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Áreas de superficies planas.
Rectificación de curvas planas.
        CBTis 39 “Leona Vicario”
           Aarón Martínez Lagunes.
       Ángel de Jesús Martínez Valdepeña.
        Francisco Antonio Juárez Torres.
           David Delgado Martínez.
• La integración es un concepto fundamental de
  las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos
  del     cálculo     y      del    análisis      matemático.
  Básicamente,             una           integral          es
  una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
• Fue usado por primera vez por científicos
  como       Arquímedes,       René      Descartes,    Isaac
  Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos
  de este último y los aportes de Newton generaron
  el teorema fundamental del cálculo integral, que propone
  que la derivación y la integración son procesos inversos.
El cálculo integral tiene muchas aplicaciones las
cuales ayudan a muchas explicaciones de sucesos
que pasan en la vida diaria, por ejemplo podemos
determinar:

•   Áreas entre curvas.
•   Volúmenes.
•   Longitud de un arco.
•   Área de una superficie de revolución.
•   Aplicaciones a la física y a la ingeniería.
•   Aplicaciones a la economía y a la biología.
•   Probabilidad

Otra de nuestras aplicaciones es el área de
superficies planas
• Se llama área de una superficie plana a la medida de la
  superficie que ocupa, esta se puede calcular a través de
  una integral, esta se aplica dependiendo de las
  características de la que se quiera conocer el área.
• La mayoría de los casos en el calculo integral se conoce
  el área de bajo de una curva en un método mas simple, ya
  dependiendo del tema que estemos utilizando es para la
  aplicación que se le dará.
Ejemplo:
• 1.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de
  la función f (x) = −x2 + 4x, el eje de abscisas y las rectas
  x=1 y x=3. Sol: 22/3.
Aplicaciones simples de calculo integral
• 2.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica
  de la función f (x)= x2 − 4x, el eje de abscisas y las
  rectas x=1 y x=3. Sol: 22/3.
Aplicaciones simples de calculo integral
• 3.- Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de
  las funciones f (x) = x3 + 3x2 y g(x) = x + 3 entre x=-2 y
  x=0. Sol: 7/2.
Aplicaciones simples de calculo integral
• En matemática, la longitud de arco, también
  llamada rectificación de una curva, es la medida de la
  distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
  dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil
  determinar esta longitud en segmentos irregulares;
  aunque fueron usados varios métodos para curvas
  específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula
  general para obtener soluciones cerradas para algunos
  casos.
Longitud de curvas planas
• La longitud de una curva plana se
  puede aproximar al sumar
  pequeños segmentos de recta que
  se ajusten a la curva, esta
  aproximación será más ajustada
  entre más segmentos sean y a la
  vez sean lo más pequeño posible.
Definición:
• Si la primera derivada de una
  función es continua en [a,b] se
  dice que es suave y su gráfica es
  una curva suave.
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño
segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema
de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando
todos los diferenciales resulta:
Definición:
• Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde
  a hasta b es:
• La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre
  las abscisas:
  x = a y x = b viene dado por la integral definida:
Ejemplo:
1.- Hallar la longitud del arco de curva en el intervalo
[0, 1].
Desarrollo:




              Resultado:
2.- Encuentre la longitud del arco del arco de la curva 9y2=4x3
del origen al punto (3,2√3)
•




    Resultado:
•
3                                   3
L=
     0
          1 + 𝑥(𝑥 2 + 2).1/2   2
                                   dx=   0
                                              1 + 𝑥 2 𝑥 2 + 2 𝑑𝑥

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Aplicaciones simples de calculo integral

  • 1. Áreas de superficies planas. Rectificación de curvas planas. CBTis 39 “Leona Vicario” Aarón Martínez Lagunes. Ángel de Jesús Martínez Valdepeña. Francisco Antonio Juárez Torres. David Delgado Martínez.
  • 2. • La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. • Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
  • 3. El cálculo integral tiene muchas aplicaciones las cuales ayudan a muchas explicaciones de sucesos que pasan en la vida diaria, por ejemplo podemos determinar: • Áreas entre curvas. • Volúmenes. • Longitud de un arco. • Área de una superficie de revolución. • Aplicaciones a la física y a la ingeniería. • Aplicaciones a la economía y a la biología. • Probabilidad Otra de nuestras aplicaciones es el área de superficies planas
  • 4. • Se llama área de una superficie plana a la medida de la superficie que ocupa, esta se puede calcular a través de una integral, esta se aplica dependiendo de las características de la que se quiera conocer el área. • La mayoría de los casos en el calculo integral se conoce el área de bajo de una curva en un método mas simple, ya dependiendo del tema que estemos utilizando es para la aplicación que se le dará.
  • 5. Ejemplo: • 1.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x) = −x2 + 4x, el eje de abscisas y las rectas x=1 y x=3. Sol: 22/3.
  • 7. • 2.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x)= x2 − 4x, el eje de abscisas y las rectas x=1 y x=3. Sol: 22/3.
  • 9. • 3.- Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f (x) = x3 + 3x2 y g(x) = x + 3 entre x=-2 y x=0. Sol: 7/2.
  • 11. • En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
  • 12. Longitud de curvas planas • La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. Definición: • Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.
  • 13. Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta: Definición: • Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es: • La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas: x = a y x = b viene dado por la integral definida:
  • 14. Ejemplo: 1.- Hallar la longitud del arco de curva en el intervalo [0, 1].
  • 15. Desarrollo: Resultado:
  • 16. 2.- Encuentre la longitud del arco del arco de la curva 9y2=4x3 del origen al punto (3,2√3)
  • 17. Resultado:
  • 18.
  • 19. 3 3 L= 0 1 + 𝑥(𝑥 2 + 2).1/2 2 dx= 0 1 + 𝑥 2 𝑥 2 + 2 𝑑𝑥