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Una ensalada Dos ensaladas Tres ensaladas
    4 plátanos      8 plátanos         12 plátanos

      5 peras        10 peras           15 peras

    3 manzanas      6 manzanas        9 manzanas

      2 kiwis         4 kiwis            6 kiwis

Como observas en la tabla, para preparar dos ensaladas, Alicia necesita el
doble de cada fruta. Puede calcularlo así:

        4×2=8             5 × 2 = 10               3×2=6               2×2=4

Para preparar tres ensaladas, Alicia requiere el triple de cada fruta; puede
calcularlo de esta manera:

       4 × 3 = 12         5 × 3 = 15               3×3=9               2×3=6

Entre el número de ensaladas y el número de frutas existe proporcionalidad
directa, porque al doble de ensaladas le corresponde el doble de frutas.

                                                                     Mi diccionario
Al triple de ensaladas le corresponde el triple de frutas.
                                                                   proporcionalidad.
                                                                   Relación entre
                                                                   cantidades.
Ejemplos de proporcionalidad directa
•   Para el doble de niños se necesita el doble de globos.
•   Para el triple de árboles se requiere el triple de terreno.
•   Para el cuádruple de helados se precisa el cuádruple de dinero.
•   Más gallinas, más huevos.
                                               En mi caja fuerte
                                                                                           Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




Ejercicio                                      C
                                               Cuando relacionas dos cantidades,
propuesto        Cuaderno de apuntes
                                               si al doble de una le corresponde el
Diana preparó ocho galletas para               doble de la otra, si al triple de una le
regalar dos galletas a cada una de             corresponde el triple de la otra, a la
sus cuatro amigas. Si ella quisiera            mitad de una le corresponde la mitad
regalarles cuatro galletas a cada              de la otra y así, sucesivamente, se dice
una, ¿cuántas debería preparar?                que hay proporcionalidad directa.
                                                                 Al cuaderno
                                                                de actividades
                                                                                 P. 55
                                                                                          41
Buen vivir                                                           Al cuaderno
                                                                                                                        de actividades
                                                                                                                                             P. 64
                                                        Desarrollo de la salud
                                                    La otra semana fuimos de paseo a la Reserva Ecológica Pululahua.
                                                    Fue increíble entrar en el cráter del volcán. En su interior, sobre un
                                                    fondo plano y regular que alberga a una comunidad dedicada a las
                                                    actividades agrícolas, tres elevaciones menores son claramente visibles:
                                                    el Pondoña, El Chivo y el Pan de Azúcar. Las zonas adyacentes son peque-
                                                    ñas cordilleras y elevaciones con paredes cubiertas de vegetación muy propia que termi-
                                                    nan de encerrar la caldera y le dan al terreno las cualidades que le han valido la singular
                                                    declaratoria de Reserva Geobotánica, la única en el Ecuador.
                                                    Durante el paseo nos dimos cuenta de que nos sentíamos muy alegres, además nos ayudá-
                                                    bamos unos a otros y nos sentíamos parte de este mundo maravilloso.

                                                    En resumen
                                                                                                                                          Medidas
                                                                                         Al multiplicar                                  de tiempo
                                                                             por 10                 Ejemplo
                                                                                                  3 × 10 = 30          Un lustro      en años
                                                                          aumenta un 0.
                                                                                                                     cinco años               Un siglo
                                                                                    por 100      por 1 000                                   cien años
                                                                                   aumenta       aumenta                     Una década
                                                                                     dos 0.       tres 0.                     diez años


                                                                                                                                      Triángulos

                                                                        División
                                                                                                                                                            por sus ángulos
                                                                    es repartir.                              por sus lados                                              obtusángulo
                                                                                                   equilátero             escaleno           acutángulo     rectángulo
                                                             Sus términos son                      tres lados
                                                                                                               isósceles todos sus             Tiene los      Tiene
                                                                                                                                                                          Tiene un
                                                                                                     iguales                                                               ángulo
                                                        dividendo             cociente                        dos lados lados des-           tres ángulos   un ángulo
                                                                    divisor                                     iguales     iguales                                        obtuso.
                                                                                                                                                agudos.       recto.


                                                                                                                            Crecen (× 1, × 2, × 3) ambos.
                                                                                                           Relación de
                                                                          Proporcionalidad        Directa dos cantidades
                                                                                                                            Decrecen (÷ 1, ÷ 2, ÷ 3) ambos.

                                                         Cuaderno de apuntes

                                                    Autoevaluación
                                                                                                                               Coevaluación
                                                    1. Desde el año 1973, la ONU declaró el
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                                                       5 de junio el día del Medio Ambiente.                                  1. En el patio de la escuela tracen
                                                       Calcula mentalmente cuántos años                                          un triángulo equilátero, uno
                                                       han pasado desde entonces.                                                isósceles y uno escaleno. Lue-
                                                    2. Realiza la aproximación correspon-                                        go, midan sus largos y calculen
                                                       diente y escribe cuántas décadas y                                        su perímetro. Dibujen y regis-
                                                       cuántos lustros.                                                          tren los datos en su cuaderno.

                                                                       E
                                                                       En la web
                                                                • ww
                                                                  www.primaria.librosvivos.net                              • www.vitutor.com
42
d u lo        Soy solidario
 4
Mó



               y fraterno




 Reflexiono                                        Lo que debo saber
 • De los pájaros que están en el árbol,     Las tablas de multiplicar
   ¿cuáles pueden ser representados me-
   diante una multiplicación?
 • ¿Qué multiplicación representa al nú-
   mero de mariposas?
 • ¿Qué sabes de la Amazonía?                     4 × 3 = 12      12 ÷ 3 = 4

 Objetivos
 • Resolver divisiones con divisores de      ½ medio        3 tercio
                                                            1          ¼ cuarto
                                                                                    Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




   una cifra y con residuo.
 • Reconocer las fracciones y estable-
   cer relaciones de orden entre ellas.
 • Reconocer paralelogramos y trapecios, a partir de sus características.

      Contenidos                              rsal: Form
                                                        ación para la democrac
                                                                              ia
                                            ve
                                   Eje trans

     • División inexacta              • Ordenar y comparar fracciones
     • Noción de fracción             • Paralelogramos y trapecios                 43
Lección 1

                                                                   División inexacta                                                                          Bloque numérico
                                                                   Destreza con criterios de desempeño: Resolver divisiones con divisores de una cifra y con residuo.


                                                                  ¿Sabías que...?                  División inexacta
                                                                  El procedimiento de              En la siguiente ilustración se representa una situación en
                                                                  la división en galera            la cual se observa cómo la multiplicación y la división
                                                    www.uclm.es




                                                                  se conoce como                   son operaciones opuestas.
                                                                  división euclidea                En la entrada A se encuentra un grupo de diecinueve
                                                                  porque fue publi-                personas que quieren viajar a Morona Santiago.
                                                                  cado por Euclides                En la entrada B hay vehículos con capacidad para cinco
                                                                                                   personas.                             ent
                                                                  en su libro Elemen-                                                        rad
                                                                                                                                                 aA
                                                                  tos hace más                     Si la condición para que se
                                                                  de 2 200 años.                   dé el viaje es que viajen máxi-
                                                                                                   mo cinco personas en cada                          salida
                                                                                                   vehículo, ¿cuántos vehículos
                                                                                                   se necesitan?                                 aB      ad
                                                                                                                                                     entr

                                                              ¿Qué pasa con...?                    Patrones numéricos decrecientes relacio-
                                                                  He repartido 24 pe-              nados con la división
                                                                  dazos de pizza entre             Observa la ilustración y responde oralmente.
                                                                  6 niños, a cada uno
                                                                  le tocó 4 pedazos.

                                                                                                            80 ÷ 2 = 40 ÷ 2 =
                                                                                                            20 ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5


                                                                      o
                                                              Mucho ojo                            • ¿Qué operaciones ha realizado la niña?
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                                                                                                   • ¿En que se parecen cada una de las divisiones?
                                                     • Para averiguar ell
                                                       valor del dividendo,                        Lee el texto a continuación.
                                                       multiplico el cocien-                       Cecilia escribió en el pizarrón un patrón numérico de-
                                                       te por el divisor.                          creciente.
                                                                                                   Un patrón es un conjunto de números que siguen una se-
                                                                  Dividendo 6 10 ? ?
                                                                                                   cuencia. Cuando esta secuencia de números va del ma-
                                                                  Divisor   2 2 2 2                yor al menor, se llama patrón numérico decreciente.
                                                                  Cociente 3 5 8 14                Para construir estos patrones se puede realizar divisiones
                                                                                                   sucesivas, siempre por el mismo divisor.
44
Mi diccionario
División en galera                                                            euclidea. Vie-
                                          dividendo divisor                   ne de Euclides,
En la división en galera, los términos       residuo cociente                 sabio matemáti-
se ubican de la siguiente manera:                                             co griego de la
                                                                              antigüedad.
Observa el proceso en el siguiente ejemplo:
    Primera etapa                                Segunda etapa
                   4 9 6                                    4 9 6
                       8                                  – 4 8 8
                                                              1

  Escribo como cociente un número              Resto al dividendo el producto de
  que al multiplicarlo por el divisor el       la multiplicación del cociente por el
  producto sea igual al dividendo o            divisor. En este caso 48. Anoto la dife-
  esté muy cercano a él, sin pasarse.          rencia que es el residuo (1).
  En este caso 6, porque 6 × 8 = 48 y
  está muy próximo al 49.

H
Hay otras di i i
      t divisiones en llas que lla cifra d l di i es menor que las decenas dell
                                    if del divisor              l d          d
dividendo, en ese caso se resuelve la operación en tres etapas. Mira el ejemplo.
        Primera etapa           Segunda etapa                      Tercera etapa
           D U                           D U                              D U
           4 7 3                      4 7 3                             4 7 3
         – 3   1                    – 3   1                           – 3    1 5
           1                          1 7                               1 7
                                                                      – 1 5
                                                                          2

  Reparte primero las de-      Reagrupa la dece-      Reparte las unidades 17 : 3 = 5,
  cenas para el número de na que sobra con            que es el número más cercano
  grupos, 4 : 3 = 1, multipli- las 7 unidades.        a 17, sin pasarse. Coloca el 5 en el
  ca 1 x 3 = 3 y resta de las                         cociente, multiplica 5 × 3 = 15 y
  decenas; en este caso                               resta de las unidades 17 – 15 = 2.
  sobra 1.                                            El residuo o resto es 2.
                                                                                                 Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




                                               En mi caja fuerte
Ejercicio                                                                          73 : 9 = 8
propuesto        Cuaderno de apuntes                                               sobra 1
Resuelve mentalmente: Carlos com-          Para resolver esta división se descompusieron
                                                                           escompusieron
pró 20 suspiros y los compartió con        todas las decenas en unidades y, luego, se re-
sus amigos, a todos les tocó el mis-       partieron equitativamente en nueve grupos.
mo número que a Carlos. ¿Cuántos
                                                          Al cuaderno
suspiros recibió cada uno?                               de actividades
                                                                           P. 67
                                                                                                45
Lección 2

                                                                         Noción de fracción                                                                  Bloque numérico
                                                                         Destreza con criterios de desempeño: Reconocer las fracciones como números que permiten un reparto equi-
                                                                         tativo y exhaustivo de objetos fraccionables.


                                                                        ¿Sabías que...?                Concepto de fracción
                                                                        Los aztecas repre-             Un número fraccionario indica cómo se ha dividido una
                                                                        sentaban los núme-             unidad en partes iguales. Por ejemplo:
                                                    http://www.oei.es




                                                                        ros fraccionarios uti-
                                                                        lizando corazones,             Los cilindros se han dividido en dos, cuatro y seis partes
                                                                        manos y flechas.                iguales.
                                                                        Estos símbolos han
                                                                        sido encontrados
                                                                        en algunos planos
                                                                        y significan:

                                                                                   =      2
                                                                                               5



                                                                                   =      1
                                                                                               2

                                                                                                       En el primero se ha pintado de verde una de las dos
                                                                                   =      3
                                                                                               5
                                                                                                       partes, es decir, un medio (½); en el segundo se han
                                                                                                       pintado del mismo color tres partes de cuatro, es decir,
                                                                                                       tres cuartos (¾). En el siguiente, se han pintado de azul
                                                                                                       cinco de seis partes, es decir, cinco sextos (5 6).

                                                                                                       Toda unidad es susceptible de dividirse en infinito nú-
                                                                                                       mero de partes.
                                                    Mucho ojo
                                                                                                       Las fracciones están formadas por un numerador, que
                                                    • Una unidad puede
                                                                                                       indica las partes que se han tomado de la unidad y el
                                                      dividirse en:
                                                                                                       denominador, que indica las partes en las que se ha
                                                      dos medios,
                                                                                                       dividido la unidad. Observa el ejemplo:
                                                      tres tercios o más
                                                      partes iguales.
Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




                                                                                                                                        El numerador 3 indica las
                                                                            1              2
                                                                                               2
                                                                                                                                        partes del cilindro que se
                                                                                                                               3        han pintado, de rosado.
                                                                                                                               4
                                                                                                                                        El denominador 4 indica las
                                                                           3               4
                                                                               3               4                                        partes en las que se ha divi-
                                                                                                                                        dido el cilindro.



46
El nombre de la fracción depende del denominador.
      2 partes        medios             6 partes     sextos
      3 partes        tercios            7 partes   séptimos
      4 partes        cuartos            8 partes    octavos
      5 partes        quintos            9 partes   novenos
Cuando hay más de diez partes, se añade al número del denominador la ter-
minación -avo, -ava. Por ejemplo:
12 se lee «doce dieciochoavos» y se representa así:
18


                                   ó




Las fracciones que indican que una unidad ha sido dividida en diez partes
se llaman decimales. Observa el ejemplo:



                          7                                             4
                              10                                            10
                    siete décimos                              cuatro décimos

Se llama centésimos a la fracciones que indican que una unidad ha sido
dividida en cien partes. Por ejemplo:



                                                                   30
                              16                                        100
                                   100
                                                                  treinta
                   dieciséis centésimos
                                                                centésimos
                                                                                     Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




Cuando la unidad ha sido dividida en mil partes, se denomina milésimos.



                          6                                         14
                              1 000                                         1 000
                     seis milésimos                        catorce milésimos



                                                                                    47
Fracción de un número
                                                    Un conjunto de elementos es una unidad; por lo tanto, esta puede ser dividida
                                                    en fracciones.

                                                    Si dividimos un conjunto en dos grupos
                                                    con el mismo número de elementos, obte-
                                                    nemos mitades.

                                                    Por ejemplo: si el conjunto está formado por
                                                    12 elementos, la mitad es 6.
                                                                                                                       1
                                                                                                        ½                2

                                                    Si a los 12 elementos del conjunto los dividimos en cuartos, tenemos que ¼ de
                                                    12 son 3.




                                                                      ¼                      1
                                                                                                 4      ¼            ¼
                                                    El número 12 se puede dividir en medios (½), tercios (1 3), cuartos (¼), sextos
                                                    ( 1 6 ), doceavos (1 12) porque el 12 puede dividirse para 2, 3, 4, 6 y 12.

                                                    Mira otro ejemplo:
Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




                                                         4
                                                             6   son mujeres y
                                                                     mujeres
                                                                        e        2
                                                                                     6   son hombres.

                                                    Para fraccionar un número, se divide el mismo número en grupos más peque-
                                                    ños de elementos.

48
Representación de una fracción en la recta numérica
Las fracciones se pueden representar en la semirrecta numérica.

En este caso, cada unidad se ha dividido en dos partes, es decir, en medios.


                  1                           2                               3                            4                    5

      1           2           3               4               5               6                7           8         9         10
          2           2           2               2               2               2                2           2          2          2


En la semirrecta numérica se han representado medios; por lo tanto, observa que:
Una unidad son dos medios:          1 =2 2.
Dos unidades son cuatro medios: 2 = 4 2 .             Mi diccionario
Tres unidades son seis medios:      3 = 6 2.
                                                       susceptible.
Esta semirrecta puede continuar hasta el infinito.
                                                       Capaz de recibir
En esta segunda semirrecta se ha divi-                 modificación
dido cada unidad en tercios, es decir,                 o impresión.
en tres partes iguales:

                              1                                           2                                    3                                         4

      1       2           3           4               5               6               7            8       9         10         11                       12
          3       3           3           3               3               3               3            3       3          3           3                       3


Observa que se ha dividido la unidad en tres partes; por lo tanto:
Una unidad son tres tercios:           1 =3 3 .
Dos unidades son seis tercios:         2 =6 3 .
Tres unidades son nueve tercios:       3 =9 3 .
Cuatro unidades serían doce tercios:   4 =12 3.

Se puede representar cualquier fracción en una semirrecta numérica.

                                                                                              En mi caja fuerte
                                                                                                                                                                                       Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




 Ejercicio                                                                                    U
                                                                                              Una fracción es
                                                                                                                                                     1
 propuesto                Cuaderno de apuntes                                                 e
                                                                                              el resultado de                                            8            1
                                                                                                                                                                          8
                                                                                                                                         1
                                                                                              dividir la unidad                              8
                                                                                                                                                                              1
                                                                                                                                                                                  8
 Mentalmente descubre la respues-                                                             o un conjunto                          1
                                                                                                                                         8
 ta: María y Rosa cortaron un pastel                                                          de elementos en
                                                                                                                                                                          1
                                                                                                                                                                              8
                                                                                                                                             1
                                                                                                                                                 8
 en 24 pedazos. María tomo 1/4 del                                                            partes iguales.
                                                                                                                                                              1
                                                                                                                                                                  8

 pastel y Rosa 2/4. ¿Cuántos peda-
 zos quedan?                                                                                                Al cuaderno
                                                                                                           de actividades
                                                                                                                              P. 69

                                                                                                                                                                                      49
Ordenar y comparar
                                        Lección 3



                                                      fracciones                                                                                             Bloque numérico
                                                      Destreza con criterios de desempeño: Establecer relaciones de orden entre fracciones, mayor que, menor que,
                                                      igual a ½ e igual a 1.

                                                    ¿Sabías que...?                   Fracciones iguales a 1
                                                                                      Para establecer relaciones de mayor que (>), menor
                                                     Una cuerda                       que (<) e igual a =, partiremos de representaciones grá-
                                                     con doce nudos,                  ficas.
                                                     es decir, dividida
                                                     en doce partes,                  A continuación, establecemos la relación igual a 1.
                                                     era una herramien-
                                                     ta de construcción
                                                     usada por los
                                                     egipcios, porque
                                                     con ésta podían                       4
                                                                                               4   =1                      5
                                                                                                                               5   =1                         12
                                                                                                                                                                   12     =1
                                                     formar triángulos.
                                                                                      En cada unidad se han coloreado todas las fracciones,
                                                                                      es decir, 1.

                                                                                      Cuando el numerador y el denominador tienen el mis-
                                                                                      mo número, esto equivale a 1.

                                                                                      Al utilizar números tenemos:

                                                                                           23
                                                                                                   23   =1   45
                                                                                                                  45   =1               787
                                                                                                                                              787   =1            7 755
                                                                                                                                                                          7 755   =1


                                                                                      Fracciones iguales o equivalentes a ½
                                                            o
                                                    Mucho ojo
Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




                                                                      12
                                                                           16




                                                                       6
                                                                           16
                                                                                               2
                                                                                                   4    =½             3
                                                                                                                           6   =½                        5
                                                                                                                                                             10   =½

                                                                            12
                                                                                 18   Si el numerador es la mitad del denominador, hablamos
                                                                                      de medios.
50
Comparar fracciones
Comparar fracciones por medio de la utilización de gráficos es una actividad
muy interesante. Analiza el siguiente ejemplo:

Elena comió 1 3 de pizza. José, ½ pizza. Si ambas pizzas son del mismo tamaño,
¿quién comió más?

                                                                                        Mi diccionario

                                                                                        equivalente. Dicho
                                                                                        de una cosa que
                                                                                        puede ser igual
                                                                                        a otra en valor o
                                                                                        cantidad.




Al comparar las porciones de pizzas que comió cada uno, vemos que es más
grande la porción de José.

                           Por lo tanto, decimos que ½ es mayor que                 1
                                                                                        3   .
                                                ½ >1 3

Comparemos ahora las siguientes fracciones:

              3
                  10                    = 5 10                          = 3 10                          = 2 10

     5
         10
                  2
                      10


                                                 3
                                                     10   <   5
                                                                  10
                                                                          2
                                                                              10   < 3 10
                                                                                                                  Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




Ejercicio
propuesto                     Cuaderno de apuntes
                                                                       En mi caja fuerte
Ricardo, Andrés y Cecilia prepara-                                     C
                                                                       Comparar fracciones sir-
ron carteles para la casa abierta de                                   v
                                                                       ve para saber quién tomó
Matemáticas. Ricardo hizo 3 9 de los                                   más partes de la unidad.
carteles, Andrés 2 9 y Cecilia el resto.
¿Quién realizó más carteles? ¿Por qué?                                         Al cuaderno
                                                                              de actividades
                                                                                                P. 73

                                                                                                                 51
Paralelogramos
                                        Lección 4



                                                                       y trapecios                                                                     Bloque geométrico
                                                                       Destreza con criterios de desempeño: Reconocer paralelogramos y trapecios, a partir del análisis de sus
                                                                       características.

                                                                      ¿Sabías que...?                Cuadriláteros y paralelogramos
                                                                                                     Etza es un niño de la Amazonía. Él ha elaborado una
                                                                      David Hilbert,
                                                                                                     teselación con figuras que tienen cuatro lados, es decir,
                                                                      matemático alemán,
                                                    www.came.edu.pe




                                                                                                     cuadriláteros. También ha utilizado algunos triángulos.
                                                                      demostró que
                                                                      si se corta un polí-
                                                                      gono en pedazos,
                                                                      se puede armar
                                                                      otro con la misma
                                                                      superficie que el
                                                                      primero al unir
                                                                      los pedazos de
                                                                      distinta manera.



                                                                                                     Los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y
                                                                                                     paralelos de dos en dos se llaman paralelogramos y son:
                                                                                                          Rombo J                                    Romboide
                                                                                                                                           M                            N


                                                                                                            I                   K

                                                                                                                                          O                        P
                                                    Mucho ojo                                                     L
                                                                                                     El rombo y el romboide tienen sus lados opuestos para-
                                                                                  cuadrado           lelos de dos en dos y sus ángulos no son rectos.
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                                                                                                          A Cuadrado B          E     Rectángulo       F
                                                                         rectángulo


                                                                           paralelas                      C             D      G                        H
                                                                                                     En cambio, los cuadrados y los rectángulos tienen sus
                                                                                                     lados opuestos paralelos y sus ángulos internos son rec-
                                                                           perpendiculares
                                                                                                     tos, pero también son paralelogramos.
52
Trapecios
Son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos y dos no paralelos.
Adquieren su nombre según la amplitud de sus ángulos internos, así:

 Trapecio isósceles    Trapecio rectángulo Trapecio escaleno
                                                                       ¿Qué pasa con...?
    A          B          E            F       I          J
                                                                        No es un cuadrilátero,
                                                                        porque tiene 5 lados.
C                  D G                 H   K                  L

Tiene dos ángulos
                    Tiene dos ángulos   Tiene los cuatro
agudos y dos obtu-
                     rectos, un agudo ángulos internos de
sos, iguales de dos
                       y uno obtuso.   distinta amplitud.
       en dos.

Perímetro
El perímetro es la medida del contorno de una figura geométrica. Para obtener
el perímetro de los trapecios o de los paralelogramos, se suman las longitudes
de sus lados. Observa el ejemplo:                                 60 c
                                                              120 cm                 m
Si queremos colocar un borde con cinta de-
corativa en la mesa, ¿cuántos centímetros de
cinta debemos comprar?

Debemos calcular el perímetro.                                    Mi diccionario
                                                              teselación. Patrón o
Perímetro = lado + lado + lado + lado                         regularidad de figuras
P = 𝓵+ 𝓵 + 𝓵 + 𝓵                                              que cubre completa-
P = 120 cm + 60 cm + 120 cm + 60 cm                           mente una superficie
P = 360 cm                                                    plana.
Ejercicio
                                                                                                                        Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




propuesto        Cuaderno de apuntes               En mi caja fuerte
Calcula mentalmente el perímetro                   L
                                                   Las figuras geomé-
del siguiente paralelogramo                        tr
                                                   tricas son utilizadas
                      2 cm                         para creaciones
                                                                                                 http://www.kiabi.es




                                                   artísticas de pin-
  1 cm                                             tores y artesanos
                              1 cm
                                                   y también al cons-
                                                   truir una casa. Al cuaderno
          2 cm                                                          de actividades
                                                                                         P. 75
                                                                                                                       53
Buen vivir                                        Al cuaderno
                                                                                                     de actividades
                                                                                                                      P. 84
                                                        Formación para la democracia
                                                    Este año llegó a la escuela Pedro, un niño que nació en la Ama-
                                                    zonía. Es muy buena gente y, pronto, todos nos hicimos amigos. Un
                                                    día, mientras jugábamos, él dijo unas palabras que no entendimos;
                                                    estaba tan emocionado que nos hablaba en su idioma, el shuar.
                                                    Nosotros nos sorprendimos al escucharlo; luego conversamos con
                                                    nuestro maestro y nos contó que en nuestro país existen más de diez idiomas y nos hizo
                                                    leer el siguiente texto de nuestra constitución:
                                                    «El castellano es el idioma oficial del Ecuador, el kichwa, el shuar y los demás idiomas an-
                                                    cestrales son patrimonio cultural del país, y serán de uso oficial para las nacionalidades y
                                                    pueblos indígenas, en los términos que determine la Ley. El Estado respetará y estimulará
                                                    su conservación y uso».

                                                    En resumen
                                                                                               División

                                                                       Términos:                                            Inexacta:
                                                                  dividendo, divisor,         Exacta:
                                                                                         Cociente igual a 0.          Cociente diferente a 0.
                                                                  cociente y residuo.



                                                                         Cuadriláteros                                    Fracción
                                                            Paralelogramos:         Trapecios:
                                                                                                       Unidad (un todo)           Se puede
                                                            Lados opuestos       Lados desiguales,
                                                                                                       dividida en par-            ordenar
                                                          iguales y paralelos,     dos paralelos
                                                                                                          tes iguales.           y comparar.
                                                             de dos en dos.          y dos no.
                                                            •   Rombo               • Trapecio                            Términos:
                                                            •   Romboide              isósceles                          numerador
                                                            •   Cuadrado            • Trapecio                         y denominador.
                                                            •   Rectángulo            rectángulo

                                                         Cuaderno de apuntes
                                                                                                            Coevaluación
                                                    Autoevaluación
                                                                                                           1. Presenta al grupo el problema
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                                                    1. En tu cuaderno, dibuja un trapecio                     con fracciones que inventaste y
                                                       isósceles, mide sus lados y calcula su                 pide que lo resuelvan. Lo mismo
                                                       perímetro.                                             deben hacer tus compañeros de
                                                    2. Inventa un problema con fracciones                     grupo. Luego escojan cuál fue el
                                                       y resuélvelo.                                          problema más interesante.


                                                                 E
                                                                 En la web
                                                             • ww
                                                               www.geolay.com
54
d u lo
                Somos únicos
 5
Mó



                y diversos
         Cumplí 20 años.                                                 Cumplí 1 año.




                                                                 Cumplí 8 años.
                       Cumplí 200 años.




 Reflexiono                                                             Lo que debo saber
 • ¿Cuál es la diferencia de edad entre la tortuga
                                                                  Cuatrocientos dividido
   y el lobo marino?
                                                                  para cuatro es igual a 100.
 • ¿Cuántas veces la edad del pinzón es menor
   que la de la iguana?
 • ¿Cuáles son las prácticas recreativas que brin-
   da Galápagos?                                                             400 : 4 = 100
 Objetivos
 • Resolver divisiones con divisores de una cifra y                      División inexacta
   con residuo.
                                                                                                   Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




                                                                                8        7    9
 • Reconocer los números decimales como la ex-
   presión decimal de las fracciones.                                         − 8        1    9
 • Realizar conversiones simples de medidas de                                           6
   longitud, del metro a sus múltiplos y viceversa.

       Contenidos                                      sal: Desa
                                                                 rro   llo de la recreación
                                          Eje transver
     • División con tres cifras                   • Orden y comparación de decimales
       en el dividendo y una en el divisor        • División para 10, 100 y 1 000
     • Números decimales                          • Múltiplos del metro                           55
Lección 1

                                                    División con tres cifras en el
                                                    dividendo y una en el divisor                                                                         Bloque
                                                                                                                                                        numérico
                                                    Destreza con criterios de desempeño: Resolver divisiones con divisores de una cifra y con residuo.

                                                    ¿Sabías que...?
                                                                                    División exacta
                                                     El concepto de di-             Un grupo de cuatro personas realizó
                                                     visión se utiliza en el        un paseo por la isla Isabela. En total,
                                                     fútbol para agrupar            gastaron $ 440, que fueron paga-
                                                     a los equipos de               dos equitativamente. ¿Cuánto invirtió
                                                     una misma cate-                cada una?
                                                     goría. En la primera           Para saber cuánto empleó cada turista, se divide el valor
                                                     división se agrupan            total para cuatro.
                                                     los mejores.                   Entonces, por turista se gastó exactamente $ 110.
                                                                                   Turista 1            Turista 2           Turista 3            Turista 4



                                                    Observa otro ejemplo:
                                                    Se han repartido 337 conchas de mar en tres ca-
                                                    nastas. ¿Cuántas conchas hay en cada una?                              100          100        100
                                                                                                                            10           10         10
                                                    R.: Hay 112 conchas y sobra una.                                         2            2          2

                                                    División en galera
                                                    Para dividir en galera, debes seguir tres etapas. Mira cómo se ha utilizado el
                                                    procedimiento para resolver la siguiente situación:
                                                    246 pescados se han depositado en dos redes. ¿Cuántos pescados hay en
                                                    cada red?
                                                                  Etapa 1                              Etapa 2                                Etapa 3
                                                              C D U                              C D U                                   C D U
                                                              2 4 6 2                            2 4 6 2                                 2 4 6 2
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                                                            – 2     1                          – 2     1 2                             – 2     1 2 3
                                                                                                                                         0 4
                                                              0                                  0 4                                   –   4
                                                                                               –   4                                       0 6
                                                                                                   0                                     –   6
                                                                                                                                             0
                                                     Primero, reparte llas cen-
                                                                    t                     Luego, b j llas d
                                                                                                  baja       decenas.            Para finalizar, baja las unida-
                                                                                                                                          li    b j l
                                                     tenas para el número de              En este caso anota el 4 al             des. En este ejemplo es el 6 y
                                                     grupos, 2 : 2 = 1, multiplica        lado del 0. Reparte las de-            anótalo al lado del 0. Divide
                                                     1 × 2 = 2 y resta de las cen-        cenas 4 : 2 = 2, multiplica            las unidades 6 : 2 = 3. Di 3 × 2
                                                     tenas. No sobran centenas.           2 × 2 = 4 y realiza la resta.          son 6. Resta de 6 – 6 = 0.
                                                    R.: Hay 123 pescados en cada red.
56
División reagrupada
Esta clase de división tiene tres etapas.
             Etapa 1                            Etapa 2                   Etapa 3
              C D U                           C D U                  C D U
              3 0 7 5                         3 0 7 5                3 0 7 5
            – 3 0   6                       – 3 0   6              – 3 0   6 1
                0                               0 7                    0 7
                                                                     –   5
                                                                         2
 Como no se pueden repartir las cen-        Resta 30 y baja    Divide las unidades 7 : 5 = 1 por-
 tenas para el divisor, toma la siguien-    las unidades. En   que 5 × 1 = 5 y réstalas de las
 te cifra, es decir, las decenas y repár-   este caso el 7.    unidades. Identifica el residuo.
 telas 30 : 5 = 6 porque 6 × 5 = 30.                           En este caso es 2.


Problemas con más de una operación                                 Costos de viaje a Galápagos
                                                                  • Hospedaje             $ 155
Hay ocasiones en las que puedes utilizar más de                   • Pasaje aéreo adultos $ 279
                                                                  • Alimentación          $ 50
una operación para resolver un problema.

Problemas de un paso                             Problemas de dos pasos
Son aquellos que se resuelven con                Son aquellos que se solucionan con
una operación. Por ejemplo: con el fin            dos operaciones. Si queremos saber
de averiguar cuánto cuesta el viaje              cuánto se paga por el viaje para dos
a Galápagos, para un adulto, se suman            adultos, se suma primero y luego se
todos los valores correspondientes:              multiplica.

• Hospedaje           $ 155                                                  Mi diccionario
                                                         484
• Pasaje aéreo adulto $ 279
                                                      ×    2                ocasión. Momento,
• Alimentación     + $ 50
                      $ 484                            $ 968                oportunidad.
       Primera operación                      Segunda operación

 Ejercicio
                                                                                                     Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




 propuesto          Cuaderno de apuntes                 En mi caja fuerte
 Descubre la respuesta mental-                          La
                                                        Las operaciones aritméticas
 mente: Juan tiene 3 árboles de                         se pueden combinar para re-
 manzanas, cada árbol da 50 frutos.                     solver problemas: de un paso
 Si en casa de Juan son 5 personas                      si se usa una operación y de
 y él quiere repartir las manzanas                      dos pasos si se utilizan dos
 entre todos. ¿Cuántas manzanas le                      operaciones.
                                                                            Al cuaderno
 toca a cada uno?                                                          de actividades
                                                                                            P. 87


                                                                                                    57
Lección 2

                                                                           Números decimales                                                                       Bloque numérico
                                                                           Destreza con criterios de desempeño: Reconocer los números decimales como la expresión decimal de las
                                                                           fracciones por medio de la división.

                                                                           ¿Sabías que...?              Representación
                                                                                                        Gerardo ha representado los diez decímetros que tiene
                                                                           La mariposa más
                                                                                                        el metro en la siguiente semirrecta numérica:
                                                                           grande del mun-
                                                    tenoch.scimexico.com




                                                                                                                                                           1
                                                                           do se llama Atlas.               1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 10/10
                                                                                                        0
                                                                           La distancia entre
                                                                           sus alas mide
                                                                           25 cm, es decir,             Sabe que cada parte equivale a                1
                                                                                                                                                          10   .
                                                                             25
                                                                                m.
                                                                            100                         Los décimos se pueden representar de la siguiente forma:

                                                                                                                        2                        5                            6
             Mucho ojo                                                                                                 10                       10                           10

                                                                            500 :     10 = 50           Para representar las centésimas, utilizamos unidades di-
                                                                                                        vididas en 100 partes iguales.
                                                                            500 : 100 = 5
                                                                                                        Junto a cada unidad se ha escrito la fracción que co-
                                                                           5 000 :    10 =500           rresponde a la parte coloreada de verde.
                                                                           5 000 : 100 = 50
                                                                                                                         18                     43                           6
                                                                           5 000 : 1 000= 5
                                                                                                                        100                     100                         100

                                                                           Si consideramos que cada uno de los siguientes cubos se ha construido con
                                                                           1 000 cubos pequeños, expresamos así las fracciones:

                                                                                                16                               45                                      99
                                                                                              1 000                             1 000                                   1 000
Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




                                                                           Una fracción puede escribirse como número decimal.


                                                                                            1                                1                                        1
                                                                                              =0,1                              =0,01                                     =0,001
                                                                                           10                               100                                     1 000


58
Un número decimal es el resultado de una división
Analicemos las siguientes situaciones:                      1 : 10 = 0,1
Un pastel dividido para diez personas
se representa con esta división.                                                           1
                                                                                           2
                                                                                           3
Y gráficamente con lo que sigue:                                                            4
                                                                                           5
Cada persona tendrá         1        de pastel, es                                         6
                                10
                                                                                           7
decir, 0,1.                                                                                8
                                                                                           9
Tabla de valor posicional                                                                 10


Para representar números decimales que tienen una parte entera, utilizamos la
tabla de valor posicional, la cual presenta una parte entera y otra decimal.
     Parte entera                       Parte decimal


      Unidad        , décimo centésimo milésimo
         U          ,   d        c        m
         1          ,   2
                                                                       Mi diccionario
La parte entera se separa del decimal con una coma.
Se lee «un entero dos décimos», y se escribe 1,2.                   representar. Dar una
                                                                    forma. Ser símbolo o
Lectura de números decimales                                        imagen de algo.

En esta tabla se han registrado números decimales, su valor posicional y su lectura.
 C D U       ,      d c m            Está formado por                   Se lee
                                  2 unidades, 8 décimos,      Dos enteros ochocientos
        2    ,      8 9 1
                                 9 centésimos, 1 milésimo      noventa y un milésimos
                                 35 unidades, 4 décimos,      Treinta y cinco unidades
    3 5      ,      4 1
                                        1 centésimo          cuarenta y un centésimos
        7    ,      3              7 enteros, 3 décimos      Siete enteros tres décimos
                                                                                                Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




Ejercicio                                                     En mi caja fuerte
propuesto                       Cuaderno de apuntes
                                                              U
                                                              Un número decimal es el
En parejas realicen la siguiente actividad:                   re
                                                              resultado de una división.
cada uno escriba en una hoja 10 números                                     5 : 2 = 2,5
decimales, luego intercambien las hojas y es-
criban como están formados los números y
como se leen. Luego vuelvan a intercambiar
                                                                   Al cuaderno
de hojas y vean si hubo errores.                                  de actividades
                                                                                      P. 89

                                                                                               59
Orden y comparación
                                        Lección 3



                                                    de decimales                                                                      Bloque numérico
                                                    Destreza con criterios de desempeño: Establecer relaciones de orden: mayor que y menor que en números
                                                    decimales.

                                                    ¿Sabías que...?               Relación de orden
                                                    Entre dos números             Para ordenar un conjunto de decimales, ya sea de me-
                                                    decimales ubica-              nor a mayor o de mayor a menor, se ubican los decima-
                                                    dos en la recta               les en la semirrecta numérica. Por ejemplo: se ordenará
                                                    numérica, se pue-             el siguiente conjunto de decimales de menor a mayor.
                                                    den representar
                                                    infinidad de nú-                             A = {0,4; 1,1; 0,1; 1,7; 0,6; 1,2; 0,7; 1,5; 0,3}
                                                    meros decimales.
                                                                                  Para representar un número decimal en la semirrecta
                                                                                  numérica, se divide el segmento de cada unidad en
                                                                                  diez partes iguales.


                                                           0                                            1




                                                                                  Luego, se anota en la semirrecta numérica la secuen-
                                                                                  cia de los números decimales.
                                                                               0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7


Mucho ojo
                                                                                  Finalmente, se ubica en la semirrecta numérica cada
                                                                 1
                                                                 10
                                                                    =0,1          uno de los números decimales del conjunto que se va
                                                                                  a ordenar.
Distribución gratuita - Prohibida su reproducción




                                                                               0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
                                                                  1
                                                                     =0,01
                                                                 100


                                                                                  Se observa la semirrecta numérica para anotar, en or-
                                                                                  den de secuencia, los números decimales del conjunto
                                                                  1
                                                                1 000
                                                                      =0,001      de números.
                                                                                           A = {0,1; 0,3; 0,4; 0,6; 0,7; 1,1; 1,2; 1,5; 1,7}

60

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  • 1. Una ensalada Dos ensaladas Tres ensaladas 4 plátanos 8 plátanos 12 plátanos 5 peras 10 peras 15 peras 3 manzanas 6 manzanas 9 manzanas 2 kiwis 4 kiwis 6 kiwis Como observas en la tabla, para preparar dos ensaladas, Alicia necesita el doble de cada fruta. Puede calcularlo así: 4×2=8 5 × 2 = 10 3×2=6 2×2=4 Para preparar tres ensaladas, Alicia requiere el triple de cada fruta; puede calcularlo de esta manera: 4 × 3 = 12 5 × 3 = 15 3×3=9 2×3=6 Entre el número de ensaladas y el número de frutas existe proporcionalidad directa, porque al doble de ensaladas le corresponde el doble de frutas. Mi diccionario Al triple de ensaladas le corresponde el triple de frutas. proporcionalidad. Relación entre cantidades. Ejemplos de proporcionalidad directa • Para el doble de niños se necesita el doble de globos. • Para el triple de árboles se requiere el triple de terreno. • Para el cuádruple de helados se precisa el cuádruple de dinero. • Más gallinas, más huevos. En mi caja fuerte Distribución gratuita - Prohibida su reproducción Ejercicio C Cuando relacionas dos cantidades, propuesto Cuaderno de apuntes si al doble de una le corresponde el Diana preparó ocho galletas para doble de la otra, si al triple de una le regalar dos galletas a cada una de corresponde el triple de la otra, a la sus cuatro amigas. Si ella quisiera mitad de una le corresponde la mitad regalarles cuatro galletas a cada de la otra y así, sucesivamente, se dice una, ¿cuántas debería preparar? que hay proporcionalidad directa. Al cuaderno de actividades P. 55 41
  • 2. Buen vivir Al cuaderno de actividades P. 64 Desarrollo de la salud La otra semana fuimos de paseo a la Reserva Ecológica Pululahua. Fue increíble entrar en el cráter del volcán. En su interior, sobre un fondo plano y regular que alberga a una comunidad dedicada a las actividades agrícolas, tres elevaciones menores son claramente visibles: el Pondoña, El Chivo y el Pan de Azúcar. Las zonas adyacentes son peque- ñas cordilleras y elevaciones con paredes cubiertas de vegetación muy propia que termi- nan de encerrar la caldera y le dan al terreno las cualidades que le han valido la singular declaratoria de Reserva Geobotánica, la única en el Ecuador. Durante el paseo nos dimos cuenta de que nos sentíamos muy alegres, además nos ayudá- bamos unos a otros y nos sentíamos parte de este mundo maravilloso. En resumen Medidas Al multiplicar de tiempo por 10 Ejemplo 3 × 10 = 30 Un lustro en años aumenta un 0. cinco años Un siglo por 100 por 1 000 cien años aumenta aumenta Una década dos 0. tres 0. diez años Triángulos División por sus ángulos es repartir. por sus lados obtusángulo equilátero escaleno acutángulo rectángulo Sus términos son tres lados isósceles todos sus Tiene los Tiene Tiene un iguales ángulo dividendo cociente dos lados lados des- tres ángulos un ángulo divisor iguales iguales obtuso. agudos. recto. Crecen (× 1, × 2, × 3) ambos. Relación de Proporcionalidad Directa dos cantidades Decrecen (÷ 1, ÷ 2, ÷ 3) ambos. Cuaderno de apuntes Autoevaluación Coevaluación 1. Desde el año 1973, la ONU declaró el Distribución gratuita - Prohibida su reproducción 5 de junio el día del Medio Ambiente. 1. En el patio de la escuela tracen Calcula mentalmente cuántos años un triángulo equilátero, uno han pasado desde entonces. isósceles y uno escaleno. Lue- 2. Realiza la aproximación correspon- go, midan sus largos y calculen diente y escribe cuántas décadas y su perímetro. Dibujen y regis- cuántos lustros. tren los datos en su cuaderno. E En la web • ww www.primaria.librosvivos.net • www.vitutor.com 42
  • 3. d u lo Soy solidario 4 Mó y fraterno Reflexiono Lo que debo saber • De los pájaros que están en el árbol, Las tablas de multiplicar ¿cuáles pueden ser representados me- diante una multiplicación? • ¿Qué multiplicación representa al nú- mero de mariposas? • ¿Qué sabes de la Amazonía? 4 × 3 = 12 12 ÷ 3 = 4 Objetivos • Resolver divisiones con divisores de ½ medio 3 tercio 1 ¼ cuarto Distribución gratuita - Prohibida su reproducción una cifra y con residuo. • Reconocer las fracciones y estable- cer relaciones de orden entre ellas. • Reconocer paralelogramos y trapecios, a partir de sus características. Contenidos rsal: Form ación para la democrac ia ve Eje trans • División inexacta • Ordenar y comparar fracciones • Noción de fracción • Paralelogramos y trapecios 43
  • 4. Lección 1 División inexacta Bloque numérico Destreza con criterios de desempeño: Resolver divisiones con divisores de una cifra y con residuo. ¿Sabías que...? División inexacta El procedimiento de En la siguiente ilustración se representa una situación en la división en galera la cual se observa cómo la multiplicación y la división www.uclm.es se conoce como son operaciones opuestas. división euclidea En la entrada A se encuentra un grupo de diecinueve porque fue publi- personas que quieren viajar a Morona Santiago. cado por Euclides En la entrada B hay vehículos con capacidad para cinco personas. ent en su libro Elemen- rad aA tos hace más Si la condición para que se de 2 200 años. dé el viaje es que viajen máxi- mo cinco personas en cada salida vehículo, ¿cuántos vehículos se necesitan? aB ad entr ¿Qué pasa con...? Patrones numéricos decrecientes relacio- He repartido 24 pe- nados con la división dazos de pizza entre Observa la ilustración y responde oralmente. 6 niños, a cada uno le tocó 4 pedazos. 80 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 o Mucho ojo • ¿Qué operaciones ha realizado la niña? Distribución gratuita - Prohibida su reproducción • ¿En que se parecen cada una de las divisiones? • Para averiguar ell valor del dividendo, Lee el texto a continuación. multiplico el cocien- Cecilia escribió en el pizarrón un patrón numérico de- te por el divisor. creciente. Un patrón es un conjunto de números que siguen una se- Dividendo 6 10 ? ? cuencia. Cuando esta secuencia de números va del ma- Divisor 2 2 2 2 yor al menor, se llama patrón numérico decreciente. Cociente 3 5 8 14 Para construir estos patrones se puede realizar divisiones sucesivas, siempre por el mismo divisor. 44
  • 5. Mi diccionario División en galera euclidea. Vie- dividendo divisor ne de Euclides, En la división en galera, los términos residuo cociente sabio matemáti- se ubican de la siguiente manera: co griego de la antigüedad. Observa el proceso en el siguiente ejemplo: Primera etapa Segunda etapa 4 9 6 4 9 6 8 – 4 8 8 1 Escribo como cociente un número Resto al dividendo el producto de que al multiplicarlo por el divisor el la multiplicación del cociente por el producto sea igual al dividendo o divisor. En este caso 48. Anoto la dife- esté muy cercano a él, sin pasarse. rencia que es el residuo (1). En este caso 6, porque 6 × 8 = 48 y está muy próximo al 49. H Hay otras di i i t divisiones en llas que lla cifra d l di i es menor que las decenas dell if del divisor l d d dividendo, en ese caso se resuelve la operación en tres etapas. Mira el ejemplo. Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa D U D U D U 4 7 3 4 7 3 4 7 3 – 3 1 – 3 1 – 3 1 5 1 1 7 1 7 – 1 5 2 Reparte primero las de- Reagrupa la dece- Reparte las unidades 17 : 3 = 5, cenas para el número de na que sobra con que es el número más cercano grupos, 4 : 3 = 1, multipli- las 7 unidades. a 17, sin pasarse. Coloca el 5 en el ca 1 x 3 = 3 y resta de las cociente, multiplica 5 × 3 = 15 y decenas; en este caso resta de las unidades 17 – 15 = 2. sobra 1. El residuo o resto es 2. Distribución gratuita - Prohibida su reproducción En mi caja fuerte Ejercicio 73 : 9 = 8 propuesto Cuaderno de apuntes sobra 1 Resuelve mentalmente: Carlos com- Para resolver esta división se descompusieron escompusieron pró 20 suspiros y los compartió con todas las decenas en unidades y, luego, se re- sus amigos, a todos les tocó el mis- partieron equitativamente en nueve grupos. mo número que a Carlos. ¿Cuántos Al cuaderno suspiros recibió cada uno? de actividades P. 67 45
  • 6. Lección 2 Noción de fracción Bloque numérico Destreza con criterios de desempeño: Reconocer las fracciones como números que permiten un reparto equi- tativo y exhaustivo de objetos fraccionables. ¿Sabías que...? Concepto de fracción Los aztecas repre- Un número fraccionario indica cómo se ha dividido una sentaban los núme- unidad en partes iguales. Por ejemplo: http://www.oei.es ros fraccionarios uti- lizando corazones, Los cilindros se han dividido en dos, cuatro y seis partes manos y flechas. iguales. Estos símbolos han sido encontrados en algunos planos y significan: = 2 5 = 1 2 En el primero se ha pintado de verde una de las dos = 3 5 partes, es decir, un medio (½); en el segundo se han pintado del mismo color tres partes de cuatro, es decir, tres cuartos (¾). En el siguiente, se han pintado de azul cinco de seis partes, es decir, cinco sextos (5 6). Toda unidad es susceptible de dividirse en infinito nú- mero de partes. Mucho ojo Las fracciones están formadas por un numerador, que • Una unidad puede indica las partes que se han tomado de la unidad y el dividirse en: denominador, que indica las partes en las que se ha dos medios, dividido la unidad. Observa el ejemplo: tres tercios o más partes iguales. Distribución gratuita - Prohibida su reproducción El numerador 3 indica las 1 2 2 partes del cilindro que se 3 han pintado, de rosado. 4 El denominador 4 indica las 3 4 3 4 partes en las que se ha divi- dido el cilindro. 46
  • 7. El nombre de la fracción depende del denominador. 2 partes medios 6 partes sextos 3 partes tercios 7 partes séptimos 4 partes cuartos 8 partes octavos 5 partes quintos 9 partes novenos Cuando hay más de diez partes, se añade al número del denominador la ter- minación -avo, -ava. Por ejemplo: 12 se lee «doce dieciochoavos» y se representa así: 18 ó Las fracciones que indican que una unidad ha sido dividida en diez partes se llaman decimales. Observa el ejemplo: 7 4 10 10 siete décimos cuatro décimos Se llama centésimos a la fracciones que indican que una unidad ha sido dividida en cien partes. Por ejemplo: 30 16 100 100 treinta dieciséis centésimos centésimos Distribución gratuita - Prohibida su reproducción Cuando la unidad ha sido dividida en mil partes, se denomina milésimos. 6 14 1 000 1 000 seis milésimos catorce milésimos 47
  • 8. Fracción de un número Un conjunto de elementos es una unidad; por lo tanto, esta puede ser dividida en fracciones. Si dividimos un conjunto en dos grupos con el mismo número de elementos, obte- nemos mitades. Por ejemplo: si el conjunto está formado por 12 elementos, la mitad es 6. 1 ½ 2 Si a los 12 elementos del conjunto los dividimos en cuartos, tenemos que ¼ de 12 son 3. ¼ 1 4 ¼ ¼ El número 12 se puede dividir en medios (½), tercios (1 3), cuartos (¼), sextos ( 1 6 ), doceavos (1 12) porque el 12 puede dividirse para 2, 3, 4, 6 y 12. Mira otro ejemplo: Distribución gratuita - Prohibida su reproducción 4 6 son mujeres y mujeres e 2 6 son hombres. Para fraccionar un número, se divide el mismo número en grupos más peque- ños de elementos. 48
  • 9. Representación de una fracción en la recta numérica Las fracciones se pueden representar en la semirrecta numérica. En este caso, cada unidad se ha dividido en dos partes, es decir, en medios. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 En la semirrecta numérica se han representado medios; por lo tanto, observa que: Una unidad son dos medios: 1 =2 2. Dos unidades son cuatro medios: 2 = 4 2 . Mi diccionario Tres unidades son seis medios: 3 = 6 2. susceptible. Esta semirrecta puede continuar hasta el infinito. Capaz de recibir En esta segunda semirrecta se ha divi- modificación dido cada unidad en tercios, es decir, o impresión. en tres partes iguales: 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Observa que se ha dividido la unidad en tres partes; por lo tanto: Una unidad son tres tercios: 1 =3 3 . Dos unidades son seis tercios: 2 =6 3 . Tres unidades son nueve tercios: 3 =9 3 . Cuatro unidades serían doce tercios: 4 =12 3. Se puede representar cualquier fracción en una semirrecta numérica. En mi caja fuerte Distribución gratuita - Prohibida su reproducción Ejercicio U Una fracción es 1 propuesto Cuaderno de apuntes e el resultado de 8 1 8 1 dividir la unidad 8 1 8 Mentalmente descubre la respues- o un conjunto 1 8 ta: María y Rosa cortaron un pastel de elementos en 1 8 1 8 en 24 pedazos. María tomo 1/4 del partes iguales. 1 8 pastel y Rosa 2/4. ¿Cuántos peda- zos quedan? Al cuaderno de actividades P. 69 49
  • 10. Ordenar y comparar Lección 3 fracciones Bloque numérico Destreza con criterios de desempeño: Establecer relaciones de orden entre fracciones, mayor que, menor que, igual a ½ e igual a 1. ¿Sabías que...? Fracciones iguales a 1 Para establecer relaciones de mayor que (>), menor Una cuerda que (<) e igual a =, partiremos de representaciones grá- con doce nudos, ficas. es decir, dividida en doce partes, A continuación, establecemos la relación igual a 1. era una herramien- ta de construcción usada por los egipcios, porque con ésta podían 4 4 =1 5 5 =1 12 12 =1 formar triángulos. En cada unidad se han coloreado todas las fracciones, es decir, 1. Cuando el numerador y el denominador tienen el mis- mo número, esto equivale a 1. Al utilizar números tenemos: 23 23 =1 45 45 =1 787 787 =1 7 755 7 755 =1 Fracciones iguales o equivalentes a ½ o Mucho ojo Distribución gratuita - Prohibida su reproducción 12 16 6 16 2 4 =½ 3 6 =½ 5 10 =½ 12 18 Si el numerador es la mitad del denominador, hablamos de medios. 50
  • 11. Comparar fracciones Comparar fracciones por medio de la utilización de gráficos es una actividad muy interesante. Analiza el siguiente ejemplo: Elena comió 1 3 de pizza. José, ½ pizza. Si ambas pizzas son del mismo tamaño, ¿quién comió más? Mi diccionario equivalente. Dicho de una cosa que puede ser igual a otra en valor o cantidad. Al comparar las porciones de pizzas que comió cada uno, vemos que es más grande la porción de José. Por lo tanto, decimos que ½ es mayor que 1 3 . ½ >1 3 Comparemos ahora las siguientes fracciones: 3 10 = 5 10 = 3 10 = 2 10 5 10 2 10 3 10 < 5 10 2 10 < 3 10 Distribución gratuita - Prohibida su reproducción Ejercicio propuesto Cuaderno de apuntes En mi caja fuerte Ricardo, Andrés y Cecilia prepara- C Comparar fracciones sir- ron carteles para la casa abierta de v ve para saber quién tomó Matemáticas. Ricardo hizo 3 9 de los más partes de la unidad. carteles, Andrés 2 9 y Cecilia el resto. ¿Quién realizó más carteles? ¿Por qué? Al cuaderno de actividades P. 73 51
  • 12. Paralelogramos Lección 4 y trapecios Bloque geométrico Destreza con criterios de desempeño: Reconocer paralelogramos y trapecios, a partir del análisis de sus características. ¿Sabías que...? Cuadriláteros y paralelogramos Etza es un niño de la Amazonía. Él ha elaborado una David Hilbert, teselación con figuras que tienen cuatro lados, es decir, matemático alemán, www.came.edu.pe cuadriláteros. También ha utilizado algunos triángulos. demostró que si se corta un polí- gono en pedazos, se puede armar otro con la misma superficie que el primero al unir los pedazos de distinta manera. Los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos de dos en dos se llaman paralelogramos y son: Rombo J Romboide M N I K O P Mucho ojo L El rombo y el romboide tienen sus lados opuestos para- cuadrado lelos de dos en dos y sus ángulos no son rectos. Distribución gratuita - Prohibida su reproducción A Cuadrado B E Rectángulo F rectángulo paralelas C D G H En cambio, los cuadrados y los rectángulos tienen sus lados opuestos paralelos y sus ángulos internos son rec- perpendiculares tos, pero también son paralelogramos. 52
  • 13. Trapecios Son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos y dos no paralelos. Adquieren su nombre según la amplitud de sus ángulos internos, así: Trapecio isósceles Trapecio rectángulo Trapecio escaleno ¿Qué pasa con...? A B E F I J No es un cuadrilátero, porque tiene 5 lados. C D G H K L Tiene dos ángulos Tiene dos ángulos Tiene los cuatro agudos y dos obtu- rectos, un agudo ángulos internos de sos, iguales de dos y uno obtuso. distinta amplitud. en dos. Perímetro El perímetro es la medida del contorno de una figura geométrica. Para obtener el perímetro de los trapecios o de los paralelogramos, se suman las longitudes de sus lados. Observa el ejemplo: 60 c 120 cm m Si queremos colocar un borde con cinta de- corativa en la mesa, ¿cuántos centímetros de cinta debemos comprar? Debemos calcular el perímetro. Mi diccionario teselación. Patrón o Perímetro = lado + lado + lado + lado regularidad de figuras P = 𝓵+ 𝓵 + 𝓵 + 𝓵 que cubre completa- P = 120 cm + 60 cm + 120 cm + 60 cm mente una superficie P = 360 cm plana. Ejercicio Distribución gratuita - Prohibida su reproducción propuesto Cuaderno de apuntes En mi caja fuerte Calcula mentalmente el perímetro L Las figuras geomé- del siguiente paralelogramo tr tricas son utilizadas 2 cm para creaciones http://www.kiabi.es artísticas de pin- 1 cm tores y artesanos 1 cm y también al cons- truir una casa. Al cuaderno 2 cm de actividades P. 75 53
  • 14. Buen vivir Al cuaderno de actividades P. 84 Formación para la democracia Este año llegó a la escuela Pedro, un niño que nació en la Ama- zonía. Es muy buena gente y, pronto, todos nos hicimos amigos. Un día, mientras jugábamos, él dijo unas palabras que no entendimos; estaba tan emocionado que nos hablaba en su idioma, el shuar. Nosotros nos sorprendimos al escucharlo; luego conversamos con nuestro maestro y nos contó que en nuestro país existen más de diez idiomas y nos hizo leer el siguiente texto de nuestra constitución: «El castellano es el idioma oficial del Ecuador, el kichwa, el shuar y los demás idiomas an- cestrales son patrimonio cultural del país, y serán de uso oficial para las nacionalidades y pueblos indígenas, en los términos que determine la Ley. El Estado respetará y estimulará su conservación y uso». En resumen División Términos: Inexacta: dividendo, divisor, Exacta: Cociente igual a 0. Cociente diferente a 0. cociente y residuo. Cuadriláteros Fracción Paralelogramos: Trapecios: Unidad (un todo) Se puede Lados opuestos Lados desiguales, dividida en par- ordenar iguales y paralelos, dos paralelos tes iguales. y comparar. de dos en dos. y dos no. • Rombo • Trapecio Términos: • Romboide isósceles numerador • Cuadrado • Trapecio y denominador. • Rectángulo rectángulo Cuaderno de apuntes Coevaluación Autoevaluación 1. Presenta al grupo el problema Distribución gratuita - Prohibida su reproducción 1. En tu cuaderno, dibuja un trapecio con fracciones que inventaste y isósceles, mide sus lados y calcula su pide que lo resuelvan. Lo mismo perímetro. deben hacer tus compañeros de 2. Inventa un problema con fracciones grupo. Luego escojan cuál fue el y resuélvelo. problema más interesante. E En la web • ww www.geolay.com 54
  • 15. d u lo Somos únicos 5 Mó y diversos Cumplí 20 años. Cumplí 1 año. Cumplí 8 años. Cumplí 200 años. Reflexiono Lo que debo saber • ¿Cuál es la diferencia de edad entre la tortuga Cuatrocientos dividido y el lobo marino? para cuatro es igual a 100. • ¿Cuántas veces la edad del pinzón es menor que la de la iguana? • ¿Cuáles son las prácticas recreativas que brin- da Galápagos? 400 : 4 = 100 Objetivos • Resolver divisiones con divisores de una cifra y División inexacta con residuo. Distribución gratuita - Prohibida su reproducción 8 7 9 • Reconocer los números decimales como la ex- presión decimal de las fracciones. − 8 1 9 • Realizar conversiones simples de medidas de 6 longitud, del metro a sus múltiplos y viceversa. Contenidos sal: Desa rro llo de la recreación Eje transver • División con tres cifras • Orden y comparación de decimales en el dividendo y una en el divisor • División para 10, 100 y 1 000 • Números decimales • Múltiplos del metro 55
  • 16. Lección 1 División con tres cifras en el dividendo y una en el divisor Bloque numérico Destreza con criterios de desempeño: Resolver divisiones con divisores de una cifra y con residuo. ¿Sabías que...? División exacta El concepto de di- Un grupo de cuatro personas realizó visión se utiliza en el un paseo por la isla Isabela. En total, fútbol para agrupar gastaron $ 440, que fueron paga- a los equipos de dos equitativamente. ¿Cuánto invirtió una misma cate- cada una? goría. En la primera Para saber cuánto empleó cada turista, se divide el valor división se agrupan total para cuatro. los mejores. Entonces, por turista se gastó exactamente $ 110. Turista 1 Turista 2 Turista 3 Turista 4 Observa otro ejemplo: Se han repartido 337 conchas de mar en tres ca- nastas. ¿Cuántas conchas hay en cada una? 100 100 100 10 10 10 R.: Hay 112 conchas y sobra una. 2 2 2 División en galera Para dividir en galera, debes seguir tres etapas. Mira cómo se ha utilizado el procedimiento para resolver la siguiente situación: 246 pescados se han depositado en dos redes. ¿Cuántos pescados hay en cada red? Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 C D U C D U C D U 2 4 6 2 2 4 6 2 2 4 6 2 Distribución gratuita - Prohibida su reproducción – 2 1 – 2 1 2 – 2 1 2 3 0 4 0 0 4 – 4 – 4 0 6 0 – 6 0 Primero, reparte llas cen- t Luego, b j llas d baja decenas. Para finalizar, baja las unida- li b j l tenas para el número de En este caso anota el 4 al des. En este ejemplo es el 6 y grupos, 2 : 2 = 1, multiplica lado del 0. Reparte las de- anótalo al lado del 0. Divide 1 × 2 = 2 y resta de las cen- cenas 4 : 2 = 2, multiplica las unidades 6 : 2 = 3. Di 3 × 2 tenas. No sobran centenas. 2 × 2 = 4 y realiza la resta. son 6. Resta de 6 – 6 = 0. R.: Hay 123 pescados en cada red. 56
  • 17. División reagrupada Esta clase de división tiene tres etapas. Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 C D U C D U C D U 3 0 7 5 3 0 7 5 3 0 7 5 – 3 0 6 – 3 0 6 – 3 0 6 1 0 0 7 0 7 – 5 2 Como no se pueden repartir las cen- Resta 30 y baja Divide las unidades 7 : 5 = 1 por- tenas para el divisor, toma la siguien- las unidades. En que 5 × 1 = 5 y réstalas de las te cifra, es decir, las decenas y repár- este caso el 7. unidades. Identifica el residuo. telas 30 : 5 = 6 porque 6 × 5 = 30. En este caso es 2. Problemas con más de una operación Costos de viaje a Galápagos • Hospedaje $ 155 Hay ocasiones en las que puedes utilizar más de • Pasaje aéreo adultos $ 279 • Alimentación $ 50 una operación para resolver un problema. Problemas de un paso Problemas de dos pasos Son aquellos que se resuelven con Son aquellos que se solucionan con una operación. Por ejemplo: con el fin dos operaciones. Si queremos saber de averiguar cuánto cuesta el viaje cuánto se paga por el viaje para dos a Galápagos, para un adulto, se suman adultos, se suma primero y luego se todos los valores correspondientes: multiplica. • Hospedaje $ 155 Mi diccionario 484 • Pasaje aéreo adulto $ 279 × 2 ocasión. Momento, • Alimentación + $ 50 $ 484 $ 968 oportunidad. Primera operación Segunda operación Ejercicio Distribución gratuita - Prohibida su reproducción propuesto Cuaderno de apuntes En mi caja fuerte Descubre la respuesta mental- La Las operaciones aritméticas mente: Juan tiene 3 árboles de se pueden combinar para re- manzanas, cada árbol da 50 frutos. solver problemas: de un paso Si en casa de Juan son 5 personas si se usa una operación y de y él quiere repartir las manzanas dos pasos si se utilizan dos entre todos. ¿Cuántas manzanas le operaciones. Al cuaderno toca a cada uno? de actividades P. 87 57
  • 18. Lección 2 Números decimales Bloque numérico Destreza con criterios de desempeño: Reconocer los números decimales como la expresión decimal de las fracciones por medio de la división. ¿Sabías que...? Representación Gerardo ha representado los diez decímetros que tiene La mariposa más el metro en la siguiente semirrecta numérica: grande del mun- tenoch.scimexico.com 1 do se llama Atlas. 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 10/10 0 La distancia entre sus alas mide 25 cm, es decir, Sabe que cada parte equivale a 1 10 . 25 m. 100 Los décimos se pueden representar de la siguiente forma: 2 5 6 Mucho ojo 10 10 10 500 : 10 = 50 Para representar las centésimas, utilizamos unidades di- vididas en 100 partes iguales. 500 : 100 = 5 Junto a cada unidad se ha escrito la fracción que co- 5 000 : 10 =500 rresponde a la parte coloreada de verde. 5 000 : 100 = 50 18 43 6 5 000 : 1 000= 5 100 100 100 Si consideramos que cada uno de los siguientes cubos se ha construido con 1 000 cubos pequeños, expresamos así las fracciones: 16 45 99 1 000 1 000 1 000 Distribución gratuita - Prohibida su reproducción Una fracción puede escribirse como número decimal. 1 1 1 =0,1 =0,01 =0,001 10 100 1 000 58
  • 19. Un número decimal es el resultado de una división Analicemos las siguientes situaciones: 1 : 10 = 0,1 Un pastel dividido para diez personas se representa con esta división. 1 2 3 Y gráficamente con lo que sigue: 4 5 Cada persona tendrá 1 de pastel, es 6 10 7 decir, 0,1. 8 9 Tabla de valor posicional 10 Para representar números decimales que tienen una parte entera, utilizamos la tabla de valor posicional, la cual presenta una parte entera y otra decimal. Parte entera Parte decimal Unidad , décimo centésimo milésimo U , d c m 1 , 2 Mi diccionario La parte entera se separa del decimal con una coma. Se lee «un entero dos décimos», y se escribe 1,2. representar. Dar una forma. Ser símbolo o Lectura de números decimales imagen de algo. En esta tabla se han registrado números decimales, su valor posicional y su lectura. C D U , d c m Está formado por Se lee 2 unidades, 8 décimos, Dos enteros ochocientos 2 , 8 9 1 9 centésimos, 1 milésimo noventa y un milésimos 35 unidades, 4 décimos, Treinta y cinco unidades 3 5 , 4 1 1 centésimo cuarenta y un centésimos 7 , 3 7 enteros, 3 décimos Siete enteros tres décimos Distribución gratuita - Prohibida su reproducción Ejercicio En mi caja fuerte propuesto Cuaderno de apuntes U Un número decimal es el En parejas realicen la siguiente actividad: re resultado de una división. cada uno escriba en una hoja 10 números 5 : 2 = 2,5 decimales, luego intercambien las hojas y es- criban como están formados los números y como se leen. Luego vuelvan a intercambiar Al cuaderno de hojas y vean si hubo errores. de actividades P. 89 59
  • 20. Orden y comparación Lección 3 de decimales Bloque numérico Destreza con criterios de desempeño: Establecer relaciones de orden: mayor que y menor que en números decimales. ¿Sabías que...? Relación de orden Entre dos números Para ordenar un conjunto de decimales, ya sea de me- decimales ubica- nor a mayor o de mayor a menor, se ubican los decima- dos en la recta les en la semirrecta numérica. Por ejemplo: se ordenará numérica, se pue- el siguiente conjunto de decimales de menor a mayor. den representar infinidad de nú- A = {0,4; 1,1; 0,1; 1,7; 0,6; 1,2; 0,7; 1,5; 0,3} meros decimales. Para representar un número decimal en la semirrecta numérica, se divide el segmento de cada unidad en diez partes iguales. 0 1 Luego, se anota en la semirrecta numérica la secuen- cia de los números decimales. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 Mucho ojo Finalmente, se ubica en la semirrecta numérica cada 1 10 =0,1 uno de los números decimales del conjunto que se va a ordenar. Distribución gratuita - Prohibida su reproducción 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1 =0,01 100 Se observa la semirrecta numérica para anotar, en or- den de secuencia, los números decimales del conjunto 1 1 000 =0,001 de números. A = {0,1; 0,3; 0,4; 0,6; 0,7; 1,1; 1,2; 1,5; 1,7} 60