 9 10,0 10 A A 9,5 9,5
22 V M 42 8 9 9,5 8 A A 8,5 8,0
23 V F 24 6 9 6,0 5 D C 5,0 5,0
24 V F 26 9 9 9,0 9 A A 9,5 9,5
25 V M 32 6 9 5,0 5 D C 5,0 5,0
Observações:
Seção: P= Seção Pessoal, T= Seção Técnica e V= Seção de Vendas.
Sexo: M= Masculina, F= Feminino.
Como havia dúvidas quanto à adoção de um único critério de avaliação, cada professor
adotou seu próprio sistema de aferição. Usando os dados da tabela, responda as
questões:

a) Após observar atentamente cada variável, e com intuito de resumi-las, como é que
você identificaria (qualitativa ordinal ou nominal e quantitativa discreta ou contínua)
cada uma das 11 variáveis listadas?
b) Compare e indique as diferenças existentes entre as distribuições das variáveis
Direito, Política e Estatísticas.
c) Construa o histograma para as notas da variável Redação. Interprete os resultados.



d) Construa a distribuição, de freqüência da variável Metodologia e faça um gráfico
(poderá ser de setor, barras, colunas – de sua preferência) para indicar essa
distribuição. Interprete os resultados.
e) Construir a distribuição de freqüência conjunta para as variáveis Sexo e Idade.
Interprete os resultados.



PARTE III

Medidas de Posição
1. Introdução
Através de tabelas e gráficos construídos anteriormente, vimos como resumir e
apresentar um conjunto de dados. Contudo, podemos resumir ainda mais este conjunto,
apresentando um ou alguns valores que “representam” todo o conjunto. Esses valores
são chamados de medidas de posição.

2. Medidas de Tendência Central
São valores estabelecidos num ponto central em torno do qual os dados se
distribuem. As medidas de tendência central que iremos estudar são: média aritmética,
mediana e moda.

2.1 - Média Aritmética
É a soma de todos os elementos em nosso conjunto de dados dividido pelo total
de elementos. Isto é,

n

∑x
i =1
i
x=
n
Onde n é o total de elementos no conjunto de dados.

A média aritmética é um valor que pode substituir todos os valores da variável, isto
é, é o valor que a variável teria se em vez de “variável” ela fosse “constante”.

2.1.1 – Propriedades da Média Aritmética
A soma algébrica dos desvios de um conjunto de valores em relação ao
média aritmética é zero;
A soma algébrica dos quadrados dos desvios de um conjunto de valores em
relação a média aritmética é mínima;
Somando ou subtraindo uma constante a todos os valores de uma variável,
a média ficará acrescida ou subtraída a essa constante;
Multiplicando ou dividindo todos os valores de uma variável por uma
constante, a média ficará multiplicada ou dividida por essa constante.

2.1.2 Vantagens do emprego da média
Como faz uso de todos os dados para seu cálculo, pode ser determinada
com precisão matemática;
Pode ser determinada quando somente o valor total e o número de
elementos forem conhecidos.

2.1.3 Desvantagens do emprego da média aritmética
Não pode ser empregada para dados qualitativos;
É influenciada por valores extremos, podendo, em alguns casos, não
representar a série.



2.2 - Mediana (Md)
É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Ou
seja, é o valor que tiver o mesmo número de elementos no seu lado esquerdo e direito.

Sejam os números a seguir, as cinco observações de uma variável qualquer:
5 6 7 8 8
A mediana para este conjunto é 7, correspondente à 3a observação que ocupa a
posição central.
Assim, se o número de elementos for ímpar, a mediana é o elemento cuja ordem
da posição central é:

Md ( x) = x  n +1 
 
 2 

Onde n é o número de elementos no conjunto de dados.

Sejam as seguintes observações: 5,0 5,5 7,0 8,0 8,5 10,0
Como o número de elementos é par, a mediana é a média aritmética dos dois elementos
centrais, cuja ordem:

x n  + x n + 2 
   
2  2 
Md ( x) =
2

Neste exemplo: X1 = 6/2 = 3 (3O termo) e X2 = (6+2)/2 = 4 (4O termo), logo a mediana
é:

7+8
Md = = 7,5
2

Observe que este é um valor teórico, pois não figura entre os dados originais.

2.2.1 Vantagens do emprego da mediana
A mediana não é influenciada por valores extremos.

2.2.2 Desvantagens do emprego da mediana
A mediana é uma medida que exige uma ordenação de categorias, da mais
alta a mais baixa, assim ela só pode ser obtida para variáveis qualitativas
ordinais ou para as quantitativas, jamais para variáveis qualitativas
nominais;
Não inclui todos os valores da distribuição;

2.3 - Moda (Mo)
É o valor que ocorre com maior freqüência em um conjunto de dados.

Exemplo: Conjunto de dados: 7 8 5 7 7 7 5 8 9 7

Moda = Mo = 7



Em um conjunto de dados podemos ter duas modas ou nenhuma; a distribuição
que possui duas modas chamamos de distribuição bimodal e mais de duas modas,
multimodais. Existem ainda distribuições que não apresentam nenhuma moda: são
chamadas de amodais.

2.3.1 Vantagens do emprego da moda
A moda é uma medida que requer apenas o conhecimento da freqüência
absoluta e pode ser utilizada para qualquer tipo de variáveis, tanto
qualitativas, quanto quantitativas;
É de uso prático. Exemplificando: os empregadores geralmente adotam a
referência modal de salário. Também carros e roupas são produzidos
tomando como referência o tamanho modal

2.3.2 Desvantagens do emprego da moda
Não inclui todos os valores da distribuição;
Mostra-se ineficiente quando a distribuição é amplamente dispersa.

3. Outras Medidas de Posição, as SEPARATRIZ

3.1 - Quartis (Q1 e Q3)
São medidas de posição que dividem um conjunto de dados ordenados em
quatro partes iguais.

    
Mín. Q1 Md Q3 Máx.

Onde:
- O 1O Quartil (Q1) significa que 25% dos dados são inferiores a Q1, ou que 75% dos
dados são superiores a Q1.
- O 3O Quartil (Q3) significa que 75% dos dados são inferiores a Q3, ou que 25% dos
dados são superiores a Q3.

Em geral Q1 < Me < Q3.

 
Q1 = X  n +1  + 0.75  X  n +1  − X  n +1  
    +1  
 4    4   4 

 
Q3 = X  ( n +1)  + 0.25  X   ( n +1)   − X  ( n +1)  
 3.    3. 4  +1  3. 
 4        4 



3.2 - Box plot ou desenho esquemático

É um tipo de representação gráfica, em que se realçam algumas características
da amostra, fornecendo uma idéia da posição central, dispersão, assimetria, cauda e
dados discrepantes. O conjunto dos valores da amostra compreendidos entre o 1º e o 3º
QUARTIS, que vamos representar por Q1 e Q3 é representado por um retângulo (caixa)
com a MEDIANA indicada por uma barra vertical. A largura do retângulo não dá
qualquer informação. Consideram-se seguidamente duas linhas que unem os meios dos
lados do retângulo com os extremos da amostra. Para obter esta representação, começa
por se recolher da amostra, informações sobre 5 números, que são: os 2 extremos
(mínimo e máximo), a mediana e o 1º e 3º quartis. A posição central dos valores é dada
pela mediana e a dispersão d = Q3 - Q1. As posições relativas Q1, Me e Q3 dão
uma noção da simetria da distribuição. Os comprimentos das caudas são dados pelas
linhas que vão do retângulo aos valores mais afastados que não sejam outliers e pelos
próprios outliers. A representação do diagrama de extremos e quartis tem o seguinte
aspecto:

Existem fundamentalmente 3 características, que nos dão idéia da simetria ou
enviesamento e da sua maior ou menor concentração: distância entre a linha indicadora
da mediana e os lados do retângulo; comprimento das linhas que saem dos lados dos
retângulos e o comprimento da caixa. Apresentamos a seguir 3 exemplos de boxplot,
correspondentes a tipos diferentes de distribuição de dados.

Exemplo:
Dados os números:

3 4 2 1 7 5 4 2 1 7 8 5 2 1 4 3 5 5 6 7 9 8 8 8

Achar média, mediana, moda, Q1, Q3 e construir o Boxplot

3.3 Decis: São medidas de posição que dividem um conjunto de dados
ordenados em dez partes iguais.

3.4 Percentis: São medidas de posição que dividem um conjunto de dados
ordenados em cem partes iguais.



3.5 Medida de Assimetria

Há um momento em que o pesquisador fará a seguinte pergunta: Qual a medida
de tendência central que representa melhor o conjunto de dados em estudo?Assim, no
caso das variáveis quantitativas, quando o valor da Mediana é muito diferente da Média,
é aconselhável considerar sempre a Mediana como valor de referência mais importante.

Quando a distribuição dos dados é considerada "normal", então a melhor medida
de localização do centro, é a média, fato que justifica a grande utilização da média.
Esquematicamente podemos posicionar a média da forma seguinte, tendo em conta a
representação gráfica na forma de histograma.

X < Md < Mo Mo < Md < X
assimetria negativa ou a esquerda assimetria positiva ou a direita

X = Md = Mo

distribuição simétrica

Para determinar o grau de assimetria, uma regra muito utilizada é:
COEFICIENTE DE ASSIMETRIA DE PEARSON
X − MO Q + Q 3 − 2 * Md
AS = ou As = 1
σ Q 3 − Q1
Desse modo, pode-se concluir que:
Se As > 0, a distribuição é assimétrica positiva;
Se As < 0, a distribuição é assimétrica negativa;
Se As = 0, a distribuição é simétrica.



PARTE IV

Medidas de Dispersão ou Medidas de Variabilidade
1. Introdução
As informações fornecidas pelas medidas de posição necessitam em geral ser
complementada pelas medidas de dispersão. Estas servem para indicar o quanto os
dados se apresentam dispersos em torno da região central. Caracterizam, portanto, o
grau de variação ou oscilações existente no conjunto de valores.

Exemplo:
Seja os quatro conjuntos abaixo, as notas de quatro turmas:
Turma A: 4 4 5 6 6
Turma B: 5 5 5 5 5
Turma C: 2 3 6 6 8
Turma D: 0 0 5 10 10

Os conjuntos são iguais?
Em qual das turmas há maior variação ou dispersão dos dados em relação à média?

Para calcularmos esta dispersão em relação à média, utilizaremos algumas medidas:

1.1 – Amplitude: é a diferença entre o maior e o menor dado observado. Como utiliza
apenas dois valores, contém pouca informação sobre a dispersão. È utilizada em
amostra muito pequenas.
R= Xmaior - Xmenor

1.2.Variância amostral: A variância mede o quanto os valores em uma amostragem
variam. È uma medida que avalia o grau de dispersão dos valores da variável em torno
da média. Quanto menor a variância, maior é o grau de concentração dos dados em
torno da média. Podemos representar o cálculo dos dados da seguinte forma:

  n  
2

 ∑ xi  
1  n 2  i =1  

S =
2
∑ xi − n  (para dados de uma amostra agrupados)
n − 1  i =1
 

 


1.3.Desvio Padrão amostral: A variância é um quadrado, e muitas vezes o resultado
torna-se artificial.Por exemplo: a altura média de um grupo de pessoas é 1,70m e a
variância 25cm2. Fica um tanto esquisito cm2 em altura.
Para contornamos este “problema” definindo Desvio Padrão como sendo a raiz
quadrada positiva de sua Variância.

S = S 2 (para dados amostrais)



Usando a tabela de distribuição normal, vemos que no intervalo de:
• De ( X − S ) a ( X + S ) o grau de concentração de probabilidades em torno da
média é de 68%;
• De ( X − 2 S ) a ( X + 2 S ) , o grau de concentração de probabilidades em torno da
média é de 95%;
• De ( X − 3S ) a ( X + 3S ) , o grau de concentração de probabilidades em torno da
média é de 99,7%.
( )
Exemplificando, se dissermos que a altura média X do homem brasileiro
adulto é de 1,70m e desvio Padrão (S) 5cm, estaremos dizendo que entre;
1,65m e 1,75m encontramos 68% da população masculina adulta brasileira.
1,60m e 1,80m encontramos 95% da população masculina adulta brasileira.
1,55m e 1,85m encontramos 99,7% da população masculina adulta brasileir.a

OBSERVAÇÃO:
O desvio Padrão representa a maneira mais comum de se medir a variação
de um conjunto de observações. Para duas amostras, a que apresentar um desvio
padrão maior acusará uma maior dispersão.
Quanto menor o desvio padrão, mais os valores da variável se aproximam
de sua média.
Quanto maior a variância e desvio padrão, maiores são os indícios de
heterogeneidade entre os elementos do conjunto.

1.4.Coeficiente de Variação de PEARSON: O coeficiente de variação mede a
homogeneidade dos dados em conjunto em relação à média, sua fórmula é expressa por:
S
CV = × 100
x
O valor obtido será dado em porcentagem.
• Acima de 30% o conjunto de dados é considerado heterogêneo
• Abaixo de 30% o conjunto é considerado homogêneo.
Em algumas regras empíricas para interpretações do coeficiente de variação:
• Se 0 ≤ CV < 10% tem-se baixa dispersão
• Se 10% ≤ CV <20% tem-se média dispersão
• Se 20% ≤ CV<30% tem-se alta dispersão
• Se CV≥30% tem-se elevada (altíssima) dispersão



EXERCÍCIOS

1. Uma amostra de 50 estudantes apontou o seguinte rol de notas de Estatística
(avaliação de 0 a 100).
30 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 – 42 – 45 – 47 – 48
50 – 52 – 53 – 54 – 55 – 55 – 57 – 59 – 60 – 60
61 – 64 – 65 – 65 – 65 – 66 – 66 – 66 – 67 – 68
69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 – 76 – 77 – 77 – 78
80 – 81 – 84 – 85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 – 97

a) Qual é a amplitude total desta amostra? É viável construir uma distribuição por
intervalos de classe?
b) Em quantas classes poderemos agrupar esse conjunto de dados?
c) Qual será o tamanho dos intervalos de classe?
d) Construa a tabela de distribuição de freqüência por classes. Inicie a primeira
classe com 30.
e) Construa os histogramas de freqüências absolutas e relativas.
f) Quantos alunos obtiveram notas maiores ou iguais a 70?
g) Analisando a tabela e os gráficos, redija um breve relatório sobre as notas desta
turma de estudantes.
h) Calcule a média amostral e interprete.
i) Calcule e interprete a moda.
j) Calcule e interprete a mediana.
k) Determine os quartis. Represente os resultado usando o BOX-PLOT.
l) Determine a Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação. Interprete.
m) A Distribuição é Simétrica? Justifique calculando o grau de assimetria e
interprete o BOX-PLOT.
n) Faça um comentário final utilizando todos as informações obtidas nos itens
acima e faça suas considerações finais.

2. Para se estudar o desempenho de duas companhias corretoras de ações,
selecionou-se de cada uma delas amostras aleatórias das ações negociadas. Para
cada ação selecionada, computou-se a porcentagem de lucro apresentada durante
um período fixado de tempo. Os dados estão a seguir:

Quadro 1. Porcentagem de lucro de ações negociadas de duas corretoras
Corretora A Corretora B
45 54 62 61 54 64 57 58 58 50 51 49
70 48 64 55 65 65 52 59 59 55 61 65
59 51 55 60 62 63 65 59 48 55 60 70
60 55 40 55 66 65 55 69 58 63 64 75
Determine:
a) A média, mediana, moda e quartis de cada corretora. Interprete os resultados;
b) Que corretora tem as ações menos dispersas?
c) Que corretora tem as ações mais homogêneas?



3. Um laboratório clínico precisa decidir comprar um dentre três aparelhos
(A,B,C) para dosagem no sangue. Para isto o responsável pela análise preparou
uma substância de concentração conhecida (10mg/ml) e extraiu várias amostras
para serem dosadas pelos três aparelhos. Os resultados obtidos em cada um deles
foi o seguinte:

A 10 9 10 9 11 8 9 7 8 9
B 5 10 7 15 16 12 4 8 10 13
C 10 11 9 10 9 11 12 8 10 10

Em medidas clínicas três termos são utilizados freqüentemente:
PRECISÃO: Refere-se à dispersão dos resultados;
NÃO VICIADO: Refere-se à tendência de um conjunto de medidas produzir um
resultado igual ao “verdadeiro valor”(em nosso exemplo o verdadeiro valor é 10mg/ml).
EXATO: refere-se ao instrumento PRECISO e NÃO VICIADO.

a) Descreva os três instrumentos em termos das definições acima.
b) Qual instrumento lhe parece recomendável? Justifique

4. No quadro a seguir apresenta-se a produtividade de soja t/há das parcelas de
uma variedade.

81 77 103 112 123 119 110 110
82 61 110 121 119 97 102 111
82 74 97 105 112 91 103 112
88 70 103 111 122 94 99 105
89 88 94 110 116 108 93 107
77 82 86 101 109 113 99 102
74 80 85 90 97 101 96 72
75 80 83 87 94 99 95 48
77 84 74 108 121 143 91 52
87 100 47 111 104 109 80 98

a) Calcular o valor médio, desvio padrão, coeficiente de variação. A área em
estudo é homogênea? Justifique sua resposta.

b) Achar os quartis e classifique cada parcela da seguinte maneira:
Vermelho, se a produtividade é menor a Q1;
Amarelo, se Q1 ≤ produtividade ≤ Me;
Verde, se Me< produtividade ≤ Q3 ;
Azul, se produtividade > Q3 .
Existe alguma tendência espacialmente nos dados? Que se pode dizer acerca do
estudo de homogeneidade obtido em (a)?



5. Uma indústria metalúrgica recentemente passou a produzir um tipo especial de
aço para atender um novo cliente. Estas peças são produzidas com um aço de
baixa-liga e após serem usinadas são submetidas ao processo de resfriamento.
Para satisfazer às especificações do novo cliente, o item de dureza, medida no
centro das peças de aço deve estar na faixa de 32 a 38 Rockwell C(unidade de
dureza). Os dados apresentados na Tabela 1 representa o nível de dureza do aço
utilizando três tratamentos (água, óleo A, Óleo B).

Tabela 01: Valores da Dureza, medida no centro das Peças do Tipo Especial, Após os
tratamentos de resfriamento.
Resfriamento em
Observação Água Óleo A Óleo B
1 36,7 36,0 35,3
2 38,9 36,4 35,0
3 38,7 35,3 34,3
4 38,8 36,8 35,7
5 37,6 36,9 35,2
6 37,2 37,5 34,2
7 38,8 35,3 36,5
8 38,0 36,0 35,6
9 37,2 35,7 35,5
10 37,8 36,1 35,5
11 38,0 37,0 35,4
12 38,8
Determine:
a) A média, Mediana, Desvio Padrão, Coeficiente de Variação, Quartis, Valor
Mínimo e Valor Máximo de cada tratamento. Interprete os resultados.
b) Construa os gráficos Dot-plot e Box-plot para cada tratamento. Interprete os
resultados.
c) Que tratamento tem nível de dureza com menos variabilidade com respeito a sua
média e mais homogêneo?
d) Qual dos três tratamentos de resfriamento cumpre as especificações do cliente?



PARTE V

Probabilidade
1 . Introdução

Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém
pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço
amostral.

Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento.

Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento
elementar.

Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.

Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os
eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem.

Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado
perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos
então um espaço equiprovável.

Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos
determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza
dos resultados a serem obtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um
fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas
possibilidades, denominada Probabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma
retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos, entretanto
que será muito mais freqüente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí,
podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do
que o evento "sair bola branca".



2. Conceito de Probabilidade

Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento,
ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será
calculada pela fórmula

n( A)
P( A) =
n(U )
onde: n (A) = número de elementos de A e n (U) = número de elementos do espaço de
prova U.

Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintes exercícios
introdutórios:

2.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:

a) sair o número 3:
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade
procurada será igual a

1
P( A) =
6

b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a
probabilidade procurada será

3 1
P( A) = =
6 2

c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a
probabilidade procurada será

2 1
P( A) = =
6 3

d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos.
Portanto:

2 1
P( A) = =
6 3

e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto:

2 1
P( A) = =
6 3



2.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:

a) Sair a soma 8
Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,
j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde
i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) e (6,2).

Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade
procurada será igual a:

5
P( A) =
36

b) Sair a soma 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6).Portanto, a probabilidade procurada
será igual a:

1
P( A) =
36

2.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-
se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul
6 3
P( A) = = = 0,30 = 30%
20 10

b) sair bola vermelha
10 1
P( A) = = = 0,50 = 50%
20 2

c) sair bola amarela
4 1
P( A) = = = 0,20 = 20%
20 5

Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como
porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de
ocorrências para um número elevado de experimentos.

Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos
afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá
bola vermelha e 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de
experimentos, tanto mais a distribuição do número de ocorrências se aproximará dos
percentuais indicados.



3. Propriedades

• P1: A probabilidade do evento impossível é nula.
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:
P(Ø) = n (Ø)/n (U) = 0 /n (U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar
uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula.

• P2: A probabilidade do evento certo é igual à unidade.
Com efeito, P(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar
uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

• P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real
situado no intervalo real [0, 1].
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.

• P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento
complementar é igual a unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).
Dividindo ambos os membros por n(U), vem:
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde se conclui:

P(A) + P(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos
problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a
probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar
a probabilidade do evento.

• P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: (Adição de
Probabilidades)
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Observe que se A∩B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o
conjunto vazio), então P(A U B) = P(A) + P(B).

Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de probabilidade,
concluímos rapidamente a veracidade da fórmula acima.

Exemplo:
Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são
assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800
não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja
assinante de ambos os jornais?



SOLUÇÃO:
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço
amostral.

Teremos:
n(U) = n(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
n(U) = n(J) + n(P) – n(J ∩ P) + 800
n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800
n(U) = 8600
Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
P = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, P = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da
comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de
aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).

4. Probabilidade condicional

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento
A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de
probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser
calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também
pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-
se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por P (A / B)
– probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de
probabilidade condicional.

Teremos então:

P(A/B) = n(A∩B)/n(B)
onde A∩B = interseção dos conjuntos A e B.

ou seja:

Se A e B são dois eventos de um espaço amostral (U), com P(B) ≠ 0, então a
probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido B, é indicada por P(A/B) é
definida pela relação

P( A ∩ B)
P( A / B) = , se P( B) ≠ 0
P( B)

Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.
Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos
eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B.



1) Um dado foi jogado. Qual a probabilidade de ocorrer face 5, sabendo que ocorreu
face com número ímpar?

3
Evento B → Probabilidade de ocorrer face impar = P( B) =
6
1
Evento A → A Probabilidade de ocorrer face 5 = P( A ∩ B) =
6
1
P( A ∩ B) 1
P( A / B) = = 6 = = 0,3 = 33,33%
P( B) 3 3
6

5. Probabilidade Independente e a Regra do Produto

Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento
A, então p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(B) e, neste caso, os eventos são ditos
independentes, e a fórmula acima fica:

P(A∩B) = P(B) . P(A/B) ou P(A∩B) = P(A) . P(B/A)

Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos
independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados. Daí
vem a regra do produto que pode ser expressa da seguinte forma:

P(A∩B) = P(A) . P(B)

Ou seja, se A e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer A e B é
dada pela probabilidade de ocorrer A, multiplicada pela probabilidade de ocorrer B.

Exemplo:
1) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.Calcule as
probabilidades de:

a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha
(V) e depois uma bola branca (B).
P(V ∩ B) = P(V) . P(B/V)
P(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:
P(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(V ∩ B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha
e depois uma bola branca.

Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso,
a probabilidade buscada poderá ser calculada como:
P(V ∩ B) = P (V) . (B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%



5. Teorema Bayes

É um processo usado para calcular a probabilidade a posteriori.

Definição: Sejam E1, E2, E3, . . . , Ek eventos mutuamente exclusivos, tais que: P(E1) +
P(E2) + P(E3) + . . . + P(Ek) = 1. Seja A um evento qualquer, que se sabe ocorrerá em
conjunto com, ou em conseqüência de, um dos eventos Ei. Então a probabilidade de
ocorrência de um evento Ei dada a ocorrência de A, é dada por:

P( Ei ∩ A) P( Ei ) ⋅ P( A / Ei )
P( Ei / A) = =
P( A) P( E1 ) ⋅ P( A / E1 ) + P( E 2 ) ⋅ P( A / E 2 ) + .... + P( E k ) ⋅ P( A / E k )

Esse resultado relaciona probabilidades a priori P(Ei) com probabilidades a
posteriori P(Ei/A) = Probabilidade de Ei depois da ocorrência de A.



EXERCÍCIOS

1. Determine a probabilidade de cada evento:
a) Um número par aparecer no lançamento de um dado não viciado;
b) Um rei aparecer, ao extrair-se uma carta de um baralho;
c) Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de três moedas;
d) Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de n moedas;
e) Duas copas aparecerem, ao retirarem-se duas cartas de um baralho;
f) Uma carta de copas e uma de ouros aparecerem ao extraírem-se duas
cartas de um baralho.
R: a) 1/2 b) 1/13 c) 7/8 d) (2n – 1)/2n e) 1/17
f) 13/204

2. Um número é escolhido entre 20 inteiros ao acaso, de 1 a 20. qual a
probabilidade de o número escolhido:
a) ser par?
b) Ser ímpar?
c) Ser primo?
d) Quadrado perfeito?
R: a) 1/2 b) 1/2 c) 2/5 d) 1/5

3. Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. seja o experimento retirada de
uma bola, e considere os eventos:
A = { a bola retirada possui um múltiplo de 2}
B = {a bola retirada possui um múltiplo de 5}
Determine a probabilidade do evento A∪B
R: 4/13

4. Dois dados, um verde e um vermelho, são lançados e observados os números das
faces de cima:
a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais?
b) Qual a probabilidde de ocorrerem números diferentes?
c) Qual a probabilidade de a soma dos números ser 7?
d) Qual a probabilidade de a soma dos números ser 12?
e) Qual a probabilidade de a soma dos números ser menor ou igual a 12?
f) Qual a probabilidade de aparecer um número 3 em ao menos um dado?
R: a) 1/6 b) 5/6 c) 1/6 d) 1/36 e) 1
f) 11/36

5. Um dado é lançado e o número da face de cima é observado.
a) se o resultado obtido for par, qual a probabilidade de ele ser maior ou
igual a cinco?
b) Se o número obtido for maior ou igual a cinco, qual a probabilidade de
ele ser par?
c) Se o resultado obtido for ímpar, qual a probabilidade de ele ser menor
que 3?
d) Se o resultado for menor que 3, qual a probabilidade de ele ser ímpar?
R: a) 1/3 b) ½ c) 1/3 d) ½



6. Um número é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 50.
Qual é a probabilidade de :
a) O número ser divisível por 5?
b) O número terminar em 3?
c) O número ser primo?
d) O número ser divisível por 6 ou por 8?
R: a) 1/5 b) 1/10 c) 3/10 d) 6/25

7. Qual é a probabilidade de sair um Rei ou uma carta de Copas, quando retiramos
uma carta de um baralho? R: 4/13

8. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de:
a) A soma ser menor que 4?
b) A soma ser 9?
c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo?
R: a) 1/12 b) 1/9 c) 5/12

9. Numa urna, são misturadas 10 bolas numerada de 1 a 10. Duas bolas são
retiradas (a, b) sem reposição. Qual é a probabilidade de a + b =10?
R: 4/45

10. Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos(s.m.),
20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m.. Três
pessoas desta indústria são selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo
menos uma ganhe menos de 10 s.m.
R: 97,3%

11. Um lote é formado por 10 peças boas, quatro com defeitos e duas com defeitos
graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a) Ela não tenha defeitos graves;
b) Ela não tenha defeitos;
c) Ela seja boa, ou tenha defeitos graves;
R: a) 7/8 b) 5/8 c) ¾

12. Considere o mesmo lote anterior. Retiram-se duas peças ao acaso. Qual a
probabilidade de que;
a) Ambas sejam perfeitas?
b) Pelo menos uma seja perfeita?
c) Nenhuma tenha defeito grave?
d) Nenhuma seja perfeita?
R: 3/8 b) 7/8 c) 91/120 d) 1/8

13. Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O
responsável pelo setor seleciona 5 peças. O lote é aceito se forem observadas 0
ou 1 defeitos. Há 20 peças defeituosas no lote.
a) Qual a probabilidade do lote ser aceito?
b) Admitindo que o lote seja aceito, qual a probabilidade de ter sido
observado só um defeito?
R: a)80,38% b) 50%



14. Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos
olhos de cada moça, segundo a tabela
Olhos
Cabelos azuis castanhos
Loira 17 9
Morena 4 14
Ruiva 3 3
Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a
probabilidade de ela ser:
a) Loira?
b) Morena de olhos azuis?
c) Morena ou ter olhos azuis?
d) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão
completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a
probabilidade de que ela seja morena?

13 2 19 7
R: a) b) c) d)
25 25 25 13

15. Uma urna contém cinco bolas brancas e seis pretas. Três bolas são retiradas.
Calcular a probabilidade de:
a) Serem todas pretas;
b) Ser exatamente uma branca;
c) Ser ao menos uma preta.
R: a)4/33 b) 5/11 c) 31/33

16. Em uma classe, existem cinco alunos do 4º ano, quatro do 2º ano e três do 3º
ano. Qual é a probabilidade de serem sorteados dois alunos de 2º ano, três do 4º
e dois do 3º?
R: 5/22

17. A probabilidade de três jogadores marcarem um pênalti são respectivamente:
2 4 7
, e
3 5 10
Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de:
a) Todos acertarem?
b) Apenas uma acertar?
c) Todos errarem?
R: a) 28/75 b) 1/6 c) 1/50

18. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20
terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a
probabilidade de:
a) A ganhar todas as três;
b) Duas partidas terminarem empatadas;
c) A e B ganharem alternadamente.
R: a) 1/8 b) 5/72 c) 5/36



19. Num período de um mês, 100 pacientes sofrendo de determinada doença foram
internados em um hospital. Informações sobre o método de tratamento aplicado
em cada paciente e o resultado obtido estão abaixo,
Tratamento A B Soma
Resultado
Cura total 24 16 40
Cura parcial 24 16 40
Morte 12 8 20
Soma 60 40 100
a) Sorteando aleatoriamente um desses pacientes, determinar a probabilidade de o
paciente escolhido:
a1) ter sido submetido ao tratamento A;
a2) ter sido totalemente curado;
a3) ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado;
a4) ter sido submetido ao tratamento A ou ter sido parcialmente curado.
b) Os eventos “morte”e “tratamento A” são independentes? Justifique.
c) Sorteando dois pacientes, qual a probabilidade de que:
c1) tenham recebido tratamentos diferentes?
c2) pelo menos um deles tenha sido curado totalmente?

R: a1) 0,6 a2) 0,4 a3) 0,24 a4) 0,76 c1) 0,48 c2) 0,64

20. Numa bolsa temos cinco moedas de R$ 1,00 e quatro de R$ 0,50. Qual a
probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50?
R: 5/9
3
21. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui 30 anos é de e de seu
4
3
marido, . Calcular a probabilidade de:
5
a) Apenas o homem estar vivo;
b) Somente a mulher estar viva;
c) Ambos estarem vivos.
R: a) 3/20 b) 3/10 c) 9/20

22. Uma caixa A contém oito peças, das quais três são defeituosas, e uma caixa B
contém cinco peças, das quais duas são defeituosas. Uma peça é retirada
aleatoriamente de cada caixa.
a) Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam defeituosas?
b) Qual é a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra não?
c) Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p de que a
peça defeituosa venha da caixa A?
R: a) 3/8 b) 19/40 c) 9/19

23. Temos duas caixas: na primeira há três bolas brancas e sete pretas; e na segunda,
uma bola branca e cinco pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se
uma bola e verifica-se que é preta. Qual é a probabilidade de que a caixa onde
for extraída a bola seja a primeira? E a segunda?
R: 21/46 25/46



3
24. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar uma carro é de , de B é
4
1 1
e de C é . A probabilidade de o indivíduo de classe A comprar um carro
5 20
1 3 3
da marca D é ; de B comprar da marca D é e de C é . Em certa loja
10 5 10
comprou-se um carro da marca D. qual é a probabilidade de que o indivíduo da
classe B o tenha comprado?
R: 4/7

25. Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 1,80m de
altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é
escolhido ao acaso e tem mais de 1,80m de altura qual é a probabilidade de que
o estudante seja mulher?
R: 4/19

26. Três máquinas, A, B e c, produzem respectivamente 40%, 50% e 10% total de
peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas
máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é
defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B?
R: 25/39

27. A industria Alpha Ltda., fabricante de esferas metálicas, possui três máquinas,
M1, M2 e M3, responsáveis por 25%, 40% e 35%, respectivamente, de sua
produção diária. Por sua vez, as respectivas taxas de unidades defeituosas são de
1%, 2% e 3%. Tendo um item sido retirado, ao acaso, da produção diária de
600.000 unidades, e se verificando que apresenta defeito, pede-se a
probabilidade de ser proveniente de Mi (i = 1, 2, 3).
R: M1 = 11,9% M2 = 38,10% M3 = 50%



PARTE VI

Distribuição Teóricas De Probabilidade De
Variáveis Aleatórias Discretas
1. Variáveis Aleatórias

Seja E um evento aleatório e U o espaço Amostral associado ao experimento.
Uma função X que associe cada elemento u ∈ U um número real X(u) denominada
variável aleatória.

Exemplo:
• Lançam-se três moedas. Seja X: número de ocorrência de face cara. Determinar a
distribuição de probabilidade de X.

1.1 Variável Aleatória Discreta

Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X for finito
ou infinito numerável, denominaremos X de Variável Aleatória Discreta.

Exemplos:
• X: O número de Caras obtidas em um lançamento de duas moedas não viciadas.
• X: O número de Clientes que vão ao banco no horário das 10:00h as 12:00h.
• X: Chamadas telefônicas por unidade de tempo.
• X: Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade
de tempo.

1.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Trata-se de um modelo que dá a probabilidade do número de sucessos quando
são realizadas n provas do mesmo tipo.
Cada experimento admite dois resultados:
• Sucesso ⇒ com probabilidade p
• Fracasso ⇒ com probabilidade 1 – p = q

Hipóteses:
• São realizadas n provas do mesmo tipo (Idênticas);
• Cada prova admite dois resultados possíveis: Sucesso ou Fracasso;
• Os resultados das provas são independentes;

A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e indicaremos
pela notação X = B( n , p )

Fórmula: P(X = x) = p x .q n − x .C n , x
Onde:
n = número de provas ou repetições;
x=número de Sucessos;
n-x = número de Fracassos;
p = probabilidade de sucesso em cada prova;



q = 1-p é a probabilidade de Fracasso em cada prova;
C n , x = número de combinações de n elementos tomados x a x

Parâmetros da distribuição Binomial
Esperança: E(x) = µ(x) = n . p
Variância Var(x) = σ2(x) = n . p . q

1.3 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado
intervalo.

Hipóteses:
H1: A probabilidade de uma ocorrência em um intervalo ∆t ( ∆ S, ou...) é constante e
proporcional ao tamanho do intervalo. Isto é:
P( X = 1,∆t ) = λ∆t

H2: A probabilidade de mais de uma ocorrência em um intervalo ∆t ( ∆ S, ou...) é igual
a zero. Isto é:
P( X > 1,∆t ) = 0

H3: O número de ocorrências constituem variável aleatórias independentes.

Seja X: número de sucessos no intervalo, então:
µ x .e − µ
Fórmula: P(X = x) =
x!
Onde:
λ = coeficiente de proporcionalidade, ou taxa de freqüência por unidade de
tempo, área, etc.
t = tempo, área;
e = base dos logaritmos naturais;
x = número de ocorrências (sucessos)
µ = λ.t

Parâmetros da distribuição de Poisson
Esperança: E(x) = µ(x) = λ.t
Variância: Var(x) = σ2 (x) = λ.t



EXERCÍCIOS

1. Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades:
a) de dar pelo menos duas caras; R: 98,93%
b) de ocorrer seis caras; R: 20,51%
c) de não dar nenhuma coroa; R: 0,098%
d) de dar pelo menos uma coroa; R: 99,90%
e) de não dar 5 caras e 5 coroas R: 75,39%

2. Admitindo que o nascimento de meninos e meninas sejam iguais, calcule a
probabilidade de um casal com seis filhos ter quatro filhos homens e duas
mulheres.
R: 23,44%

3. Uma urna tem 20 bolas pretas e 30 brancas. Retira-se 25 bolas com reposição.
Qual a probabilidade de que:
a) 2 sejam pretas? R: 0,038%
b) Pelo menos 3 sejam pretas? R: 99,96%

4. Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em;
a) 250Km ocorram pelo menos 3 acidentes? R: 87,53%
b) 300Km ocorram 5 acidentes? R: 16,06%

5. A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo uma única flecha é de 0,20.
Lança 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que:
a) exatamente 4 acertem o alvo? R: 13,25%
b) pelo menos 3 acertem o alvo? R: 95,58

6. O pessoal de inspeção de qualidade afirma que os rolos de fita isolante
apresentam, em média uma emenda a cada 50 metros. Admitindo-se que a
probabilidade do número de emendas é dada pela Poisson, calcule as
probabilidades;
a) de nenhuma emenda em um rolo de 125 metros. R: 8,21%
b) De ocorrer no máximo duas emendas em um rolo de 125 metros.
R: 54,40%
c) De ocorrer pelo menos uma emenda em um rolo de 100 metros.
R: 86,47%

7. Admitindo que X tem distribuição de probabilidade de Poisson, encontre as
probabilidades:
a) P(X=5) quando µ = 3,0 R: 10,08%
b) P(X ≤ 2) quando µ = 5,5) R: 8,84%
c) P(X ≥ 4) quando µ = 7,5) R: 5,91%
d) P(X = 8) quando µ = 4,0 R: 2,98%

8. Sabe-se que 20% dos animais submetidos a um certo tratamento não
sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de
não sobreviventes:
a) qual a distribuição de X? Binomial = B(20 ; 0,2)
b) calcular a E[X] e Var [X] R: E[X] = 4 Var[X]



c) calcular P(2 < X ≤ 4) R : 42,36%
d) calcular P(X ≥ 2) R = 93,08%

9. O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana é
de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em:
a) 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos R: 9,16%
b) 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos? R: 82,64%

10. A média de chamadas telefônicas numa hora é três. Qual a probabilidade de:
a) Receber exatamente três chamada numa hora? R: 22,41%
b) Receber quatro ou mais chamadas em 90 minutos? R: 65,8%

11. Certo posto de Bombeiros recebe em média três chamadas por dia. Calcular a
probabilidade de:
a) receber quatro chamadas num dia; R: 16,8%
b) receber três ou mais chamadas num dia. R: 57,67%

12. Uma loja atende em média dois cliente por hora. Calcule a probabilidade de em
uma hora:
a) atender exatamente dois cliente; R: 27%
b) atender três clientes. R: 18%

13. Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500
páginas. Encontre a probabilidade de que dada página contenha:
a) nenhum erro; R: 44,9%
b) exatamente dois erros. R: 14,37%

14. Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, ache a probabilidade de
que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:
a) nenhuma defeituosa; R: (0,95)100
100 
b) três defeituosas; R: (0,05) 3 (0,95) 97 
 3 
 

1
15. A probabilidade de um atirador acertar uma alvo é de . Se ele atirar seis vezes,
3
qual a probabilidade de:
1. acertar exatamente dois tiros? R: 32,92%
2. não acertar nenhum tiro? R: 8,78%

16. Em um teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de
uma aluno, respondendo às questões ao acaso, acertar 70% das perguntas?
100
 1  100 
R:     

 2   70 



PARTE VII

Distribuição Teóricas De Probabilidade De
Variáveis Aleatórias Contínuas

1. Variável Aleatória Contínua

Seja X uma variável aleatória. Se o contradomínio de X é um intervalo, ou uma
coleção de intervalos, denominamos X de Variável Aleatória Contínua.

Exemplos:
• X: Altura acima do solo que um dardo atinge o painel.
• X: O intervalo de tempo de vida de uma lâmpada.
• X: Tempo de vida útil de uma bateria de automóvel.
• X: Tempo de vida de uma pessoa.

2. Definição
Podemos dizer que uma variável aleatória contínua é aquela que assume valores em um
intervalo da reta real dos números reais.
Por definição, uma variável aleatória X é contínua em IR se existir uma função f(x), tal
que:
1. f ( x) ≥ 0 (não negativa)
∞
2. ∫ f ( x)dx = 1 .
−∞

A função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p.). Observamos que:
b
P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx
a

A área sobre a curva expressa a função densidade de probabilidade de uma f.d.p.
definida.



Parâmetros:
ESPERANÇA MATEMÁTICA: Pode ser entendida como um “centro de distribuição
∞
de probabilidade”. E ( X ) = µ ( x) = ∫ x ⋅ f ( x)dx
−∞

µ

VARIÂNCIA MATEMÁTICA:
VAR( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )] 2
onde:
∞
E( X ) = ∫x ⋅ f ( x)dx
2 2

−∞

Também podemos definir:
x
F ( x) = P( X ≤ x) = ∫ f ( s)ds
−∞

2.1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
O nome normal deve-se ao fato de que muitas distribuições de freqüências de erros de
observações e mensurações podem ser descritas por uma distribuição dessa natureza.
A função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma distribuição
normal é definida por:
2
1  x−µ 
1 − 
2 σ 

f ( x) = e , para − ∞ < x < +∞
σ 2π
O gráfico de f(x) é;

As principais características dessa função são:
a) o ponto máximo de f(x) é o ponto X = µ;



b) os pontos de inflexáo da funçao são: X = µ + σ e X = µ – σ;
c) a curva é simétrica com relação a µ;
d) E(X) = µ e VAR(X) = σ2

Se quisermos calcular a probabilidade indicada na figura, devemos fazer:
2
b 1  x−µ 
1 − 
2 σ 

P ( a ≤ x ≤ b) = ∫ e dx
a σ 2π
Graficamente:

Essa integral requer um trabalho computacional em séries para resolvê-la, pois
de forma analítica a mesma se torna inviável. Para solucionarmos este problema usamos
uma transformação de variáveis que nos conduz à chamada distribuição normal
padronizada, ou distribuição normal reduzida. Usaremos a seguinte notação:
X : N (µ , σ 2 )
Para transformação de variáveis , consideraremos a seguinte transformação linear de X
Xi − µ
para Z: Zi =
σ
Logo, para encontrarmos as áreas (probabilidade) sob a curva f(x), mudam-se suas
abscissas para Z, determinando-se a probabilidade com auxilio de uma tabela normal
padronizada. Assim:
P ( a < x < b ) = P ( z1 < Z < z 2 )
Onde:
a−µ b−µ
Z1 = Z2 =
σ σ


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